选修2-1两个向量的数量积课时作业

选修2-1两个向量的数量积课时作业选修2-1两个向量的数量积课时作业选修2-1两个向量的数量积课时作业资料仅供参考文件编号：2022年4月选修2-1两个向量的数量积课时作业版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：课时作业18两个向量的数量积时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．下列式子中正确的是()A．|a|·a＝a2B．|a·b|2＝a2·b2C．(a·b)·c＝a(b·c)D．|a·b|≤|a||b|【答案】D【解析】选项A，|a|·a应是一个向量，而a2是一个数．选项B，|a·b|2＝a2·b2·cos2〈a，b〉，而不是a2·b2.选项C，向量运算中没有乘法结合律．2．已知空间四边形每条边和对角线的长等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2等于()A．2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)) B．2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))C．2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→)) D．2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))【答案】B【解析】2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－a2,2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝a2,2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝－a2,2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝－a2,2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a2.3．已知a，b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是()A．30° B．45°C．60° D．90°【答案】C【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(Aeq\o(C,\s\up6(→))＋Ceq\o(D,\s\up6(→))＋Deq\o(B,\s\up6(→)))·Ceq\o(D,\s\up6(→))＝Aeq\o(C,\s\up6(→))·Ceq\o(D,\s\up6(→))＋eq\o(CD2,\s\up6(→))＋Deq\o(B,\s\up6(→))·Ceq\o(D,\s\up6(→))＝0＋12＋0＝1，又|Aeq\o(B,\s\up6(→))|＝2，|Ceq\o(D,\s\up6(→))|＝1.∴cos〈Aeq\o(B,\s\up6(→))，Ceq\o(D,\s\up6(→))〉＝eq\f(A\o(B,\s\up6(→))·C\o(D,\s\up6(→)),|A\o(B,\s\up6(→))||C\o(D,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2×1)＝eq\f(1,2).∴a与b所成的角是60°.4．已知向量a，b，c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a－b＋2cA.eq\r(5) B．5C．6 D.eq\r(6)【答案】A【解析】(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝1＋1＋4－2cos60°＝5.∴|a－b＋2c|＝eq\5．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，则AB1与BC1所成角的大小为()A．60° B．90°C．105° D．75°【答案】B【解析】设AB＝eq\r(2)BB1＝eq\r(2)a，则eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(CC1,\s\up6(→))＝2a2·cos120°＋a2＝0，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(BC1,\s\up6(→))，即AB1与BC1所成角的大小为90°.6．正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则A．2 B.eq\r(3)C.eq\r(5) D.eq\r(7)【答案】C【解析】如图所示，设Aeq\o(B,\s\up6(→))＝a，Aeq\o(C,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.因为Eeq\o(F,\s\up6(→))＝Eeq\o(A,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1F,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，所以|EF|2＝|Eeq\o(F,\s\up6(→))|2＝Eeq\o(F,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)a2＋eq\f(1,4)b2＋c2＋2(－eq\f(1,2)a·eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b·c－eq\f(1,2)a·c)＝eq\f(1,4)×22＋eq\f(1,4)×22＋22＋2×(－eq\f(1,4))×2×2cos60°＝1＋1＋4－1＝5，所以|EF|＝eq\r(5).二、填空题(每小题10分，共30分)7．已知|a|＝12，|b|＝9，a·b＝－54eq\r(2)，则〈a，b〉＝________.【答案】－135°【解析】∵cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－54\r(2),12×9)＝－eq\f(\r(2),2)，∴〈a，b〉＝135°.8．已知i，j，k都是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b等于________．【答案】－2【解析】a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.9．若a，b是两个非零向量，且a2b＝b2a，则a与b【答案】a＝b【解析】∵a2b＝b2a∴|a|2b＝|b|2a∴b＝eq\f(|b|2,|a|2)a，∴a与b共线且方向相同．又∵|b|＝eq\f(|b|2,|a|2)|a|，∴|a|＝|b|.∴a＝b.三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)已知三棱锥O—ABC的各个侧面都是正三角形，且棱长为1，求：(1)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))；(2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))；(3)|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|.【解析】设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝60°，eq\o(CA,\s\up6(→))＝a－c，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b－c，(1)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|a||b|·cos60°＝eq\f(1,2).(2)由(1)知，a·b＝a·c＝b·c＝eq\f(1,2)，则(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝(a＋b)·(a＋b－2c＝a2＋b2＋2a·b－2a·c－2(3)|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(a＋b＋c2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)＝eq\r(6).11．(13分)如图所示，正方形ABCD与正方形ABEF边长均为1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动．若CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))．(1)求MN的长度；(2)当a为何值时，MN的长最小．【分析】根据向量的基本运算，利用Neq\o(M,\s\up6(→))＝Neq\o(F,\s\up6(→))＋Feq\o(A,\s\up6(→))＋Aeq\o(M,\s\up6(→))这一关系来求|Meq\o(N,\s\up6(→))|2，这是求长度问题的常见方法；利用向量的坐标形式来处理问题，使几何问题彻底向代数问题转化．【解析】(1)AC＝eq\r(2)，BF＝eq\r(2)，CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))．Aeq\o(M,\s\up6(→))＝(1－eq\f(a,\r(2)))Aeq\o(C,\s\up6(→))，Neq\o(F,\s\up6(→))＝(1－eq\f(a,\r(2)))Beq\o(F,\s\up6(→)).Neq\o(M,\s\up6(→))＝Neq\o(F,\s\up6(→))＋Feq\o(A,\s\up6(→))＋Aeq\o(M,\s\up6(→))＝(1－eq\f(a,\r(2)))Beq\o(F,\s\up6(→))＋Feq\o(A,\s\up6(→))＋(1－eq\f(a,\r(2)))Aeq\o(C,\s\up6(→))＝(1－eq\f(a,\r(2)))(Beq\o(E,\s\up6(→))＋Beq\o(A,\s\up6(→)))＋Feq\o(A,\s\up6(→))＋(1－eq\f(a,\r(2)))(Aeq\o(B,\s\up6(→))＋Beq\o(C,\s\up6(→)))＝(1－eq\f(a,\r(2)))(Beq\o(E,\s\up6(→))＋Beq\o(A,\s\up6(→)))－Beq\o(E,\s\up6(→))＋(1－eq\f(a,\r(2)))(－Beq\o(A,\s\up6(→))＋Beq\o(C,\s\up6(→)))＝(1－eq\f(a,\r(2)))Beq\o(C,\s\up6(→))＋(－eq\f(a,\r(2)))Beq\o(E,\s\up6(→)).|Neq\o(M,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|N\o(M,\s\up6(→))|2))＝eq\r([1－\f(a,\r(2))B\o(C,\s\up6(→))－\f(a,\r(2))B\o(E,\s\up6(→))]2)＝eq\r(1－\f(a,\r(2))2－\f(2a,\r(2))1－\f(a,\r(2))B\o(C,\s\up6(→))·B\o(E,\s\up6(→))＋\f(1,2)a2)＝eq\r(a－\f(\r(2),2)2＋\f(1,2))(0<a<eq\r(2))．(2)由(1)知当a＝eq\f(\r(2),2)时，|Meq\o(N,\s\up6(→))|的最小值为eq\f(\r(2),2)，即M，N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为eq\f(\r(2),2).12．(14分)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为正方形ABCD和AA1B1B(1)求证：AC1⊥平面A1BD；(2)求eq\o(D1M,\s\up6(→))与Ceq\o(N,\s\up6(→))夹角的余弦值．【解析】(1)证明：设Aeq\o(B,\s\up6(→))＝a，Aeq\o(D,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(A1B,\s\up6(→))＝a－c，注意到a·b＝a·c＝b·c＝0，则有eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(a＋b＋c)·(b－a)＝b2－a2＋b·c－a·c＝|b|2－|a|2＝0.同理，eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(A1B,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC1,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AC1,\s\up6(→))⊥eq\o(A1B,\s\up6(→))，∴eq\o(AC1,\s\up