《综合法和分析法》(上课用)课件

2.2直接证明与间接证明2.2直接证明与间接证明1演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.复习演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论2合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明。数学中证明的方法有哪些呢？合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明。数学中证明的方法有哪3例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2

≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a24１.综合法——由因导果

从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.(又称顺推证法)探索求知注：用P表示已知条件,已有的定义,定理,公理等.Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:PQ1QnQQ2Q3Q1Q2…１.综合法——由因导果从命题的条件出发，利用定义、公理、5练习：求证：证明：因为所以左式=log195+2log193+3log192=log19(5×32×23)=log19360.因为log19360<log19361=2，所以练习：求证：证明：因为所以左式=log195+2log6证为数为数证证为数为数证7证为数为数证证为数为数证8探索求知例：求证不等式：.注：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的条件。证明：要证即证故不等式成立.只需证只需证探索求知例：求证不等式：.注：从求证的结论出发，逐步寻求使结92.分析法探索求知

从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知,定理,定义,公理等).这种证明的方法叫做分析法.（又称倒推证法）——执果索因

注：用Q表示所要证明的结论,则分析法可用框图表示为:得到一个明显成立的条件QP1P1P2P2P3…2.分析法探索求知从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分10证法1:对于正数a,b,有证法2:要证只要证只要证只要证因为最后一个不等式成立，故结论成立。综合法分析法表达简洁!目的性强,易于探索!证法1:对于正数a,b,有证法2:要证只要证只要证只要证因11【分析法】从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件。要证：只要证：只需证：显然成立上述各步均可逆所以结论成立要证：所以结论成立格式【分析法】从结论出发，寻找结论成立的充分条件要证12解:要证只需证展开,只需证只需证21<25因为21<25成立,所以成立.解:要证只需证展开,只需证只需证21<25因为21<2513例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．分析：把题中的文字语言转化为符号语言：

A+C=2B

⑴，

b2=ac

⑵由（1）联想到内角各能得到什么？由（2）联想到三角形什么知识？余弦定理，二者联系起来能得到什么结论例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、14证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C①

由①②，得②③由于，a，b，c成等比数列，有④由余弦定理及③，可得再由④，得因此，a=c从而有A=C由②③⑤，得证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C①15证:例：证:例：16《综合法和分析法》(上课用)课件17上述过程可用框图表示:上述过程可用框图表示:18直接证明(回顾小结)分析法

解题方向比较明确，利于寻找解题思路；

综合法

条理清晰，易于表述。通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程分析法综合法概念直接证明(回顾小结)分析法解题方向比较明确，通常以分析法19《综合法和分析法》(上课用)课件20直接证明（综合法和分析法）都是直接证明证法1综合法：由因导果，形式简洁，易于表述；相同不同

证法2分析法：执果索因，利于思考，易于探路直接证明（综合法和分析法）都是直接证明证法1综合法：由因导果21【巩固练习】【巩固练习】222.2直接证明与间接证明2.2直接证明与间接证明23演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.复习演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论24合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明。数学中证明的方法有哪些呢？合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明。数学中证明的方法有哪25例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2

≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。例:已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a226１.综合法——由因导果

从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.(又称顺推证法)探索求知注：用P表示已知条件,已有的定义,定理,公理等.Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:PQ1QnQQ2Q3Q1Q2…１.综合法——由因导果从命题的条件出发，利用定义、公理、27练习：求证：证明：因为所以左式=log195+2log193+3log192=log19(5×32×23)=log19360.因为log19360<log19361=2，所以练习：求证：证明：因为所以左式=log195+2log28证为数为数证证为数为数证29证为数为数证证为数为数证30探索求知例：求证不等式：.注：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的条件。证明：要证即证故不等式成立.只需证只需证探索求知例：求证不等式：.注：从求证的结论出发，逐步寻求使结312.分析法探索求知

从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知,定理,定义,公理等).这种证明的方法叫做分析法.（又称倒推证法）——执果索因

注：用Q表示所要证明的结论,则分析法可用框图表示为:得到一个明显成立的条件QP1P1P2P2P3…2.分析法探索求知从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分32证法1:对于正数a,b,有证法2:要证只要证只要证只要证因为最后一个不等式成立，故结论成立。综合法分析法表达简洁!目的性强,易于探索!证法1:对于正数a,b,有证法2:要证只要证只要证只要证因33【分析法】从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件。要证：只要证：只需证：显然成立上述各步均可逆所以结论成立要证：所以结论成立格式【分析法】从结论出发，寻找结论成立的充分条件要证34解:要证只需证展开,只需证只需证21<25因为21<25成立,所以成立.解:要证只需证展开,只需证只需证21<25因为21<2535例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．分析：把题中的文字语言转化为符号语言：

A+C=2B

⑴，

b2=ac

⑵由（1）联想到内角各能得到什么？由（2）联想到三角形什么知识？余弦定理，二者联系起来能得到什么结论例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、36证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C①

由①②，得②③由于，a，b，c成等比数列，有④由余弦定理及③，可得再由④，得因此，a=c从而有A=C由②③⑤，得证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C①37证:例：证:例：38《综合法和分析法》(上课用)课件39上述过程可用框图表示:上述过程可用框图表示:40直接证明(回顾小结)分析法

解题方向比较明确，利于寻找解题思路；

综合法