第三章机床误差综合数学模型-课件

第三章机床误差综合数学模型3.0齐次坐标变换的基本概念3.1齐次坐标变换的基本原理3.2建立机床误差综合数学模型的基本方法3.3建立机床误差综合数学模型的具体步骤3.4建立机床误差综合数学模型实例第三章机床误差综合数学模型3.0齐次坐标变换的基本概念1

3.0齐次坐标变换的基本概念矩阵矢量转换矩阵－二维变换xBXBYByBPyAxAXAYAOBOAaXay解析式3.0齐次坐标变换的基本概念矩阵矢量转换矩阵－二维变2如图所示，设P点在原坐标系O1:X1Y1Z1中的坐标值为(x1,y1,z1)，当O1:X1Y1Z1坐标系沿X1轴平移x至新坐标系O2:X2Y2Z2后，则P点在新坐标系O2:X2Y2Z2坐标系中的坐标值(x2,y2,

z2)与(x1,y1,

z1)的关系可表示为：式中：Trans(x)—表征沿X1轴平移的平移矩阵。

齐次坐标变换的基本概念=Trans(x)

坐标系的坐标变换HomogeneouscoordinatetransformationofcoordinatesystemX1Y1Z1Y2Z2X2O1O2yzxxyzPTrans(x)－三维变换如图所示，设P点在原坐标系O1:X1Y1Z1中的坐3类似的，沿Y1轴和Z1轴的平移矩阵分别为若O1:X1Y1Z1坐标系绕X1轴旋转x

后成为O2:X2Y2Z2坐标系，则

式中：Rot(x)——绕X1轴的回转矩阵。Rot(x)类似地，绕Y1轴和Z1轴的回转矩阵可分别表示为

Trans(y)；Trans(z)

Rot(x)

Rot(y)；Rot(z)

齐次坐标变换的基本概念－三维变换类似的，沿Y1轴和Z1轴的平移矩阵分别为Trans(y)4在坐标系的坐标变换示意图中，若坐标系O1:X1Y1Z1先分别沿X1、Y1和Z1轴平移x、y和z，再分别绕X1、Y1和Z1轴旋转x、y和z，则表征O1:X1Y1Z1经上述平移、旋转后转换到新坐标系O2:X2Y2Z2之间关系的齐次坐标变换矩阵为T=Trans(x)Trans(y)Trans(z)Rot(x)

Rot(y)

Rot(z)

当旋转角度x、y和z非常小时，有sinx≈x;siny≈y;sinz≈z;cosx≈1;cosy≈1;cosz≈1当平移x、y和z分别有误差x、y和z时，如忽略二阶以上微量，可将上式齐次坐标变换矩阵简化为

＝齐次坐标变换的基本概念－三维变换在坐标系的坐标变换示意图中，若坐标系O1:X1Y1Z1先5

3.1齐次坐标变换的基本原理3.1.1齐次坐标变换定义

设对已给有序数组（x，y，z）及与之对应的有序数组（x’，y’，z’），满足（齐次）关系：

x’=a11x+a12y+a13z,T：y’=a21x+a22y+a23z,（3-1）

z’=a31x+a32y+a33z,称T是把有序数组（x，y，z）变到（x’，y’，z’）的一个齐次线性变换。有序数组（x’，y’，z’）称为在变换T下的（x，y，z）的像，而（x，y，z）则称（x’，y’，z’）的原像。方阵

（3-2）称为齐次线性变换T的方阵或齐次线性变换矩阵。若有序数组（x，y，z）及与之对应的有序数组（x’，y’，z’）分别为两个空间坐标系A和B中的两个位置坐标，则称T是把坐标系A中的位置坐标（x，y，z）变到坐标系B中的位置坐标（x’，y’，z’）的一个齐次坐标（线性）变换。3.1齐次坐标变换的基本原理3.1.1齐次坐标变换定义63.1.2变换矩阵

图3-1坐标之间的齐次变换3.1.2变换矩阵图3-1坐标之间的齐73.1.2变换矩阵如图3-1所示，A、B为二个空间坐标系，设r为坐标矢量，则有

rA

=

rB

（3-3）其中是从坐标系B变换到A的一个4×4齐次变换矩阵，根据坐标变换原理有

（3-4）若角度、和变化很小，并忽略二阶量则变换矩阵可为

（3-5）

TAB=1110001-+-+-+éëêêêêùûúúúúabagbgaabbccDDD3.1.2变换矩阵TAB=1110001-+-+-83.1.3机床运动误差的理论分析假定滑板行进到x

处，导轨无导向误差，与

重合，O1在基准轴线i上，则与滑板相固连的一点P1（刀具或工件上任意点）处于理论位置，径矢1P1=r1，在和三轴上分量（投影）均为，亦即P1点在里的理论坐标为。如果此时刻，导轨存在导向误差，矢量随同沿j、k方向平移；绕转动角，则P1滑板在床身或立柱的导轨上作直线运动时，有五个自由度被导轨约束，即两个方向的平移和三个方向的转动，而滑板前进方向的自由度由进给系统控制。为了清楚的表达导轨导向误差的变化和计量，可在床身（或立柱）导轨和滑板上各建立一个直角坐标系和，如图所示。原点O1和基准轴线i（与主轴轴线平行或垂直）的选择可根据导向误差的测量方法来确定。原点O

通常随同加工误差的度量基准一起固定在导轨纵向相应的位置上。另外，在滑板上加一个参考坐标系，它的坐标系与的坐标轴相应平行，并随滑板平移而不旋转。

r1点偏离理论位置，产生加工误差。

3.1.3机床运动误差的理论分析假定滑板行进到9由导轨在水平面内和垂直面内对基准轴线i的平行度（或垂直度）误差造成；由前、后导轨的平行度误差（扭曲）造成；和

分别由导轨在垂直面和水平面内的直线度误差（弯曲）造成。假定在x

处仅有导向误差，并且矢量随

分别绕旋转，则转换到里成为矢量例如，记矢量绕轴旋转角而得到矢量的坐标变换为，由解析几何可知，

记列矩阵为坐标变换矩阵为

同理，矢量绕轴旋转、绕轴旋转而产生的坐标变换矩阵分别为，有r1r1r1由导轨在水平面内和垂直面内对基准轴线i的10当矢量顺次绕轴旋转角时，则可通过矩阵相乘得出。即

符号“”表示记为。在上述三个旋转变换矩阵的元素中，由于导轨导向误差中角位移误差数值量很微小，可以作如下近：。因此，三个旋转矩阵任意交换相乘都得到同一结果，亦即不论旋转的顺序如何，旋转坐标变换的矩阵都是相同的。即的正负号按右手定则确定。在不考虑的平移误差的情况下，在x处，里的P1点在里的实际坐标为。已知P1点在的理论坐标为，则P1点的线位移误差为

式中I为单位矩阵；

、、为由角位移误差所产生的线位移误差。r1r1当矢量顺次绕轴旋转角时，11综合考虑所由导向误差、以及进给系统的线位移误差和由角位移误差所产生的线位移误差、和，则滑板行进到某处

x，固连于滑板任意点的线位移误差为或

上式的数学模型可推广到用二对或三对直线导轨副进行二维或三维进给的加工场合。注意是依位移不同而异的。

综合考虑所由导向误差、以及进给系统的线位12机床溜板运动误差示意图机床拖板运动表达的变换矩阵

对于如图的机床拖板运动，图中为转角误差（一般很小），为移动误差，x为理论移动距离或位置坐标。用下列变换矩阵可以表达拖板的运动。机床溜板运动误差示意图机床拖板运动表达的变换矩阵13X1Y1Z1X2Y2Z2旋转运动副的运动误差Motionerrorofrotaryjoint立式数控机床的主轴可抽象为如图所示。理想情况下，它绕着名义轴Z1轴旋转z时，它的变换矩阵为转动副（主轴）的运动学模型由于主轴的变形、主轴与轴套之间存在间隙以及轴向窜动等原因，使得主轴存在转角误差分量x、y和z，平移误差分量x、y和z。此时，坐标系O2:X2Y2Z2相对于坐标系O1:X1Y1Z1的变换矩阵为

Tr=T1-2

TX1Y1Z1X2Y2Z2旋转运动副的运动误差立式数控机床的143.2建立机床误差综合数学模型的基本方法刀具与工件的联结链图刀具12--JJTJJT1-1+JJT21++JJTKKT1-12--KKT10T参考处刀具分支工件分支工件主轴3.2建立机床误差综合数学模型的基本方法刀具与工件的联结链15

刀具与工件之间的联结链图表达了两者之间的联系。由于刀尖和工件上正被切削的点为同一点，故刀具与工件之间的联结为封闭矢量链。误差运动综合数学模型可通过从刀具坐标系（坐标系K）到工件坐标系（坐标系0）的链转换而得到。对于每个运动副，必须建立一个坐标系。由于不但要考虑几何误差还要考虑热误差，故除了这些运动坐标系外，还需几个静止坐标系，像刀具、工件或主轴坐标系等。若有M个运动副和N个静联接，则需要定义M+N=K个坐标系，如下式，通过K次坐标转换才能完成全部链的转换。

刀具与工件之间的联结链图表达了两者之间的联系16＝工件的绝对坐标刀具的绝对坐标床身(AS)立

柱

工作台(CS)滑台(BS)主轴头(DS)ABCD建立机床误差综合数学模型图示＝工件的绝对坐标刀具的绝对坐标床身(AS)立工作台(CS)17第三章机床误差综合数学模型-课件183.3误差运动综合模型建模的具体步骤建立一系列坐标系及转换矩阵分别建立刀具、工件和基坐标系的关系建立刀具和工件之间的关系3.3误差运动综合模型建模的具体步骤建立一系列坐标系及转换19YX刀具工件ABCDZ主轴滑台床身滑台拖板

T=

(W+W)ABCDADBC一、建立一系列坐标系YX刀具工件ABCDZ主轴滑台床身滑台拖板T20二、建立一系列转换矩阵、分别建立刀具、工件和基坐标系的关系二、建立一系列转换矩阵、分别建立刀具、工件和基坐标系的关系21机床刀具—工件联结链Ot=OpOt'Op'Oo机床刀尖与工件上被切削点是同一点三、建立刀具和工件之间的关系机床刀具—工件联结链Ot=OpOt'Op'Oo机床刀尖与工件22Wx=-xx+xy-xz-(Wz+Oxzz+z)yx+(Wy+Oxzy)zx+(Tz+L)yy-Tyzy-Wzyz+Wy

zz+Lys-ySxy+zSxz+xyx-xzx+SxWy=-yx+yy-yz+(Wz+Oxzx+z)xx-(Wx+Oxzx)zx-(Tz+L)xy+Txzy+Wzxz-Wxzz-Lxs+zSyz-xzy+xyy+SyWz=-zx+zy-zz-(Wy+Oxzy)xx+(Wx+Oxzx)yx+Tyxy-Txyy-Wyxz+Wxyz+

xyz-xzz+Sz误差综合数学模型Wx=-xx+xy-xz-(Wz+233.4误差运动综合模型建模实例（一）实例一：车削中心的误差运动综合数学模型机床结构简图及坐标系坐标系设定机床结构简图及所设坐标系如下（见下图）：（1）坐标系r：设在机床上，为参考坐标系(固定坐标系)；（2）坐标系s：设在主轴上，随主轴热变形而移动；（3）坐标系c：设在拖板上，随拖板沿Z轴运动(包括拖板热变形产生的运动)而移动；（4）坐标系t：设在刀架上，随拖板沿X轴运动(包括刀架热变形产生的运动)而移动。3.4误差运动综合模型建模实例（一）机床结构简图及坐标系坐24误差元素分析本机床为平面误差，所有误差产生在Z-X平面内，影响机床精度的主要误差元素有14个：（1）有关Z轴：定位误差zz，直线度误差xz，转角误差，拖板坐标系c原点相对于参考坐标系r沿X、Z方向的热漂移和；（2）有关X轴：定位误差xx，直线度误差zx，转角误差，刀架坐标系t原点相对于拖板坐标系c沿X、Z方向的热漂移和；（3）有关主轴：主轴沿Z、X方向的热漂移误差（主轴热变形）rsx、rsz；主轴和Z轴的平行度误差sz；（4）其它：Z轴和X轴的垂直度误差zx。误差运动综合计算先把刀尖坐标表达在其所在坐标系（刀架坐标系）中，再根据齐次坐标转化原理转化到参考坐标系。然后，把工件上正在被切削点的坐标表达在其所在坐标系（主轴坐标系）中，同理转化到参考坐标系。根据刀尖和工件上正被切削点位于空间同一点，得这两部分的等式。最后，求解等式可得几何和热误差综合数学模型。误差元素分析25对于本例，有关刀尖位置有：（3-8）其中：为在参考坐标系r的刀尖位置矢量；为从刀架坐表系t到拖板坐标系c的转化矩阵；为从拖板坐表系c到参考坐标系r的转化矩阵；为在刀架坐表系t的刀尖位置矢量。有关工件位置有：（3-9）其中：为工件理想尺寸矢量，为工件尺寸误差矢量；为在参考坐标系r中的工件尺寸矢量；为从主轴坐标系s到参考坐标系r的转化矩阵；为在主轴坐标系s中的工件尺寸矢量（工件实际尺寸矢量）。刀尖和工件上正被切削点应在同一点位置，故有：=（3-10）最后，求解式（3-10）可得工件尺寸误差（或误差运动）矢量。对于本例，有关刀尖位置有：26

假设机床没有任何误差，则易得：

其中：Wz、Wx分别为工件轴向、径向的理想尺寸；

z、x分别为为拖板Z轴方向、刀架X轴方向的运动行程；

Mrcz、Mrcx分别为参考坐标系与拖板坐标系原点之间Z向、X向的距离；

Mctz、Mctx分别为拖板坐标系与刀架坐标系原点之间Z向、X向的距离；

Tz、Tx为刀尖在刀架坐标系中的位置。（3-11）（3-11）27根据齐次坐标变化基本原理，可得：

其中：rs为主轴相对于参考坐标轴Zr的平行度误差。

其中：rz为Z运动轴相对于参考坐标轴Zr的平行度误差，有sz=rz-rs。其中：rx为X运动轴相对于参考坐标轴Zr的垂直度误差，有sx=rx-rs。（3-12）（3-13）（3-14）==根据齐次坐标变化基本原理，可得：（3-12）28把式（3-11）至式（3-14）代入式（3-10），有：=整理并忽略高阶量，有：其中：stz=rcz+ctz-rsz，stx=rcx+ctx-rsx。st为由机床热变形引起的刀具相对于主轴或工件的位移误差，直接反映了加工精度或工件尺寸的变化。在试验中，st可通过把位移传感器基座固定在刀架上测主轴而获得。把式（3-11）至式（3-14）代入式（3-1029机床几何误差和热误差运动矢量关系图机床几何误差和热误差运动矢量关系图303.4误差运动综合模型建模实例（二）实例二：三轴立式数控机床的误差运动综合数学模型典型的三轴立式数控机床如图所示，它主要包含工作台（X导轨）、滑台（Y导轨）和主轴（Z导轨）等部件。根据机床的实际工作特点，任意的机床结构都由一个封闭的传动链组成，在切削点处分为两个开环，从床身开始，在一个环的末端夹持刀具，在另一个环的末端支撑工件。三轴数控机床的几何误差含有21项误差分量，如表所示，表中平移误差分量ij（i=x,y,z,，j=x,y,z）的第1个下角标表示误差的方向，第2个下角标表示机床部件的主运动方向；转角误差分量ij表示j导轨绕i轴的转角误差。

ijkijjjijkjijkj工作台（X导轨）

滑台（Y导轨）

主轴箱（Z导轨）

转角误差分量

xx、yx、zx

xy、yy、zy

xz、yz、zz

平移误差分量

xx、yx、zx

xy、yy、zy

zx、zy、zz

垂直度误差

yx、xz、yz

3.4误差运动综合模型建模实例（二）ijkij31在三轴数控机床床身上定义绝对坐标系B，在滑台上定义相对坐标系S，在工作台上定义相对坐标系T，在主轴上定义相对坐标系H。定义OSTx、OSTy、OSTz分别为坐标系S的坐标原点与T的坐标原点在X、Y、Z方向上的偏差。类似地，可以定义OHBx、OHBy、OHBz的含义。定义床身坐标系与滑台坐标系的原点相重合，即B与S的坐标原点重合。（1）滑台（Y轴）的运动学模型当滑台沿Y导轨移动距离为y时，滑台相对机床床身的变换矩阵为TSB

滑台存在误差分量xY、yY、zY、xY、yY、zY，其相对机床床身的变换矩阵式中：—滑台的平移误差分量和转角误差分量引起的变换矩阵，

在三轴数控机床床身上定义绝对坐标系B，在滑台上定义相32

（2）工作台（X轴）的运动学模型当工作台沿X导轨移动距离为x时，工作台相对机床滑台的变换矩阵为

工作台存在误差分量xX、yX、zX、xX、yX、zX和xy，上式可被改写为

式中：—工作台的平移误差分量和转角误差分量引起的变换矩阵，

—工作台和滑台之间的垂直度误差引起的变换矩阵，

（2）工作台（X轴）的运动学模型33（3）主轴（Z轴）的运动学模型当主轴沿Z导轨移动距离z时，主轴相对机床床身的变换矩阵为

当主轴存在误差分量xZ、yZ、zZ、xZ、yZ、zZ、xz、yz时，上式可改写为式中：—主轴头的平移误差分量和转角误差分量引起的变换矩阵，

—由Y-Z垂直度误差和X-Z垂直度误差引起的变换矩阵，

（3）主轴（Z轴）的运动学模型34（4）三轴数控机床综合运动学模型设工件在工作台坐标系中的坐标为，则工件在绝对坐标系中的坐标为式中：—工件在工作台坐标系中的理论坐标矢量列向量；

—工件在工作台坐标系中的误差坐标矢量列向量。而刀尖在绝对坐标系中的坐标为

式中：—刀具的刀尖在主轴坐标系中的坐标矢量列向量。当刀具加工工件时，两者是接触的。因此，工件的被切削点和刀尖在绝对坐标系中是相等的，于是就有把上式展开得

＝

（4）三轴数控机床综合运动学模型＝35×

×

＝

×

式中：，，L为刀具的悬伸长度。因此，展开上式得

××＝×式中：36Wx=-LyZ+(L-z-OBHz)yY+(L-z-OBHz+OSTz)yX+(OBHy-y)zY+(OBHy-y)zX+xZ

-xY-xX+zzx+yzZWy=LxZ+(z+OBHz-L)xY+(z+OBHz-L-OSTz)xX+(x-OBHx)zX-OBHxzY+yZ-yX-yY-zyz-xxy-xzZWz=(OBHx-x)yX+OBHxyY+(y-OBHy)xX+(y-OBHy)xY+zZ-zX-zY

式中：OBHz=L+OSTz

在实际建模过程中，为了简化计算，通常使得工作台的起始坐标原点与滑台的坐标原点两者在XOY平面上的投影相重合。即于是，可简化为

Wx=-LyZ+(z+OSTz)yY-zyX-yzY-yzX+yzZ+xZ-xY+xX+zzx

Wy=LxZ+(z-OSTz)xY+zxX+xzX-xzZ+yZ-yX+yY-zyz-xxyWz=-xyX+yxX+yxY+zZ-zX-zY

Wx=-LyZ+(L-z-OBHz373.4误差运动综合模型建模实例（三）实例三：五轴加工中心的误差运动综合数学模型德国德马吉（DMG）公司生产的万能镗铣床（DMU70V）结构简图。该机床为高速五轴联动的加工中心。其有一旋转轴与水平面成45°。机床结构3.4误差运动综合模型建模实例（三）德国德马吉38ZXYWBO3CO2d1d2SO1xyzyO2O3zzxBC坐标系统设定OxyzOxyz建模实例ZXYWBO3CO2d1d2SO1xyzyO2O3zzxBC39ZXYWBO3CO2d1d2SO1xyz误差元素描述=573720+X坐标系热漂移：δxx0、δyx0、δzx0Y坐标系热漂移：δxy0、δyy0、δzy0Z坐标系热漂移：δxz0、δyz0、δzz0B坐标系热漂移：δxb0、δyb0、δzb0C坐标系热漂移：δxc0、δyc0、δzc0主轴热漂移：δxs0、δys0、δzs0主轴热倾斜：Pzxs、Pyzsx移动副：δxx、δyx、δzx、εxx、εyx、

εzxy移动副：δxy、δyy、δzy、εxy、εyy、

εzyz移动副：δxz、δyz、δzz、εxz、εyz、

εzzc转动副：δxc、δyc、δzc、εxc、εyc、

εzcb转动副：δxb、δyb、δzb、εxb、εyb、

εzb垂直度误差：Sxy、Szx、Syz

平行度误差：Pyzb、Pxyb、

Pyzc、Pzxc建模实例ZXYWBO3CO2d1d2SO1xyz误差元素描述=57340误差综合关系表达式建模实例误差综合关系表达式建模实例41建模实例运动副之间的齐次变换矩阵ZXYWBO3CO2SO1xyz建模实例运动副之间的齐次变换矩阵ZXYWBO3CO2SO1x42运动副之间的齐次变换矩阵ZXYWBO3CO2SO1xyz建模实例运动副之间的齐次变换矩阵ZXYWBO3CO2SO1xyz建模43综合误差模型的推出ZXYWBO3CO2SO1xyz将运动副变换矩阵代入舍去高阶小量，整理综合误差模型建模实例综合误差模型的推出ZXYWBO3CO2SO1xyz将运动副变44第三章机床误差综合数学模型3.0齐次坐标变换的基本概念3.1齐次坐标变换的基本原理3.2建立机床误差综合数学模型的基本方法3.3建立机床误差综合数学模型的具体步骤3.4建立机床误差综合数学模型实例第三章机床误差综合数学模型3.0齐次坐标变换的基本概念45

3.0齐次坐标变换的基本概念矩阵矢量转换矩阵－二维变换xBXBYByBPyAxAXAYAOBOAaXay解析式3.0齐次坐标变换的基本概念矩阵矢量转换矩阵－二维变46如图所示，设P点在原坐标系O1:X1Y1Z1中的坐标值为(x1,y1,z1)，当O1:X1Y1Z1坐标系沿X1轴平移x至新坐标系O2:X2Y2Z2后，则P点在新坐标系O2:X2Y2Z2坐标系中的坐标值(x2,y2,

z2)与(x1,y1,

z1)的关系可表示为：式中：Trans(x)—表征沿X1轴平移的平移矩阵。

齐次坐标变换的基本概念=Trans(x)

坐标系的坐标变换HomogeneouscoordinatetransformationofcoordinatesystemX1Y1Z1Y2Z2X2O1O2yzxxyzPTrans(x)－三维变换如图所示，设P点在原坐标系O1:X1Y1Z1中的坐47类似的，沿Y1轴和Z1轴的平移矩阵分别为若O1:X1Y1Z1坐标系绕X1轴旋转x

后成为O2:X2Y2Z2坐标系，则

式中：Rot(x)——绕X1轴的回转矩阵。Rot(x)类似地，绕Y1轴和Z1轴的回转矩阵可分别表示为

Trans(y)；Trans(z)

Rot(x)

Rot(y)；Rot(z)

齐次坐标变换的基本概念－三维变换类似的，沿Y1轴和Z1轴的平移矩阵分别为Trans(y)48在坐标系的坐标变换示意图中，若坐标系O1:X1Y1Z1先分别沿X1、Y1和Z1轴平移x、y和z，再分别绕X1、Y1和Z1轴旋转x、y和z，则表征O1:X1Y1Z1经上述平移、旋转后转换到新坐标系O2:X2Y2Z2之间关系的齐次坐标变换矩阵为T=Trans(x)Trans(y)Trans(z)Rot(x)

Rot(y)

Rot(z)

当旋转角度x、y和z非常小时，有sinx≈x;siny≈y;sinz≈z;cosx≈1;cosy≈1;cosz≈1当平移x、y和z分别有误差x、y和z时，如忽略二阶以上微量，可将上式齐次坐标变换矩阵简化为

＝齐次坐标变换的基本概念－三维变换在坐标系的坐标变换示意图中，若坐标系O1:X1Y1Z1先49

3.1齐次坐标变换的基本原理3.1.1齐次坐标变换定义

设对已给有序数组（x，y，z）及与之对应的有序数组（x’，y’，z’），满足（齐次）关系：

x’=a11x+a12y+a13z,T：y’=a21x+a22y+a23z,（3-1）

z’=a31x+a32y+a33z,称T是把有序数组（x，y，z）变到（x’，y’，z’）的一个齐次线性变换。有序数组（x’，y’，z’）称为在变换T下的（x，y，z）的像，而（x，y，z）则称（x’，y’，z’）的原像。方阵

（3-2）称为齐次线性变换T的方阵或齐次线性变换矩阵。若有序数组（x，y，z）及与之对应的有序数组（x’，y’，z’）分别为两个空间坐标系A和B中的两个位置坐标，则称T是把坐标系A中的位置坐标（x，y，z）变到坐标系B中的位置坐标（x’，y’，z’）的一个齐次坐标（线性）变换。3.1齐次坐标变换的基本原理3.1.1齐次坐标变换定义503.1.2变换矩阵

图3-1坐标之间的齐次变换3.1.2变换矩阵图3-1坐标之间的齐513.1.2变换矩阵如图3-1所示，A、B为二个空间坐标系，设r为坐标矢量，则有

rA

=

rB

（3-3）其中是从坐标系B变换到A的一个4×4齐次变换矩阵，根据坐标变换原理有

（3-4）若角度、和变化很小，并忽略二阶量则变换矩阵可为

（3-5）

TAB=1110001-+-+-+éëêêêêùûúúúúabagbgaabbccDDD3.1.2变换矩阵TAB=1110001-+-+-523.1.3机床运动误差的理论分析假定滑板行进到x

处，导轨无导向误差，与

重合，O1在基准轴线i上，则与滑板相固连的一点P1（刀具或工件上任意点）处于理论位置，径矢1P1=r1，在和三轴上分量（投影）均为，亦即P1点在里的理论坐标为。如果此时刻，导轨存在导向误差，矢量随同沿j、k方向平移；绕转动角，则P1滑板在床身或立柱的导轨上作直线运动时，有五个自由度被导轨约束，即两个方向的平移和三个方向的转动，而滑板前进方向的自由度由进给系统控制。为了清楚的表达导轨导向误差的变化和计量，可在床身（或立柱）导轨和滑板上各建立一个直角坐标系和，如图所示。原点O1和基准轴线i（与主轴轴线平行或垂直）的选择可根据导向误差的测量方法来确定。原点O

通常随同加工误差的度量基准一起固定在导轨纵向相应的位置上。另外，在滑板上加一个参考坐标系，它的坐标系与的坐标轴相应平行，并随滑板平移而不旋转。

r1点偏离理论位置，产生加工误差。

3.1.3机床运动误差的理论分析假定滑板行进到53由导轨在水平面内和垂直面内对基准轴线i的平行度（或垂直度）误差造成；由前、后导轨的平行度误差（扭曲）造成；和

分别由导轨在垂直面和水平面内的直线度误差（弯曲）造成。假定在x

处仅有导向误差，并且矢量随

分别绕旋转，则转换到里成为矢量例如，记矢量绕轴旋转角而得到矢量的坐标变换为，由解析几何可知，

记列矩阵为坐标变换矩阵为

同理，矢量绕轴旋转、绕轴旋转而产生的坐标变换矩阵分别为，有r1r1r1由导轨在水平面内和垂直面内对基准轴线i的54当矢量顺次绕轴旋转角时，则可通过矩阵相乘得出。即

符号“”表示记为。在上述三个旋转变换矩阵的元素中，由于导轨导向误差中角位移误差数值量很微小，可以作如下近：。因此，三个旋转矩阵任意交换相乘都得到同一结果，亦即不论旋转的顺序如何，旋转坐标变换的矩阵都是相同的。即的正负号按右手定则确定。在不考虑的平移误差的情况下，在x处，里的P1点在里的实际坐标为。已知P1点在的理论坐标为，则P1点的线位移误差为

式中I为单位矩阵；

、、为由角位移误差所产生的线位移误差。r1r1当矢量顺次绕轴旋转角时，55综合考虑所由导向误差、以及进给系统的线位移误差和由角位移误差所产生的线位移误差、和，则滑板行进到某处

x，固连于滑板任意点的线位移误差为或

上式的数学模型可推广到用二对或三对直线导轨副进行二维或三维进给的加工场合。注意是依位移不同而异的。

综合考虑所由导向误差、以及进给系统的线位56机床溜板运动误差示意图机床拖板运动表达的变换矩阵

对于如图的机床拖板运动，图中为转角误差（一般很小），为移动误差，x为理论移动距离或位置坐标。用下列变换矩阵可以表达拖板的运动。机床溜板运动误差示意图机床拖板运动表达的变换矩阵57X1Y1Z1X2Y2Z2旋转运动副的运动误差Motionerrorofrotaryjoint立式数控机床的主轴可抽象为如图所示。理想情况下，它绕着名义轴Z1轴旋转z时，它的变换矩阵为转动副（主轴）的运动学模型由于主轴的变形、主轴与轴套之间存在间隙以及轴向窜动等原因，使得主轴存在转角误差分量x、y和z，平移误差分量x、y和z。此时，坐标系O2:X2Y2Z2相对于坐标系O1:X1Y1Z1的变换矩阵为

Tr=T1-2

TX1Y1Z1X2Y2Z2旋转运动副的运动误差立式数控机床的583.2建立机床误差综合数学模型的基本方法刀具与工件的联结链图刀具12--JJTJJT1-1+JJT21++JJTKKT1-12--KKT10T参考处刀具分支工件分支工件主轴3.2建立机床误差综合数学模型的基本方法刀具与工件的联结链59

刀具与工件之间的联结链图表达了两者之间的联系。由于刀尖和工件上正被切削的点为同一点，故刀具与工件之间的联结为封闭矢量链。误差运动综合数学模型可通过从刀具坐标系（坐标系K）到工件坐标系（坐标系0）的链转换而得到。对于每个运动副，必须建立一个坐标系。由于不但要考虑几何误差还要考虑热误差，故除了这些运动坐标系外，还需几个静止坐标系，像刀具、工件或主轴坐标系等。若有M个运动副和N个静联接，则需要定义M+N=K个坐标系，如下式，通过K次坐标转换才能完成全部链的转换。

刀具与工件之间的联结链图表达了两者之间的联系60＝工件的绝对坐标刀具的绝对坐标床身(AS)立

柱

工作台(CS)滑台(BS)主轴头(DS)ABCD建立机床误差综合数学模型图示＝工件的绝对坐标刀具的绝对坐标床身(AS)立工作台(CS)61第三章机床误差综合数学模型-课件623.3误差运动综合模型建模的具体步骤建立一系列坐标系及转换矩阵分别建立刀具、工件和基坐标系的关系建立刀具和工件之间的关系3.3误差运动综合模型建模的具体步骤建立一系列坐标系及转换63YX刀具工件ABCDZ主轴滑台床身滑台拖板

T=

(W+W)ABCDADBC一、建立一系列坐标系YX刀具工件ABCDZ主轴滑台床身滑台拖板T64二、建立一系列转换矩阵、分别建立刀具、工件和基坐标系的关系二、建立一系列转换矩阵、分别建立刀具、工件和基坐标系的关系65机床刀具—工件联结链Ot=OpOt'Op'Oo机床刀尖与工件上被切削点是同一点三、建立刀具和工件之间的关系机床刀具—工件联结链Ot=OpOt'Op'Oo机床刀尖与工件66Wx=-xx+xy-xz-(Wz+Oxzz+z)yx+(Wy+Oxzy)zx+(Tz+L)yy-Tyzy-Wzyz+Wy

zz+Lys-ySxy+zSxz+xyx-xzx+SxWy=-yx+yy-yz+(Wz+Oxzx+z)xx-(Wx+Oxzx)zx-(Tz+L)xy+Txzy+Wzxz-Wxzz-Lxs+zSyz-xzy+xyy+SyWz=-zx+zy-zz-(Wy+Oxzy)xx+(Wx+Oxzx)yx+Tyxy-Txyy-Wyxz+Wxyz+

xyz-xzz+Sz误差综合数学模型Wx=-xx+xy-xz-(Wz+673.4误差运动综合模型建模实例（一）实例一：车削中心的误差运动综合数学模型机床结构简图及坐标系坐标系设定机床结构简图及所设坐标系如下（见下图）：（1）坐标系r：设在机床上，为参考坐标系(固定坐标系)；（2）坐标系s：设在主轴上，随主轴热变形而移动；（3）坐标系c：设在拖板上，随拖板沿Z轴运动(包括拖板热变形产生的运动)而移动；（4）坐标系t：设在刀架上，随拖板沿X轴运动(包括刀架热变形产生的运动)而移动。3.4误差运动综合模型建模实例（一）机床结构简图及坐标系坐68误差元素分析本机床为平面误差，所有误差产生在Z-X平面内，影响机床精度的主要误差元素有14个：（1）有关Z轴：定位误差zz，直线度误差xz，转角误差，拖板坐标系c原点相对于参考坐标系r沿X、Z方向的热漂移和；（2）有关X轴：定位误差xx，直线度误差zx，转角误差，刀架坐标系t原点相对于拖板坐标系c沿X、Z方向的热漂移和；（3）有关主轴：主轴沿Z、X方向的热漂移误差（主轴热变形）rsx、rsz；主轴和Z轴的平行度误差sz；（4）其它：Z轴和X轴的垂直度误差zx。误差运动综合计算先把刀尖坐标表达在其所在坐标系（刀架坐标系）中，再根据齐次坐标转化原理转化到参考坐标系。然后，把工件上正在被切削点的坐标表达在其所在坐标系（主轴坐标系）中，同理转化到参考坐标系。根据刀尖和工件上正被切削点位于空间同一点，得这两部分的等式。最后，求解等式可得几何和热误差综合数学模型。误差元素分析69对于本例，有关刀尖位置有：（3-8）其中：为在参考坐标系r的刀尖位置矢量；为从刀架坐表系t到拖板坐标系c的转化矩阵；为从拖板坐表系c到参考坐标系r的转化矩阵；为在刀架坐表系t的刀尖位置矢量。有关工件位置有：（3-9）其中：为工件理想尺寸矢量，为工件尺寸误差矢量；为在参考坐标系r中的工件尺寸矢量；为从主轴坐标系s到参考坐标系r的转化矩阵；为在主轴坐标系s中的工件尺寸矢量（工件实际尺寸矢量）。刀尖和工件上正被切削点应在同一点位置，故有：=（3-10）最后，求解式（3-10）可得工件尺寸误差（或误差运动）矢量。对于本例，有关刀尖位置有：70

假设机床没有任何误差，则易得：

其中：Wz、Wx分别为工件轴向、径向的理想尺寸；

z、x分别为为拖板Z轴方向、刀架X轴方向的运动行程；

Mrcz、Mrcx分别为参考坐标系与拖板坐标系原点之间Z向、X向的距离；

Mctz、Mctx分别为拖板坐标系与刀架坐标系原点之间Z向、X向的距离；

Tz、Tx为刀尖在刀架坐标系中的位置。（3-11）（3-11）71根据齐次坐标变化基本原理，可得：

其中：rs为主轴相对于参考坐标轴Zr的平行度误差。

其中：rz为Z运动轴相对于参考坐标轴Zr的平行度误差，有sz=rz-rs。其中：rx为X运动轴相对于参考坐标轴Zr的垂直度误差，有sx=rx-rs。（3-12）（3-13）（3-14）==根据齐次坐标变化基本原理，可得：（3-12）72把式（3-11）至式（3-14）代入式（3-10），有：=整理并忽略高阶量，有：其中：stz=rcz+ctz-rsz，stx=rcx+ctx-rsx。st为由机床热变形引起的刀具相对于主轴或工件的位移误差，直接反映了加工精度或工件尺寸的变化。在试验中，st可通过把位移传感器基座固定在刀架上测主轴而获得。把式（3-11）至式（3-14）代入式（3-1073机床几何误差和热误差运动矢量关系图机床几何误差和热误差运动矢量关系图743.4误差运动综合模型建模实例（二）实例二：三轴立式数控机床的误差运动综合数学模型典型的三轴立式数控机床如图所示，它主要包含工作台（X导轨）、滑台（Y导轨）和主轴（Z导轨）等部件。根据机床的实际工作特点，任意的机床结构都由一个封闭的传动链组成，在切削点处分为两个开环，从床身开始，在一个环的末端夹持刀具，在另一个环的末端支撑工件。三轴数控机床的几何误差含有21项误差分量，如表所示，表中平移误差分量ij（i=x,y,z,，j=x,y,z）的第1个下角标表示误差的方向，第2个下角标表示机床部件的主运动方向；转角误差分量ij表示j导轨绕i轴的转角误差。

ijkijjjijkjijkj工作台（X导轨）

滑台（Y导轨）

主轴箱（Z导轨）

转角误差分量

xx、yx、zx

xy、yy、zy

xz、yz、zz

平移误差分量

xx、yx、zx

xy、yy、zy

zx、zy、zz

垂直度误差

yx、xz、yz

3.4误差运动综合模型建模实例（二）ijkij75在三轴数控机床床身上定义绝对坐标系B，在滑台上定义相对坐标系S，在工作台上定义相对坐标系T，在主轴上定义相对坐标系H。定义OSTx、OSTy、OSTz分别为坐标系S的坐标原点与T的坐标原点在X、Y、Z方向上的偏差。类似地，可以定义OHBx、OHBy、OHBz的含义。定义床身坐标系与滑台坐标系的原点相重合，即B与S的坐标原点重合。（1）滑台（Y轴）的运动学模型当滑台沿Y导轨移动距离为y时，滑台相对机床床身的变换矩阵为TSB

滑台存在误差分量xY、yY、zY、xY、yY、zY，其相对机床床身的变换矩阵式中：—滑台的平移误差分量和转角误差分量引起的变换矩阵，

在三轴数控机床床身上定义绝对坐标系B，在滑台上定义相76

（2）工作台（X轴）的运动学模型当工作台沿X导轨移动距离为x时，工作台相对机床滑台的变换矩阵为

工作台存在误差分量xX、yX、zX、xX、yX、zX和xy，上式可被改写为

式中：—工作台的平移误差分量和转角误差分量引起的变换矩阵，

—工作台和滑台之间的垂直度误差引起的变换矩阵，

（2）工作台（X轴）的运动学模型77（3）主轴（Z轴）的运动学模型当主轴沿Z导轨移动距离z时，主轴相对机床床身的变换矩阵为

当主轴存在误差分量xZ、yZ、zZ、xZ、