安徽省蒙城县一中2022-2023学年数学高一上期末含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知是锐角，那么是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.小于180°的正角 D.第一或第二象限角2．定义在实数集上的奇函数恒满足，且时，，则（）A. B.C.1 D.3．已知函数，下列区间中包含零点的区间是（）A. B.C. D.4．半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（）A. B.C. D.5．若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为（）A. B.C. D.6．历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特优势.已知，，则的估算值为（）A. B.C. D.7．已知sinα+cosα=，则sin的值为（）A.- B.C.- D.8．某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数与传染源感染后至隔离前时长t（单位：天）的模型：.已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20.若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为（）A.44 B.48C.80 D.1259．我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直观，形少数时难人微，数形结合百般好，割裂分家万事休.在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的解析式琢磨函数图像的特征.如函数，的图像大致为（）A. B.C. D.10．已知，函数在上递减，则的取值范围为（）A. B.C. D.11．若，则角终边所在象限是A.第一或第二象限 B.第一或第三象限C.第二或第三象限 D.第三或第四象限12．下列指数式与对数式的互化不正确的一组是（）A.100=1与lg1=0 B.与C.log39=2与32=9 D.log55=1与51=5二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知函数f（x）＝|sinx|﹣cosx，给出以下四个命题：①f（x）的图象关于y轴对称；②f（x）在[﹣π，0]上是减函数；③f（x）是周期函数；④f（x）在[﹣π，π]上恰有三个零点其中真命题的序号是_____．（请写出所有真命题的序号）14．计算___________.15．等于_______.16．已知函数定义域是________（结果用集合表示）三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知点，圆.（1）求过点且与圆相切的直线方程；（2）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求实数的值.18．设函数，其中（1）若当时取到最小值，求a的取值范围（2）设的最大值为，最小值为，求的函数解析式，并求的最小值19．在中，，且与的夹角为，.（1）求的值；（2）若，，求的值.20．已知函数的部分图象如图所示（1）求的解析式及对称中心坐标：（2）先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，求的值域21．已知定理：“若、为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”.设函数，定义域为.（1）试求的图象对称中心，并用上述定理证明；（2）对于给定的，设计构造过程：、、、.如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止.若对任意，构造过程可以无限进行下去，求的取值范围.22．已知集合，.（1）若，求；（2）若，求的取值范围.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、C【解析】由题知，故，进而得答案.【详解】因为是锐角,所以,所以,满足小于180°的正角.其中D选项不包括，故错误.故选：C2、B【解析】根据函数奇偶性和等量关系，求出函数是周期为4的周期函数，利用函数的周期性进行转化求解即可【详解】解：奇函数恒满足，，即，则，即，即是周期为4的周期函数，所以，故选：B3、C【解析】根据函数零点的存在性定理，求得，即可得到答案.【详解】由题意，函数，易得函数为单调递减函数，又由，所以，根据零点的存在定理，可得零点的区间是.故选：C.4、C【解析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．【详解】设底面半径为r，则，所以.所以圆锥高.所以体积.故选：C.【点睛】本题考查圆锥的性质及体积，圆锥问题抓住两个关键点：（1）圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长；（2）圆锥底面半径r、高h、母线l组成直角三角形，满足勾股定理，本题考查这两种关系的应用，属于简单题.5、A【解析】将平方可得，再利用向量夹角公式可求出.【详解】，是单位向量，，，，即，即，解得，则向量，夹角的余弦值为.故选：A.6、C【解析】令，化为指数式即可得出.【详解】令，则，∴，即的估算值为.故选：C.7、C【解析】应用辅助角公式可得，再应用诱导公式求目标三角函数的值.【详解】由题设，，而.故选：C8、D【解析】根据求得，由此求得的值.【详解】依题意得，，，所以.故若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则相关确诊病例人数约为125.故选：D9、B【解析】根据题意求出函数的定义域并判断出函数的奇偶性，再代入特殊值点即可判断答案.【详解】由题意，函数定义域为，，于是排除AD，又，所以C错误，B正确.故选：B.10、B【解析】求出f（x）的单调减区间A，令（，π）⊆A，解出ω的范围【详解】解：f（x）sin（ωx），令，解得x，k∈Z∵函数f（x）sin（ωx）（ω＞0）在（，π）上单调递减，∴，解得ω2k，k∈Z∴当k＝0时，ω故选：B【点睛】本题考查了三角函数的单调性与单调区间，考查转化能力与计算能力，属于基础题11、D【解析】利用同角三角函数基本关系式可得，结合正切值存在可得角终边所在象限【详解】，且存在，角终边所在象限是第三或第四象限故选D【点睛】本题考查三角函数的象限符号，是基础题12、B【解析】根据指数式与对数式的互化逐一判断即可.【详解】A.1对数等于0，即，可得到：100=1与lg1=0；故正确;B.对应的对数式应为,故不正确；C.；故正确，D.很明显log55=1与51=5是正确的；故选:B.【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、①③【解析】求函数的奇偶性即可判断①；结合取值范围，可去绝对值号，结合辅助角公式求出函数的解析式，从而可求单调性即可判断②；由f（x+2π）＝f（x）可判断③；求[﹣π，0]上的解析式，从而可求出该区间上的零点，结合函数的奇偶性即可判断[﹣π，π]上零点个数.【详解】解：对于①，函数f（x）＝sinx﹣cosx的定义域为R，且满足f（﹣x）＝f（x），所以f（x）是定义域在R上的偶函数，其图象关于y轴对称，①为真命题；对于②，当x∈[﹣π，0]时，sinx≤0，fx对于y=2sinx+π4，x+对于③，因为f（x+2π）＝|sin（x+2π）|﹣cos（x+2π）＝|sinx|﹣cosx＝f（x），函数f（x）是周期为2π的周期函数，③为真命题；对于④，当x∈[﹣π，0]时，sinx≤0，fx=-sinx+cosx=-2sinx+π4，且x+π4∈-故答案为:①③.【点睛】关键点睛：在判断命题②④时，关键是结合自变量的取值范围去掉绝对值号，结合辅助角公式求出函数的解析式，再结合正弦函数的性质进行判断.14、2【解析】利用指数、对数运算法则即可计算作答.【详解】.故答案：215、【解析】直接利用诱导公式即可求解.【详解】由诱导公式得：.故答案为：.16、【解析】根据对数函数的真数大于0求解即可.【详解】函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为，故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）或；（2）.【解析】（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r，直接求解圆的切线方程即可（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a即可【详解】（1）由圆的方程得到圆心，半径.当直线斜率不存在时，直线与圆显然相切；当直线斜率存在时，设所求直线方程为，即，由题意得：，解得，∴方程为，即.故过点且与圆相切的直线方程为或.（2）∵弦长为，半径为2.圆心到直线的距离，∴，解得.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力18、（1）（2），最小值为.【解析】（1）求得函数的导数，令，要使得函数在取到最小值，则函数必须先减后增，列出方程组，即可求解；（2）由（1）知，若时，得到函数在上单调递减，得到；若时，令，求得，分，，三种情况讨论，求得函数的解析式，利用一次函数、换元法和二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：由函数，可得，令，要使得函数在取到最小值，则函数必须先减后增，则满足，解得，即实数取值范围为.【小问2详解】解：由（1）知，设，若时，即时，，即，函数在上单调递减，所以，可得；若时，即时，令，即，解得或，①当时，即时，在恒成立，即，可得函数在上单调递增，所以，可得；②当时，即时，在恒成立，即，可得函数在上单调递减，所以，可得；③当时，即时，当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增，所以当时，函数取得最小值，即，又由，可得，（i）当时，，即，所以，此时；（ii）当时，，即，所以，此时，综上可得，函数的解析式为，当时，；当时，；当时，令，则，可得，根据二次函数的性质，可得当时，函数取得最小值，最小值为；当时，令，则，可得，则，综上可得，函数的最小值为.19、（1）；（2）.【解析】（1）选取向量为基底，根据平面向量基本定理得，又，然后根据向量的数量积的运算量可得结果；（2）结合向量的线性运算可得，然后与对照后可得【详解】选取向量为基底（1）由已知得，，∴（2）由（1）得，又，∴【点睛】求向量数量积的方法（1）根据数量积的定义求解，解题时需要选择平面的基底，将向量统一用同一基底表示，然后根据数量积的运算量求解（2）建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，将数量积的问题转化为数的运算的问题求解20、（1），()（2）【解析】（1）先根据图象得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得的值，根据周期求得的值，根据求得的值，由此求得的解析式，进而求出的对称中心；（2）根据三角变换法则求得函数的解析式，再换元即可求出的值域【小问1详解】由图象可知：,解得：，又由于,可得：,所以由图像知,,又因为所以,.所以令(),得：()所以的对称中心的坐标为()【小问2详解】依题可得，因为，令，所以，即的值域为21、（1），证明见解析；（2）.【解析】（1）计算出的值，由此可得出结论；（2）分、、三种情况讨论，求出函数的值域，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围.【详解】（1），由已知定理得，的图象关于点成中心对称；（2），当时，若，由基本不等式可得，若，由基本不等式可得.此时，函数的值域为，当时，的值域为，当时，的值域为，因为构造过