分类计数原理与分步计数原理教学课件-课件

分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理1实际问题从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路，问：从甲地到丁地有多少种走法？要回答这个问题，就要用到计数的两个基本原理分类计数原理与分步计数原理．导入新课甲地乙地丙地丁地实际问题从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地2

问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：3＋2＝5（种）§10.1分类计数原理与分步计数原理问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽31、分类计数原理定义：如果计数的对象可以分成若干类，使得每两类没有公共元素，则分别对每一类里的元素计数，然后把各类的元素数目相加，便得出所要计数的对象的总数。（加法原理）即：做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。1、分类计数原理定义：如果计数的对象可以分成若干类，使得每两4解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个球60个40个例1：两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种求法？解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个5例1：两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种求法？解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个球60个40个例1：解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里6例1：两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种求法？解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个白球60个40个有40种取法；另一类是从装红球的袋子里取一个红球例1：解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里7例1：两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种求法？解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个白球40个60个有40种取法；另一类是从装红球的袋子里取一个红球例1：解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里8有60种取法。因此取法种数共有40+60=100（种）例1：两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种求法？解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个白球有40种取法；另一类是从装红球的袋子里取一个红球40个60个有60种取法。因此取法种数共有40+60=100（种）例1：9

问题2：如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南解：从A村经B村去C村有2步,第一步,由A村去B村有3种方法,第二步,由B村去C村有3种方法,所以从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的方法。问题2：如图,由A村去B村的道路有3条，由B村102、分步计数原理定义：如果计数的对象可以分成若干步骤来完成，并且对于前面几步的每一种完成方式，下一步有相同数目的做法，则依次计算第一步的做法数目，第二步的做法数目，…,最后一步的做法数目，然后把各步的做法数目相乘，便得出所要计数的对象的总数。即：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。（乘法原理）2、分步计数原理定义：如果计数的对象可以分成若干步骤来完成，11例2：两个袋子里分别装有40个红球与60个白球，从中取一个白球和一个红球，有多少种取法？60个40个解：取一个白球和一个红球可以分成两步来完成：第一步从装白球的袋子里取一个白球，例2：60个40个12例2：两个袋子里分别装有40个红球与60个白球，从中取一个白球和一个红球，有多少种取法？60个40个解：取一个白球和一个红球可以分成两步来完成：第一步从装白球的袋子里取一个白球，有60种取法；对于这每一种取法，第二步从装红球的袋子里取一个红球，都有40种取法。因此取一个白球和一个红球的方法共有60×40=2400（种）例2：60个40个13思考：分类计数原理与分步计数原理的区别与联系？联系：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题。区别：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。思考：分类计数原理与分步计数原理的区别与联系？联系：分类计数14例3：某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？解:(1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法,第一类办法,从男三好学生中任选一人,共有m1=5种不同的方法;第二类办法,从女三好学生中任选一人,共有m2=4种不同的方法;所以,根据加法原理,得到不同选法种数共有N=5+4=9种。例3：解:(1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事15例3：某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？解:(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事,需分2步完成,第一步,选一名男三好学生,有m1=

5种方法;第二步,选一名女三好学生,有m2=4种方法;所以,不同选法种数共有N=5×4=20种。点评:解题的关键是从总体上看这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”，“分类完成”用“加法原理”，“分步完成”用“乘法原理”。例3：解:(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参161、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

4+3+2=9（种）4×3×2=24（种）2、由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个四位数？（各位上的数字允许重复）6×5×4×3=360（个）3、一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？

10×10×10×10=104练习11、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同17有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用．一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理．请看下面的例题：

注意有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分18例4：某城市电话号码由8位组成，其中从左边算起的第1位只用6或8，其余7位可以从前10个自然数0，1，2，…,9中任意选取，允许数字重复。试问：该城市最多可装电话多少门？12345678第1类6解：装一门电话需要指定一个电话号码，由题意电话号码可以分成两类：第1类电话号码第1位用6，确定其余7位号码可以分7步完成。10101010101010因此第一类电话号码共有10×10×10×10×10×10×10=10712345678第2类8同理，第2类电话号码也有10个，7因此，该城市所用的电话号码共有10+10=2×10个从而最多可装电话2×10门，即两千万门。7777例4：12345678第1类6解：装一门电话需要指定一个第119某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？3×3×3×3=81（种）练习2某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到20实际问题从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路，问：从甲地到丁地有多少种走法？甲地乙地丙地丁地解：要完成从甲地到丁地这件事情有两种路线可以走，即可以分为两类：甲地乙地丁地甲地丙地丁地第一类又可以分为两步，第一步有3种方法，第二步有2种方法，因此第一类走法有3×2=6（种）同理第二类走法有3×4=12（种）所以，从甲地到丁地有6+12=18种走法。实际问题从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地21小结请同学们回答下面的问题:1.本节课学习了那些主要内容？答:分类计数原理和分步计数原理。

2.分类计数原理和分步计数原理的共同点是什么？不同点什么？答:共同点是,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法。不同点是,它们研究完成一件事情的方式不同,分类计数原理是“分类完成”,即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。分步计数原理是“分步完成”,即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。小结请同学们回答下面的问题:1.本节课学习了那些主要内容22再见再见23分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理24实际问题从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路，问：从甲地到丁地有多少种走法？要回答这个问题，就要用到计数的两个基本原理分类计数原理与分步计数原理．导入新课甲地乙地丙地丁地实际问题从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地25

问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有：3＋2＝5（种）§10.1分类计数原理与分步计数原理问题一：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽261、分类计数原理定义：如果计数的对象可以分成若干类，使得每两类没有公共元素，则分别对每一类里的元素计数，然后把各类的元素数目相加，便得出所要计数的对象的总数。（加法原理）即：做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。1、分类计数原理定义：如果计数的对象可以分成若干类，使得每两27解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个球60个40个例1：两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种求法？解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个28例1：两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种求法？解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个球60个40个例1：解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里29例1：两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种求法？解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个白球60个40个有40种取法；另一类是从装红球的袋子里取一个红球例1：解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里30例1：两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种求法？解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个白球40个60个有40种取法；另一类是从装红球的袋子里取一个红球例1：解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里31有60种取法。因此取法种数共有40+60=100（种）例1：两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种求法？解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装白球的袋子里取一个白球有40种取法；另一类是从装红球的袋子里取一个红球40个60个有60种取法。因此取法种数共有40+60=100（种）例1：32

问题2：如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南解：从A村经B村去C村有2步,第一步,由A村去B村有3种方法,第二步,由B村去C村有3种方法,所以从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的方法。问题2：如图,由A村去B村的道路有3条，由B村332、分步计数原理定义：如果计数的对象可以分成若干步骤来完成，并且对于前面几步的每一种完成方式，下一步有相同数目的做法，则依次计算第一步的做法数目，第二步的做法数目，…,最后一步的做法数目，然后把各步的做法数目相乘，便得出所要计数的对象的总数。即：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。（乘法原理）2、分步计数原理定义：如果计数的对象可以分成若干步骤来完成，34例2：两个袋子里分别装有40个红球与60个白球，从中取一个白球和一个红球，有多少种取法？60个40个解：取一个白球和一个红球可以分成两步来完成：第一步从装白球的袋子里取一个白球，例2：60个40个35例2：两个袋子里分别装有40个红球与60个白球，从中取一个白球和一个红球，有多少种取法？60个40个解：取一个白球和一个红球可以分成两步来完成：第一步从装白球的袋子里取一个白球，有60种取法；对于这每一种取法，第二步从装红球的袋子里取一个红球，都有40种取法。因此取一个白球和一个红球的方法共有60×40=2400（种）例2：60个40个36思考：分类计数原理与分步计数原理的区别与联系？联系：分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题。区别：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。思考：分类计数原理与分步计数原理的区别与联系？联系：分类计数37例3：某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？解:(1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法,第一类办法,从男三好学生中任选一人,共有m1=5种不同的方法;第二类办法,从女三好学生中任选一人,共有m2=4种不同的方法;所以,根据加法原理,得到不同选法种数共有N=5+4=9种。例3：解:(1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事38例3：某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？解:(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事,需分2步完成,第一步,选一名男三好学生,有m1=

5种方法;第二步,选一名女三好学生,有m2=4种方法;所以,不同选法种数共有N=5×4=20种。点评:解题的关键是从总体上看这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”，“分类完成”用“加法原理”，“分步完成”用“乘法原理”。例3：解:(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参391、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

4+3+2=9（种）4×3×2=24（种）2、由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个四位数？（各位上的数字允许重复）6×5×4×3=360（个）3、一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？

10×10×10×10=104练习11、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同40有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用．一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理．请看下面的例题：

注意有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分41例4：某城市电话号码由8位组成，其中从左边算起的第1位只用6或8，其余7位可以从前10个自然数0，1，2，…,9中任意选取，允许数字重复。试问：该城市最多可装电话多少门？12345678第1类6解：装一门电话需要指定一个电