动量与角动量课件

第三章

动量与角动量

第三章

动量与角动量

1本章主要内容§3-1

冲量与动量定理

§3-2

动量守恒定律§3-3

质心运动定理§3-4

火箭飞行原理§3-5

质点的角动量和角动量定理角动量守恒定律本章主要内容2第三章动量与角动量动量和角动量不仅是经典力学，也是物理学中十分重要的物理量，因为与它们相联系的守恒定律是自然界普遍遵循的基本规律。动量守恒定律

角动量守恒定律

经典力学

牛顿运动定律量子力学

相对论力学牛顿运动定律第三章动量与角动量动量和角动量不仅是经典力学，也是物理学3前言我们往往只关心过程中力的效果——力对时间和空间的积累效应。力在时间上的积累效应：平动冲量动量的改变转动冲量矩角动量的改变力在空间上的积累效应功改变能量牛顿定律是瞬时的规律。在有些问题中，如：碰撞（宏观）、（微观）…散射前言我们往往只关心过程中力的效果——力对时间和空间的积累效应4§3-1冲量与动量定理

§3-1冲量与动量定理

5瞬时式——动量——力的作用可以使动量变化。——力对时间的积累等于动量增量。力对时间间隔

0

t的冲量为冲量（对dt）动量定理或1.冲量与动量定理瞬时式——动量——力的作用可以使动量变化。——力对时6关于冲力（动量是状态量）Fx(t)t物体受到冲击，动量会明显改变。冲击过程持续一般时间很短，因此冲击中物体受力——冲力具有作用时间短、量值大的特点，通常是变力。平均冲力：冲量可表为说明：冲量是矢量，是过程量。关于冲力（动量是状态量）Fx(t)t物体受到冲击，动量7平均冲力[例]已知：一篮球质量m=0.58kg，

求：篮球对地的平均冲力解：篮球到达地面的速率从h=2.0m的高度下落，到达地面后，接触地面时间t=0.019s。FFto

t速率反弹，以同样平均冲力[例]已知：一篮球质量m=0.58kg，求：8例题、一质量为10千克的质点，在变力F=3+2t（SI）作用下由静止开始作直线运动。试求：在t=3秒时质点的运动速度。解：根据动量定理，先计算0到3秒内的冲量例题、一质量为10千克的质点，在变力F=3+2t（SI）作用9质点系——多个质点组成的系统。（质点的集合）相加质点系的总动量——每个质点动量的矢量和。即设第

i个质点受外力为，受质点系其他质点的合力，即内力为对第

i个质点应用动量定理：2.质点系的动量定理质点系——多个质点组成的系统。（质点的集合）相加质点系的总动10对任选的一对质点

质点系的动量定理：

（积分形式）微分形式：

或定理表述：合外力的冲量等于质点系总动量的增量。

系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。用质点系动量定理处理问题可避开内力。对任选的一对质点质点系的动量定理：

（积分形11[例题]一辆运煤车以速率

v从上方高h处的煤斗下面通过，煤从煤斗中以恒定的速率

b

=

dm/dt

装煤漏入车厢，如图所示。设煤车与地面的摩擦系数为，t

时刻车箱和所载煤的质量为M，如果保持车的速率不变，应以多大的牵引力拉车厢？解：以M和dt时间里落到车厢的煤粒dm为质点系。水平方向运用动量定理：铅直方向:略去二阶无穷小量：解得[例题]一辆运煤车以速率v从上方高h处的煤斗下面通12克服车厢和其中的煤的重量引起的摩擦力克服落下煤粒对车厢冲力引起的摩擦力将下落煤获得水平动量所需牵引力解的意义：克服车厢和其克服落下煤粒将下落煤获解的意义：13§3-2动量守恒定律

§3-2动量守恒定律

14如果质点系所受合外力为零考虑质点系的动量定理：则有，常矢量守恒动量守恒定律：当一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量保持不变。说明：守恒条件：合外力为零。与内力无关。冲击碰撞过程中，一般有，动量近似守恒。内力改变各质点的动量，但总动量不变。如果质点系所受合外力为零考虑质点系的动量定理：则有15动量守恒可以在单一方向上守恒。动量守恒定律仅在惯性系中成立。动量守恒定律是自然界的普遍规律，它不依赖于牛顿定律而成立。微观粒子的实验（如电子转化为光子）动量守恒定律的分量形式：动量守恒可以在单一方向上守恒。动量守恒定律仅在惯性系中16[例题]

一个在水平地面上的炮车发射炮弹，炮车的质量m0，炮筒的仰角为，炮弹的质量为m，炮弹射出炮口时，相对于炮身的速度为u。若不计地面摩擦，试求炮弹射出炮口时，炮车的速度。

解

在炮弹发射过程中，对炮弹和炮身作为一个系统进行受力分析。系统外力有重力G和地面对炮车的支持力N。这些力都沿竖直方向，即外力在水平方向上投影为零，因此系统在水平方向上动量守恒。

设炮弹射出炮口时的速度相对于地面的投影为，炮车速度在水平方向上的投影为。，

由于炮车原来是静止的，故有：由速度变换，得：二式联立得：[例题]一个在水平地面上的炮车发射炮弹，炮车的质量m0，17

[例]如图所示，一带有四分之一圆弧、质量为M的滑块置于光滑桌面上，圆弧半径为R。今有一质量为m的小滑块从圆弧顶端沿圆弧面自由下滑，圆弧面的摩擦力忽略不计。求当小滑块滑至圆弧底端时，大滑块相对桌面移动的距离。解：大小滑块在水平方向上不受外力，二者组成的质点系的水平动量守恒。RMmM运动方向与X轴反向RMm[例]如图所示，一带有四分之一圆弧、质量为M的滑块置于光18§3-3质心运动定理

§3-3质心运动定理

19质心——质量中心。1.质心的定义质心的位置矢量表示为设一质点系中各质点m1,

m2

,…,

mN

的空间坐标分别为(x1,

y1,

z1),(x2,

y2,

z2),…,(xN

,

yN

,

zN

)。则质心C的坐标定义为xzOy质心——质量中心。1.质心的定义质心的位置矢量表示为设一质点20说明：质心的位置由质点系各质点的相对位置决定，与坐标原点的位置无关。对质量连续的物体，质心位置可用积分式计算：重力的着力点——重心，就在物体的质心上。质元dm视为质点说明：质心的位置由质点系各质点的相对位置决定，与坐标原点21

[例题]求地球和月球的质心位置。已知地球、月球质量分别为M=

5.981024kg和m=

7.351022kg，地球中心与月球中心的距离为

L=

3.84105km。解：地球和月球本身的质心位于它们各自的几何中心。地月系统的质心必定在它们的连线上。选取坐标如图，原点在地球中心。LmMOxC[例题]求地球和月球的质心位置。已知地球、月球质量22例：一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求此半圆形铁丝的质心。解：选如图坐标系，取长为dl的铁丝，质量为dm，以λ表示线密度，dm=dl.分析得质心应在y轴上。注意：质心不在铁丝上。例：一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求此半圆形铁丝的质心。232.质心运动定理代入质点系的动量定理，有考虑一质点系，其总动量为质心运动定理质心的运动如同一个在质心位置处的质点的运动，该质点集中了整个质点系的质量和所受的外力。在质点力学中所谓“物体”的运动，实际上是物体质心的运动。2.质心运动定理代入质点系的动量定理，有考虑一质点系，其总动24系统内力不会影响质心的运动，▲在光滑水平面上滑动的扳手，▲做跳马落地动作的运动员尽管在翻转，但▲爆炸的焰火弹虽然碎片四散，但其质心仍在做抛物线运动其质心仍做抛物线运动例如：其质心做匀速直线运动系统内力不会影响质心的运动，▲在光滑水平面上滑动的25质心的定义o质点系返回质心的定义o质点系返回26例题一根完全柔软的质量均匀分布的绳子竖直的悬挂着，下端刚与地面接触。此时放开绳子，从静止状态开始下落。已知绳子质量为m，长为l，求下落到所剩长度为z时，地面对这段绳子的作用力.解：解法一（质心法）把绳子看作一质点系。当绳子下落到所剩长度为z时，其质心高度和速度分别为

所谓完全柔软的绳子,指的是绳子上端的下落速度v=dz/dt与一个质点自由下落的速度相同，即zOz质心定义例题一根完全柔软的质量均匀分布的绳子竖直的悬挂着，下端刚27由此可得质心加速度为

设地板对上段绳子的作用力为F，对整根绳子应用质心运动定理，则有由此可得质心加速度为设地板对上段绳子的作用力为F，对整28忽略二级小量，并考虑dt内落地绳子的长度为-vdt，可得加上已经落地的一段绳子所受到的支持力，总的作用力为

绳子上端的下落速度为，而紧靠地面的质元dm与地面相碰时其动量由vdm变为零.故若设该质元受到的支持力为，根据质点动量定理有解法二：（动量定理法）忽略二级小量，并考虑dt内落地绳子的长度为-vdt，可得加上29§3-4火箭飞行原理

§3-4火箭飞行原理

30火箭在无大气层的太空中飞行，是靠向后喷射燃料获得反冲动力。由于无外力作用，动量守恒。由动量守恒定律设M为火箭在t时刻的总质量，dt时间喷出dm质量的燃料，相对火箭以u的速度喷射。xMvdmMdmv+dvt时刻t+dt时刻t时刻总动量t+dt时刻总动量火箭在无大气层的太空中飞行，是靠向后喷射燃料获得反冲动力。由31积分火箭受燃料的反冲力为结论：

火箭在燃烧后所增加的速度正比于相对喷射速度u和火箭的始末质量比(M0/M1)的自然对数。火箭通过喷射燃料获得的推力正比u于和dm/dt。推导积分火箭受燃料的反冲力为结论：火箭在燃烧后所增加的速度正32t+dt时刻：速度v-u，动量dm(v-u)由动量定理，dt内喷出气体所受冲量火箭所受的反推力研究对象：喷出气体dmt时刻：速度v(和主体速度相同)，动量vdmF箭对气dt=dm(v-u)-vdm=-F气对箭dt由此得火箭所受燃气的反推力为返回t+dt时刻：速度v-u，动量dm(v-u)由33§3-5质点的角动量和角动量定理角动量守恒定律

§3-5质点的角动量和角动量定理角动量守恒定律

34引入角动量的意义：和动量一样，角动量服从守恒定律，因此它是力学中最重要的物理量之一。1.质点的角动量

角动量的定义：（对点）设一质点具有动量，由惯性系中某一固定点O指向它的位置矢量为，则该质点对O点的角动量为的大小：的方向：垂直于和构成的平面。右手螺旋法则引入角动量的意义：和动量一样，角动量服从守恒定律，因此它是力35矢量的叉乘(矢量积)在物理中常有两个矢量相互作用，呈现出某些特殊效应，例如动量矩、力矩及运动电荷伴存的磁场等。叉乘是描述这类效应的矢量运算。叉乘用×表示，其积为矢量，所以叫矢量积。若是交角为的两个矢量，则叉乘定义为是由叉乘符号规定的，两矢量所在平面的右手系法线方向的单位矢量.右手系：将右手拇指伸直，其余四指并拢指向的方向，并沿的计算方向弯向，拇指所指的方向就是的方向。返回矢量的叉乘(矢量积)在物理中常有两个矢量相互作36叉乘的运算规则1)叉乘的反交换律2)叉乘与数乘的结合律3)叉乘的分配律4)叉乘可得同向和反向(平行)的充分必要条件直角坐标系中的叉乘运算若按行列式展开易记返回叉乘的运算规则1)叉乘的反交换律2)叉乘与数乘的结合律3)叉37注意：角动量是矢量。举例：圆周运动的质点对圆心的角动量：粒子散射实验中，粒子对固定的重原子核的角动量：角动量的分量式：注意：角动量是矢量。举例：圆周运动的质点对圆心的角动量：382.质点的角动量定理

力矩的定义（对点）设O为惯性系中的某一固定点，由它指向质点的位置矢量为，则该质点对O点的力矩为的大小：

角动量定理（对点）考虑角动量的变化率：2.质点的角动量定理力矩的定义（对点）设O为惯性系39角动量定理

：质点所受合外力矩等于它的角动量对时间的变化率，即[例]利用抛体运动的速度方程证明角动量定理。注意：合外力矩和角动量是对某惯性系中同一固定点的。证：速度方程为查看角动量定理：质点所受合外力矩等于它的角动量对时间的变化率，40角动量定理：质点所受合外力矩等于它的角动量对时间的变化率，即注意：合外力矩和角动量是对某惯性系中同一固定点的。角动量定理：质点所受合外力矩等于它的角动量对时间的变化率，41说明：

守恒与否与所对的点有关。只有当质点不受外力（做匀速直线运动）时，对任何点角动量守恒。角动量守恒定律：如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质点对该点的角动量保持不变。由角动量定理，可知：当外力矩为零时，，于是如果质点受力与矢量平行或反平行，力矩必为零，则对该点角动量守恒。如：有心力场3.角动量守恒定律说明：守恒与否与所对的点有关。只有当质点不受外力（做匀42

[例]试证明Kepler第二定律：行星对太阳的位矢在相同的时间里扫过的面积相等。证：由于行星受力总是指向恒星（即为有心力）故，角动量守恒。[例]试证明Kepler第二定律：行星对太阳的位矢在相同43例题我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中心O为该轨道的一个焦点（图）。已知地球的平均半径R=6378km，人造卫星距地面最近距离l1=439km，最远距离l2=2384km。若人造卫星在近地点A1的速度v1=8.10km/s，求人造卫星在远地点A2的速度。人造卫星在近地点A1的角动量解：运动过程中对O点的角动量守恒人造卫星在远地点A2的角动量A2l2l1A1例题我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中44因为角动量守恒，所以将R、l1、l2和各值代入，得于是因为角动量守恒，所以将R、l1、l2和各值代入，得于是45质点系的总角动量质点系对某点的总角动量定义为：质点系的各质点对该定点的角动量的矢量和，即质点系的角动量定理质点系的角动量定理：质点系的各质点所受外力矩之和等于该质点系总角动量对时间的变化率，即该定理可以由质点的角动量定理导出。4.质点系的角动量定理与角动量守恒定律质点系的总角动量质点系对某点的总角动量定义为：质点系的各46证明：对第i个质点应用角动量定理相加内力矩之和为零证明：对第i个质点应用角动量定理相加内力矩之和为零47守恒质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律：如果质点系所受合外力矩为零，则该质点系的总角动量保持不变。说明：质点系的角动量守恒定律比质点的更具普遍意义。

与动量守恒定律一样，角动量守恒定律是自然界普遍遵循的守恒定律之一，它并不依赖于牛顿定律而成立。如果质点系所受合外力为零，对任何固定点的角动量都守恒。如果，守恒质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律：如果质48[例题]两个质量都是m的小球由一长度a的轻质硬杆连结起来，静止于光滑的水平桌面，今有另一质量是m的k倍的小球以速率v0，沿水平面内垂直于连杆的方向飞来，与杆上其中一个小球发生碰撞后，粘在一起。求碰撞发生后它们的运动速度。解：以三个小球组成质点系，质点系不受外力，动量和角动量均守恒。（2）（1）（3）x方向动量守恒：对O点的角动量守恒：解得[例题]两个质量都是m的小球由一长度a的轻质硬杆连49（2）（1）（3）ABC如对A、B点讨论：角动量对其他点也守恒（因合外力为零）。动量守恒：（2）（1）（3）ABC如对A、B点讨论：角动量对其50质心平动+绕质心转动

有

常量如考虑质心运动，，（2）（1）（3）ABC如对A、B点讨论：角动量对其他点也守恒（因合外力为零）。动量守恒：质心平动+绕质心转动有51动量定理角动量定理力力矩或角力动量角动量或动量矩力的冲量力矩的冲量或冲量矩动量定理52本章结束

本章结束

53掌握动量，动量定理，系统的动量定理，动量守恒定律，并能熟练用来分析解决常见问题；了解火箭飞行原理；理解质心概念和质心运动定律；掌握质点的角动量概念，角动量守恒定律，并能用来分析解决简单问题。大纲要求掌握动量，动量定理，系统的动量定理，动量守恒定律，并能熟练用54第三章

动量与角动量

第三章

动量与角动量

55本章主要内容§3-1

冲量与动量定理

§3-2

动量守恒定律§3-3

质心运动定理§3-4

火箭飞行原理§3-5

质点的角动量和角动量定理角动量守恒定律本章主要内容56第三章动量与角动量动量和角动量不仅是经典力学，也是物理学中十分重要的物理量，因为与它们相联系的守恒定律是自然界普遍遵循的基本规律。动量守恒定律

角动量守恒定律

经典力学

牛顿运动定律量子力学

相对论力学牛顿运动定律第三章动量与角动量动量和角动量不仅是经典力学，也是物理学57前言我们往往只关心过程中力的效果——力对时间和空间的积累效应。力在时间上的积累效应：平动冲量动量的改变转动冲量矩角动量的改变力在空间上的积累效应功改变能量牛顿定律是瞬时的规律。在有些问题中，如：碰撞（宏观）、（微观）…散射前言我们往往只关心过程中力的效果——力对时间和空间的积累效应58§3-1冲量与动量定理

§3-1冲量与动量定理

59瞬时式——动量——力的作用可以使动量变化。——力对时间的积累等于动量增量。力对时间间隔

0

t的冲量为冲量（对dt）动量定理或1.冲量与动量定理瞬时式——动量——力的作用可以使动量变化。——力对时60关于冲力（动量是状态量）Fx(t)t物体受到冲击，动量会明显改变。冲击过程持续一般时间很短，因此冲击中物体受力——冲力具有作用时间短、量值大的特点，通常是变力。平均冲力：冲量可表为说明：冲量是矢量，是过程量。关于冲力（动量是状态量）Fx(t)t物体受到冲击，动量61平均冲力[例]已知：一篮球质量m=0.58kg，

求：篮球对地的平均冲力解：篮球到达地面的速率从h=2.0m的高度下落，到达地面后，接触地面时间t=0.019s。FFto

t速率反弹，以同样平均冲力[例]已知：一篮球质量m=0.58kg，求：62例题、一质量为10千克的质点，在变力F=3+2t（SI）作用下由静止开始作直线运动。试求：在t=3秒时质点的运动速度。解：根据动量定理，先计算0到3秒内的冲量例题、一质量为10千克的质点，在变力F=3+2t（SI）作用63质点系——多个质点组成的系统。（质点的集合）相加质点系的总动量——每个质点动量的矢量和。即设第

i个质点受外力为，受质点系其他质点的合力，即内力为对第

i个质点应用动量定理：2.质点系的动量定理质点系——多个质点组成的系统。（质点的集合）相加质点系的总动64对任选的一对质点

质点系的动量定理：

（积分形式）微分形式：

或定理表述：合外力的冲量等于质点系总动量的增量。

系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。用质点系动量定理处理问题可避开内力。对任选的一对质点质点系的动量定理：

（积分形65[例题]一辆运煤车以速率

v从上方高h处的煤斗下面通过，煤从煤斗中以恒定的速率

b

=

dm/dt

装煤漏入车厢，如图所示。设煤车与地面的摩擦系数为，t

时刻车箱和所载煤的质量为M，如果保持车的速率不变，应以多大的牵引力拉车厢？解：以M和dt时间里落到车厢的煤粒dm为质点系。水平方向运用动量定理：铅直方向:略去二阶无穷小量：解得[例题]一辆运煤车以速率v从上方高h处的煤斗下面通66克服车厢和其中的煤的重量引起的摩擦力克服落下煤粒对车厢冲力引起的摩擦力将下落煤获得水平动量所需牵引力解的意义：克服车厢和其克服落下煤粒将下落煤获解的意义：67§3-2动量守恒定律

§3-2动量守恒定律

68如果质点系所受合外力为零考虑质点系的动量定理：则有，常矢量守恒动量守恒定律：当一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量保持不变。说明：守恒条件：合外力为零。与内力无关。冲击碰撞过程中，一般有，动量近似守恒。内力改变各质点的动量，但总动量不变。如果质点系所受合外力为零考虑质点系的动量定理：则有69动量守恒可以在单一方向上守恒。动量守恒定律仅在惯性系中成立。动量守恒定律是自然界的普遍规律，它不依赖于牛顿定律而成立。微观粒子的实验（如电子转化为光子）动量守恒定律的分量形式：动量守恒可以在单一方向上守恒。动量守恒定律仅在惯性系中70[例题]

一个在水平地面上的炮车发射炮弹，炮车的质量m0，炮筒的仰角为，炮弹的质量为m，炮弹射出炮口时，相对于炮身的速度为u。若不计地面摩擦，试求炮弹射出炮口时，炮车的速度。

解

在炮弹发射过程中，对炮弹和炮身作为一个系统进行受力分析。系统外力有重力G和地面对炮车的支持力N。这些力都沿竖直方向，即外力在水平方向上投影为零，因此系统在水平方向上动量守恒。

设炮弹射出炮口时的速度相对于地面的投影为，炮车速度在水平方向上的投影为。，

由于炮车原来是静止的，故有：由速度变换，得：二式联立得：[例题]一个在水平地面上的炮车发射炮弹，炮车的质量m0，71

[例]如图所示，一带有四分之一圆弧、质量为M的滑块置于光滑桌面上，圆弧半径为R。今有一质量为m的小滑块从圆弧顶端沿圆弧面自由下滑，圆弧面的摩擦力忽略不计。求当小滑块滑至圆弧底端时，大滑块相对桌面移动的距离。解：大小滑块在水平方向上不受外力，二者组成的质点系的水平动量守恒。RMmM运动方向与X轴反向RMm[例]如图所示，一带有四分之一圆弧、质量为M的滑块置于光72§3-3质心运动定理

§3-3质心运动定理

73质心——质量中心。1.质心的定义质心的位置矢量表示为设一质点系中各质点m1,

m2

,…,

mN

的空间坐标分别为(x1,

y1,

z1),(x2,

y2,

z2),…,(xN

,

yN

,

zN

)。则质心C的坐标定义为xzOy质心——质量中心。1.质心的定义质心的位置矢量表示为设一质点74说明：质心的位置由质点系各质点的相对位置决定，与坐标原点的位置无关。对质量连续的物体，质心位置可用积分式计算：重力的着力点——重心，就在物体的质心上。质元dm视为质点说明：质心的位置由质点系各质点的相对位置决定，与坐标原点75

[例题]求地球和月球的质心位置。已知地球、月球质量分别为M=

5.981024kg和m=

7.351022kg，地球中心与月球中心的距离为

L=

3.84105km。解：地球和月球本身的质心位于它们各自的几何中心。地月系统的质心必定在它们的连线上。选取坐标如图，原点在地球中心。LmMOxC[例题]求地球和月球的质心位置。已知地球、月球质量76例：一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求此半圆形铁丝的质心。解：选如图坐标系，取长为dl的铁丝，质量为dm，以λ表示线密度，dm=dl.分析得质心应在y轴上。注意：质心不在铁丝上。例：一段均匀铁丝弯成半径为R的半圆形，求此半圆形铁丝的质心。772.质心运动定理代入质点系的动量定理，有考虑一质点系，其总动量为质心运动定理质心的运动如同一个在质心位置处的质点的运动，该质点集中了整个质点系的质量和所受的外力。在质点力学中所谓“物体”的运动，实际上是物体质心的运动。2.质心运动定理代入质点系的动量定理，有考虑一质点系，其总动78系统内力不会影响质心的运动，▲在光滑水平面上滑动的扳手，▲做跳马落地动作的运动员尽管在翻转，但▲爆炸的焰火弹虽然碎片四散，但其质心仍在做抛物线运动其质心仍做抛物线运动例如：其质心做匀速直线运动系统内力不会影响质心的运动，▲在光滑水平面上滑动的79质心的定义o质点系返回质心的定义o质点系返回80例题一根完全柔软的质量均匀分布的绳子竖直的悬挂着，下端刚与地面接触。此时放开绳子，从静止状态开始下落。已知绳子质量为m，长为l，求下落到所剩长度为z时，地面对这段绳子的作用力.解：解法一（质心法）把绳子看作一质点系。当绳子下落到所剩长度为z时，其质心高度和速度分别为

所谓完全柔软的绳子,指的是绳子上端的下落速度v=dz/dt与一个质点自由下落的速度相同，即zOz质心定义例题一根完全柔软的质量均匀分布的绳子竖直的悬挂着，下端刚81由此可得质心加速度为

设地板对上段绳子的作用力为F，对整根绳子应用质心运动定理，则有由此可得质心加速度为设地板对上段绳子的作用力为F，对整82忽略二级小量，并考虑dt内落地绳子的长度为-vdt，可得加上已经落地的一段绳子所受到的支持力，总的作用力为

绳子上端的下落速度为，而紧靠地面的质元dm与地面相碰时其动量由vdm变为零.故若设该质元受到的支持力为，根据质点动量定理有解法二：（动量定理法）忽略二级小量，并考虑dt内落地绳子的长度为-vdt，可得加上83§3-4火箭飞行原理

§3-4火箭飞行原理

84火箭在无大气层的太空中飞行，是靠向后喷射燃料获得反冲动力。由于无外力作用，动量守恒。由动量守恒定律设M为火箭在t时刻的总质量，dt时间喷出dm质量的燃料，相对火箭以u的速度喷射。xMvdmMdmv+dvt时刻t+dt时刻t时刻总动量t+dt时刻总动量火箭在无大气层的太空中飞行，是靠向后喷射燃料获得反冲动力。由85积分火箭受燃料的反冲力为结论：

火箭在燃烧后所增加的速度正比于相对喷射速度u和火箭的始末质量比(M0/M1)的自然对数。火箭通过喷射燃料获得的推力正比u于和dm/dt。推导积分火箭受燃料的反冲力为结论：火箭在燃烧后所增加的速度正86t+dt时刻：速度v-u，动量dm(v-u)由动量定理，dt内喷出气体所受冲量火箭所受的反推力研究对象：喷出气体dmt时刻：速度v(和主体速度相同)，动量vdmF箭对气dt=dm(v-u)-vdm=-F气对箭dt由此得火箭所受燃气的反推力为返回t+dt时刻：速度v-u，动量dm(v-u)由87§3-5质点的角动量和角动量定理角动量守恒定律

§3-5质点的角动量和角动量定理角动量守恒定律

88引入角动量的意义：和动量一样，角动量服从守恒定律，因此它是力学中最重要的物理量之一。1.质点的角动量

角动量的定义：（对点）设一质点具有动量，由惯性系中某一固定点O指向它的位置矢量为，则该质点对O点的角动量为的大小：的方向：垂直于和构成的平面。右手螺旋法则引入角动量的意义：和动量一样，角动量服从守恒定律，因此它是力89矢量的叉乘(矢量积)在物理中常有两个矢量相互作用，呈现出某些特殊效应，例如动量矩、力矩及运动电荷伴存的磁场等。叉乘是描述这类效应的矢量运算。叉乘用×表示，其积为矢量，所以叫矢量积。若是交角为的两个矢量，则叉乘定义为是由叉乘符号规定的，两矢量所在平面的右手系法线方向的单位矢量.右手系：将右手拇指伸直，其余四指并拢指向的方向，并沿的计算方向弯向，拇指所指的方向就是的方向。返回矢量的叉乘(矢量积)在物理中常有两个矢量相互作90叉乘的运算规则1)叉乘的反交换律2)叉乘与数乘的结合律3)叉乘的分配律4)叉乘可得同向和反向(平行)的充分必要条件直角坐标系中的叉乘运算若按行列式展开易记返回叉乘的运算规则1)叉乘的反交换律2)叉乘与数乘的结合律3)叉91注意：角动量是矢量。举例：圆周运动的质点对圆心的角动量：粒子散射实验中，粒子对固定的重原子核的角动量：角动量的分量式：注意：角动量是矢量。举例：圆周运动的质点对圆心的角动量：922.质点的角动量定理

力矩的定义（对点）设O为惯性系中的某一固定点，由它指向质点的位置矢量为，则该质点对O点的力矩为的大小：

角动量定理（对点）考虑角动量的变化率：2.质点的角动量定理力矩的定义（对点）设O为惯性系93角动量定理

：质点所受合外力矩等于它的角动量对时间的变化率，即[例]利用抛体运动的速度方程证明角动量定理。注意：合外力矩和角动量是对某惯性系中同一固定点的。证：速度方程为查看角动量定理：质点所受合外力矩等于它的角动量对时间的变化率，94角动量定理：质点所受合外力矩等于它的角动量对时间的变化率，即注意：合外力矩和角动量是对某惯性系中同一固定点的。角动量定理：质点所受合外力矩等于它的角动量对时间的变化率，95说明：

守恒与否与所对的点有关。只有当质点不受外力（做匀速直线运动）时，对任何点角动量守恒。角动量守恒定律：如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质点对该点的角动量保持不变。由角动量定理，可知：当外力矩为零时，，于是如果质点受力与矢量平行或反平行，力矩必为零，则对该点角动量守恒。如：有心力场3.角动量守恒定律说明：守恒与否与所对的点有关。只有当质点不受外力（做匀96

[例]试证明Kepler第二定律：行星对太阳的位矢在相同的时间里扫过的面积相等。证：由于行星受力总是指向恒星（即为有心力）故，角动量守恒。[例]试证明Kepler第二定律：行星对太阳的位矢在相同97