线性代数试题附标准答案

枣庄学院线性代数习题和答案一、单项选择题（本大题共

一个是符合题目要求的,1.设行列式a11a21a12a22二mA.m+nB.C.n-m-(m+n)D.m-n2.设矩阵A=00,则3./A.C.<1303.设矩阵B.0127D.0020第一部分选择题（共28分）14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有请将其代码填在题后的括号内O错选或未选均无分。IS恁润属彩瘗睐a13a11a23 a21=n,则行列式A-1等于()a11a21a12+a13a22+a23-1,A*是A的伴随矩阵，则A中位于（1,2）的元素是（）4,A.-6B.6C.2D.t2.设A是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC,则必有（）A.A=0B.BHC时A=0C.AC0时B=CD.|A|。0时B=C.已知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）A.1B.2C.3D.46.设两个向量组a1,

A.有不全为0的数入

沟熠金富^爱建谴净。B.有不全为0的数残鸯楼静铸瀚湃淑®I。C.有不全为0的数r钢极镇桧猪^锥。D.有不全为0的数入2,入2,"s和31, 32,…,3s均线性相关，则（）入s使入1“1+入2a2+…+入s"s=0和入131+入232+…入s3s=0•,入s使入1(a1+31)♦,Xs使入1(a1-31)•,入s和不全为0的数+入2(“2+^2)+…+入s(as+Bs)=0(as-3s)=01+入2a2+…+Xsas=0和（il3l+（i232+3+（is3s=0弹贸摄尔霁毙攘砖卤尻。.设矩阵A的秩为r,则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为0.设Ax=b是一非齐次线性方程组， 刀i,刀2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.刀i+刀2是Ax=0的一个解B.-刀i+1刀2是Ax=b的一个解2 2C.刀1-刀2是Ax=0的一个解D.2rl1-刀2是Ax=b的一个解.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩（A）＜nB.秩（A尸n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解.设A是一个n（＞3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数入和向量a使Aa=Xa,则a是A的属于特征值入的特征向量如存在数入和非零向量a,使（入E-A）a=0,则入是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如入1,入2,入3是A的3个互不相同的特征值， “1,a2,"3依次是A的属于入1,入2,入3的特征向量，则"1,a2,"3有可能线性相关养拎箧忘类蒋蔷。11.设入0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于入°的线性无关的特征向量的个数为 k,则必有（）kw3B.k<3C.k=3D.k>3.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=AT D.A的行（列）向量组是正交单位向量组.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC则（）A.A与B相似A与B不等价A与B有相同的特征值A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）2A.33 &4)1b.34C.10[002-30-35/2A.33 &4)1b.34C.10[002-30-35/D.102,二、填空题（本大题共第二部分非选择题（共72分）10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。 厦礴恳蹒骈畤翥继^骚。1 1 1.35 692536.设A=门B=J23)则A+2B=-24.设A=(aij)3x3, |A|=2,Aj表示|A|中’素询的代数余J式(i,j=1,2,3)(anA21+a12A22+a13A23)+(a21A21+a22A22+a23A23)+(a31A21+a32A22+a33A23)=.茕桢广鲫献选块网踊泪.设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,a)线性相关，则a=.，则.设A是3X4矩阵，其秩为3,若刀1,刀2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.鹅娅尽揖偶惨屣茏.设A是mXn矩阵，A的秩为r(<n),则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为..设向量a、3的长度依次为2数为..设向量a、3的长度依次为2和3,.设3阶矩阵A的行列式|A|二8,已知I0.设矩阵A=1；-210106之，已知8」则向量a+3与a-3的内积(a+3,a-3)二.A有2个特征值-1和4,则另一特征值为.<2，1是它的一个特征向量，则)a所对应的特征值为.24.设实二次型f(X1,X2,X3,X4,X5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为.、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分).设A=3-1.试计算行列式0、计算题(本大题共7小题，每小题6分，共42分).设A=3-1.试计算行列式0013-521B=1-23-140.求(1)ABT；⑵|4A|.’4.设矩阵A=111

0—5-13132-4-1二30,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28.给定向量组a28.给定向量组a1=<1[

与214)(0]-1419」试判断a429.设矩阵A=试判断a429.设矩阵A=是否为<1-22<3।a-24-131，-1203220623a3的线性组合；若是，则求出组合系数。2,-6.J求：(1)秩(A)；(2)A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵A=’030.设矩阵A=’0-2\2-2424的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使丁1AT=D.「3.试用配方法化下列二次型为标准形2 2 2f(X1,X2,X3)=X1+2X2-3x3+4X1X2-4X1X3-4X2X3,并写出所用的满秩线性变换。四、证明题(本大题共2小题，每小题5分，共10分).设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2.设刀0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，E1,E2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明(1)刀1=刀0+21,刀2二刀0+E2均是Ax=b的解；

（2）Y]0,Y]1,Y）2线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）6，3 37）匕与77418.19.18.19.20.21.22.2-刀1））,c为任意常数r]1+C(r]2-r]12-刀1））,c为任意常数n-r-5-21- 2 2 2 2Z1- 2 2 2 2Z1Z2Z3-Z4三、计算题(本大题共117小题,解(1)ABT=3每小题6分，共42分）22.4V18=V18=181*10，61010J10J(2)|4A|=43A|=64|A|,而|A|二3-1--2.所以14A|=64•(-2)=-1283.526.解211|A|二3-1--2.所以14A|=64•(-2)=-1283.526.解21110-5-13132-41S5

-110

巧110-5-13131-1005-11-511-51-105-6-512-5-6-52-5=30-10=40.27.解27.解AB=A+2B即(A-2E)B=A,而(A-2E)-12-12(A-2E)-12-12-4-56-3-34130、032、10-1——上10-102240112<34-191©13112/「3 -8-6"2-9-6L-212 9j28.解一所以B=(所以B=(A-2E)-1A=1L1-4-5623%1023,「1035「1035、01120011p000」TOC\o"1-5"\h\z0 1 1 20 0 8 800—14—14/,1 0 0 2、0 10 10 0 11\0 0 0 0/1)所以a4=2a1+a2+a3,组合系数为(2,1,1)解二考虑54=x151+x2a2+x3a3)—2x1+x2+3x3=0即解二考虑54=x151+x2a2+x3a3)—2x1+x2+3x3=0即F1-3x2=T2x22x3=43x14x2-x3=9.方.组有唯一解(2,29.解对矩阵A施行初等行变换1,1)组合系数为2,1,1).1000-2039-10260683-2300(1)秩(B)-1200=3，086-212-2-222''与-2711000所以秩(A)=秩-2300(B)-1200=3.08302-10」=B.(2)由于A(2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B的列向量组的一个最大线性无关组，故个最大线性无关组。为丛妈翅为瞻债蛭练浮B是阶梯形，B的第1、2、4列是的第1、2、4列是A的列向量组的一(A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是)30.解A的属于特征值入=1的2个线性无关的特征向量为

E1=(2,-1,0)T,E2=(2,0,1)T

,'275/5”1275/15"刀1=々,'275/5”1275/15"刀1=々5/5,刀2=475/15<0，芳/3,经正交标准化，得「1/3、3=2/3E3=2,经单位化得Y]'2V5/5所求正交矩阵为T=-75/5<0■彳0 0'对角矢I阵D=010K00-8」2石5/151/3”475/15 2/3552石5/151/3”475/15 2/355/3 -2/3,/5/5-475/151/32/3.)-2/3j31.解f(X1,X2,X3)=(X1+2X2-2x3)2-2X22+4X2X3-7X32=(X1+2X2-2X3)-2(X2-X3)-5X31/32/3.)-2/3jy1=X1+2x2-2x3设'V2= X2-X3,J3= X34-2因其系数矩阵C=01\004x1=y1-2y2即5X2=y2+y3 ,X3= y3、01可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f(X1,X2,X3)的标准形y12-2y22-5y32.四、证明题(本大题共2小题，每小题5分，共10分).证由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,所以E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2..证由假设Ar]0=b