立体几何中的平行与垂直(教学案)

【热身训练】1．设

l，m表示直线，m是平面

α内的任意一条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的__________条件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)．解析：因为

m是平面

α内的任意一条直线，若

l⊥m，则

l⊥α，所以充分性成立；反过来，若

l⊥α，则

l⊥m，所以必要性成立，故“l⊥m”是“l⊥α”成立的充要条件．2．(2017·

盐城二模)α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是__________(填上所有正确命题的序号)．①若

α∥β，m⊂

α，则

m∥β；②若

m∥α，n⊂

α，则

m∥n；m n m③若

α⊥β，α∩β＝n，⊥n，则

m⊥β

n⊥α，⊥β，⊥α，则

m n m解析：①④3

ABCD中，

AB⊥BD

BD将△ABD

ABD⊥面

BCD，连结

AC，则在四面体

ABCD的四个面中，互相垂直的平面有__________对．4．在正方体

ABCD

ABCD

中，点

M，N分别在

AB，BC

上(M，N不与

B，C

重 合)，且AM＝BN，那么①AA

⊥MN；②AC∥MN；③MN∥平面

ABCD；④MN与

AC 异面．以上

4

个结论中，正确结论的序号是__________．解析：过M作

MP∥AB交

BB

于

P，连接NP，则平面MNP∥平面

AC，所以MN∥平 面

ABCD，又

AA⊥平面

ABCD，所以

AA⊥MN.当

M与

B

重合，N与

C

重合时， 则

AC

与

MN相交，所以①③正确． 【热点追踪】在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关系基本定理判定)或解答题()大．柱、锥、台、球及其简单组合体和平面及其基本性质虽然没有单独考查，但作为立体几何最基本的要素是融入在解答题中考查的.（一）利用平行、垂直的判定定理与性质定理解决位置关系例

1.

(2017·南通一模)

P

ABCD

ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点

O，点

E为

PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD.求证：(1)直线

PA∥平面

BDE；(2)平面

BDE⊥平面

PCD.(2)因为

OE∥PA，PA⊥PD，所以

OE⊥PD.因为

OP＝OC，E为

PC的中点，所以

OE⊥PC.又因为

PD⊂

平面

PCD，PC⊂

平面

PCD，PC∩PD＝P，所以

OE⊥平面

PCD.又因为

OE⊂

平面

BDE，所以平面

BDE⊥平面

PCD.变式

1 (2017·南通三模)如图，在四棱锥P

ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面

ABCD，AP＝AD，M，N分别为棱

PD，PC的中点．求证：(1)MN∥平面

PAB；(2)AM⊥平面

PCD.解析：

(1)因为

M，N分别为棱

PD，PC的中点，所以

MN∥DC，又因为底面

ABCD是矩形，所以

AB∥DC，所以

MN∥AB.又

AB⊂

平面

PAB，MN 平面

PAB，所以

MN∥平面

PAB.变式

2 如图，点

P为矩形

ABCD所在平面外一点，且

PA⊥平面

ABCD.(1)求证：BC⊥平面

PAB；(2)过

CD作一平面交平面

PAB于

EF，求证：CD∥EF.解析：(1)因为

PA⊥平面

ABCD，BC⊂

平面

ABCD，所以

PA⊥BC.在矩形

ABCD中，BC⊥AB.因为

PA∩AB＝A，所以

BC⊥平面

PAB.(2)因为

CD∥AB，CD 平面

PAB，AB⊂

平面

PAB，所以

CD∥平面

PAB.又因为

CD⊂

平面

CDEF

，平面

CDEF

∩平面

PAB＝EF

，所以

CD∥EF

.（二）借助边、角量的计算解决位置关系例

2.

如图，在三棱柱ABC

ABC

中，AA⊥BC，∠AAC＝60°，AA＝AC＝BC＝1， AB＝

2.(1)求证：平面

ABC⊥平面

ACCA； (2)如果

D为

AB的中点，求证：BC∥平面

ACD. (2)如图，连结

AC

交

AC

于点

O，连结

OD. 因为四边形

ACCA

为平行四边形，所以

O为

AC

的中点． 又因为

D为

AB的中点，所以

OD∥BC

.因为

OD 平面

ACD，BC

平面

ACD，所以

BC∥平面

ACD.

变式1 ABC

ABC

中，已知AB＝AC＝2AA，∠BAA＝∠CAA＝60°， 点

D，E分别为

AB，AC

的中点．求证：(1)DE∥平面

BBCC； (2)BB⊥平面

ABC. 解析：(1)如图，取

AC的中点

M，连结

DM，EM.因为

D为

AB的中点，所以

DM∥BC.因为

DM 平面

BBCC，BC⊂

平面

BBCC，所以

DM∥平面

BBCC. 同理可证

EM∥平面

BBCC. 又

DM∩EM＝M，所以平面

DEM∥平面

BBCC. 因为

DE⊂

平面

DEM，所以

DE∥平面

BBCC. 如图，在直三棱柱

ABC

AB如图，在直三棱柱

ABC

ABC

中，点

D，E分别在边

BC，BC

上，CD＝BE＝

AC，1 2∠ACD＝60°.求证：(1)BE∥平面

ACD；(2)平面

ADC⊥平面

BCCB

. 解析：(1)由三棱柱

ABCABC

是直三棱柱，得

BC∥BC

且

BC＝BC. 因为点

D，E分别在边

BC，BC

上，CD＝BE，所以

BD＝CE

且

BD∥CE. 所以四边形

BDCE是平行四边形，所以

BE∥CD. 因为

CD 平面

ACD，BE 平面

ACD，所以

BE∥平面

ACD. （三）立体几何中关于动点位置常见问题的处理(2)若点

F在线段

AC上，且满足

AD∥平面

PEF，求

的值．例

3.

如图，在三棱锥

P

ABC中，BC⊥平面

PAB.已知

PA＝(2)若点

F在线段

AC上，且满足

AD∥平面

PEF，求

的值．BC的中点．(1)求证：AD⊥平面

PBC；AFFCGC

PC 2FC

GC 2解析：(1)因为

BC⊥平面

PABGC

PC 2FC

GC 2所以

BC⊥AD.因为

PA＝AB，D为

PB的中点，所以

AD⊥PB.因为

PB∩BC＝B，所以

AD⊥平面

PBC.(2)连结

DC，交

PE于点

G，连结

F

G.因为

AD∥平面

PEF

，AD⊂

平面

ADC，平面

ADC∩平面

PEF

＝F

G，所以

AD∥F

G.因为

D为

PB的中点，E

为

BC的中点，连结

DE，则

DE为△BPC的中位线，△DEG∽△CPG.DG

DE 1所以 ＝ ＝

.AF

DG 1所以 ＝ ＝

.变式

1

ABC与直角梯形

ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M

为

AB的中点．(1)证明：CM⊥DE；(2)在边

AC上找一点

N，使

CD∥平面

BEN.(2)当AN 1＝

时，CD∥平面

BEN.解析：(1)因为

BC＝AC，(2)当AN 1＝

时，CD∥平面

BEN.又平面

ABC⊥平面

ABDE

ABC∩平面

ABDE＝AB，CM⊂

平面

ABC，所以CM⊥平面

ABDE.又

DE⊂

平面

ABDE，所以

CM⊥DE.AC 3如图，连结

AD交

BE于点

K，连结

KN.KD

BD 2

AD 3ACKD

BD 2

AD 3AC 3因为在梯形

ABDE中，BD∥AE，BD＝2AE，所以 ＝ ＝

，则 ＝

.AN 1又 ＝

，所以

KN∥CD.因为

KN⊂

平面

BEN，CD 平面

BEN，所以

CD∥平面

BEN.变式

2如图，在四棱锥

P

ABCD中，底面

ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为

AD的中点．(1)若

PA＝PD，求证：平面

PQB⊥平面

PAD；(2)

点

M在线段

PC上，PM＝tPC，试确定实数

t的值，使得

PA∥平面

MQB.(2)当且仅当

t(2)当且仅当

t＝

时，PA∥平面

MQB.OC

CB 2

AC 33

CA

CP 33证明如下：连结

AC，设

AC∩BQ＝O，连结

OM.在△AOQ与△COB中，因为

AD∥BC，所以∠OQA＝∠OBC，∠OAQ＝∠OCB.所以△AOQ∽△COB.AO

AQ 1 AO 1所以 ＝ ＝

，所以 ＝

.1 CO

CM 2在△CAP与△COM中，当

t＝

时，因为 ＝ ＝

，∠ACP＝∠OCM，所以△CAP∽△COM.以上每步可逆．故当

PA∥平面

MQB时可得

t＝

.以上每步可逆．故当

PA∥平面

MQB时可得

t＝

.因为

OM 平面

MQB，PA 平面

MQB，所以

PA∥平面

MQB.13【乘热打铁】1．在空间中，用

a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列四个命题：(1)若

a∥b，b∥c，则

a∥c；(2)若

a⊥b，b⊥c，则

a⊥c；(3)若

a∥γ，b∥γ，则

a∥b；(4)若

a⊥γ，b⊥γ，则

a∥b.上述命题中，真命题的序号是__________(写出所有命题的序号)．2．(2009·

江苏卷)设

α和

β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若

α内的两条相交直线分别平行于

β内的两条直线，则

α平行于

β；(2)若

α外一条直线

l

与

α内的一条直线平行，则

l

和

α平行；(3)设

α和

β相交于直线

l，若

α内有一条直线垂直于

l，则

α和

β垂直；(4)直线

l与

α垂直的充要条件是

l与

α内的两条直线垂直．上述命题中，真命题的序号是__________(写出所有命题的序号)．3．如图，AB为圆

O的直径，点

C在圆周上(异于点

A，B)，直线

PA垂直于圆

O所在的平面，点

M是线段

PB的中点．有以下四个命题：(1)MO∥平面

PAC；(2)OC⊥平面

PAC；(3)平面

PAC⊥平面

PBC.其中正确的是__________(填序号)．解析：(1)因为

MO∥PA，MO 平面

PAC，PA⊂

平面

PAC，所以

MO∥平面

PAC；(2)因为

PA垂直于圆

O

所在的平面，所以

PA⊥BC.又

BC⊥AC，AC∩PA＝A，所以

BC⊥平面

PAC.因为空间内过一点作已知平面的垂线有且只有一条，所以OC⊥平面

PAC不成立，(2)错误；(3)由(2)知

BC⊥平面

PAC，且

BC⊂

平面

PBC，所以平面

PAC⊥平面

PBC.正确命题的序号是(1)(3)．4.如图，在正三棱

ABC

ABC

中，已知

D，E分别为

BC，BC

的中点，点

F在棱 CC

上，且

EF⊥