第一节-二重积分的概念与性质课件

为解决非均匀分布在区间上的量的求和问题导致了定积分的研究，其被积函数是一元函数，积分范围是直线上的区间．要解决非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题，就导致了多元函数的积分概念，根据被积函数和积分范围的不同分为二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分．本章将介绍二重积分和三重积分的概念、性质、计算方法和它们的一些应用．

重积分为解决非均匀分布在区间上的量的求和问题导致了定积第一节二重积分的概念与性质

一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质四、小结思考题第一节二重积分的概念与性质一、问题的提出二、二重积分复习和总结（1）定积分是用来解决哪一类问题？（2）解决这一类问题采用了什么思想方法？定积分答：求非均匀分布在区间上的量的求和问题

被积函数是一元函数，积分范围是直线上的区间答：“分割,取近似,求和,取极限”

复习和总结（1）定积分是用来解决哪一类问题？（2）解决这一类现要求解非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题推广所计算的量与多元函数及平面或空间区域有关被积函数积分范围二元函数平面区域二重积分三元函数空间区域三重积分一段曲线曲线积分一片曲面曲面积分问题:积分类型现要求解非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题推广所计算引例1．求平面薄片的质量分析=常数时，质量=·，其中为面积.若为非常数,仍可用“分割,取近似,求和,取极限”解决.引例1．求平面薄片的质量分析=常数时，质量=·，若解决步骤⑴分割：将薄片分割成若干小块，⑵近似：取典型小块，将其近似看作均匀薄片，⑶求和：所有小块质量之和近似等于薄片总质量⑷取极限：得薄片总质量解决步骤⑴分割：将薄片分割成若干小块，⑵近似：取典型小块，将柱体体积=底面积×高【特点】平顶.柱体体积=？【特点】曲顶.曲顶柱体1．曲顶柱体的体积引例2：曲顶柱体的体积柱体体积=底面积×高【特点】平顶.柱体体积=？【特点】曲顶.类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底：xoy

面上的闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割,取近似,求和,取极限”解法类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭步骤如下②取近似、③求和：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，①分割：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，得曲顶柱体的体积④取极限：步骤如下②取近似、③求和：用若干个小平顶柱体体积之和近似表两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分割,取近似,求和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结二、二重积分的定义及可积性1.定义将区域D

任意分成n

个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界闭区域D上的有界函数,二、二重积分的定义及可积性1.定义将区域D任意分成n

2.对二重积分定义的说明(3)f(x,y)在D上有界是二重积分存在的必要条件.代替？不能连续是二重积分存在的充分条件用(1)积分存在时，其值与区域的分法和点的取法无关2.对二重积分定义的说明(3)f(x,y)3.【二重积分的几何意义】4.【物理意义】表曲顶柱体的体积.1)若表曲顶柱体体积的负值.2)若3)若表区域D的面积.体积的代数和3.【二重积分的几何意义】4.【物理意义】表曲顶柱体的体积.[注]1.重积分与定积分的区别：

重积分中d0,定积分中dx可正可负.2.根据分割的任意性，当二重积分存在时，在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D故二重积分可写为D则直角坐标系下面积元素为即引例2曲顶柱体体积:引例1平面薄板质量:[注]1.重积分与定积分的区别：重积分中d0,定性质1性质2（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质逐项积分线性性质可以推广至有限个函数的情形。线性性质性质1性质2（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性性质3对区域具有可加性性质4若为D的面积，性质5若在D上特殊地则有比较性质性质3对区域具有可加性性质4若为D的面积，性质5若性质6性质7二重积分中值定理二重积分估值不等式曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积几何意义性质6性质7二重积分中值定理二重积分估值不等式曲顶柱体的体积8.二重积分的对称性定理

在利用对称性计算重积分时，不仅积分区域要对称，而且被积函数也要对称（即对x或y是奇或偶函数，二者缺一不可。8.二重积分的对称性定理在利用对称性计算重积分时，不第一节-二重积分的概念与性质课件第一节-二重积分的概念与性质课件例题8.1比较下列积分的大小:其中积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而区域D位从而于直线的上方,故在D上例1解例题8.1比较下列积分的大小:其中积分域D的边界为圆周它与例8.2解由于被积函数所以在D上的最大值M和最小值m分别为又由于区域D的面积为2，故知例8.2解由于被积函数所以在D上的最例8.3解注意到积分区域D关于x轴和y轴具有轮换对称性，于是例8.3解注意到积分区域D关于x轴和y轴具有轮换对称性，于是解例4解例4二重积分的定义二重积分的性质（8条）二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（积分和式的极限）

四、小结二重积分的物理意义（平面薄片的质量）[二重积分的比较大小]1.若区域D相同，则比较被积函数的大小；2.若被积函数相同，则比较区域D的大小.二重积分的定义二重积分的性质（8条）二重积分的几何意义（曲顶

为解决非均匀分布在区间上的量的求和问题导致了定积分的研究，其被积函数是一元函数，积分范围是直线上的区间．要解决非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题，就导致了多元函数的积分概念，根据被积函数和积分范围的不同分为二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分．本章将介绍二重积分和三重积分的概念、性质、计算方法和它们的一些应用．

重积分为解决非均匀分布在区间上的量的求和问题导致了定积第一节二重积分的概念与性质

一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质四、小结思考题第一节二重积分的概念与性质一、问题的提出二、二重积分复习和总结（1）定积分是用来解决哪一类问题？（2）解决这一类问题采用了什么思想方法？定积分答：求非均匀分布在区间上的量的求和问题

被积函数是一元函数，积分范围是直线上的区间答：“分割,取近似,求和,取极限”

复习和总结（1）定积分是用来解决哪一类问题？（2）解决这一类现要求解非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题推广所计算的量与多元函数及平面或空间区域有关被积函数积分范围二元函数平面区域二重积分三元函数空间区域三重积分一段曲线曲线积分一片曲面曲面积分问题:积分类型现要求解非均匀分布在平面、空间立体上的量的求和问题推广所计算引例1．求平面薄片的质量分析=常数时，质量=·，其中为面积.若为非常数,仍可用“分割,取近似,求和,取极限”解决.引例1．求平面薄片的质量分析=常数时，质量=·，若解决步骤⑴分割：将薄片分割成若干小块，⑵近似：取典型小块，将其近似看作均匀薄片，⑶求和：所有小块质量之和近似等于薄片总质量⑷取极限：得薄片总质量解决步骤⑴分割：将薄片分割成若干小块，⑵近似：取典型小块，将柱体体积=底面积×高【特点】平顶.柱体体积=？【特点】曲顶.曲顶柱体1．曲顶柱体的体积引例2：曲顶柱体的体积柱体体积=底面积×高【特点】平顶.柱体体积=？【特点】曲顶.类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底：xoy

面上的闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割,取近似,求和,取极限”解法类似定积分解决问题的思想:给定曲顶柱体:底：xoy面上的闭步骤如下②取近似、③求和：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，①分割：先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，得曲顶柱体的体积④取极限：步骤如下②取近似、③求和：用若干个小平顶柱体体积之和近似表两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分割,取近似,求和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结二、二重积分的定义及可积性1.定义将区域D

任意分成n

个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界闭区域D上的有界函数,二、二重积分的定义及可积性1.定义将区域D任意分成n

2.对二重积分定义的说明(3)f(x,y)在D上有界是二重积分存在的必要条件.代替？不能连续是二重积分存在的充分条件用(1)积分存在时，其值与区域的分法和点的取法无关2.对二重积分定义的说明(3)f(x,y)3.【二重积分的几何意义】4.【物理意义】表曲顶柱体的体积.1)若表曲顶柱体体积的负值.2)若3)若表区域D的面积.体积的代数和3.【二重积分的几何意义】4.【物理意义】表曲顶柱体的体积.[注]1.重积分与定积分的区别：

重积分中d0,定积分中dx可正可负.2.根据分割的任意性，当二重积分存在时，在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D故二重积分可写为D则直角坐标系下面积元素为即引例2曲顶柱体体积:引例1平面薄板质量:[注]1.重积分与定积分的区别：重积分中d0,定性质1性质2（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质逐项积分线性性质可以推广至有限个函数的情形。线性性质性质1性质2（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性性质3对区域具有可加性性质4若为D的面积，性质5若在D上特殊地则有比较性质性质3对区域具有可加性性质4若为D的面积，性质5若性质6性质7二重积分中值定理二重积分估值不等式曲顶柱体的体积等于一个平顶柱体的体积几何意义性质6性质7二重积分中值定理二重积分估值不等式曲顶柱体的体积8.二重积分的对称性定理

在利用对称性计算重积分时，不仅积分区域要对称，而且被积函数也要对称（即对x或y是奇或偶函数，二者缺一不可。8.二重积分的对称性定理在利用对称性计算重积分时，不第一节-二重积分的概念与性质课件第一节-二重积分的概念与性质课件例题8.1比较下列积分的大小:其中积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而区域D位从而于直线的上方,故在D上例1解例题8.1比较下列积分的大小:其中积分域D的边界为圆周它与例8.2解由于被积函数所以在D上的最大值M和最小值m分别为又由于区域D的面积为2，