华中农业大学自动控制原理第3章课件

第一节典型输入信号为了准确地描述系统的稳定性、准确性和快速性三方面的性能，定义若干个反映稳、准、快三方面性能的指标。第三章时域分析法第一节典型输入信号为了准确地描述系统的稳11．阶跃信号数学表达式：拉氏变换：当R0=1时，称为单位阶跃函数:1(t)r(t)t0R0阶跃信号r(t)=0t<0R0t≥0R(s)=SR0第一节典型输入信号1．阶跃信号数学表达式：拉氏变换：2

2．斜坡信号

数学表达式：拉氏变换：斜坡信号当υ0=1时，称为单位斜坡函数。r(t)t01υ0r(t)=0t<0υ0tt≥0R(s)=S2υ0第一节典型输入信号2．斜坡信号数学表达式：拉氏变换：斜坡信号当υ3抛物线信号

3．抛物线信号

数学表达式：拉氏变换：当a0=1时，称为单位抛物线函数。r(t)t0a0/21R(s)=S3a0t2a012r(t)=0t<0t≥0第一节典型输入信号抛物线信号3．抛物线信号数学表达式：拉氏变换：4εHε4.脉冲信号数学表达式：

脉冲信号r(t)t0r(t)t0理想脉冲信号r(t)=0ε<t<0Hε0≤t≤ε单位理想脉冲函数：H=1ε→0δ(t)=limδε(t)=ε→00t≠0∞t=0拉氏变换：R(s)=1理想脉冲函数特点：∫δ(t)dt=1-∞+∞第一节典型输入信号εHε4.脉冲信号数学表达式：脉冲信号r(t)t0r(55．正弦信号数学表达式：拉氏变换：r(t)=0t<0Asinωtt≥0R(s)=AωS2+ω2t0r(t)第一节典型输入信号5．正弦信号数学表达式：拉氏变换：r(t)=0t<0Asin6系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标。第二节控制系统的性能指标1．动态性能指标

典型二阶系统的单位阶跃响应曲线为:动态性能指标是根据二阶欠阻尼控制系统在典型的单位阶跃的响应定义的.第二节控制系统的性能指标系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标7第二节控制系统的性能指标tc(t)01(1)上升时间tr

输出响应从零开始第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间：单位阶跃响应曲线tr(2)峰值时间tptp峰值时间：系统输出响应由零开始，第一次到达峰值所需时间。σ%(3)超调量σ%超调量：输出响应超出稳态值的最大偏离量占稳态值的百分比。σ%=c(tp)-c(∞)c(∞)100%(4)调节时间ts系统输出响应达到并保持在稳态值的±5%（或±2%）误差范围内，所需时间。ts（5）振荡次数N在调整时间内，系统输出量穿越稳态值次数的一半.

第二节控制系统的性能指标tc(t)01(1)上升时间tr8第二节控制系统的性能指标tc(t)01单位阶跃响应曲线稳态误差ess系统期望值与实际输出的最终稳态值之间的差值。ess2．稳态性能指标

常用定义：第二节控制系统的性能指标tc(t)01单位阶跃响应曲线9第二节控制系统的性能指标1、动态指标只在阶跃输入下定义；注意：

2、动态指标常用上升时间、调节时间和超调量；tr和tp评价系统的相应速度，上升时间短，表明系统初始响应快；超调量评价阻尼程度；ts同时反应响应速度和阻尼程度，调整时间短，表明系统动态过程短，响应快；3、动态指标除在简单的一、二阶有解析式外，其他的情形很难有表达式；4、稳态指标一般在阶跃、斜坡、或加速度函数下测量或计算；第二节控制系统的性能指标1、动态指标只在阶跃输入下定义；10第三章时域分析法第三节一阶系统性能分析根据系统的输出响应求取系统的性能指标,从而分析系统的性能，是时域分析法分析系统性能的基本方法。一、一阶系统的数学模型二、一阶系统的时域响应及性能分析第三章时域分析法第三节一阶系统性能分析11一、一阶系统的数学模型—时间常数

1TS_R(s)E(s)C(s)一阶系统的动态结构图闭环传递函数为T1TS+1Ф(s)=C(s)R(s)=当控制系统的数学模型为一阶微分方程时,称其为一阶系统.第三节一阶系统的时域响应一、一阶系统的数学模型—时间常数1TS_R(s)E(s)C121．单位脉冲响应单位脉冲响应为:R(s)=1=1/TS+1/TC(s)=Ф(s)=TS+11c(t)=g(t)=e-t/TT1单位脉冲响应曲线c(t)t0T1第三节一阶系统的时域响应二、一阶系统时域响应及性能分析1．单位脉冲响应单位脉冲响应为:R(s)=1=1/TS+1/13第三节一阶系统的时域响应2．单位阶跃响应系统在单位阶跃信号作用下的输出响应.一阶系统单位阶跃响应:单位阶跃响应:1=S1S+1/T-1SC(s)=Ф(s)•1TS+1=1S•R(s)1=Sc(t)=1-e-t/T一阶系统没有超调，系统的动态性能指标为调节时间:ts=4Tts=3T(±2%)(±5%)第三节一阶系统的时域响应2．单位阶跃响应14一阶系统单位阶跃响应曲线c(t)t0T10.6322T0.863T0.954T0.98注意：时间常数T反应系统的速度第三节一阶系统的时域响应一阶系统单位阶跃响应曲线c(t)t0T10.6322T0153．单位斜坡响应R(s)1=S2c(t)=t-T+Te-t/TC(s)=Ф(s)•1S21TS+1=•1S2T=STS+1/T-1S2+单位斜坡响应为:单位斜坡响应曲线h(t)t0ess=T第三节一阶系统的时域响应3．单位斜坡响应R(s)1=S2c(t)=t-T+Te-t/16系统输入信号导数的输出响应，等于该输入信号输出响应的导数；根据一种典型信号的响应，就可推知于其它。根据一阶系统三种响应的输入输出信号:可知:c(t)=1-e-t/Tc(t)=t-T+Te-t/Tc(t)=e-t/TT1r(t)=1(t)r(t)=tr(t)=δ(t)第三节一阶系统的时域响应系统输入信号导数的输出响应，等于该输17注意：1、由一类典型信号的输入输出可推知相关信号的输入输出，线性系统都成立；3、一阶系统需化为标准形式则可直接使用ts=3T或ts=4T；2、以上一阶系统分析只针对前向通道为积分环节，对其他环节，分析结果则可能不同；4、一阶系统主要考虑调节时间ts和稳态误差ess；第三节一阶系统的时域响应注意：3、一阶系统需化为标准形式则可直接使用ts=3T或ts18例一阶系统的结构如图，试求系统的调节时间ts

（±5%）；如果要求

ts=0.1s，求反馈系数。

KkS_R(s)E(s)C(s)KH设Kk=100

KH=0.1解：系统闭环传递函数KkKH100/SФ(s)=C(s)R(s)=1+100•0.1/S10=0.1S+1得:t

s=3T=3×0.1=0.3s若要求:t

s=0.1s则:100/SФ(s)=C(s)R(s)=1+100•KH/S=(0.01/KH)S+11/KHT=0.01/KHKH=0.3t

s=3T=3×0.01/KH=0.1s第三节一阶系统的时域响应例一阶系统的结构如图，试求系统的KkS_R(s)E(19第三章时域分析法系统时域分析过程：1、数学模型的建立2、输入信号的响应3、性能指标的分析第三章时域分析法系统时域分析过程：1、数学模型的建立220第三章时域分析法第四节二阶系统性能分析一、二阶系统的数学模型二、二阶系统的单位阶跃响应五、改善二阶系统性能的措施三、二阶系统的性能指标四、带零点二阶系统的单位阶跃响应第三章时域分析法第四节二阶系统性能分析一、二阶系统的21

二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统的典型结构:ω2n

_R(s)C(s)S(S+2ωn)ξ—阻尼比—无阻尼自然振荡频率n2ωn2ωnζS2+2S+ωФ(s)=C(s)R(s)=ζωn一、二阶系统的数学模型第四节二阶系统的时域响应二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统的典型结构:22n2ωn2ωnζS2+2S+ω==S2+RS/L+1/LC1/LCG(s)=LCS2+RCS+11=Uc(s)Ur(s)例如：RLC电路的传递函数为得：二阶系统的参数与标准式的参数之间有着对应的关系。求出标准形式的动态性能指标与其参数间的关系，便可求得任何二阶系统的动态性能指标。nωζ2=R/Ln2=1/LCωωn=1/LCζ=RC2L第四节二阶系统的时域响应n2ωn2ωnζS2+2S+ω==S2+RS/L+23ζ值不同，单位阶跃响应的形式不相同。ωn2ωnζ(S2+2S+ωn2)SC(s)=Ф(s)R(s)=ωnωζS2+2S+n2=0ωnωζS1.2=-±n2-1

ζ二、二阶系统的单位阶跃响应第四节二阶系统的时域响应ζ值不同，单位阶跃响应的形式不相同。ωn2ωnζ(S2+2241.ζ

>1

过阻尼两个不相等的负实数根拉氏反变换ωnωζS1.2=-±n2-1

ζA1=SS-S1++A2A3S-S2C(s)=S(S-S1)(S-S2)ωnc(t)=A1+A2es1t+A3es2t系统输出随时间单调上升，无振荡和超调，输出响应最终趋于稳态值1。第四节二阶系统的时域响应1.ζ>1过阻尼两个不相等的负实数根拉氏反变换25过阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t01ζ

>1

第四节二阶系统的时域响应过阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t01ζ>1第四节262.ζ

=1

临界阻尼输出响应:两个相等的负实数根S1.2=-nωC(s)=ωn2ωn(S+)2S1=S1-ωnωn(S+)2ωnS+-nωc(t)=1-enω-t(1+t)输出响应无振荡和超调。ζ=1时系统的响应速度比ζ>1时快。第四节二阶系统的时域响应2.ζ=1临界阻尼输出响应:两个相等的负实数根S1.27临界阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t01ζ=1

第四节二阶系统的时域响应临界阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t01ζ=1第283.0<ζ<1欠阻尼ωnωζS1.2=-±n2-1

ζ两个复数根令：

ωd1-ζ2

ωn=—阻尼振荡频率ωnjωζS1.2=-±d则：单位阶跃响应：ωn2ωnζ(S2+2S+ωn2)SC(s)=ωn2ωnζ(S+S+ωd2)2=•1ωnζ(S+S+ωd2)2=+1nζ-(S+2

ω)ωnζ(S+S+ωd2)2=1nζS+ωωnζ(S++ωd2)2-nζω-dωdω拉氏反变换：ωdc(t)=1-sinωdte-ζωntcosωdt-ζωne-ζωnt[=1-sinωdt]e-ζωntcosωdt+ζ1-ζ21-ζ2系统参数间的关系:S1S2jωσ1-ζ2ωnωn1-ζ2-ωn-ζωnβ0COSβ=ζ1-ζ2Sinβ=1-ζ2β=tg-1ζ单位阶跃响应:c(t)=1-1-ζ2[sinβcosωdt+cosβsinωdt]e-ζωnt=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e-ζωnt第四节二阶系统的时域响应3.0<ζ<1欠阻尼ωnωζS1.2=29欠阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t01ζ<1

1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e-ζωnt注意：二阶欠阻尼系统单位阶跃响应为衰减振荡波形，因此存在超调；第四节二阶系统的时域响应欠阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t01ζ<11304.ζ=0无阻尼单位阶跃响应:单位阶跃响应曲线S1.2=±jnωC(s)=ωn2ωn(S2+2)SωnS2+21=SS-nωc(t)=1-costc(t)t01ζ=0

无阻尼系统单位阶跃响应为等幅振荡波形第四节二阶系统的时域响应4.ζ=0无阻尼单位阶跃响应:单位阶跃响31从以上结果可知:ζ值越大，系统的平稳性越好；ζ值越小，输出响应振荡越强。ζ=0时，系统不能正常工作。不同ζ值时系统的单位阶跃响应c(t)t01ζ=1

ζ<1

ζ>1

ζ=0

第四节二阶系统的时域响应从以上结果可知:ζ值越大，系统的平稳性越好；32C(s)S2+S+44R(s)=例3-3已知二阶系统的闭环传递函数,求系统的单位阶跃响应.解：2ζωn=1ωn2=4ωn=2ζ=0.25可知ζωn=0.5ωd=1.91-ζ2β=tg-1ζ=75o得：=1-1.03e-0.5tsim(1.9t+75o)将参数代入公式:c(t)=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e第四节二阶系统的时域响应C(s)S2+S+44R(s)=例3-3已知二阶系统的33欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线tc(t)01trtpσ%tsess主要性能指标有性能指标求取如下三、二阶系统的性能指标第四节二阶系统的时域响应欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线tc(t)01trtpσ%t341-ζ2Sin(ωdtr+β)=0e-ζωntrc(tr)=1-1-ζ2Sin(ωdtr+β)=1e-ζωntr1.上升时间tr即根据定义有Sin(ωdtr+β)=0ωdtr+β=0,π,2π…则tr=π-β

ωdπ-β1-ζ2

ωn=得:其中β=tg-11-ζ2ζ第四节二阶系统的时域响应1-ζ2Sin(ωdtr+β)=0e-ζωntrc(tr)=352.峰值时间tp1-ζ2πtp=ωdωn=π第四节二阶系统的时域响应2.峰值时间tp1-ζ2πtp=ωdωn=π第四节二363.超调量σ%

πtp=ωdc(t)=1-1-ζ2sin(ωdtp+β)e-ζωntpsin+β1-ζ2e1-ζ2-ζπ/=1-sin(π+β)1-ζ2e1-ζ2-ζπ/-ζ-ζ=1+将公式代入1-ζ2-ζπ/c(tp)=1+e100%=c(tp)-11σ%=c(tp)-c(∞)c(∞)100%1-ζ2-ζπ/=e100%注意：超调量只与阻尼系数相关第四节二阶系统的时域响应3.超调量σ%πtp=ωdc(t)=1-1-ζ2sin374.调节时间ts求取调节时间可用近似公式：(±5%误差带)(±2%误差带)当ζ大于上述值时，可用近似公式计算：ζts=3T=ωn3ζ<0.68ζts=4T=ωn4ζ<0.766.45ζ-1.7ts=ωn1第四节二阶系统的时域响应4.调节时间ts求取调节时间可用近似公式：(±5%误差385.振荡次数

N由系统的振荡周期为振荡次数为(±5%误差带)(±2%误差带)ξ<0.68ξ<0.765.振荡次数N由系统的振荡周期为振荡次数为(±5%误差396.稳态误差ess根据稳态误差的定义和终值定理有t→∞

ess=lime(t)=limSE(s)s→0

欠阻尼二阶系统的稳态误差:R(s)=1SG(s)H(s)=ωn2ωnζS(S+2)ess=limSR(s)1+G(s)H(s)s→0=0误差传递函数第四节二阶系统的时域响应6.稳态误差ess根据稳态误差的定义和终值定理有t→∞40由以上分析归纳出二阶系统性能分析要点：主要由ζ决定。综合考虑系统的平稳性和快速性，一般取ζ=0.707为最佳。即ζ太小或太大,快速性均变差.1）平稳性：ζ↑→σ%↓→平稳性越好,ζ=0时,系统等幅振荡,不能稳定工作.ζ一定时ωn↑→ωd↑,系统平稳性变差.2）快速性：由ζ和决定。ωnωn一定时,若ζ较小,则ζ↓→ts

↑,当ζ>0.707之后又有ζ↑→ts

↑,3）准确性：

ζ的增加和ωn的减小虽然对系统的平稳性有利，但使得系统跟踪斜坡信号的稳态误差增加。由ζ和ωn决定。第四节二阶系统的时域响应由以上分析归纳出二阶系统性能分析要点：主要由ζ决定。41例已知系统的闭环传递函数，当K=2,K=4时，求系统的单位阶跃响应和σ%,ts。Ф(s)=S2+3S+KK解：（1）K=2Ф(s)=S2+3S+22ωn=2ζ=1.06>1得C(s)=2S(S+1)(S+2)1=S2S+11S+2-+单位阶跃响应c(t)=1-2e-t+e-2t系统性能指标ts=3T1=3（2）K=4Ф(s)=S2+3S+44n=2ωζ=0.75<1c(t)=1-1-ζ2sin(ωdt+β)e-ζωnt=1-1.5e-1.5tsin(1.32t+41.4o)单位阶跃响应系统性能指标ts=nωζ4=2.67σ%=e1-ζ2-ζπ/100%=2.8%第四节二阶系统的时域响应例已知系统的闭环传递函数，当K=2,K=442系统的时域响应曲线c(t)t01第四节二阶系统的时域响应系统的时域响应曲线c(t)t01第四节二阶系统的时域响43系统的平稳性和快速性对系统结构和参数的要求往往是矛盾的,工程中通过在系统中增加一些合适的附加装置来改善二阶系统的性能。常用附加装置有比例微分环节和微分负反馈环节，通过附加的装置改变系统的结构,从而达到改善系统性能的目的.第三节二阶系统性能分析四、改善二阶系统性能的措施系统的平稳性和快速性对系统结构和参数的要求往44例3-3单位反馈控制系统要求：校核系统参数是否满足超调量的要求。解闭环传递函数求得在单位阶跃信号作用下系统性能指标：不满足要求闭环传递函数加入微分反馈为了满足由求得由求得不变

结论.：本例表明，加入微分反馈后，改善了系统的动态性能。在后续稳态误差分析的例题3-12中将看到，加入微分反馈控制后增大了稳态误差。

例3-3单位反馈控制系统要求：校核系统参数是否满45例3-4单位反馈控制系统

分析系统性能。

解：

闭环传递函数二阶欠阻尼系统，

由此得：

系统性能不好。若在系统中增加比例微分环节，其中τ=0.2开环传递函数:开环增益闭环传递函数:式中可知，加入比例微分控制后的系统是带闭环零点的二阶系统。固有频率不变阻尼比仍为欠阻尼。

加入比例微分控制后固有频率不变，系统的阻尼增大，单位阶跃响应的超调量下降，调整时间变短，所以系统的动态性能得到改善。

例3-4单位反馈控制系统解：闭环传递函数二阶欠阻46不同控制对二阶系统性能的改善a—二阶系统b—加比例微分c—加微分负反馈x0(t)t01不同控制对二阶系统性能的改善a—二阶系统b—加比例微分c473-5高阶系统的时域响应三阶及三阶以上的系统称为高阶系统。

高阶系统的传递函数表达式：

系统的特征方程：特征方程由n个特征根：设有n1个实数根，n2对共轭虚根则

系统传递函数可写成：

在单位阶跃信号的作用下，系统输出为：

按部分分式展开：

为待定系数

对拉氏逆变换，求得系统单位阶跃响应：3-5高阶系统的时域响应三阶及三阶以上的系统称为高阶系统48

由上对高阶系统的分析可知：

高阶系统的单位阶跃响应是由多个惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加而成。输出响应的稳态分量由输入信号和系统传递函数所决定。输出响应的瞬态分量形式取决于传递函数的极点，其衰减的快慢取决于各项所对应极点的负实部值。闭环极点必须全部位于ｓ左半平面系统才能稳定。

2.极点的实部越负，则相应的瞬态分量衰减越快；离虚轴很近的极点，其对应的瞬态分量衰减就很慢，它在总的瞬态分量中占据主导地位。如果系统中有离虚轴最近的极点，其它极点离虚轴的距离比该极点离虚轴的距离大5倍以上，且该极点附近没有零点，则称该极点为主导极点。系统的响应主要由该极点决定。

3.一对靠得很近的闭环零、极点（称为偶极子对）在系统动态响应中所占分量很小，可以忽略不计。

4.实际控制系统一般都是高阶的系统。在一定条件下，将高阶系统近似处理成一阶或二阶系统后再进行系统性能分析。如果不能用一阶或二阶系统近似，则采用主导极点的概念对系统进行近似分析，或用MATLAB软件进行高阶系统分析。由上对高阶系统的分析可知：高阶系统的单位阶跃响应是由多个49分析系统的稳定性并提出改善系统稳定的措施是自动控制理论的基本任务之一。一、系统稳定的充分与必要条件二、劳斯稳定判据三、结构不稳定系统的改进措施第三章时域分析法第六节控制系统的稳定性分析分析系统的稳定性并提出改善系统稳定的措施是自50第六节控制系统的稳定性分析一、系统稳定的充分与必要条件稳定性：

处于某平衡状态系统在扰动作用下偏离原来的平衡状态后，系统能否回到原来的平衡状态。第六节控制系统的稳定性分析一、系统稳定的充分与必要条件稳51系统输出拉氏变换：系统传递函数的一般表达式：Ф(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=C(s)R(s)b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bmn≥m(s)R(s)a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=C(s)=1b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bmФ۠SA0=SS-S1…+++A1AnS-Sn系统单位阶跃响应：c(t)=A0+A1es1t+…+Anesnt

稳定的系统其瞬态分量应均为零。

即：limesit→0t→∞系统稳定的充分与必要条件：系统所有特征根的实部小于零。第六节控制系统的稳定性分析系统输出拉氏变换：系统传递函数的一般表达式：Ф(s)=a0s52二、劳斯稳定判据根据稳定的充分与必要条件,求得特征方程的根,就可判定系统的稳定性.但对于高阶系统求解方程的根比较困难.劳斯稳定判据是根据闭环传递函数特征方程式的各项系数,经过代数运算来判别系统的稳定性。第六节控制系统的稳定性分析二、劳斯稳定判据根据稳定的充分与必要条件,求得特征53根据特征方程的各项系数排列成劳斯表：设系统的特征方程为a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0

a0a2a4…a1

a3a5…b42

sn-3

……………s0

sn

sn-1

sn-2

b31

b32

b33

b31=

a1a2

-a0a3

a1

b41

b32=

a1a4

-a0a5

a1

b41=

b31a3

-b32a1

b31

b42=

b31a5

-b33a1

b31

b43

……

bn+1

第六节控制系统的稳定性分析根据特征方程的各项系数排列成劳斯表：设系统的特征方程为a54若特征方程式的各项系数都大于零，且劳斯表中第一列元素均为正值，则系统是稳定的。否则，系统为不稳定，且第一列元素符号改变的次数等于该特征方程的正实部根的个数。劳斯稳定判据：第六节控制系统的稳定性分析若特征方程式的各项系数都大于零，且劳斯表中第55例3-7系统如图所示，试确定系统稳定放大倍数K的取值范围。KS(0.1S+1)(0.25S+1)_R(s)C(s)解：首先求出系统的闭环传递函数Ф(s)=S(0.1S+1)(0.25S+1)+KK特征方程:S3+14S2+40S+40K=0劳斯表:

140s3

s2

1440Ks1

b31

b31=

14*40

-1*40K

14

>0s0

b41

40K

系统稳定的条件:560-40K>040K>014>K>0第六节控制系统的稳定性分析例3-7系统如图所示，试确定系统稳定放KS(0.1S+156如果劳斯表中某行的第一个元素为零，表示系统中系统不稳定.而该行中其余各元素不等于零，此时，可用一个接近于零的很小的正数ε来代替零，完成劳斯表的排列。第六节控制系统的稳定性分析劳斯判据的特殊情况如果劳斯表中某行的第一个元素为零，表示系统中57例已知系统的特征方程，试判断系统的稳定性。劳斯表为:系统有一对纯虚根系统不稳定S3+2S2+S+2=0解：

11s3

s2

22s1

b31

b31=0

(ε)

εs0

b41

2

通过因式分解验证:S3+2S2+S+2=(S+2)(S2+1)=0S1=-2S2.3=±j第六节控制系统的稳定性分析例已知系统的特征方程，试判断系劳斯表为:系统有一对纯58例已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定方程的根在S平面上的分布。解：S3-3S+2=0方程中的系数有负值，系统不稳定。劳斯表为:

1-3s3

s2

02s1

b31

b31=

-∞s0

b41

2

ε-3ε-2εε→0

b31→-∞

通过因式分解验证:S3-3S+2=(S-1)2(S+2)=0S1.2=1S3=-2第六节控制系统的稳定性分析例已知系统的特征方程,试用劳斯判据解：S359如果劳斯表中某一行的元素全为零，表示系统中含有绝对值相同但符号相异的特征根,系统不稳定.此时,应以上一行的元素为系数，构成一辅助多项式，该多项式求导后，所得多项式的系数即可用来取代全零行。同时由辅助方程可以求得这些根.第六节控制系统的稳定性分析如果劳斯表中某一行的元素全为零，表示系统中含60例已知控制系统的特征方程,试判断系统的稳定性由为零上一行的元素组成辅助多项式：S6+2S5+8S4+12S3+20S2+16S+16=0解：劳斯表为:

182016s6

s5

21216s4

2

s3

0

1612P(s)=2S4+12S2+16dP(s)dS=8S3+24S代入0824s2

1668/3s1

s0

16劳斯表中某行同乘以某正数，不影响系统稳定性的判断。系统有虚根,不稳定第六节控制系统的稳定性分析例已知控制系统的特征方程,试判断由为零上一行61第七节控制系统的稳态误差分析一、给定信号作用下的稳态误差二、扰动信号作用下的稳态误差第三章时域分析法第七节控制系统的稳态误差分析一、给定信号作用下的稳态62第七节控制系统的稳态误差分析系统误差：一、给定信号作用下的稳态误差及误差系数控制系统的典型结构B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)_e(t)=r(t)-b(t)期望值与实际值的差值。稳态误差：进入稳态后的误差值。ess=lime(t)t→∞设D(s)=0R(s)作用时Er(s)=R(s)1+G1(s)G2(s)H(s)=R(s)1+G(s)H(s)根据终值定理得:essr=limer(t)=lims·Er(s)t→∞s→0R(s)1+G(s)H(s)s→0=lims·系统给定信号作用下的稳态误差不仅与系统的输入有关，还与系统的结构有关。第七节控制系统的稳态误差分析系统误差：一、给定信号作用下63系统输入的一般表达式为:N系统开环传递函数的一般表达式:R(s)=ASNmkΠ(τiS+1)i=1SυΠ(TjS+1)n-υj=1G(s)H(s)=n≥m—输入信号的阶次υ—积分环节个数K—开环增益Tjτi时间常数系统的稳态误差可表示为：essr=limS·ASNkSυ1+s→0对应于υ为0，1，2的系统，分别称为0型、I型和II型系统。第七节控制系统的稳态误差分析系统输入的一般N系统开环传递函数R(s)=ASNmkΠ(τi641．静态位置误差系数Kp设定义静态位置误差系数:r(t)=R01(t)R(s)=R0/Sessr=limS·1+G(s)H(s)s→0R0/SKp=limG(s)H(s)s→0KSυs→0=lim1+limG(s)H(s)s→0R0=mkΠ(τiS+1)i=1SυΠ(TjS+1)n-υj=1G(s)H(s)=essr=R01+Kpυ=0kp=kR01+Kpessr=可得：kp=∞

essr=0υ≥1第七节控制系统的稳态误差分析1．静态位置误差系数Kp设定义静态位置误差系数:r(t)=R65不同型别系统的阶跃响应曲线(a)(b)第七节控制系统的稳态误差分析r(t)t0c(t)ν=0r(t)c(t)r(t)t0c(t)r(t)c(t)ν≥1不同型别系统的阶跃响应曲线(a)(b)第七节控制系统的662．静态速度误差系数Kυ设定义静态速度误差系数:r(t)=υ0tR(s)=υ0/S2essr=limS·1+G(s)H(s)υ0/S2s→0Kυ=limSG(s)H(s)s→0limSG(s)H(s)υ0s→0=KSυ-1s→0=limmkΠ(τiS+1)i=1SυΠ(TjS+1)n-υj=1G(s)H(s)=essr=υ0Kυυ=0kυ=0可得：

essr=∞υ=1kυ=Kessr=υ0Kυ≥

2kυ=∞

essr=0第七节控制系统的稳态误差分析2．静态速度误差系数Kυ设定义静态速度误差系数:r(t)=υ67不同型别时系统的斜坡响应曲线:(a)第七节控制系统的稳态误差分析r(t)t0c(t)r(t)c(t)ν=0r(t)t0c(t)(b)r(t)c(t)ν=1r(t)t0c(t)(c)r(t)c(t)ν≥2不同型别时系统的斜坡响应曲线:(a)第七节控制系统的稳态683．静态加速度误差系数Ka设定义静态加速度误差系数essr=limS·1+G(s)H(s)a0/S3s→0r(t)=a0t2

12R(s)=a0/S3Ka=limS2G(s)H(s)s→0limS2G(s)H(s)a0s→0=KSυ-2s→0=limmkΠ(τiS+1)i=1SυΠ(TjS+1)n-υj=1G(s)H(s)=essr=a0Kaυ≤1ka=0可得：

essr=∞essr=

a0

Kυ=2ka=K

υ≥

3kυ=∞

essr=0第七节控制系统的稳态误差分析3．静态加速度误差系数Ka设定义静态加速度误差系数essr=69抛物线输入信号作用下的响应曲线第七节控制系统的稳态误差分析(a)r(t)t0c(t)r(t)c(t)ν≤1(b)r(t)t0c(t)r(t)c(t)ν=2抛物线输入信号作用下的响应曲线第七节控制系统的稳态误差分70在不同输入时不同类型系统中的稳态偏差系统的开环0型系统Ⅰ型系统Ⅱ型系统系统的输入单位阶跃输入单位恒速输入单位恒加速输入000∞∞∞K1K1K+11在不同输入时不同类型系统中的稳态偏差系统的0型系统Ⅰ型系统Ⅱ71例已知系统的结构如图所示。求系统的稳态误差。0.5_100S(S+10）R(s)C(s)解：G(s)H(s)=100×0.5S(S+10)系统的开环传递函数为+R(s)=S1S21s→0Kp=limG(s)H(s)=lims→0S(0.1S+1)5=∞

ess1=0R(s)=S1R(s)=S21S(0.1S+1)5

=s→0Kυ=limSG(s)H(s)=limSs→0S(0.1S+1)5=5

ess2=1/5essr=ess1+ess2=0.2第七节控制系统的稳态误差分析例已知系统的结构如图所示。求系统0.5_172+D(s)G1(s)G2(s)-H(s)E(s)二、扰动信号作用下的稳态误差D(s)作用下的系统结构图Ed(s)=·D(s)-G2(s)H(s)1+G1(s)G2(s)H(s)R(s)=0essd=limS-G2(s)H(s)D(s)1+G1(s)G2(s)H(s)s→0第七节控制系统的稳态误差分析+D(s)G1(s)G2(s)-H(s)E(s)二、扰动信号73例已知系统的传递函数，求系统的稳态误差。s(3s+1)5G2(s)=H(s)=2G1(s)=s+510G1(s)G2(s)H(s)=50×2S(S+5)(3S+1)r(t)=2td(t)=0.51(t)解：系统的开环传递函数为s(0.2s+1)(3s+1)20=R(s)=s22=0.1Kυ222K20essr=

==D(s)=0.5/sessd=limS-G2(s)H(s)D(s)1+G1(s)G2(s)H(s)s→0ess=essr+essd=0.1-0.25=-0.15S(0.2S+1)(3S+1)S(3S+1)1+205×2S0.5s→0=limS

-·

=-0.25第七节控制系统的稳态误差分析例已知系统的传递函数，求系统的稳态s(3s+1)5G274第一节典型输入信号为了准确地描述系统的稳定性、准确性和快速性三方面的性能，定义若干个反映稳、准、快三方面性能的指标。第三章时域分析法第一节典型输入信号为了准确地描述系统的稳751．阶跃信号数学表达式：拉氏变换：当R0=1时，称为单位阶跃函数:1(t)r(t)t0R0阶跃信号r(t)=0t<0R0t≥0R(s)=SR0第一节典型输入信号1．阶跃信号数学表达式：拉氏变换：76

2．斜坡信号

数学表达式：拉氏变换：斜坡信号当υ0=1时，称为单位斜坡函数。r(t)t01υ0r(t)=0t<0υ0tt≥0R(s)=S2υ0第一节典型输入信号2．斜坡信号数学表达式：拉氏变换：斜坡信号当υ77抛物线信号

3．抛物线信号

数学表达式：拉氏变换：当a0=1时，称为单位抛物线函数。r(t)t0a0/21R(s)=S3a0t2a012r(t)=0t<0t≥0第一节典型输入信号抛物线信号3．抛物线信号数学表达式：拉氏变换：78εHε4.脉冲信号数学表达式：

脉冲信号r(t)t0r(t)t0理想脉冲信号r(t)=0ε<t<0Hε0≤t≤ε单位理想脉冲函数：H=1ε→0δ(t)=limδε(t)=ε→00t≠0∞t=0拉氏变换：R(s)=1理想脉冲函数特点：∫δ(t)dt=1-∞+∞第一节典型输入信号εHε4.脉冲信号数学表达式：脉冲信号r(t)t0r(795．正弦信号数学表达式：拉氏变换：r(t)=0t<0Asinωtt≥0R(s)=AωS2+ω2t0r(t)第一节典型输入信号5．正弦信号数学表达式：拉氏变换：r(t)=0t<0Asin80系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标。第二节控制系统的性能指标1．动态性能指标

典型二阶系统的单位阶跃响应曲线为:动态性能指标是根据二阶欠阻尼控制系统在典型的单位阶跃的响应定义的.第二节控制系统的性能指标系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标81第二节控制系统的性能指标tc(t)01(1)上升时间tr

输出响应从零开始第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间：单位阶跃响应曲线tr(2)峰值时间tptp峰值时间：系统输出响应由零开始，第一次到达峰值所需时间。σ%(3)超调量σ%超调量：输出响应超出稳态值的最大偏离量占稳态值的百分比。σ%=c(tp)-c(∞)c(∞)100%(4)调节时间ts系统输出响应达到并保持在稳态值的±5%（或±2%）误差范围内，所需时间。ts（5）振荡次数N在调整时间内，系统输出量穿越稳态值次数的一半.

第二节控制系统的性能指标tc(t)01(1)上升时间tr82第二节控制系统的性能指标tc(t)01单位阶跃响应曲线稳态误差ess系统期望值与实际输出的最终稳态值之间的差值。ess2．稳态性能指标

常用定义：第二节控制系统的性能指标tc(t)01单位阶跃响应曲线83第二节控制系统的性能指标1、动态指标只在阶跃输入下定义；注意：

2、动态指标常用上升时间、调节时间和超调量；tr和tp评价系统的相应速度，上升时间短，表明系统初始响应快；超调量评价阻尼程度；ts同时反应响应速度和阻尼程度，调整时间短，表明系统动态过程短，响应快；3、动态指标除在简单的一、二阶有解析式外，其他的情形很难有表达式；4、稳态指标一般在阶跃、斜坡、或加速度函数下测量或计算；第二节控制系统的性能指标1、动态指标只在阶跃输入下定义；84第三章时域分析法第三节一阶系统性能分析根据系统的输出响应求取系统的性能指标,从而分析系统的性能，是时域分析法分析系统性能的基本方法。一、一阶系统的数学模型二、一阶系统的时域响应及性能分析第三章时域分析法第三节一阶系统性能分析85一、一阶系统的数学模型—时间常数

1TS_R(s)E(s)C(s)一阶系统的动态结构图闭环传递函数为T1TS+1Ф(s)=C(s)R(s)=当控制系统的数学模型为一阶微分方程时,称其为一阶系统.第三节一阶系统的时域响应一、一阶系统的数学模型—时间常数1TS_R(s)E(s)C861．单位脉冲响应单位脉冲响应为:R(s)=1=1/TS+1/TC(s)=Ф(s)=TS+11c(t)=g(t)=e-t/TT1单位脉冲响应曲线c(t)t0T1第三节一阶系统的时域响应二、一阶系统时域响应及性能分析1．单位脉冲响应单位脉冲响应为:R(s)=1=1/TS+1/87第三节一阶系统的时域响应2．单位阶跃响应系统在单位阶跃信号作用下的输出响应.一阶系统单位阶跃响应:单位阶跃响应:1=S1S+1/T-1SC(s)=Ф(s)•1TS+1=1S•R(s)1=Sc(t)=1-e-t/T一阶系统没有超调，系统的动态性能指标为调节时间:ts=4Tts=3T(±2%)(±5%)第三节一阶系统的时域响应2．单位阶跃响应88一阶系统单位阶跃响应曲线c(t)t0T10.6322T0.863T0.954T0.98注意：时间常数T反应系统的速度第三节一阶系统的时域响应一阶系统单位阶跃响应曲线c(t)t0T10.6322T0893．单位斜坡响应R(s)1=S2c(t)=t-T+Te-t/TC(s)=Ф(s)•1S21TS+1=•1S2T=STS+1/T-1S2+单位斜坡响应为:单位斜坡响应曲线h(t)t0ess=T第三节一阶系统的时域响应3．单位斜坡响应R(s)1=S2c(t)=t-T+Te-t/90系统输入信号导数的输出响应，等于该输入信号输出响应的导数；根据一种典型信号的响应，就可推知于其它。根据一阶系统三种响应的输入输出信号:可知:c(t)=1-e-t/Tc(t)=t-T+Te-t/Tc(t)=e-t/TT1r(t)=1(t)r(t)=tr(t)=δ(t)第三节一阶系统的时域响应系统输入信号导数的输出响应，等于该输91注意：1、由一类典型信号的输入输出可推知相关信号的输入输出，线性系统都成立；3、一阶系统需化为标准形式则可直接使用ts=3T或ts=4T；2、以上一阶系统分析只针对前向通道为积分环节，对其他环节，分析结果则可能不同；4、一阶系统主要考虑调节时间ts和稳态误差ess；第三节一阶系统的时域响应注意：3、一阶系统需化为标准形式则可直接使用ts=3T或ts92例一阶系统的结构如图，试求系统的调节时间ts

（±5%）；如果要求

ts=0.1s，求反馈系数。

KkS_R(s)E(s)C(s)KH设Kk=100

KH=0.1解：系统闭环传递函数KkKH100/SФ(s)=C(s)R(s)=1+100•0.1/S10=0.1S+1得:t

s=3T=3×0.1=0.3s若要求:t

s=0.1s则:100/SФ(s)=C(s)R(s)=1+100•KH/S=(0.01/KH)S+11/KHT=0.01/KHKH=0.3t

s=3T=3×0.01/KH=0.1s第三节一阶系统的时域响应例一阶系统的结构如图，试求系统的KkS_R(s)E(93第三章时域分析法系统时域分析过程：1、数学模型的建立2、输入信号的响应3、性能指标的分析第三章时域分析法系统时域分析过程：1、数学模型的建立294第三章时域分析法第四节二阶系统性能分析一、二阶系统的数学模型二、二阶系统的单位阶跃响应五、改善二阶系统性能的措施三、二阶系统的性能指标四、带零点二阶系统的单位阶跃响应第三章时域分析法第四节二阶系统性能分析一、二阶系统的95

二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统的典型结构:ω2n

_R(s)C(s)S(S+2ωn)ξ—阻尼比—无阻尼自然振荡频率n2ωn2ωnζS2+2S+ωФ(s)=C(s)R(s)=ζωn一、二阶系统的数学模型第四节二阶系统的时域响应二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统的典型结构:96n2ωn2ωnζS2+2S+ω==S2+RS/L+1/LC1/LCG(s)=LCS2+RCS+11=Uc(s)Ur(s)例如：RLC电路的传递函数为得：二阶系统的参数与标准式的参数之间有着对应的关系。求出标准形式的动态性能指标与其参数间的关系，便可求得任何二阶系统的动态性能指标。nωζ2=R/Ln2=1/LCωωn=1/LCζ=RC2L第四节二阶系统的时域响应n2ωn2ωnζS2+2S+ω==S2+RS/L+97ζ值不同，单位阶跃响应的形式不相同。ωn2ωnζ(S2+2S+ωn2)SC(s)=Ф(s)R(s)=ωnωζS2+2S+n2=0ωnωζS1.2=-±n2-1

ζ二、二阶系统的单位阶跃响应第四节二阶系统的时域响应ζ值不同，单位阶跃响应的形式不相同。ωn2ωnζ(S2+2981.ζ

>1

过阻尼两个不相等的负实数根拉氏反变换ωnωζS1.2=-±n2-1

ζA1=SS-S1++A2A3S-S2C(s)=S(S-S1)(S-S2)ωnc(t)=A1+A2es1t+A3es2t系统输出随时间单调上升，无振荡和超调，输出响应最终趋于稳态值1。第四节二阶系统的时域响应1.ζ>1过阻尼两个不相等的负实数根拉氏反变换99过阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t01ζ

>1

第四节二阶系统的时域响应过阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t01ζ>1第四节1002.ζ

=1

临界阻尼输出响应:两个相等的负实数根S1.2=-nωC(s)=ωn2ωn(S+)2S1=S1-ωnωn(S+)2ωnS+-nωc(t)=1-enω-t(1+t)输出响应无振荡和超调。ζ=1时系统的响应速度比ζ>1时快。第四节二阶系统的时域响应2.ζ=1临界阻尼输出响应:两个相等的负实数根S1.101临界阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t01ζ=1

第四节二阶系统的时域响应临界阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t01ζ=1第1023.0<ζ<1欠阻尼ωnωζS1.2=-±n2-1

ζ两个复数根令：

ωd1-ζ2

ωn=—阻尼振荡频率ωnjωζS1.2=-±d则：单位阶跃响应：ωn2ωnζ(S2+2S+ωn2)SC(s)=ωn2ωnζ(S+S+ωd2)2=•1ωnζ(S+S+ωd2)2=+1nζ-(S+2

ω)ωnζ(S+S+ωd2)2=1nζS+ωωnζ(S++ωd2)2-nζω-dωdω拉氏反变换：ωdc(t)=1-sinωdte-ζωntcosωdt-ζωne-ζωnt[=1-sinωdt]e-ζωntcosωdt+ζ1-ζ21-ζ2系统参数间的关系:S1S2jωσ1-ζ2ωnωn1-ζ2-ωn-ζωnβ0COSβ=ζ1-ζ2Sinβ=1-ζ2β=tg-1ζ单位阶跃响应:c(t)=1-1-ζ2[sinβcosωdt+cosβsinωdt]e-ζωnt=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e-ζωnt第四节二阶系统的时域响应3.0<ζ<1欠阻尼ωnωζS1.2=103欠阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t01ζ<1

1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e-ζωnt注意：二阶欠阻尼系统单位阶跃响应为衰减振荡波形，因此存在超调；第四节二阶系统的时域响应欠阻尼系统单位阶跃响应曲线c(t)t01ζ<111044.ζ=0无阻尼单位阶跃响应:单位阶跃响应曲线S1.2=±jnωC(s)=ωn2ωn(S2+2)SωnS2+21=SS-nωc(t)=1-costc(t)t01ζ=0

无阻尼系统单位阶跃响应为等幅振荡波形第四节二阶系统的时域响应4.ζ=0无阻尼单位阶跃响应:单位阶跃响105从以上结果可知:ζ值越大，系统的平稳性越好；ζ值越小，输出响应振荡越强。ζ=0时，系统不能正常工作。不同ζ值时系统的单位阶跃响应c(t)t01ζ=1

ζ<1

ζ>1

ζ=0

第四节二阶系统的时域响应从以上结果可知:ζ值越大，系统的平稳性越好；106C(s)S2+S+44R(s)=例3-3已知二阶系统的闭环传递函数,求系统的单位阶跃响应.解：2ζωn=1ωn2=4ωn=2ζ=0.25可知ζωn=0.5ωd=1.91-ζ2β=tg-1ζ=75o得：=1-1.03e-0.5tsim(1.9t+75o)将参数代入公式:c(t)=1-1-ζ2Sin(ωdt+β)e第四节二阶系统的时域响应C(s)S2+S+44R(s)=例3-3已知二阶系统的107欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线tc(t)01trtpσ%tsess主要性能指标有性能指标求取如下三、二阶系统的性能指标第四节二阶系统的时域响应欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线tc(t)01trtpσ%t1081-ζ2Sin(ωdtr+β)=0e-ζωntrc(tr)=1-1-ζ2Sin(ωdtr+β)=1e-ζωntr1.上升时间tr即根据定义有Sin(ωdtr+β)=0ωdtr+β=0,π,2π…则tr=π-β

ωdπ-β1-ζ2

ωn=得:其中β=tg-11-ζ2ζ第四节二阶系统的时域响应1-ζ2Sin(ωdtr+β)=0e-ζωntrc(tr)=1092.峰值时间tp1-ζ2πtp=ωdωn=π第四节二阶系统的时域响应2.峰值时间tp1-ζ2πtp=ωdωn=π第四节二1103.超调量σ%

πtp=ωdc(t)=1-1-ζ2sin(ωdtp+β)e-ζωntpsin+β1-ζ2e1-ζ2-ζπ/=1-sin(π+β)1-ζ2e1-ζ2-ζπ/-ζ-ζ=1+将公式代入1-ζ2-ζπ/c(tp)=1+e100%=c(tp)-11σ%=c(tp)-c(∞)c(∞)100%1-ζ2-ζπ/=e100%注意：超调量只与阻尼系数相关第四节二阶系统的时域响应3.超调量σ%πtp=ωdc(t)=1-1-ζ2sin1114.调节时间ts求取调节时间可用近似公式：(±5%误差带)(±2%误差带)当ζ大于上述值时，可用近似公式计算：ζts=3T=ωn3ζ<0.68ζts=4T=ωn4ζ<0.766.45ζ-1.7ts=ωn1第四节二阶系统的时域响应4.调节时间ts求取调节时间可用近似公式：(±5%误差1125.振荡次数

N由系统的振荡周期为振荡次数为(±5%误差带)(±2%误差带)ξ<0.68ξ<0.765.振荡次数N由系统的振荡周期为振荡次数为(±5%误差1136.稳态误差ess根据稳态误差的定义和终值定理有t→∞

ess=lime(t)=limSE(s)s→0

欠阻尼二阶系统的稳态误差:R(s)=1SG(s)H(s)=ωn2ωnζS(S+2)ess=limSR(s)1+G(s)H(s)s→0=0误差传递函数第四节二阶系统的时域响应6.稳态误