线性微分方程组的基本理论一课件

线性微分方程组的基本理论

一、齐次线性方程组的解的结构二、非齐次线性方程组的解的结构线性微分方程组的基本理论一、齐次线性方程组的解的结构1则方程称为非齐次线性的。则方程称为齐次线性的。如果若为常数矩阵，则称为常系数线性方程组。如果

一、齐次线性方程组的解的结构（1）则方程称为非齐次线性的。则方程称为齐次线性的。如果若为常数矩2（2）证明：定理1

若

是方程组（2）的解，则它们的线性组合也是方程组（2）的解。（2）证明：定理1若是3特别：问题：是方程组（2）的解。时，当是（2）的解，若是通解？（1）满足什么条件时（2）满足什么条件时表示所有解？特别：问题：是方程组（2）的解。时，当是（2）的解，若是通解4否则称为线性无关。线性相关与线性无关则称在上线性相关，使得等式如果存在不全为零的常数例1线性相关。否则称为线性无关。线性相关与线性无关则称在5例2线性无关。例2线性无关。6设有

n个定义在区间上的向量函数朗斯基行列式称为这些向量函数的朗斯基行列式。设有n个定义在区间上的向量函数朗斯基行列式称为这些向量函7如果向量函数上线性相关，则它们的朗斯基行列式定理2在区间由假设，存在不全为零的常数使得证明

即方程组有非零解，而其系数行列式恰是如果向量函数上线性相关，则它们的朗斯基行列式定理2在区间由假8线性无关，那么，它们的朗斯基行列式设有某一个使得考虑下面的齐次线性方程组：证明用反证法。定理3（2）如果的解故证毕。线性无关，那么，它们的朗斯基行列式设有某一个使得考虑下面的9它的系数行列式，所以方程组有非零解以这个非零解作向量函数易知x(t)

是（2）的解，且满足初始条件而在上恒等于零的向量函数0也是（2）的满足初始条件的解。使它的系数行列式，所以方程组有非零解以这个非零解作向量函数易知10因为不全为零，这就与线性无关矛盾。由解的唯一性，知道即定理得证。线性相关。使则若存在推论1设方程组(2)的解因为不全为零，这就与线性无关矛盾。由解的唯一性，知道11重要结论方程组(2)的解在区间线性无关线性相关定理3定理2从上述结论可得上方程组(2)的解在区间线性相关上重要结论方程组(2)的解在区间线性无关线性相关定理3定理2从12证明：在上连续，取则方程组(2)分别满足下列条件的解存在。

方程组(2)一定存在n

个线性无关的解.定理4证明：在上连续，取则方程组(2)分别满足下列条件13线性无关。而故的解，则（2）的任一解x(t

)

均可表示为是（2）n个线性无关如果这里是相应的确定常数。定理5线性无关。而故的解，则（2）的任一解x(t)均可表14方程组（2）的线性无关解的最大个数等于n

。n阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空间。推论2推论1方程组（2）的线性无关解的最大个数等于n。n阶齐线性方程15

定理6

（通解结构定理）是方程组（2）的n个线性无关的解，则如果（1）方程组（2）的通解可表为（2）方程组（2）的任一解都可表示为定理6（通解结构定理）是方程组（2）的n个线性无关的解16基本解组:（2)的

n

个线性无关解。解矩阵：由(2)的

n

个解的列构成的矩阵。由（2）的n

个线性无关解的列构成的矩阵。基解矩阵：（2）基本解组:（2)的n个线性无关解。解矩阵：由(2)的n17是（2）的任一解，则而且，如果对某一个定理8定理7(2)一定存在基解矩阵；且若一个解矩阵是基解矩阵的充要条件是，c是常数向量是（2）的任一解，则而且，如果对某一个定理8定理7(2)一定18例4

验证是方程组的基解矩阵。首先证明是解矩阵。令解例4验证是方程组的基解矩阵。首先证明是解矩阵。令解19这表示是方程组的解，是解矩阵。又因为是基解矩阵。，所以因此这表示是方程组的解，是解矩阵。又因为是基解矩阵。，所以因20如果推论1是(2)在区间上的常数矩阵，那么,基解矩阵，

C是非奇异也是(2)在区间上的基解矩阵。如果推论1是(2)在区间上的常数矩阵，那么,基解矩阵，21(2)的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异常数矩阵C,使得在区间上如果在区间上是方程组推论2(2)的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异常数矩阵C,使22的基解矩阵，那么，这个方程组为如果在区间上是某方程组推论3证明设所求方程组为则故的基解矩阵，那么，这个方程组为如果在区间上是某方程组推论3证23例5

已知一个一阶线性齐次方程组的基解矩阵为，求该方程组。解所求方程组为例5已知一个一阶线性齐次方程组的基解矩阵为，求该方程组。24性质1是(1)的解，是(1)的解。方程组(2)的解，则如果是对应齐次

二、非齐次线性方程组的解的结构(1)(2)性质1是(1)的解，是(1)的解。方程组(2)的解，则如果25性质2是(1)的任意两个解，是(1)对应齐次线性方程组如果则(2)的解。性质2是(1)的任意两个解，是(1)对应齐次线性方程组如果则26定理9是(1)的任一解，是齐次方程组(2)的解，因此存在常列向量

c，使得证明(1)都可以设是(2)的基解矩阵，是(1)的某一解，则(1)的任一解这里c是确定的常数列向量。表示为:定理9是(1)的任一解，是齐次方程组(2)的解，因此存在常列27常数变易法是（1）的解，则关键：求(2)的基解矩阵和(1)的特解。假设(2)的基解矩阵为，设而常数变易法是（1）的解，则关键：求(2)的基解矩阵和(1)28，代入得容易验证此即为方程组（1）的解。，代入得容易验证此即为方程组（1）的解。29定理10是(2)的基解矩阵，则向量函数如果

(3)(1)通解是(1)的解，且满足初始条件(1)满足初始条件的解是定理10是(2)的基解矩阵，则向量函数如果(3)(1)通30例6试求初值问题解 由例4知，例6试求初值问题解 由例4知，31对应的齐线性微分方程组的基解矩阵。为求(*)的解，根据公式(27)，需求出(s)的逆由(27)知对应的齐线性微分方程组的基解矩阵。为求(*)的解，根据公式(32线性微分方程组的基本理论一课件33线性微分方程组的基本理论

一、齐次线性方程组的解的结构二、非齐次线性方程组的解的结构线性微分方程组的基本理论一、齐次线性方程组的解的结构34则方程称为非齐次线性的。则方程称为齐次线性的。如果若为常数矩阵，则称为常系数线性方程组。如果

一、齐次线性方程组的解的结构（1）则方程称为非齐次线性的。则方程称为齐次线性的。如果若为常数矩35（2）证明：定理1

若

是方程组（2）的解，则它们的线性组合也是方程组（2）的解。（2）证明：定理1若是36特别：问题：是方程组（2）的解。时，当是（2）的解，若是通解？（1）满足什么条件时（2）满足什么条件时表示所有解？特别：问题：是方程组（2）的解。时，当是（2）的解，若是通解37否则称为线性无关。线性相关与线性无关则称在上线性相关，使得等式如果存在不全为零的常数例1线性相关。否则称为线性无关。线性相关与线性无关则称在38例2线性无关。例2线性无关。39设有

n个定义在区间上的向量函数朗斯基行列式称为这些向量函数的朗斯基行列式。设有n个定义在区间上的向量函数朗斯基行列式称为这些向量函40如果向量函数上线性相关，则它们的朗斯基行列式定理2在区间由假设，存在不全为零的常数使得证明

即方程组有非零解，而其系数行列式恰是如果向量函数上线性相关，则它们的朗斯基行列式定理2在区间由假41线性无关，那么，它们的朗斯基行列式设有某一个使得考虑下面的齐次线性方程组：证明用反证法。定理3（2）如果的解故证毕。线性无关，那么，它们的朗斯基行列式设有某一个使得考虑下面的42它的系数行列式，所以方程组有非零解以这个非零解作向量函数易知x(t)

是（2）的解，且满足初始条件而在上恒等于零的向量函数0也是（2）的满足初始条件的解。使它的系数行列式，所以方程组有非零解以这个非零解作向量函数易知43因为不全为零，这就与线性无关矛盾。由解的唯一性，知道即定理得证。线性相关。使则若存在推论1设方程组(2)的解因为不全为零，这就与线性无关矛盾。由解的唯一性，知道44重要结论方程组(2)的解在区间线性无关线性相关定理3定理2从上述结论可得上方程组(2)的解在区间线性相关上重要结论方程组(2)的解在区间线性无关线性相关定理3定理2从45证明：在上连续，取则方程组(2)分别满足下列条件的解存在。

方程组(2)一定存在n

个线性无关的解.定理4证明：在上连续，取则方程组(2)分别满足下列条件46线性无关。而故的解，则（2）的任一解x(t

)

均可表示为是（2）n个线性无关如果这里是相应的确定常数。定理5线性无关。而故的解，则（2）的任一解x(t)均可表47方程组（2）的线性无关解的最大个数等于n

。n阶齐线性方程的所有解构成一个n维线性空间。推论2推论1方程组（2）的线性无关解的最大个数等于n。n阶齐线性方程48

定理6

（通解结构定理）是方程组（2）的n个线性无关的解，则如果（1）方程组（2）的通解可表为（2）方程组（2）的任一解都可表示为定理6（通解结构定理）是方程组（2）的n个线性无关的解49基本解组:（2)的

n

个线性无关解。解矩阵：由(2)的

n

个解的列构成的矩阵。由（2）的n

个线性无关解的列构成的矩阵。基解矩阵：（2）基本解组:（2)的n个线性无关解。解矩阵：由(2)的n50是（2）的任一解，则而且，如果对某一个定理8定理7(2)一定存在基解矩阵；且若一个解矩阵是基解矩阵的充要条件是，c是常数向量是（2）的任一解，则而且，如果对某一个定理8定理7(2)一定51例4

验证是方程组的基解矩阵。首先证明是解矩阵。令解例4验证是方程组的基解矩阵。首先证明是解矩阵。令解52这表示是方程组的解，是解矩阵。又因为是基解矩阵。，所以因此这表示是方程组的解，是解矩阵。又因为是基解矩阵。，所以因53如果推论1是(2)在区间上的常数矩阵，那么,基解矩阵，

C是非奇异也是(2)在区间上的基解矩阵。如果推论1是(2)在区间上的常数矩阵，那么,基解矩阵，54(2)的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异常数矩阵C,使得在区间上如果在区间上是方程组推论2(2)的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异常数矩阵C,使55的基解矩阵，那么，这个方程组为如果在区间上是某方程组推论3证明设所求方程组为则故的基解矩阵，那么，这个方程组为如果在区间上是某方程组推论3证56例5

已知一个一阶线性齐次方程组的基解矩阵为，求该方程组。解所求方程组为例5已知一个一阶线性齐次方程组的基解矩阵为，求该方程组。57性质1是(1)的解，是(1)的解。方程组(2)的解，则如果是对应齐次

二、非齐次线性方程组的解的结构(1)(2)性质1是(1)的解，是(1)的解。方程组(2)的解，则如果58性质2是