一元二次方程教学

一元二次方程教学这是一元二次方程教学，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。一元二次方程教学第1篇一、内容和内容解析（一）内容一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式.（二）内容解析一元二次方程是方程在一元一次方程基础上“次”的推广，同时它是解决诸多实际问题的需要，为勾股定理、相似等知识提供运算工具，是二次函数的基础.针对一系列实际问题，建立方程，引导学生观察这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念及一般形式.在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，得出一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法;一般形式ax2+bx+c=0也是对具体方程从“元”(未知数的个数)、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果;a≠0的条件是确保满足“二次”的要求，从另一个侧面为理解一元二次方程的概念提供了契机.二、目标和目标解析（一）教学目标1.体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型，初步理解一元二次方程的概念;2.了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化成一般形式.（二）目标解析1.通过建立一元方程解决相关的实际问题，让学生体会到未知数相乘导致方程的次数升高，继而产生一元二次方程.学生能举例说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性;2.将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念.学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件.三、教学问题诊断分析一元二次方程是学生学习的第四个方程知识，首先在初一学习了一元一次方程，接着扩展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程组的学习，初二分式的教学，使得对实际问题的刻画从整式推广到有理式，分式方程得以出现，到一元二次方程第一次实现“次”的提升.学生必然存在着疑问，为什么有些背景列得的方程是二次的呢?教学中要直面学生的疑问，显化学生的疑问，启发学生自己解释疑问，才能避免“灌输”，体现知识存在的必要性，增强学好的信念.培养建模思想，进一步提升数学符号语言的应用能力，让学生自己概括出一元二次方程的概念，得出一般形式，对初三学生是必须的，也是适可的.本课的教学重点应该放在形成一元二次方程概念的过程上，不能草草给出方程的概念就反复辨析练习，在概念的理解上要下功夫.本课的教学难点是一元二次方程的概念.四、教学过程设计（一）创设情境，引入新知教师展示教科书本章的章前图，请同学们阅读章前问题，并回答：问题1．这个方程属于我们学过的某一类方程吗?师生活动:学生整理已经学过的方程类型，复习方程的概念，元与次的概念，观察新方程，分析此方程的元与次，尝试为新方程命名.【设计意图】使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识.问题2．这样的方程在其他实际问题中是否还存在呢?你能再想出一个例子吗?师生活动:学生思考二次项产生的原因，从熟悉的实际背景中，很有可能从矩形的面积出发，设计情境.【设计意图】让学生从“接受式”的学习方式中走出来，走向对一元二次方程产生的根源的探求，在编制情境的过程中，他们将加深对一元二次方程概念的理解.部分学生能够独立解决问题，自己编制情境并列出方程，部分学生可以根据同学给出的情境去列方程，或者阅读课本上的实际问题.（二）拓宽情境，概括概念给出课本问题1、问题2的两个实际问题，设未知数，建立方程.问题1如图21.1-1，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形?个队参赛，则每个队要与其他____个队各赛一场，全部比赛共有___场.由此，我们可以列出方程______________，化简得________________.问题3．这些方程是几元几次方程?师生活动:学生将实际问题中的语言转化成数学的符号语言，体会运算关系，寻找等量关系，学习建模.将列得的方程化简整理，判断出方程的次数.【设计意图】在建模的'过程中不仅加强学生的数学思维能力，而且对二次项产生的根源将更加明晰，加深对一元二次方程的理解.让学生回答方程的元与次，一是让他们体会统一成一般形式的必要性，为概念的形成做铺垫，分解教学的难点;二是让他们明确教学的主线，从被动学习走向主动学习.问题4．这些方程是什么方程?师生活动:观察本课得出的一些方程，思考它们的共性，同学们尝试给出一元二次方程的定义，并且概括出一元二次方程的一般形式.1.一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是是二次项，a是二次项系数;开发学生认识的资源，激发学生从不同角度、不同形式去深入理解同一概念，让不同的学生在此过程中获得不同的收获，实现分层教学分层指导的效果.问题6．下列方程哪些是一元二次方程?例1.下列方程哪些是一元二次方程?(1);(3);(5).答案(2)(5)(6).师生活动:用概念指导辨析，方程(3)与(4)同学们可能会产生争议，(3)帮助学生明确一元二次方程是整式方程，(4)体会化为一般形式的必要性，对a≠0条件加深认识.【设计意图】补足学生所举正反例的缺漏，追问：有二次项的一元方程就是一元二次方程吗?帮助学生进一步巩固概念，深化对一元、二次的认识.问题7．指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数.例2.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：(1)师生活动:(1)将方程，移项，合并同类项得：，二次项系数是3;一次项是，常数项是，过程略.例3.关于x的方程时此方程为一元二次方程;时此方程为一元一次方程.【设计意图】在形式比较复杂的方程面前，通过辨析方程的元、次、项看清方程的本质，深化理解，淡化对一元二次方程概念的记忆.（四）巩固概念，学以致用教科书第4页：练习【设计意图】巩固性练习，同时检验一元二次方程概念的掌握情况.（五）归纳小结，反思提高请学生总结今天这节课所学内容，通过对比之前所学其它方程，谈对一元二次方程概念的认识，反思学习过程中的典型错误.（六）布置作业：教科书习题21.1复习巩固：第1，2，3题.五、目标检测设计1.下列方程哪些是关于x的一元二次方程(1);(3).【设计意图】考查对一元二次方程概念的理解.2.关于是一元二次方程，则().A.C.【设计意图】考查的一元二次方程一元二次方程教学第2篇本章内容分析本章主要介绍了一元二次方程及有关概念,一元二次方程的解法,运用一元二次方程分析和解决实际问题.其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容.方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备.数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固.课时安排:17.1一元二次方程2课时17.2降次9课时17.3实际问题与一元二次方程4课时小结2课时单元内容分析17.1一元二次方程本单元分两课时,以实际问题为背景,引出一元二次方程的概念,归纳出一元二次方程的一般形式,给出一元二次方程根的概念,并提出一元二次方程的根是两个,通常几次方程就有几个根.⒈德育目标:引导学生在一次方程、方程组学习的基础上,联系函数的基本知识,进一步观察和探索现实世界中的数量关系及其变化规律.教学目标:通过实际问题了解一元二次方程的定义及一般形式；会将一个整式方程化为一元二次方程的一般形式,并能指出二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项.教学重点:一元二次方程及有关概念的理解.教学难点:准确的化为一元二次方程的一般式.⒉学法点拨:u一元二次方程的定义,书中以未知数的个数和次数为标准,用文字叙述形式给出的.u理解一元二次方程的定义关键注意三点:整式、一个未知数、最高次数为2.u对一元二次方程理解时,一定注意“a≠0”这一条件.u把一个方程化为一般形式时应用了解一元一次方程的变形方法:去分母---去括号---移项---合并同类项.u注意:①当a是负值时,一般转化为正数；②多给出b=0或c=0或b、c同时为0的例子.如:x2=0,x2-1=0,2x2-x=0.u会用“带入检验”的方法判断简单的一元二次方程得根.⒊易错点:1)判断方程是否为一元二次方程时,忽略二次项系数不为“0”.如:下列关于x的方程中,是一元二次方程的有--------①ax2+bx+c=0②x2+3／x-5=0③2x2-x-3=0④x2-2+x3=02)注意本单元在学习概念时,注意联系实际,加深对概念的理解与应用,避免就概念理解概念.如:已知关于x的方程（m-n）x2+mx+n=0,(m≠0),你认为:①当m和n满足什么关系时,该方程为一元二次方程？②当m和n满足什么关系时,该方程为一元一次方程？3)没有化成一般形式,混淆a、b、c.17.2降次———解一元二次方程直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法是一元二次方的基本解法,解二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程——降次.本单元首先通过简单的一元二次方程,引导学生认识直接开平方法解方程；然后讨论比较复杂的一元二次方程,通过对比已变为完全平方式的方程,使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法；以配方法为基础推导一元二次方程的求根公式,于是得到公式法.最后讨论因式分解法.本节知识学习时,注意对相关知识的复习、联系,多鼓励学生应用不同的解法发表自己的意见,体会数学思想方法的作用,逐步养成主动探究和应用的习惯.1.德育目标:联系一元一次方程的解法,经理对一元二次方程各种解法的探索、归纳,理解和掌握解一元二次方程的基本思想,体会比较和转化的数学思想.教学目标:理解和掌握一元二次方程的四种解法:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.本单元重点:一元二次方程的解法.本单元难点:选择合适的解法.2.课时安排:本单元是本章的重点,书中安排是6课时,可以适当的增加课时或利用加课时间,我在本次分析时按9课时分析的.（1）直接开平方法（1课时）:初一已学过平方根和算术平方根,学生见过此类型,当时只是求值,没有提到过一元二次方程,现在变成他的正规解法.教学时,计划由浅入深的安排一下类型题:①x2=a(a＞0)②bx2=a(a、b同号,b≠0)③（x-b）2=a(a＞0)④m(x-b)2=a(a、m同号,m≠0)⑤m(nx-b)2=a(a、m同号,m、n≠0)（2）配方法（3课时）:配方法在数学中成为一种很重要的数学变形,它隐含了创造条件实现化归的思想,这种思想对培养学生的数学能力影响很大.在教学中,对配方法和划归思想应充分重视,引导学生理解这种方法的道理,结合道理去记忆配方的具体步骤.配方不仅是解一元二次方程的一种基本解法,而且初三学习二次函数等其他数学概念时也会用到,所以在这里应重点讲解.第一课时:安排a=1的情况,主要掌握配方的方法:方程两边加一次项系数一半的平方.注意:如x2-4x-1=0中,一次项系数为负数时易出错.第二课时:安排a≠1的情况,总结出配方法的步骤:①方程两边除以二次项系数,把方程化为二次项系数为1的类型；②方程两边加一次项系数一半的平方,配成完全平方式；③直接开平方；④写出结果.第三课时:增加练习,由配方法引出求根公式.（3）公式法（2课时）推导求根公式时,特别给出条件“当b2-4ac≥0时”.教学中应当使学生认识到这一条件是根据（x+b/2a）2非负而产生的,如果b2-4ac＜0,就有（x+b/2a）2＜0.这在实数范围是不可能的.因此,这里要约定b2-4ac≥0.得出求根公式后,可知方程ax2+bx+c=0(a≠0)根是由系数a、b、c所确定的.教科书中没有提出判别式的名称,但在公式法之后进行了归纳,总结了b2-4ac值的三种情况和他们对应的一元二次方程根的三种情况:①有两个不等的实数根；②有两个相等的实数根；①②合称为由实数根,③没有实数根,但不能说没有根,这时方程的根是虚根.教学时总结出公式法解题的一般步骤:①化为一般式；②指出a、b、c,带符号；③写出求根公式；④代入求解.（4）因式分解法（即十字相乘法2课时）第一课时,主要练二次项系数为1的类型:x2+px+q=0.第二课时,练习二次项系数不为1的类型:ax2+bx+c=0.（5）习题课（1课时）选择适当的方法解一元二次方程.3.学法点拨:l公式法、配方法是对于任何一元二次方程都适用的方法,每个学生必须掌握,但解题时应先考虑因式分解法,但当方程符合ax2=c(a、c同号,a≠0)时,可用直接开平方法解方程.l解一元二次方程时,要根据方程实际,灵活选择适当的方法.l对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时,可用公式法,一定要注意b2-4ac的取值问题.l配方法要先配方再降次；“配方法”不仅应用在一元二次方程中,注意配方这种方法在其他方面的应用.l因式分解法要先使方程的一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式为0.配方法和公式法适用于所有的一元二次方程,因式分解法应用时要观察方程的特点,灵活选择方法.4.易错点（1）因式分解法没注意方程没有写成a*b=0形式.如,解方程（x-1）(x-3)=8,误解为x1=1,x2=3.(2)用公式法解方程时,没有化为一般式,造成符号错误或混淆a、b、c.如,解方程x2-4x=2,误认为a=1,b=—4,c=2.(3)丢根.如,解方程3(x+2)=x2+2x,两边同时除以(x+2),得x=3.17.3实际问题与一元二次方程结合实际问题,分别讨论传播问题、增长率问题、几何图形面积问题、匀变速运动问题.本节的重点是分析实际问题中的数量关系并以方程的形式进行表示.体现了数学建模思想的“螺旋式上升,不断深化”的理念.1.德育目标:通过列一元二次方程解决实际问题,是学生精历“从实践问题中抽象出数学模型,并回到实际问题中揭示和检验”的过程,从而进一步提高分析文题、解决问题的能力,增强学数学、用数学的意识.教学时,计划一个类型安排一课时,共4课时.本单元重点:进一步反映一元二次方程与实际问题的密切联系,再次体现数学建模思想,加强培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力.本单元难点:正确建立一元二次方程.突破难点的关键:弄清问题背景,把有关数量关系分析透彻,特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系.2.学法点拨:l列一元二次方程解应用题的一般步骤为:审、设、列、解、验、答.具体过程:（1）审题,找等量关系；-------关键（2）设未知数；-------注意单位（3）列方程；（4）解方程；（5）检验；-------注意是否符合实际意义（6）写出答案；（7）答话.l增长率问题常用公式a(1±x)2=b,a为原数,b为增长或降低后的数（即现在的数）,x为增长率或降低率,2表示两次增长或降低.3.易错点①审题不清,误解题意,不能正确地找出等量关系；②解方程后未经检验就盲目作答.③检查方程两根是否符合实际意义,尤其当两根都是正数的情况.如教材p114:探究3问题中,方程两根都是正数,但他们并不都适合问题的解.必须根据它们的值的大小来确定哪个合乎实际.这种取舍更多的要考虑问题的实际意义,教学中应注意培养学生将数学知识与实际问题相结合的能力.一元二次方程教学第3篇共1课时21.1一元二次方程初中数学人教2011课标版1教学目标2学情分析3重点难点4教学过程4.1第一学时教学活动活动1【讲授】一元二次方程教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为_______尺，根据题意，得________．整理、化简，得：__________．问题（2）如图，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．整理得：_________．问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18移项，得：4x2-26x+22=0其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1移项，合并得：2x2+2x-4=0其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．三、巩固练习教材P27练习1、2四、应用拓展例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．六、布置作业1．教材P28习题22．11、2．2．选用作业设计．作业设计一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6B．2，-3，18C．2，-3，6D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1B．p>0C．p≠0D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？2．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？3．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，是这样做的：设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：21.1一元二次方程课时设计课堂实录21.1一元二次方程1第一学时教学活动活动1【讲授】一元二次方程教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？如果假设门的高为x尺，那么，这个门的宽为_______尺，根据题意，得________．整理、化简，得：__________．问题（2）如图，如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．整理得：_________．问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18移项，得：4x2-26x+22=0其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；