简易逻辑(课堂)课件

第三节简易逻辑第三节简易逻辑三年10考高考指数:★★★1.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.理解四种命题及其相互关系.3.掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.三年10考高考指数:★★★1.四种命题及命题的真假,充要条件的判断是考查重点.2.常以其他数学知识为载体考查.3.多以选择题、填空题的形式出现.1.四种命题及命题的真假,充要条件的判断是考查重点.1.命题的有关概念名称定义命题可以判断真假的语句真命题判断为真的语句假命题判断为假的语句1.命题的有关概念名称定义命题可以判断真假的语句真命题判【即时应用】(1)判断下列命题的真假.(请在括号内填“真”或“假”)①若则x=y()②若x2=1,则x=1()③若x=y,则()④若x＜y,则x2＜y2()【即时应用】(2)对于任意实数a,b,c,判断下列命题的真假.(请在括号内填“真”或“假”)①若a＞b,c≠0,则ac＞bc()②若a＞b,则ac2＞bc2()③若ac2＞bc2,则a＞b()④若ac2≤bc2,则a≤b()⑤若a≤b,则ac2≤bc2()(2)对于任意实数a,b,c,判断下列命题的真假.(请在括号【解析】(1)由得x=y,故命题①为真;由x2=1得x=±1,故命题②为假;由x=y，不一定有意义，故命题③为假;x＜y＜0时，得不到x2＜y2,故命题④为假.(2)当c＜0时，①不正确；当c=0时，②④不正确;ac2＞bc2⇒a＞b,③正确.a≤b,c2≥0⇒ac2≤bc2,⑤正确.答案：(1)①真②假③假④假(2)①假②假③真④假⑤真【解析】(1)由得x=y,故命题①为真;由x2=2.逻辑联结词(1)常用的逻辑联结词有_______、_______、________；(2)简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由___________与_____________构成的命题.复合命题分为三类：________，________，________.“或”“且”“非”简单命题逻辑联结词p或qp且q非p2.逻辑联结词“或”“且”“非”简单命题逻辑联结词p或qp且(1)思考：如何判断复合命题的真假呢？提示:复合命题的真假可通过真值表来加以判断pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假(1)思考：如何判断复合命题的真假呢？pq非pp或qp且q真(2)对于命题p和q,若p且q为真命题,则下列四个命题:①p或q是真命题;②p且q是真命题;③p且q是假命题;④p或q是假命题,其中真命题是_______(填上序号即可)【解析】∵p且q为真命题,∴p、q都是真命题,p和q都是假命题.∴命题①、③均为真命题,而命题②、④均为假命题.答案：①③(2)对于命题p和q,若p且q为真命题,则下列四个命题:①p3.四种命题及关系(1)四种命题原命题：若p则q；逆命题：__________；否命题：___________；逆否命题：_____________.(2)四种命题之间的相互关系若q则p若p则q若q则p3.四种命题及关系若q则p若p则q若q则p原命题若p则q互逆互逆互否互否互为逆否互为逆否否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p逆命题若q则p原命题互逆互逆互否互否互为逆否互为【即时应用】(1)已知命题“对任意a,b∈R,如果ab＞0,则a＞0”,则它的否命题是______.(2)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是__________.(3)有下列命题:①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题②“相似三角形的周长相等”的否命题【即时应用】③“若b≤-1,则x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题④“若A∪B=B,则AB”的逆否命题其中真命题的序号是__________.【解析】(1)任意a,b∈R是大前提,在否命题中也不变,又因为ab＞0,a＞0的否定分别为ab≤0,a≤0,故原命题的否命题是:“对任意a,b∈R,如果ab≤0,则a≤0”.(2)“都是”的否定是“不都是”,故其逆否命题是:“若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数”.③“若b≤-1,则x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命(3)①，逆命题为:若x,y互为倒数,则xy=1,是真命题;②，否命题:不相似的三角形的周长不相等,是假命题;对③,若方程x2-2bx+b2+b=0有实根,则Δ=4b2-4(b2+b)≥0,∴b≤0,故命题“若b≤-1,则x2-2bx+b2+b=0有实根”是真命题,其逆否命题也为真命题.对④,∵若A∪B=B,则A⊆B,∴命题“若A∪B=B,则AB”是假命题,其逆否命题也是假命题.答案：(1)对任意a,b∈R,如果ab≤0,则a≤0(2)若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数(3)①③(3)①，逆命题为:若x,y互为倒数,则xy=1,是真命题;4.充要条件定义从集合角度若p⇒q,则p是q的_________若p是q的充分条件,则_____若q⇒p,则p是q的_________若p是q的必要条件,则_____若p⇒q且q⇒p,则p是q的______________若p是q的充分必要条件,则_____充分条件必要条件充分必要条件4.充要条件定义从集合角度若p⇒q,则p是q的_____【即时应用】(1)“|x-1|＜2”成立是“x(x-3)＜0”成立的______条件.(2)若集合A={x|2＜x＜3},B={x|(x+2)(x-a)＜0},则“a=1”是“A∩B=”的_______条件.(3)已知p是r的充分条件而不是必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,现有下列命题:①s是q的充要条件;②p是q的充分条件而不是必要条件;③r是q的必要条件而不是充分条件;【即时应用】④p是s的必要条件而不是充分条件;⑤r是s的充分条件而不是必要条件.则正确命题的序号是_____________.(4)设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有正数根的充要条件是n=___.【解析】(1)由|x-1|＜2得-1＜x＜3，由x(x-3)＜0得0＜x＜3,所以“|x-1|＜2”成立是“x(x-3)＜0”成立的必要不充分条件.(2)当a=1时,B={x|-2＜x＜1},满足A∩B=;反之,若A∩B=,只需a≤2即可,故“a=1”是“A∩B=”的充分不必要条件.④p是s的必要条件而不是充分条件;(3)由题意知,∴s⇔q,①正确;p⇒r⇒s⇒q,∴p⇒q,但qp,②正确;同理判断③⑤不正确,④正确.(4)由于x2-4x+n=(x-2)2+n-4,对称轴x=2,所以，只要判别式Δ≥0，方程x2-4x+n=0就有正根.因此，所求的充要条件是16-4n≥0,即n≤4.又由于n∈N+,所以n=1,2,3,4答案：(1)必要不充分(2)充分不必要(3)①②④(4)1,2,3,4(3)由题意知,5.反证法从命题结论的反面出发(假设)，引出(与已知、公理、定理…)矛盾(归谬)，从而否定假设，证明原命题(结论)成立，这样的证明方法叫做反证法.5.反证法【即时应用】(1)用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，判断下列假设是否正确(请在括号中填写“√”或“×”).①假设至少有一个钝角()②假设一个钝角也没有()③假设至少有两个钝角()④假设一个钝角也没有或至少有两个钝角()【即时应用】(2)设a,b是两个实数,给出下列5个条件，判断下列说法是否能推出：“a,b中至少有一个大于1”(请在括号中填“是”或“否”).①a+b＞1()②a+b=2()③a+b＞2()④a2+b2＞2()⑤ab＞1()(2)设a,b是两个实数,给出下列5个条件，判断下列说法是否【解析】(1)三角形的内角分类有钝角0个、1个、2个、3个四种情况，“至多一个钝角”包含了0个和1个两种，故反设应恰好包含2个和3个两种.①中“至少有一个钝角”包含了1个、2个、3个，②中“一个也没有”包含了0个，④中“一个也没有或者至少有两个”包含了0个、2个、3个，均不符合题意.③中“至少有两个”恰好包含了2个和3个，故正确.(2)若a=b=则a+b＞1,但a＜1,b＜1,故①推不出；【解析】(1)三角形的内角分类有钝角0个、1个、2个、3个四若a=b=1,则a+b=2,故②推不出；若a=-2,b=-3，则a2+b2＞2,故④推不出;若a=-2,b=-3，则ab＞1,故⑤推不出;对于③,即a+b＞2，则a,b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b＞2矛盾,因此假设不成立，即a,b中至少有一个大于1.答案：(1)①×②×③√④×(2)①否②否③是④否⑤否若a=b=1,则a+b=2,故②推不出；含有逻辑联结词命题的真假判断【方法点睛】1.判断复合命题“p或q”、“p且q”、“p”真假的步骤(1)确定复合命题的构成形式;(2)判断其中简单命题p、q的真假;(3)根据真值表确定“p或q”、“p且q”、“p”形式的复合命题的真假.含有逻辑联结词命题的真假2.判断含有逻辑联结词的复合命题的真假,可利用真值表转化为一些简单命题的真假进行判断.已知命题p、q,只要有一个命题为假,p且q就为假;只要有一个为真,p或q就为真;p与p真假相反.2.判断含有逻辑联结词的复合命题的真假,可利用真值表转化【例1】(2012·金华模拟)指出下列命题的真假:(1)命题“不等式|x+2|≤0没有实数解”;(2)命题“-1是偶数或奇数”;(3)命题“属于集合Q,也属于集合R”;(4)命题“AA∪B”.【解题指南】先判断命题的形式,再由真值表判断真假.【例1】(2012·金华模拟)指出下列命题的真假:【规范解答】(1)此命题是“p”的形式,其中p:“不等式|x+2|≤0有实数解”,因为x=-2是该不等式的一个解,所以p是真命题,即p是假命题,所以此命题是假命题.(2)此命题是“p或q”的形式,其中p:“-1是偶数”,q:“-1是奇数”,因为p为假命题,q为真命题,所以p或q是真命题,故此命题是真命题.【规范解答】(1)此命题是“p”的形式,其中p:“不等式(3)此命题是“p且q”的形式,其中p:“属于集合Q”,q:“属于集合R”,因为p为假命题,q为真命题,所以p且q是假命题,故此命题是假命题.(4)此命题是“p”的形式,其中p:“A⊆A∪B”,因为p为真命题,所以p为假命题,故此命题是假命题.(3)此命题是“p且q”的形式,其中p:“属于集合Q”【反思·感悟】1.判断一个命题是简单命题还是复合命题的方法：判断一个命题是简单命题还是复合命题时,不能只从字面上看有没有“或”、“且”、“非”,如“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”,此命题字面上无“且”,但可改成“等腰三角形的顶角平分线既是底边上的中线又是底边上的高线”,所以它是复合命题.又例如“5的倍数的末位数字不是0就是5”,此命题字面上无“或”,但它也是复合命题.【反思·感悟】1.判断一个命题是简单命题还是复合命题的方法：2.判断命题的真假,即是看能否从命题中的已知条件得出命题中的结论.有时需要将命题分解为简单命题来帮助思考,也可以利用举反例的方法进行判断.2.判断命题的真假,即是看能否从命题中的已知条件得出命题中的【变式训练】1.命题p:对任意x∈［0,+∞),(log32)x≤1成立,则()(A)p是假命题,p:存在x0∈［0,+∞),满足≥1(B)p是假命题,p:对任意x∈［0,+∞),(log32)x≥1成立(C)p是真命题,p:存在x0∈［0,+∞),满足＞1(D)p是真命题,p:对任意x∈［0,+∞),(log32)x≥1成立【变式训练】1.命题p:对任意x∈［0,+∞),(log32【解析】选C.∵0＜log32＜1,∴当x≥0时,(log32)x≤1,∴命题p:对任意x∈［0,+∞),(log32)x≤1成立是真命题,p:存在x0∈［0,+∞),满足＞1.【解析】选C.∵0＜log32＜1,2.已知命题p:方程x2-mx+1=0有两个不等的正实根;命题q:方程4x2+4(m-2)x+m2=0无实根.若“p或q”为真,“p且q”为假,则下列结论:①p、q都为真;②p、q都为假;③p、q一真一假;④p、q中至少有一个为真;⑤p、q中至少有一个为假.其中正确结论的序号是______,m的取值范围是_______.2.已知命题p:方程x2-mx+1=0有两个不等的正实根;命【解析】命题p中方程x2-mx+1=0有两个不等的正实根,当且仅Δ=m2-4＞0当x1+x2=m＞0,即m＞2;命题q中方程4x2+4(m-2)x+m2=0x1x2=1＞0无实根,当且仅当Δ=16［(m-2)2-m2］＜0,即m＞1.“p或q”为真当且仅当p、q中至少一个为真,“p且q”为假当且仅当p、q中至少一个为假,故结论①②④⑤都错误，只有结论③正确,若m＞2m≤2m≤1m＞1解得1＜m≤2,即m的取值范围为(1,2］.答案：③(1,2］p真q假，则,此时无解；若p假q真，则,【解析】命题p中方程x2-mx+1=0有两个不等的正实根,当【变式备选】1.给出命题p:3≥3,q:函数f(x)=在R上图象是连续的,则在下列三个复合命题:“p且q”,“p或q”,“非p”中,真命题的个数为()(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个【解析】选B.要判断三个复合命题的真假,先必须判断p与q的真假,再结合复合命题的真值表作出判断.p:3≥3为真命题,而q:f(x)=在R上图象是连续的，是假命题,则p或q为真,p且q为假,p为假命题.【变式备选】1.给出命题p:3≥3,q:函数f(x)=2.已知命题p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数,p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数,则在命题q1:p1或p2,q2:p1且p2,q3:(p1)或p2和q4:p1且(p2)中,真命题是()(A)q1,q3 (B)q2,q3 (C)q1,q4 (D)q2,q4【解析】选C.因为y=2x为增函数,y=2-x为减函数,易知p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数是真命题,p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数为假命题.故q1,q4为真命题.2.已知命题p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数,p2:四种命题以及它们之间的关系【方法点睛】1.判断四种命题之间的关系在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”；要判定命题为假命题时只需举反例.四种命题以及它们之间的2.正确区别“命题的否定”与“否命题”“命题的否定”与“否命题”是两个完全不同的概念.“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”只是否定命题p的结论.具体地说，如果原命题是“若p，则q”,那么原命题的否定是“若p，则q”，原命题的否命题是“若p,则q”.【提醒】命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系.2.正确区别“命题的否定”与“否命题”【例2】(1)命题“若∠C=90°，则△ＡＢＣ是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题的个数是()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)判断命题“已知a,x为实数，如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假.【例2】(1)命题“若∠C=90°，则△ＡＢＣ是直角三角形”【解题指南】(1)先判断原命题的真假，再根据命题之间的关系判断逆否命题的真假.然后写出逆命题并判断真假，最后判断否命题的真假.(2)解决本题应先写出逆否命题，要判断其真假，可根据定义直接判断；也可利用原命题与其逆否命题的等价关系求解.【规范解答】(1)选C.原命题为真命题，则逆否命题也为真命题，逆命题“若△ABC是直角三角形，则∠C=90°”，是假命题，也可能是∠B=90°或∠A=90°，则否命题也是假命题.【解题指南】(1)先判断原命题的真假，再根据命题之间的关系判(2)方法一：直接由原命题写出其逆否命题，然后判断逆否命题的真假.原命题：已知a,x为实数，如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空，则a≥1.逆否命题：已知a,x为实数，如果a＜1，则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.判断如下：抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上，(2)方法一：直接由原命题写出其逆否命题，然后判断逆否命题的判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.∵a＜1,∴4a-7＜0,即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点.∴关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.故逆否命题为真.方法二：根据命题之间的关系，原命题与其逆否命题同真同假，只需判断原命题的真假即可.判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.∵a,x为实数，且关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为非空，∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,即4a-7≥0,解得a≥∵a≥≥1,∴原命题为真命题.又因为原命题与其逆否命题同真同假，所以逆否命题为真.∵a,x为实数，且关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+【反思·感悟】1.对四种命题的结构不明确是导致判断错误的主要原因之一.可以根据“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”和“命题的否定”的概念逐一得出命题后，再进行真假判断.也可以利用逆否命题来判断原命题的真假，确定一个命题是假命题时可以灵活运用特殊值方法.2.一个命题的真假与其他三个命题的真假关系:(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真.(2)原命题为真，它的否命题不一定为真.(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真.(4)逆命题与否命题同真同假.【反思·感悟】1.对四种命题的结构不明确是导致判断错误的主要【变式训练】(2012·宿州模拟)下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2-2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题.其中正确的命题是()(A)③④ (B)①③ (C)①② (D)②④【变式训练】(2012·宿州模拟)下列命题：【解析】选A.对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a＞1时，Δ=-12a＜0,原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故选A.【解析】选A.对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为【变式备选】1.(2012·威海模拟)下列命题：①“若ab=0,则a=0”的否命题；②“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题.其中真命题的序号是_____(把所有真命题的序号填在横线上).【解析】①“若ab=0,则a=0”的否命题为“若ab≠0,则a≠0”,而由ab≠0可得a,b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题;②由于原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是真命题.故填①②.答案：①②【变式备选】1.(2012·威海模拟)下列命题：2.若a、b、c∈R,写出命题“若ac＜0,则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假.2.若a、b、c∈R,写出命题“若ac＜0,则ax2+bx+【解析】逆命题“若ax2+bx+c=0(a、b、c∈R)有两个不相等的实数根，则ac＜0”.是假命题，如当a=1,b=-3,c=2时，方程x2-3x+2=0有两个不等实根x1=1,x2=2,但ac=2＞0.否命题“若ac≥0,则方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根”是假命题.这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题.逆否命题“若ax2+bx+c=0(a、b、c∈R)没有两个不相等的实数根，则ac≥0”是真命题.因为原命题是真命题，它与原命题等价.【解析】逆命题“若ax2+bx+c=0(a、b、c∈R)有两充分条件与必要条件的判定【方法点睛】判断命题的充分、必要条件的方法(1)定义法：判断p是q的什么条件，实际上就是判断p⇒q或q⇒p是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可.充分条件与必要条件的判(2)等价法：当所给命题的充分性、必要性不易判定时，可对命题进行等价转化，即利用A⇒B与B⇒A，B⇒A与A⇒B，A⇔B与B⇔A的等价关系进行判断.对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.(3)集合法：当所给命题的充分性、必要性不易判定时，有时可从集合的角度来考虑.记条件p、q对应的集合分别为A、B，则有以下结论:(2)等价法：当所给命题的充分性、必要性不易判定时，可对若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A=B，则p是q的充要条件.【提醒】判断命题的充要条件时需注意：一要分清命题的条件与结论；二要注意转化与化归思想的运用，通常把一个正面较难判断的命题转化为它的等价命题进行判断；三要注意判断多个命题之间的关系时，常用图示法.若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要【例3】(1)(2012·绍兴模拟)已知集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x＜a},则“A⊆B”是“a＞5”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(2)对于下面说法：①若A是B的必要不充分条件，则(B)也是(A)的必要不充分条件；【例3】(1)(2012·绍兴模拟)已知集合A={x||x|②“”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件；③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件；④“x≠0”是“x+|x|＞0”的必要不充分条件.其中正确说法的序号是_______.②“”是“一元二次不等式ax2(3)(2012·衡水模拟)指出下列说法中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).①在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sinA=sinB;②对于实数x、y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6;③非空集合A、B中,p:x∈A∪B,q:x∈B;④已知x、y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0(3)(2012·衡水模拟)指出下列说法中,p是q的什么条件【解题指南】要判断p是q的什么条件一般要从两个方面考虑，一是若p成立是否q成立，二是若q成立是否p成立.【规范解答】(1)选B.A={x|-4≤x≤4},若A⊆B,则a＞4,a＞4a＞5,但a＞5⇒a＞4.故“A⊆B”是“a＞5”的必要不充分条件.(2)∵A

B,∴A⇒B，故①正确;“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件是【解题指南】要判断p是q的什么条件一般要从两个方面考虑，一是“”，故②正确；“x≠1”不能得出“x2≠1”，例如x=-1，故③错误；∵“x+|x|＞0⇒x≠0”,但x≠0不能推出x+|x|＞0，故④正确.答案：①②④“”，故②正确；“x≠1”不能得(3)①在△ABC中,∠A=∠B⇒sinA=sinB,反之,若sinA=sinB,因为A与B不可能互补(三角形三个内角和为180°),所以只有A=B,故p是q的充要条件.②易知,p:x+y=8,q:x=2且y=6,显然q⇒p,但pq,即q是p的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.(3)①在△ABC中,∠A=∠B⇒sinA=sinB,反之,③显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.④p:x=1且y=2,q:x=1或y=2,所以p⇒q但qp,故p是q的充分不必要条件.③显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所【互动探究】本例(3)已知条件不变,那么q是p的什么条件?【解析】由(3)的解析知①q是p的充要条件;②q是p的必要不充分条件;③q是p的充分不必要条件;④q是p的必要不充分条件.【互动探究】本例(3)已知条件不变,那么q是p的什么条件?【反思·感悟】1.充分、必要条件颠倒是常见的导致错误的原因之一.当判断p与q之间的关系时,要注意方向性,充分条件与必要条件方向正好相反;要理清推理顺序,然后根据要求作答,不要混淆.2.充分、必要条件的判断或探求(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A；(2)要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明；【反思·感悟】1.充分、必要条件颠倒是常见的导致错误的原因之(3)以下说法所表达的意义相同：①命题“若p则q”为真;②p⇒q;③p是q的充分条件;④q是p的必要条件.(4)要证明命题的条件是充要的，既要证明原命题成立、又要证明它的逆命题成立，证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性.(3)以下说法所表达的意义相同：【变式备选】1.设0＜x＜则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【变式备选】1.设0＜x＜则“xsin2x＜1”是“x【解析】选B.因为0＜x＜所以0＜sinx＜1,不等式xsinx＜1两边同乘sinx可得:xsin2x＜sinx,所以有xsin2x＜sinx＜1,即xsinx＜1⇒xsin2x＜1;不等式xsin2x＜1两边同除以sinx可得:xsinx＜而由0＜sinx＜1知＞1,故xsinx＜1不一定成立,即xsin2x＜1xsinx＜1.由以上可知,“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的必要而不充分条件.【解析】选B.因为0＜x＜所以0＜sinx＜1,2.记实数x1,x2,…，xn中的最大数为max{x1,x2,…，xn}，最小数为min{x1,x2，…，xn}.已知△ABC的三边边长为a,b,c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l=max{}·min{},则“l=1”是“△ABC为等边三角形”的()(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件2.记实数x1,x2,…，xn中的最大数为max{x1,x2【解析】选B.若△ABC为等边三角形，即a=b=c,则max{}=1=min{}，则l=1;若△ABC为等腰三角形,如a=2,b=2,c=3时,则max{}=min{}=此时l=1仍成立，但△ABC不为等边三角形,所以B正确.【解析】选B.若△ABC为等边三角形，即a=b=c,则max借助逻辑联结词求解参数取值范围【方法点睛】利用简易逻辑求参数取值范围的方法(1)以命题为依据求参数的取值范围时,首先要对简单命题进行化简,然后依据新命题的真假,列出含有参数的不等式(组)求解即可.(2)含有逻辑联结词的命题要先确定构成复合命题的(一个或两个)简单命题的真假,求出此时参数成立的条件,再求出含逻辑联结词的命题成立的条件.借助逻辑联结词求解参【例4】(2012·黄冈模拟)已知a＞0,且a≠1,设p:函数y=ax在R上单调递减;q:函数f(x)=x2-2ax+1在(+∞)上为增函数,若“p且q”为假,“p或q”为真,求实数a的取值范围.【解题指南】先按p、q为真时,分别求出相应的a的范围;再用补集的思想,求出p、q分别对应的a的范围;最后根据“p且q”为假、“p或q”为真,确定p、q的真假,进而求出a的范围.【例4】(2012·黄冈模拟)已知a＞0,且a≠1,设p:函【规范解答】∵函数y=ax在R上单调递减,∴0＜a＜1.即p:0＜a＜1,∵a＞0且a≠1,∴p:a＞1.又∵f(x)=x2-2ax+1在(+∞)上为增函数,∴a≤∵a＞0且a≠1,∴q:0＜a≤∴q:a＞且a≠1,又∵“p或q”为真,“p且q”为假,∴p真q假或p假q真.【规范解答】∵函数y=ax在R上单调递减,①当p真,q假时,{a|0＜a＜1}∩{a|a＞且a≠1}={a|＜a＜1}.②当p假,q真时,{a|a＞1}∩{a|0＜a≤}=.综上所述,实数a的取值范围是{a|＜a＜1}.①当p真,q假时,{a|0＜a＜1}∩{a|a＞且a≠1【反思·感悟】1.解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来,然后转化为集合交、并、补的基本运算.2.借助逻辑联结词求解参数范围问题的一般方法步骤:第一步:求命题p、q对应的参数的取值范围.第二步:求命题p、q对应的参数的取值范围.第三步:根据已知条件构造新命题,如本题构造新命题“p真q假”“p假q真”.第四步:根据新命题,确定参数的范围.第五步:反思回顾,查看关键点、易错点及解题规范.【反思·感悟】1.解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应【变式训练】1.(2012·桂林模拟)已知命题p:对任意x∈［1,2］,都有x2-a≥0,命题q:存在x∈R,使得x2+2ax+2-a=0,若“p且q”为真命题,则实数a的取值范围是()(A)a=1或a≤-2 (B)a≤-2或1≤a≤2(C)a≥1 (D)-2≤a≤1【变式训练】【解析】选A.由“p且q”为真命题,知p,q都是真命题.p:x2≥a在［1,2］上恒成立,只需a≤(x2)min=1,所以命题p:a≤1;q:设f(x)=x2+2ax+2-a,存在x∈R使f(x)=0,只需Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0⇒a≥1或a≤-2.所以命题q:a≥1或a≤-2.由得a=1或a≤-2,∴实数a的取值范围是a=1或a≤-2,故选A.【解析】选A.由“p且q”为真命题,知p,q都是真命题.2.(2012·南宁模拟)已知命题p:方程2x2+ax-a2=0在［-1,1］上有解;命题q:只有一个实数x0满足不等式x02+2ax0+2a≤0,若命题“p或q”是假命题,求a的取值范围.【解析】由2x2+ax-a2=0,得(2x-a)(x+a)=0,∴x=或x=-a,∴当命题p为真命题时||≤1或|-a|≤1,∴|a|≤2.2.(2012·南宁模拟)已知命题p:方程2x2+ax-a2又“只有一个实数x0满足x02+2ax0+2a≤0”,即抛物线y=x2+2ax+2a与x轴只有一个交点,∴Δ=4a2-8a=0,∴a=0或a=2.∴当命题q为真命题时,a=0或a=2,∵命题“p或q”为假命题,∴a＞2或a＜-2,即a的取值范围为{a|a＞2或a＜-2}.又“只有一个实数x0满足x02+2ax0+2a≤0”,【变式备选】(2012·日照模拟)已知命题p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈［-1,1］恒成立;命题q:不等式ax2+2x-1＞0有解,若命题p是真命题、命题q是假命题,求a的取值范围.【解析】∵x1,x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,x1+x2=mx1x2=-2,∴|x1-x2|=∴当m∈［-1,1］时,|x1-x2|max=3.∴【变式备选】(2012·日照模拟)已知命题p:x1和x2是方由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈［-1,1］恒成立,可得:a2-5a-3≥3.∴a≥6或a≤-1,∴命题p为真命题时a≥6或a≤-1.命题q:不等式ax2+2x-1＞0有解,①当a＞0时,显然有解.②当a=0时,2x-1＞0有解.③当a＜0时,∵ax2+2x-1＞0有解,由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈［-1,∴Δ=4+4a＞0,∴-1＜a＜0.从而命题q:不等式ax2+2x-1＞0有解即a＞-1，又命题q是假命题,∴a≤-1.故命题p是真命题且命题q是假命题时，a的取值范围为(-∞,-1］.∴Δ=4+4a＞0,∴-1＜a＜0.【满分指导】充要条件问题的规范解答【典例】(12分)(2012·重庆模拟)已知p:|1-|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m＞0),且p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.【满分指导】充要条件问题的规范解答【解题指南】可以先写出p和q,然后由q⇒p,但pq来求m的取值范围；也可以利用逆否命题先进行命题的等价转化,搞清楚命题中条件与结论的关系,再去解不等式,找解集间的包含关系,进而使问题解决.【解题指南】可以先写出p和q,然后由q⇒p,【规范解答】方法一:由x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤x≤1+m…………2分则q:A={x|x＞1+m或x＜1-m,m＞0}.………………4分由|1-|≤2,得-2≤x≤10,………6分则p:B={x|x＞10或x＜-2}.………8分∵p是q的必要不充分条件,【规范解答】方法一:由x2-2x+1-m2≤0,m＞0m＞0∴AB⇔1-m≤-2或1-m＜-2,…10分1+m＞101+m≥10解得m≥9.…………………12分m＞0m＞0方法二：∵p是q的必要不充分条件，∴q⇒p，且pq.…………2分∴p⇒q,且qp,即p是q的充分不必要条件.………4分∵p:C={x|-2≤x≤10},………………6分q:D={x|1-m≤x≤1+m,m＞0}.………8分1+m≥10m＞0∴m＞0或1+m＞10………………10分1-m＜-21-m≤-2∴m≥9.∴实数m的取值范围是{m|m≥9}.……………12分∴CD,方法二：∵p是q的必要不充分条件，∴CD,【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时,有两点容易造成失分:(1)在解不等式(组)时,由于粗心对已知条件中的不等式(组)求解时出错误,导致最终的结果不正确.(2)将命题间的关系转化为集合间的关系后,分不清集合间的包含关系.

【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警备考建议解决应用充要条件的题目时,还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)一般地,在涉及到求字母参数的取值范围的充要条件问题时,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑.(2)对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题.

备解决应用充要条件的题目时,还有以下几点容易造成失分,在备考1.(2012·中山模拟)已知a,b,c,d为实数,且c＞d.则“a＞b”是“a-c＞b-d”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件1.(2012·中山模拟)已知a,b,c,d为实数,且c＞d【解析】选B.方法一:a＞b推不出a-c＞b-d,但a-c＞b-d⇒a＞b+c-d＞b,故选B.方法二:令a=2,b=1,c=3,d=-5,则a-c=-1＜b-d=1-(-5)=6;由a-c＞b-d可得,a＞b+(c-d)，因为c＞d,则c-d＞0,所以a＞b.故“a＞b”是“a-c＞b-d”的必要而不充分条件.【解析】选B.方法一:a＞b推不出a-c＞b-d,但a-c＞2.(2012·临沂模拟)命题p:“x＞1”是“|x|＞”的充要条件；命题q:|x2-8x+16|≤x-4的解集为［4,5］，那么()(A)“p或q”为假 (B)“p且q”为真(C)“p且q”为真 (D)“p且q”为真2.(2012·临沂模拟)命题p:“x＞1”是“|x|＞【解析】选D.∵|x|＞⇒x＞1或x＜0,∴p假，则p真，又|x2-8x+16|≤x-4,即-(x-4)≤x2-8x+16≤x-4,解得4≤x≤5,∴q为真.∴“p或q”为真，“p且q”为假，“p且q”为假，“p且q”为真.【解析】选D.∵|x|＞⇒x＞1或x＜0,3.(2012·驻马店模拟)已知条件p:(1-x)(x+1)＞0，条件q:lg有意义，则p是q的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解题指南】化简条件p、q，求出p与q后根据集合间的关系判断.3.(2012·驻马店模拟)已知条件p:(1-x)(x+1)【解析】选B.由(1-x)(x+1)＞0，得-1＜x＜1，即条件p:-1＜x＜1，则p:x≤-1或x≥1.1+x≥0由1-x2≥0，得-1＜x≤1.＞0即条件q:-1＜x≤1，则q:x≤-1或x＞1.∴pq，但q⇒p.∴p是q的必要不充分条件，故选B.【解析】选B.由(1-x)(x+1)＞0，得-1＜x＜1，4.(2011·福建高考)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k｜n∈Z}，k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]②-3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”.其中，正确结论的个数是()(A)1 (B)2 (C)3 (D)44.(2011·福建高考)在整数集Z中，被5除所得余数为k的【解析】选C.对于①：2011＝5×402+1，∴2011∈[1],故①正确；对于②：-3=5×(-1)+2，∴-3∈[2]，故②不正确；对于③:∵整数集Z被5除，所得余数共分为五类.∴Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],故③正确；【解析】选C.对于①：2011＝5×402+1，对于④：若整数a,b属于同一“类”，则a=5n1+k，b=5n2+k,∴a-b=5n1+k-(5n2+k)=5(n1-n2)=5n,∴a-b∈[0]，若a-b∈[0],则a-b=5n,即a=b+5n,故a与b被5除的余数为同一个数.∴a与b属于同一“类”，所以“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”，故④正确，∴正确结论的个数是3.对于④：若整数a,b属于同一“类”，5.(2012·长沙模拟)下列结论:①若命题p:存在x∈R,使得tanx=1;命题q:对任意x∈R,都有x2-x+1＞0.则命题“p且q”是假命题；②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.其中正确结论的序号为________.(把你认为正确结论的序号都填上)5.(2012·长沙模拟)下列结论:【解析】①中命题p为真命题,命题q为真命题,所以p且q为假命题,故①正确;②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;③正确,所以正确结论的序号为①③.答案：①③【解析】①中命题p为真命题,命题q为真命题,所以p且q为简易逻辑(课堂)课件简易逻辑(课堂)课件第三节简易逻辑第三节简易逻辑三年10考高考指数:★★★1.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.理解四种命题及其相互关系.3.掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.三年10考高考指数:★★★1.四种命题及命题的真假,充要条件的判断是考查重点.2.常以其他数学知识为载体考查.3.多以选择题、填空题的形式出现.1.四种命题及命题的真假,充要条件的判断是考查重点.1.命题的有关概念名称定义命题可以判断真假的语句真命题判断为真的语句假命题判断为假的语句1.命题的有关概念名称定义命题可以判断真假的语句真命题判【即时应用】(1)判断下列命题的真假.(请在括号内填“真”或“假”)①若则x=y()②若x2=1,则x=1()③若x=y,则()④若x＜y,则x2＜y2()【即时应用】(2)对于任意实数a,b,c,判断下列命题的真假.(请在括号内填“真”或“假”)①若a＞b,c≠0,则ac＞bc()②若a＞b,则ac2＞bc2()③若ac2＞bc2,则a＞b()④若ac2≤bc2,则a≤b()⑤若a≤b,则ac2≤bc2()(2)对于任意实数a,b,c,判断下列命题的真假.(请在括号【解析】(1)由得x=y,故命题①为真;由x2=1得x=±1,故命题②为假;由x=y，不一定有意义，故命题③为假;x＜y＜0时，得不到x2＜y2,故命题④为假.(2)当c＜0时，①不正确；当c=0时，②④不正确;ac2＞bc2⇒a＞b,③正确.a≤b,c2≥0⇒ac2≤bc2,⑤正确.答案：(1)①真②假③假④假(2)①假②假③真④假⑤真【解析】(1)由得x=y,故命题①为真;由x2=2.逻辑联结词(1)常用的逻辑联结词有_______、_______、________；(2)简单命题：不含逻辑联结词的命题；复合命题：由___________与_____________构成的命题.复合命题分为三类：________，________，________.“或”“且”“非”简单命题逻辑联结词p或qp且q非p2.逻辑联结词“或”“且”“非”简单命题逻辑联结词p或qp且(1)思考：如何判断复合命题的真假呢？提示:复合命题的真假可通过真值表来加以判断pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假(1)思考：如何判断复合命题的真假呢？pq非pp或qp且q真(2)对于命题p和q,若p且q为真命题,则下列四个命题:①p或q是真命题;②p且q是真命题;③p且q是假命题;④p或q是假命题,其中真命题是_______(填上序号即可)【解析】∵p且q为真命题,∴p、q都是真命题,p和q都是假命题.∴命题①、③均为真命题,而命题②、④均为假命题.答案：①③(2)对于命题p和q,若p且q为真命题,则下列四个命题:①p3.四种命题及关系(1)四种命题原命题：若p则q；逆命题：__________；否命题：___________；逆否命题：_____________.(2)四种命题之间的相互关系若q则p若p则q若q则p3.四种命题及关系若q则p若p则q若q则p原命题若p则q互逆互逆互否互否互为逆否互为逆否否命题若﹁p则﹁q逆否命题若﹁q则﹁p逆命题若q则p原命题互逆互逆互否互否互为逆否互为【即时应用】(1)已知命题“对任意a,b∈R,如果ab＞0,则a＞0”,则它的否命题是______.(2)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是__________.(3)有下列命题:①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题②“相似三角形的周长相等”的否命题【即时应用】③“若b≤-1,则x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题④“若A∪B=B,则AB”的逆否命题其中真命题的序号是__________.【解析】(1)任意a,b∈R是大前提,在否命题中也不变,又因为ab＞0,a＞0的否定分别为ab≤0,a≤0,故原命题的否命题是:“对任意a,b∈R,如果ab≤0,则a≤0”.(2)“都是”的否定是“不都是”,故其逆否命题是:“若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数”.③“若b≤-1,则x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命(3)①，逆命题为:若x,y互为倒数,则xy=1,是真命题;②，否命题:不相似的三角形的周长不相等,是假命题;对③,若方程x2-2bx+b2+b=0有实根,则Δ=4b2-4(b2+b)≥0,∴b≤0,故命题“若b≤-1,则x2-2bx+b2+b=0有实根”是真命题,其逆否命题也为真命题.对④,∵若A∪B=B,则A⊆B,∴命题“若A∪B=B,则AB”是假命题,其逆否命题也是假命题.答案：(1)对任意a,b∈R,如果ab≤0,则a≤0(2)若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数(3)①③(3)①，逆命题为:若x,y互为倒数,则xy=1,是真命题;4.充要条件定义从集合角度若p⇒q,则p是q的_________若p是q的充分条件,则_____若q⇒p,则p是q的_________若p是q的必要条件,则_____若p⇒q且q⇒p,则p是q的______________若p是q的充分必要条件,则_____充分条件必要条件充分必要条件4.充要条件定义从集合角度若p⇒q,则p是q的_____【即时应用】(1)“|x-1|＜2”成立是“x(x-3)＜0”成立的______条件.(2)若集合A={x|2＜x＜3},B={x|(x+2)(x-a)＜0},则“a=1”是“A∩B=”的_______条件.(3)已知p是r的充分条件而不是必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,现有下列命题:①s是q的充要条件;②p是q的充分条件而不是必要条件;③r是q的必要条件而不是充分条件;【即时应用】④p是s的必要条件而不是充分条件;⑤r是s的充分条件而不是必要条件.则正确命题的序号是_____________.(4)设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有正数根的充要条件是n=___.【解析】(1)由|x-1|＜2得-1＜x＜3，由x(x-3)＜0得0＜x＜3,所以“|x-1|＜2”成立是“x(x-3)＜0”成立的必要不充分条件.(2)当a=1时,B={x|-2＜x＜1},满足A∩B=;反之,若A∩B=,只需a≤2即可,故“a=1”是“A∩B=”的充分不必要条件.④p是s的必要条件而不是充分条件;(3)由题意知,∴s⇔q,①正确;p⇒r⇒s⇒q,∴p⇒q,但qp,②正确;同理判断③⑤不正确,④正确.(4)由于x2-4x+n=(x-2)2+n-4,对称轴x=2,所以，只要判别式Δ≥0，方程x2-4x+n=0就有正根.因此，所求的充要条件是16-4n≥0,即n≤4.又由于n∈N+,所以n=1,2,3,4答案：(1)必要不充分(2)充分不必要(3)①②④(4)1,2,3,4(3)由题意知,5.反证法从命题结论的反面出发(假设)，引出(与已知、公理、定理…)矛盾(归谬)，从而否定假设，证明原命题(结论)成立，这样的证明方法叫做反证法.5.反证法【即时应用】(1)用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，判断下列假设是否正确(请在括号中填写“√”或“×”).①假设至少有一个钝角()②假设一个钝角也没有()③假设至少有两个钝角()④假设一个钝角也没有或至少有两个钝角()【即时应用】(2)设a,b是两个实数,给出下列5个条件，判断下列说法是否能推出：“a,b中至少有一个大于1”(请在括号中填“是”或“否”).①a+b＞1()②a+b=2()③a+b＞2()④a2+b2＞2()⑤ab＞1()(2)设a,b是两个实数,给出下列5个条件，判断下列说法是否【解析】(1)三角形的内角分类有钝角0个、1个、2个、3个四种情况，“至多一个钝角”包含了0个和1个两种，故反设应恰好包含2个和3个两种.①中“至少有一个钝角”包含了1个、2个、3个，②中“一个也没有”包含了0个，④中“一个也没有或者至少有两个”包含了0个、2个、3个，均不符合题意.③中“至少有两个”恰好包含了2个和3个，故正确.(2)若a=b=则a+b＞1,但a＜1,b＜1,故①推不出；【解析】(1)三角形的内角分类有钝角0个、1个、2个、3个四若a=b=1,则a+b=2,故②推不出；若a=-2,b=-3，则a2+b2＞2,故④推不出;若a=-2,b=-3，则ab＞1,故⑤推不出;对于③,即a+b＞2，则a,b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b＞2矛盾,因此假设不成立，即a,b中至少有一个大于1.答案：(1)①×②×③√④×(2)①否②否③是④否⑤否若a=b=1,则a+b=2,故②推不出；含有逻辑联结词命题的真假判断【方法点睛】1.判断复合命题“p或q”、“p且q”、“p”真假的步骤(1)确定复合命题的构成形式;(2)判断其中简单命题p、q的真假;(3)根据真值表确定“p或q”、“p且q”、“p”形式的复合命题的真假.含有逻辑联结词命题的真假2.判断含有逻辑联结词的复合命题的真假,可利用真值表转化为一些简单命题的真假进行判断.已知命题p、q,只要有一个命题为假,p且q就为假;只要有一个为真,p或q就为真;p与p真假相反.2.判断含有逻辑联结词的复合命题的真假,可利用真值表转化【例1】(2012·金华模拟)指出下列命题的真假:(1)命题“不等式|x+2|≤0没有实数解”;(2)命题“-1是偶数或奇数”;(3)命题“属于集合Q,也属于集合R”;(4)命题“AA∪B”.【解题指南】先判断命题的形式,再由真值表判断真假.【例1】(2012·金华模拟)指出下列命题的真假:【规范解答】(1)此命题是“p”的形式,其中p:“不等式|x+2|≤0有实数解”,因为x=-2是该不等式的一个解,所以p是真命题,即p是假命题,所以此命题是假命题.(2)此命题是“p或q”的形式,其中p:“-1是偶数”,q:“-1是奇数”,因为p为假命题,q为真命题,所以p或q是真命题,故此命题是真命题.【规范解答】(1)此命题是“p”的形式,其中p:“不等式(3)此命题是“p且q”的形式,其中p:“属于集合Q”,q:“属于集合R”,因为p为假命题,q为真命题,所以p且q是假命题,故此命题是假命题.(4)此命题是“p”的形式,其中p:“A⊆A∪B”,因为p为真命题,所以p为假命题,故此命题是假命题.(3)此命题是“p且q”的形式,其中p:“属于集合Q”【反思·感悟】1.判断一个命题是简单命题还是复合命题的方法：判断一个命题是简单命题还是复合命题时,不能只从字面上看有没有“或”、“且”、“非”,如“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”,此命题字面上无“且”,但可改成“等腰三角形的顶角平分线既是底边上的中线又是底边上的高线”,所以它是复合命题.又例如“5的倍数的末位数字不是0就是5”,此命题字面上无“或”,但它也是复合命题.【反思·感悟】1.判断一个命题是简单命题还是复合命题的方法：2.判断命题的真假,即是看能否从命题中的已知条件得出命题中的结论.有时需要将命题分解为简单命题来帮助思考,也可以利用举反例的方法进行判断.2.判断命题的真假,即是看能否从命题中的已知条件得出命题中的【变式训练】1.命题p:对任意x∈［0,+∞),(log32)x≤1成立,则()(A)p是假命题,p:存在x0∈［0,+∞),满足≥1(B)p是假命题,p:对任意x∈［0,+∞),(log32)x≥1成立(C)p是真命题,p:存在x0∈［0,+∞),满足＞1(D)p是真命题,p:对任意x∈［0,+∞),(log32)x≥1成立【变式训练】1.命题p:对任意x∈［0,+∞),(log32【解析】选C.∵0＜log32＜1,∴当x≥0时,(log32)x≤1,∴命题p:对任意x∈［0,+∞),(log32)x≤1成立是真命题,p:存在x0∈［0,+∞),满足＞1.【解析】选C.∵0＜log32＜1,2.已知命题p:方程x2-mx+1=0有两个不等的正实根;命题q:方程4x2+4(m-2)x+m2=0无实根.若“p或q”为真,“p且q”为假,则下列结论:①p、q都为真;②p、q都为假;③p、q一真一假;④p、q中至少有一个为真;⑤p、q中至少有一个为假.其中正确结论的序号是______,m的取值范围是_______.2.已知命题p:方程x2-mx+1=0有两个不等的正实根;命【解析】命题p中方程x2-mx+1=0有两个不等的正实根,当且仅Δ=m2-4＞0当x1+x2=m＞0,即m＞2;命题q中方程4x2+4(m-2)x+m2=0x1x2=1＞0无实根,当且仅当Δ=16［(m-2)2-m2］＜0,即m＞1.“p或q”为真当且仅当p、q中至少一个为真,“p且q”为假当且仅当p、q中至少一个为假,故结论①②④⑤都错误，只有结论③正确,若m＞2m≤2m≤1m＞1解得1＜m≤2,即m的取值范围为(1,2］.答案：③(1,2］p真q假，则,此时无解；若p假q真，则,【解析】命题p中方程x2-mx+1=0有两个不等的正实根,当【变式备选】1.给出命题p:3≥3,q:函数f(x)=在R上图象是连续的,则在下列三个复合命题:“p且q”,“p或q”,“非p”中,真命题的个数为()(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个【解析】选B.要判断三个复合命题的真假,先必须判断p与q的真假,再结合复合命题的真值表作出判断.p:3≥3为真命题,而q:f(x)=在R上图象是连续的，是假命题,则p或q为真,p且q为假,p为假命题.【变式备选】1.给出命题p:3≥3,q:函数f(x)=2.已知命题p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数,p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数,则在命题q1:p1或p2,q2:p1且p2,q3:(p1)或p2和q4:p1且(p2)中,真命题是()(A)q1,q3 (B)q2,q3 (C)q1,q4 (D)q2,q4【解析】选C.因为y=2x为增函数,y=2-x为减函数,易知p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数是真命题,p2:函数y=2x+2-x在R上为减函数为假命题.故q1,q4为真命题.2.已知命题p1:函数y=2x-2-x在R上为增函数,p2:四种命题以及它们之间的关系【方法点睛】1.判断四种命题之间的关系在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”；要判定命题为假命题时只需举反例.四种命题以及它们之间的2.正确区别“命题的否定”与“否命题”“命题的否定”与“否命题”是两个完全不同的概念.“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”只是否定命题p的结论.具体地说，如果原命题是“若p，则q”,那么原命题的否定是“若p，则q”，原命题的否命题是“若p,则q”.【提醒】命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系.2.正确区别“命题的否定”与“否命题”【例2】(1)命题“若∠C=90°，则△ＡＢＣ是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题的个数是()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)判断命题“已知a,x为实数，如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假.【例2】(1)命题“若∠C=90°，则△ＡＢＣ是直角三角形”【解题指南】(1)先判断原命题的真假，再根据命题之间的关系判断逆否命题的真假.然后写出逆命题并判断真假，最后判断否命题的真假.(2)解决本题应先写出逆否命题，要判断其真假，可根据定义直接判断；也可利用原命题与其逆否命题的等价关系求解.【规范解答】(1)选C.原命题为真命题，则逆否命题也为真命题，逆命题“若△ABC是直角三角形，则∠C=90°”，是假命题，也可能是∠B=90°或∠A=90°，则否命题也是假命题.【解题指南】(1)先判断原命题的真假，再根据命题之间的关系判(2)方法一：直接由原命题写出其逆否命题，然后判断逆否命题的真假.原命题：已知a,x为实数，如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空，则a≥1.逆否命题：已知a,x为实数，如果a＜1，则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.判断如下：抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上，(2)方法一：直接由原命题写出其逆否命题，然后判断逆否命题的判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.∵a＜1,∴4a-7＜0,即抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点.∴关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.故逆否命题为真.方法二：根据命题之间的关系，原命题与其逆否命题同真同假，只需判断原命题的真假即可.判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.∵a,x为实数，且关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为非空，∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,即4a-7≥0,解得a≥∵a≥≥1,∴原命题为真命题.又因为原命题与其逆否命题同真同假，所以逆否命题为真.∵a,x为实数，且关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+【反思·感悟】1.对四种命题的结构不明确是导致判断错误的主要原因之一.可以根据“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”和“命题的否定”的概念逐一得出命题后，再进行真假判