梁的应力-习题答案

习题10?1一工字型钢梁，在跨屮作用集中力 ，已知=6m,=20kN,工字钢的型号为20a,F1F求梁中的最大正应力。)0瘍'掘.工i 1 /2 1/2I解：梁内的最大弯矩发生在跨屮Mmax30kN.m

查表知20a工字钢Wz237cn?解：梁内的最大弯矩发生在跨屮M 3贝Ij maxmaX一126.6106Pa126.6MPaWz237106，截面高度为，宽度为，1 h b，截面高度为，宽度为，1 h b材料的弹性模量为E,试求梁下边缘的总伸长。1解：梁的弯矩方程为Mx_q仪lqx22210?3已知梁在外力作用下发生平面弯曲,当截面为下列形状时,10?3已知梁在外力作用下发生平面弯曲,当截面为下列形状时,试分别画出正应力沿XElzElz22梁下边缘的线应变x_hL2- h_qix丄qx?x2EIZ22下边缘伸长为 111xdx —h—1_qix12,_qxdxo °2EIz22则曲率方程为_i_ 44-X-亠Jqlx4qx23-qJ—2Ebh2横截面髙度的分布规律。W：各种截面梁橫截面上的正应力都是沿高度线性分布的。屮性轴侧产生拉应力，另一侧产生压应力。10?4一对称T形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，梁的尺寸如图所示，已知1=1.5m,q=8KN/m,求梁中横截面上的最大拉应力和最大压应力。qq解：1、设截面的形心到下边缘距离为 y>48410410则有y]48104— 7.33cm则形心到上边缘距离 y2127.334.67cm于是截面对中性轴的惯性距为Iz4-81.12483.33Iz4-81.12483.332 LQ-4^121042.672 864.0cm42、作梁的弯矩图设最大正弯矩所在截面为D,最大负弯矩所在截面为E,则在D截面“ax-M^yi卜丹”8~卜3升34卜2 15.08106Pa15.08MPaIz 864.0108c.max-M-n-yzTT弼一卜O—dG? 9.61106Pa9.61MPaIz 864.0108在E截面上maxy21.0"― 2 5.40106Pa5.40MPaIz 864.0 1081.01(P__ 28.48106Pa8.48MPamaxIzyi 864.0 108所以梁内t.max15.08MPa,c,max9.61MPa10?510?5一矩形截面简支梁，跨屮作用集屮力 F,已知l=4m,b=120mm,h=180mm,弯曲时材料的许用应力[O]=10Mpa,求梁能承受的最大荷载F解：梁内的最大弯矩发生在跨屮矩形截面梁bh2Wz6M则由maxmaxWz得EL bh24 6即F2hh2 10 106 012_ 26480N31 3428a号槽钢组成的简支梁，如图所示,已知该梁材料为10?6由两个弯曲正应力[]=170Mpa,求梁的许可荷载[]oOFQ235钢,其许用解：作弯矩图梁内的最大弯矩发生在跨屮 Mmax4F矩形截面梁WzIz则由maxymaxMmaxWzIz2WZ'680.656cm3ymax得4F Wz卜0』6g&6・56—10-628927N10?7圆形截面木梁，梁上荷载如图所示，已知l=3m,F=3kN,q=3kN/m,弯曲时木材的许用应力［CTUlOMPa,试选择圆木的直径do|」/••亠 1 解：作弯矩图则由MM解：作弯矩图则由MMmaxmaxmax得WzWziH即d3_ 31°3得d0.145m 145mm321010610?8起重机连同配重等重P=50kN,行走于两根工字钢所组成的简支梁上， 如图所示。起重机的起重量F=10kN,梁材料的许用弯曲应力［O］=170Mpa,试选择工字钢的型号。设全部荷载平均分配在两根梁上。10m10m解：设起重机左轮距A端为x,则有Me506x2,Md6x238x 80140.2kN.m从而确定出MCmax104.2kN.m,MDmax140.2kN.m即梁内出现的最大弯矩为140.2kN.m_1-e38.25104m3则由 _1-e38.25104m3max 170106又对于本题Wz+-hryy2WZmaxmax所以W；W78.251()4 4.125104m3412.5cm322查表选25b号工字钢。10?9两个矩形截面的简支木梁， 其跨度、荷载及截面面积都相同，一个是整体，另一个是由两根方木叠置而成，试分别计算二梁屮的最大正应力。解：1解：1M由—.得Elz21011 MElz640.30.3 103maxM--M---伞24十•卜&一+6-3Wzd30.63IO910?10直径d=0.6mm的钢丝绕在直径E=2X105MPa,试求钢丝中的最大正应力。解：1、第一种情况M丛梁内的最大弯矩发生在跨中 “和父bh2 2a3矩形截面梁Wz6 3Mql233ql3则 maxmaxWz82a316a32、第二种情况梁内的最大弯矩发生在跨屮Mmax16bh2a3矩形截面梁Wz66Mql23ql3则maxmax6Wz16a38a3D=600mm的圆筒上，已知钢丝的弹性模量4.24115103N.m200106Pa200MPa323232-2—1-011——0；3-10-3 200106Pa200MPa0.3 0.3 10310?11一矩形截面简支梁由圆柱形木料锯成。已知 F=5kN,a=1.5m,[O]=10Mpao以及梁所需木料的最小直径max试确定弯曲截面系数最大时矩形截面的高宽比 h:b,do3abb解:bh2Wz—6

dW

由 j2 3h2 0得b0d,dbWz取极大值，所以弯曲截面系数最大时,hdhdd2W-—乙 b0所以b2db2「d，即h:b<2:13梁内的最大弯矩 MmaxFa7.5kN.m矩形截面梁Wz-bh-2627则由Mmaxmax得Wz1V1maxids2710?12Wz"9^*'3MmaxH37.5103!ioio60.227m227mm-铸铁梁如图所示。已知材料的拉伸强度极限Qb=150Mpa,压缩强度极限Obc=630Mpa,试求梁的安全因数。16kND:1010j ►•-■•■■■2001f解：1、设截面形心距离下边缘为 y.160 4020 10160 1202则右yi 16040 10160 2 53.33mm则形心到上边缘距离 y220053.33146.67mm于是截面对中性轴的惯性距为160403122160401604031221604033.331016031221016066.674229013333.4mm2、作梁的弯矩图C截面t.maxMCyi-4心一322.057106Pa22.057MPaIz29013333.41012c,maxMCy212IO?146.67IO?60.663106Pa60.663MPaIZ29013333.41012B截面上MRt.maxy28IO?M6.6710彳40.442106Pa40.442MPaIz29013333.41012Mc,max —Byi81(P 53.33IO?14.70510°Pa14.705MPaIz29013333.41012150 630所以有m 3.709,nc 10.385nt,取安全系数为。40.442 60.66310?13一简支工字型钢梁，工字钢的型号为28a,梁上荷载如图所示，已知l=6m,Fi=60kN,Fa=40kN,q=8kN/m,钢材的许用应力[a]=170Mpa,[T]=lOOMpa,试校核梁的强度。解：作内力图则右 max Mmax3fiAR10J170.8106Pa170.8MPaOO.o 丄uWz508.15 106而，BaX170.81700.47%5%170FS36max Sax― X gOv?-―mi.38.56100Pa38.56MPa[]zb 24.6210 2 0.0085F=20kN,钢10?14 一简支工字型钢梁，梁上荷载如图所示，已知l=6m,q=F=20kN,钢材的许用应力[O]=170Mpa,[T]=lOOMpa,试选择工字钢的型号。fqIHH1MfqIHH1M11HMil d_zA解：作内力图28kN28kN28kN28kN由MmaxMmax57103 4 3maxWz得Wz170106 3.35310m 335.3cm查表选25a（考虑5%误差可以选则22b）。对于所选型号，梁内出现的最大切应力为106106Pa16.21MPa[]max 决_4 16.21Izb 21.5810 20.008(如为22b,max15.8MPa )所以工字钢型号为25a(或22b)o已知材料的许用弯曲应力[O]=170Mpa,10?15已知材料的许用弯曲应力[O]=170Mpa,许用切应力[T]=lOOMpao试选择工字钢型号。80kN 20kN/m 60kN解：作内力图maxWz查表选28ao得W_M»X 4.886104mmaxWz查表选28ao得W_M»X 4.886104m3488.6cm3Z 170106对于所选型号，梁内出现的最大切应力为FSS.maxz.max 113.125103maxIzb 24.62102 0.0085654.0610Pa54.06MPa||所以工字钢型号为 28ao10?16外伸梁AC承受荷载如图所示，Me=,q=20KN/m。材料的许用应力[O]=170Mpa,[T]=lOOMpao试选择工字钢的型号。qMqM解：作内力图MmaxEmaxWz查表选20ao得104MmaxEmaxWz查表选20ao得104m170106235.3cm3对于所选型号，梁内出现的最大切应力为maxFSS.maxz.max40103633.2210Pa33.22MPamaxFSS.maxz.max40103633.2210Pa33.22MPaIzb17.2102 0.007所以工字钢型号为20ao40mmX90mm的木板胶合而成，已知l=3m,胶缝10?17图示简支梁是由三块截面为的许用切应力[]=，试按胶缝的切应力强度确定梁所能承受的最大荷载T形Ollim才F0mm0mmT形Ollim才F0mm0mm0mm解：梁内的最大剪力值为0.5F则胶缝处的最大切应力为max*Fs.maxSzIzb0・5F90max*Fs.maxSzIzb0・5F90~4090—1£©310124010990 1061.73F由max由maxh、b和h[]得FW8IOON010?18图示结构中，AB梁与CD梁所用材料相同，二梁的高度与宽度分别为和b,已知1=3.6m,a=1.3m,h=150mm,hi=100mm,b=100mm,材料的许用应力[O]lOMpa,[T]=，试求该结构所能承受的最大荷载Fmaxo解:1 、对于上梁作内力图㊉2e由 Mmaxmax得MmaxFlWz，即7所以有所以有F4Wz13F又由TS.maxmax2A所以有F434 10 1060.10」23.6得FS.max

1.8521042.2 ]°6 042.2 ]°6 0,即E2 A329.3310・N29・33kN对于下梁作内力图1-F©2o由max所以有又由Tmaxmax得MmaxMWzl2W/i2A1wzl2101060.10・152 6——1.3得FSjnax5.771(PN5.77kN所以有F4Ai42.2IO'0.10.1544.0103N44.0kN3综上，取F1.852kN10?19图示木梁受一可移动的荷载F=40KN作用。已知[O]=lOMpa,[T]=3Mpao木梁的橫截面为矩形，其高宽比--，试选择梁的截面尺寸。b梁的橫截面为矩形，其高宽比--，试选择梁的截面尺寸。b2解:当F位于跨中时，梁内出现最大弯矩Mmax典40103—1 10103N10kNM44由max得WMmnx即maxWzzbh29b3Mmax10io31.0 10'm'从而有b0.1387m 138.7mm10106624又当F位于靠近左右支座时，梁内出现最大剪力Fs.max- 20kN2由Tmax-3dF^-2Amaxbh-b23Fs.max3 20103 由Tmax-3dF^-2Amaxbh-b23Fs.max3 20103 1010231063nf从而有b0.0816m 81.6mm综上取b138.7mm,h208.0mm10?20图示起重吊车AB行走于CD梁Z间,CD梁是由两个同型号的工字钢组成，已知吊车的自重为梁长1=12m,试选择工字钢的型号。a