近似计算在数学分析中的应用毕业

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近似计算在数学分析中的应用

：石结军指导老师：张玮玮

摘要近似计算是一个比较特别的解决问题的方法，它是解决数学中繁杂繁琐问题的重要工具，

是获得结果且影响微小的有力工具.在数学分析中，这种方法的运用尤为突出，如在定积分中的应用、微分中的应用、函数幂级数的应用等，其中函数幂级数中的应用主要表达在泰勒展开式中的应用.本文主要研究在数学分析中用具体实例来说明对这种方法的运用.

关键词近似计算数学分析微分函数幂级数定积分

1引言

近似计算是一种对计算结果影响不大,但能大大简化计算的过程,被广泛用于各个领域.在数学分析中,本文从在微分中、在定积分中、在求方程的解以及函数幂级数中的应用出发,然后分别简单介绍这几方面的一些有关内容及有关概念,并且针对近似计算在这些方面的应用列举出实例来加以解释说明这种方法的实用性,并且说明其与确切结果之间产生的误差.

2近似计算在数学分析中的应用1.1在微分中的应用

在科学和工程问题中遇到的数值问题往往很繁杂,在大量状况下都不可能求出数值解的确切值,另一方面，在大量实际问题中,并不需要解的确切值,而仅仅需要获得解在若干点上的近似值即可.微分在近似计算中有好多应用,这里介绍微分在近似计算方面的一些应用.

1.2.1函数的近似计算

由增量与微分关系

y?f?(x0)x?o(x)?dy?o(x)

当

x很小时，有y?dy，由此即得

f(x0??x)?f?x0??f??x0??x（8）

或当x?x0时有

f?x??f?x0??f??x0??x?x0?.（9）

注意到在点x0,f?x0?的切线方程即为

??y?f?x0??f??x0??x?x0?

（9）式的几何意义就是当x充分接近x0时,可用切线近似替代曲线（“以直代曲〞）.常用这种线性近似的思想来对繁杂问题进行简化处理.

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设f?x?分别是sinx，tanx，ln?1?x?，和ex，令x0?0，则由（9）式可得这些函数在原点附近的近似公式：

sinx?x；tanx?x；

ln?1?x??x；ex?1?x.

一般地，为求得f?x?的近似值,可找一邻近于x的点x0,只要f?x0?和f??x0?易于计算,由（9）式可求得f?x?的近似值.

例1求sin33的近似值.

00?解由于sin33si?n6???x0?,?x?cos，因此取f?x??sinx，，由（9）

660660??式得到

sin330?sin?6?cos??660

?013???0.5452260（sin33的真值为0.544639...）.

例2设摆钟的周期为1秒,在冬季摆长至多缩短0.01cm,试问此钟每天至少快几秒?解设摆钟的周期T与摆长L的关系为

T?2?lg其中g式重力加速度.已知钟摆周期为1秒,故此摆原长为

l0?g(2?)2

当摆长最多缩短0.01cm时,摆长增量?l??0.01,它引起单摆周期的增量

dT?T?dl?l?l?l0?g12?2?l??l

gl02?2?(?0.01)??0.0002(秒）980这就是,加快约0.0002秒,因此每天大约加快

60?60?24?0.0002=17.28（秒）.

1.2.2误差估计

由于测量仪器的精度,测量的条件和测量的方法等各种因素的影响,测得的数据往往带有

误差,而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差,我们把它叫做间接测量误差.

定义假使某个量的确切值为A,它的近似值为a,则??a叫做a的绝对误差.

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而绝对误差与a的比值

??aa叫做a的相对误差.

问题在实际工作中,绝对误差与相对误差如何求得？

设量x是由测量得到,量y由函数y?f(x)经过计算得到.在测量时,由于存在测量误差，实际测量得到的知识x的某一个近似值x0,因此由x0算得的y0?f(x0)也只是y?f(x)的一个近似值.若已知测量值x0的误差限为?x（它与测量工具的精度有关）,寻常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差.即

?x?x?x0??x

则当?x很小时，

?y?f(x)?f(x0)?f'(x0)?x?f'(x0)?x?10?

而相对误差限制为

?xf'(x0)??xy0f(x0）?11?

例3设测得一球体的直径为42cm测量工具的精度为0.05cm.试求以此直径计算球体体

积时所引起的误差.

解由直径d计算球体体积的函数式为

1V??d3

6取d0?42,?d?0.05，求得

1V0??d03?38792.39?cm3?，

6并由?10?、?11?两式得体积的绝对误差限和相对误差限分别为

?V=?d02?d?12?24220.05?138.54?cm3?

12?d0?V23??d??d?3.57000V01?d3d006例4设测得圆钢截面直径D?60.03mm,测量D的绝对误差限?D?0.05mm.利用公式

A??4D2,计算圆钢的截面面积时,试估计面积误差.

解我们把测量D时所产生的误差当做D的增量?D,则利用公式A?

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?4D2计算A时

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所产生的误差就是函数A的对应增量?A,当?D很小时,可以利用dA近似的代替增量?A,即

?A?dA?A??D??2D?D.

由于D的绝对误差限?D?0.05mm.?D??D?0.05,

?A?dA?因此得出A的绝对误差限为

?2D?D??2D?D，

?A?A的相对误差限约为

?2D?D??2?60.03?0.05?4.715?mm2?;

?AA??2D?DD2?4?2?DD?2?0.05?0.1700.60.03综合所述,通过用绝对误差来刻画一个近似值的确切程度是有局限性的,在好多场合中它是无法显示出近似值的确切程度.如测量100m和10m两个长度,若它们的绝对误差都是1cm,显然前者测量结果比后者的确切.由此可见，决定一个量的近似值的确切度，除了要看绝对误差的大小外,还要考虑该量本身的大小,即相对误差.在微分中，大量解决实际问题时需要用到近似计算来替代那些较为繁杂繁琐的过程，以至于更好的解决问题.

1.2定积分的近似计算

利用牛顿-莱布尼茨公式虽然可以确切地计算定积分的值,但它仅适用于被积函数的原函数能够求得的情形.假使这点办不到或者不简单办到，这就要考虑近似计算的方法。在定积分的好多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式（只是一条试验记录曲线，或者是一组离散的采样值），这时只能采用近似方法去计算相应的定积分.

其实，根据定积分的定义,每一个积分和都可看做是定积分的一个近似值,例如

nnb?af(x)dx??f(xi)?xi(或?f(xi?1)?xi)

i?1i?1在几何意义上,这时用一系列小矩形面积来近似小曲边梯形面积的结果.所以把这个近似

算法称为矩形法.不过，只有当积分区间被分割的很细很细时，矩形法才有一定的确切度.假使在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似替代被积函数,那么可以在期望获得比矩形法效果好得多的近似计算公式.下面的梯形法和抛物线法就是这一想法的产物.

1.3.1梯形法

将积分区间?a,b?作n等分，分点依次为

a?x0?x1?x2?????xn?b,?xi?相应的被积函数值记为

b?a，ny0,y1,y2,???,yn(yi?f(xi),i?0,1,2???n)

并记曲线y?f(x)上相应的点为

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P0,P1,P2,???,Pn(Pi(xi,yi),i?0,1,2???n)

将曲线上每一段弧Pi?1Pi用弦Pi?1Pi来替代，这使得每个小区间?xi?1,xi?,上的曲边梯形换成了真正的梯形，其面积为

yi?1?yi?xi,i?0,1,2???n2于是，各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值,即

ny?yb?af(x)dx??i?12i?xi,

i?1亦即

bynb?ay0f(x)dx?(?y?y?????y?)12n?1?an22称此近似式为定积分的梯形法公式.

例5用梯形法近似计算

2?0sinxdx（将积分区间十等分）.x解将?1,2?区间10等分,则

yi?则由公式有

1

1?0.1i?20dx2?1?111?????x10?21.11.11?11????0.693771.92?例6用梯形法计算下面定积分（取n?100）,并计算相对误差

I??f,?x?解a?0,b?1,n?100?dx

01?x2?1?21?x

h?1100?0.01,xi?i?h,yi?f?xi?

dx?y0?h?y1??01?x2??21?yn?1?yn??2??0.78539399673078

0.78539399673078?相对误差：

?4?5.305?10?6

?41.3.2抛物线法

将积分区间?a,b?作2n等分，分点依次为

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x0?a?x1?对应函数值为

?xi?a?b?ai?2n?x2n?b,?x?b?a,2ny0,y1,曲线上相应点为

,y2n?yi?f?xi?,i?0,1,,P2n?P,i??xi,yi?mi?0,1,2n?,,2n?,

P0,P1,现把区间?x0,x2?上的曲线段y?f?x?用通过三点P0?x0,y0?,P1?x1,y1?,P2?x2,y2?的抛物线

y??x2??x???p1?x?

来近似代替,然后求函数p1?x?从x0到x2的定积分

x2x2?3?23P(x)dx?(?x??x??)dx?(x?x)?(x2?x02)??(x2?x0)20?x01?x032x?x022??(?x??x??)?(?x?2023??x2??)?2?(x0?x2)?4???6x?x2由于x1?0，代入上式整理后得

2x2x2?x0?P(x)dx?(?x02??x0??)?(?x22??x2??)?4(?x1??x1??)??x01??6x?x0b?a(y0?4y1?y2)?(y0?4y1?y2)?266n同样也有

x4b?aP(x)dx?(y2?4y3?y4)?x26n??

x2nb?aP(x)dx?(y2n?2?4y2n?1?y2n)?x2n?2n6n将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值:

nxnb?ab2n?af(x)dx???x2n?2Pi(x)dx??6n(y2i?2?4y2i?1?y2i)

i?1i?1即

bb?af(x)dx??y0?y2n?4(y1?y3?????y2n?1)?2(y2?y4????y2n?2)??a6n这就是抛物线法公式,也称为辛卜生（Simpson）公式．

对于例6用抛物线法解有

dx1??y0?y10?4?y1?y3??01?x230?1?y9??2?y2?y4??y8????0.7856982

用确凿值

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dx??arctg1??0.78539816?01?x241

与上述近似值比较,梯形法的结果有三位有效数字是确凿的,抛物线法的结果则有六位有效数字是确凿的,由此可见,在解决定积分中一些相对繁杂的问题时可采用近似计算这种方法来求解问题,能大大简化计算过程并且误差较小.而近似计算这种方法,抛物线法明显优于梯形法.

1.3方程的近似解

在实际应用中，往往求方程

f?x??0

的解,而方程求解的方法主要有两种:解析法和数值法.解析法得到结果是确切的,然而并不是所有的方程的根都能通过这种方法而求得.形如

y?anxn?an?1xn?1??a0?0?an?0?

的代数方程，当n?5时,一般不存在求解公式.因此对于一般方程，我们需要寻求其他的解法.如牛顿切线法:

设f为?a,b?上的二阶可导函数,满足

f??x?f???x??0,f?a?f?b??0.

牛顿切线法的基本思想是构造一收敛点列?xn?,使其极限lim??恰好是方程的解.因此

n??当n充分大时，xn可作为?的近似值.下面分四种情形进行探讨.?1?设f??x??0,f???x??0.从而有f?a??0,f?b??0,并设f????0.

x0?a,xn?xn?1?f?xn?1?,n?1,2,f??xn?1?.?2?

由于f???x??0，所以f为?a,b?上的严格凸函数，由定理有

f?x??f?a??f??a??x?a?,x??a,b?.?3?

设x?a,则y?f?x?在点a的切线与x轴的交点为

f?a?f?x0?x1?a??x0?.

f??a?f??x0?由?3?式可知f?x1??0.

以?x1,b?代替?a,b?重复上述步骤可将y?f?x?在点x1的切线与x轴交点为

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x2?x1?其中f?x2??0,a?x0?x1?x2???b.

f?x1?f??x1?如此继续上述过程可得如?2?式确定的点列?xn?,显然?xn?严格递增且有上界，故可设

limxn?c.由于f和f?连续，对?2?式取极限,得

n??f?c?c?c?.

f??c?因而有由f严格单调，可知方程的解唯一，从而c??.最终估计以xn作为?的近似值的误差,由中值定理

f?xn??f?xn????f?????xn???,xn????,

因而

xn???记m?minf?xn??f???x??a,b??f??x??,则

xn???f?xn?m.

同样地有

?2?f??x??0,f???x??0,这时又有f?a??0,f?b??0;?3?f??x,f?a??0,f?b??0;??0,f????x?0这时又有?4?f??x,f?a??0,f?b??0.??0,f????x?0这时又有

32例5用牛顿切线法求方程x?2x?4x?7?0的近似解,使误差不超过0.01.

解设

f?x??x3?2x2?4x?7求得导数

f??x??3x2?4x?4??3x?2??x?2?

f???x??6x?4.

简单检验x??2为极大值点,x?2为微小值点，并且38

?2?f????0.又由于limf?x????,

x????3?

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x???limf?x????,所以方程f?x??0有且只有一个根.

又由于f?3???10?0，f?4??9?0,因而方程的根???3,?4由.于在?3,?4上

f??x?,f???x??0,则有

x1?4?f?4?9?4??3.68.?f?4?28以x1代替?的误差：f??x?在?3,4?上的最小值为m?11，而f?x1??f差估计公式?4?得

1.03?3.68??，由误

x1???而

f?x1?m?1.03,111.03?0.01，因此尚不符合要求.11再在点B?x1,f?x1?作切线，求得

??x2?x1?由于f?x2???0.042，此时

f?x1?1.03?3.68??3.63。

f??x1?21.9x2???f?x2?m?0.042?0.01,11因此取??3.63已能达到所要求的确切度.

由上述例题能充分说明在解决不能直接用公式求方程根的时候，可以用求其近似值的方法来处理此类问题.

1.4函数幂级数中近似计算的应用

幂级数是无穷级数的一种，是函数进行数值近似计算的有力工具，由于这类级数各项都是简单的幂函数，因此，在工程技术中常用幂级数进行一些函数值的近似计算。在数学教学中如能引导学生进行这方面的摸索对培养学生的研究能力和创新能力十分有利.

sinx，cosx，lnx，?1?x?我们知道，大量初等函数如e，

x????Z,??0?，arcsinx，

arctanx，在一定区间上都可进行幂级数展开，进行近似计算，通过控制取幂级数项数的多少

来达到我们需要的确切度.

接下来，我们通过?的近似计算来研究函数幂级数中进行近似计算的方法.

?可用arctanx的幂级数展开式取x?

3近似计算，也可用arcsinx的幂级数展开式取x?139

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近似计算,用前者来计算有

x2arctanx?x??3???1?2n?1x2n?1?2n?1,

2n?111?1?3?得?x???1,1?,取x?????3633?3?上式两边同时乘以6可得

3???1?2n?11?1??2n?1??3?n?,

?1?1???23?1?????3?3????1???1????2n?1?3?2n?1????n?1?1?括号内是一个交织级数,又由Sn?23?1?????3?3????1???1????2n?1?3?2n?1??近似代替?，则??1?1?产生的误差绝对值有:Rn?23??2n?3?3?11n?1.

1?1?易计算R10?23???0.000001，就是说，用S10表示?的近似值，其误差小于

23?3?0.000001,经计算??3.14159,这里3?1.17320508.

有些函数幂级数展开限制了自变量的取值范围,为了使其适用近似计算的范围更广，要进行一些转换.如lnx利用幂级数近似计算，由于

x2x3ln?1?x??x???23???1?n?1xn?n??1?x?1??1?

只能算出0与2间（不含0）的对数，我们以此为基础推导一个较为适用的公式，用?x代替x，则有

x2x3ln?1?x???x???23由?1???2?得

xn??n??1?x?1??2?

?1?xx3x5ln?2?x???1?x35?设

x2k?1??2k?1????1?x?1??3??1?x11?x1?p?1?,p?0，这样可以得到：ln?ln?ln?1?p??lnp1?xp1?xp?1?等式?3?变换有:ln?1?p??lnp?2??2p?1?1?1????2k?1?2p?1?2k?1???p?0?4???由公式?4?知，只要知道lnp的值或近似值就可以算出ln?1?p?的近似值.若用

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?11?1?3ln2?2??????33?3??1?1????9?3?9????作为ln2的近似值，其误差小于0.0000012，经计算得到ln2?0.69315，由ln2和公式?4?即可计算ln3的值，以此下去则可得到ln4,ln5的值.

1.5.2繁杂函数的幂级数展开方法

在工程技术中，一些繁杂函数的近似计算无法通过查表得到，把这类函数转换成幂级数展开往往使近似计算便利、确切.下面通过几个实例来具体说明.

2例1求lg1?x的幂级数展开式.

??解由于lg1?x?2??ln?1?x2?ln10n?1,

x2ln?1?x??x??2???1?2xn?n将其中的x换成x后两边同时除以ln10得

21?2x4x6lg?1?x???x???ln10?23???1?n?1x2n?n???由此可见，只要对所学的幂级数能灵活运用，就会得到想要展开的幂级数形式，进而就会算出其对应的近似值.把握这种方法会给解决问题带来很大便利.

1.5.3泰勒展开在近似计算上的应用

n定理6.8若函数f在点x0存在直至n阶导数，则有f(x)?Tn(x)??((x?x0))，即

f''(x0)f''(x0)2f(x)?f(x0)?f(x?x0)?(x?x0)?????(x?x0)n??((x?x0)n).此公式