《高等数学》讨论题与练习题

第一章函数、极限、连续第一次讨论题及练习题对任给的，，使得当时，不等式成立；对于无穷多个，存在，当时，恒有成立；若与是两个发散系列，它们的和与积是否发散？为什么？若其中一下列计算方法是否正确？为什么？(1) ；(2)设，若，因为，两边取极限得，从而必有，故。(1)若，则；(2)若，则(3)若，则； (4)若，则；(5)若，则；(6)若对任何实数，，则用定义证明下列极限(1) ； (2)若有界，，则。证明：任何实数都是某个有理数列的极限。单调有界收敛准则中，若“数列单调增减)调增(减是否收敛？若收敛，试求其极限值。课外作业：1．完成上述讨论题中尚未讨论的题；2．习题1.3，(A)．2．(5)；10．(1)(3)；11．(4)(B)．4．(3)，(4)；6；8；3∵ ，()∴ ，从而第二次讨论题及练习题写出下列极限的定义(1) (2) 时，用语言给出时是无穷小量的定义。下列命题是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例。利用两个重要极限求下列极限。(1) ； (2) 。下列说法是否正确？为什么？无穷大量一定是无界变量； (2)无穷大量与有界量的乘是无穷大量。续，一个在处不连续，则它们的和在处是否一定不连续？12课外作业：1．完成讨论题中尚未讨论的题。2．判别下面的作法是否正确？为什么？1.5．4．(1)，5．(1)习题1.6．9．(3)，10．(1)，13．(1)4．证明方程，其中，，至少有一个正根，并且它不超过。第二章导数及其应用第一次讨论题A) 存在，B) 存在，C) 存在存在。3．1)如果在处可导，那么是否存在的邻域？在此邻域内一定可导2)如果在点处可导，那么是否存在的一个邻域，在此邻域内一定连续？可导的周期函数的导数还是周期函数吗？非周期函数的导函数一定不设有分段函数，其中和均可导，问是否成立？为什么？导数与微分之间的区别与联系是什么？能否用下面的方法证明Cauchy对，分别应用Lagrange定理得：若Rolle定理的三个条件中有一个不满足，试问Rolle否一定成立？为什么？设，且在内可导，试问：Rolle定理的逆命题成立吗？即，若，使，是否一定存在，，使？如果将Rolle定理的结论还成立吗？为什么？9．1)(Lagrange定理、Cauchy定理)什么？微分中值定理主要揭示了什么？微分中值定理可以用来解决哪些相关问题？构造辅助函数的方法有哪几种？10．设在处二阶可导，则试问以上解法是否正确？为什么？ 2)正确的解法是什么？3)如何改变原题设条件，才能使以上解法正确？11．1)运用LHospital法则能求哪些类型极限？2)运用LHospital法则求极限时应注意哪些问题？第二次讨论题及练习题已知在其定义域内可导，它的图形如右图所示，则其导函数的图形为：如果，由此可以断定在的某邻域内单调增吗？为什么？单调增，而在右半邻域内单调减？函数在[a,b]小)值点，一定是在极值点吗？法正确吗？为什么？附加什么条件以上说法正确？6．利用导数的知识证明不等式常用的方法有哪些？些？求解最大最小值应用问题时，如何建立目标函数？常数)注入右图所示的罐中，直至将水罐满。)在何处增长最快，何处最慢？估计这两个增长率的比值。设求该函数的增减区间和极值，确定函数图形的凸性及拐点，求其渐近线，作出其草图。我们知道，若在处可微，则该结论与带有Peano余项的Taglor定理即PeanoLagrange)处是什么？不同之处是什么？应为何值时，可使罐头盒的表面积最小，从而使材费料最小？罐头盒的侧壁是用矩形铁皮围成，从大铁皮板上切割矩形片不会产生多少边角费料，而如果从一个正方形铁皮上切割一块块的圆生，不可避免地余下一些边角料而造成浪，如右图如果把费弃的边角料也计算在所用材料中，那么为了使用去的材料最省，证明：第三章定积分及其应用第一次讨论题与练习题下列积分哪些相等，为什么？其中① ② ③ ④用定积分的几何意义说明：等式是否成立，为什么？① ②③ ④⑤ ⑥函数与在[-1,1]4，怎样计算，小结分积函数不定积分与定积分的计算法。在[a,b]上可积与在[a,b]子，说明这个问题。①求其导函数。②同例4，这两题中的在[-1,1]上是否可积？原函数是否存在？设连续，常数)，，求并讨论的连续性。计算，，，，(连续)，并小结变上限积分的求导法。计算①，②，求并小结变上限积分求导的综合题还有哪些类型。设在[a,上可积，且①若 0，则，是否成立？②若，则是否成立？③若，都[a,上可积，，且 ，则是否成立？④若，在[a,b][a,立？⑤若，都在[a,．设在[0,证明：，使在上以为高的矩形面积等于区间上以为曲边的曲边梯形面积；(2)若在[0,1]可导，且，试证明(1)第二次讨论题与练习题一块高为，底为的等腰三角形板，①垂直地沉入水中，顶在上，与水面相齐，底与水面平行；②垂直地沉入水上，顶在下，底与水面相齐；③底与水面相齐，且该板与水面成角；讨论各种情况薄板一侧所受水压力的积分表达式如何建立，并计算之。1．半径为的半球形水池①池中盛满水，将水池口全部抽出；②池中盛满水，将深以上的水全部从池口抽出；③池中盛满水，将水全部抽到距池口的高处；④池中水的深入为，将水全部从容器口抽出；讨论各种情况需作功的积分表达式，并计算之。半径为的球沉入水中，并与水面相接，球的此重()由() ((与轴围成平面图形①绕轴旋转一圈；②绕直线旋转一圈；③绕直线旋转一圈④绕直线()旋转一圈；别绕轴、轴、直线旋转一圈所产生旋转体的体积。5C两处分别放置两质点，质量为M、，将质点m移到B求引力所作功。一圆环线密度为常数，半径为R，在圆环中垂线上与圆心相距为a若圆环改为圆片，其面密度常数，则如何求引力？双纽线，