初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第30讲 从创新构造入手

精品文档精品文档第三十讲 从创新构造入手有些数学问题直接求解比较困难可通过创造性构造转化问题而使问题获解文档设者： 设计时间： 文档类型：文库精品文档，欢迎下载使用。Word精品文档，可以编辑修改，放心下载适当的加工处理．构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．构造法是一种创造性思维，是建立在对问题结构特点的深刻认识基础上的．构造法的基本形式是以已知条件为“原料形式，初中阶段常用的构造解题的基本方法有：构造方程；构造函数；构造图形；对于存在性问题，构造实例；对于错误的命题，构造反例；构造等价命题等．【例题求解】aa1 2

、b、b1

a1

a，满足(a2

b)(a1

b)(a2

b)(a1

b)，2(a1

b)(a1

b)(a1

b)(a2

b)1．2思路点拨可以从展开已知等式、按比例性质变形已知等式等角度尝试．仔细观察已知等式aa1 2

(xb1

)(xb2

1(xb1

)(xb2

)1(xa1

)(xa)，2通过构造方程揭示题设条件与结论的内在规律，解题思路新颖而深刻．x2x24x13x22x2【例x22x2

的最小值．思路点拨用一般求最值的方法很难求出此代数式的最小值．x22xx22x2x24x13(x1)2(02(x2)2(02

，于是问题转化为：在x轴上求一点C(1，0)，使它到两点A(一1，1)和B(2，3)的距离和(CA+CB)最小，利用对称性可求出C点坐标．这样，通过构造图形而使问题获解．】已知b、c为整数，方程5x2bxc0的两根都大于10，求b和c的值．思路点拨利用求根公式，解不等式组求出b、c的范围，这是解本例的基本思路，解法繁难．由于二次函数与二次方程有深刻的内在联系，构造函数，令y5x2bxc，从讨论抛物线与x轴交点在1与0之间所满足的约束条件入手．】如图，在矩形ABCDab，问：能否在Ab边上找一点E，使E点CD?E?找到，请说明理由．思路点拨假设在AB边上存在点E，使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD，又设AE=x，则AD

BE

bx，于是将问题转化为关于x的一元二次方程是否有实根，在一定条件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题．AE BC x a件下有几个实根的研究，通过构造方程解决问题．【例5】试证：世界上任何6个人，总有3人彼此认识或者彼此不认识．思路点拨构造图形解题，我们把“人”看作“点2个人之间的关系看作染成颜色的22个人彼此不认识，就把相应的线段染成蓝色，这样，有333边都是蓝色的三角形，这样本题就化作：632并且一条边只能染成一种颜色．证明：不管怎么染色，总可以找出三边同色的三角形．几何问题代数化；利用图形图表解代数问题；构造函数，借用函数图象探讨方程的解．(组)，再进行计算或证明．特别地，证明几何存在性的问题可构造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代数模型求证；应用为韦达定理，讨论几何图形位置的可能性．握．问题的“构造性证明学历训练若关于x的方程(1m2)x22mx10的所有根都是比1小的正实数则实数m的取值范围是 ．abcd是四个不同的有理数，且(ac)(ad)1(bc)(bd)1，那么(ac)(bc)的值是 ．3．代数式x24 x)29的最小值为 ．A、CD、、F六个足球队单循环赛，已知A、CDE五个队已经分别比了54、、、1场，则还未与B队比赛的球队是 ．若实数a、b满足a2abb21，且taba2b2，则t的取值范围是 ．6．设实数分别s、t分别满足19s299s10，t299t190，并且st1，求st4s1的t值．已知实数a、b、c满足(ac)(abc0(bc24a(abc)．10个不同的自然数，使得它们中的每个是这10个数和的一个约数，并说明写出的10个自然数符合题设条件的理由．求所有的实数x，使得x x1 11 ．x x若是不全为零且绝对值都小于106的整数．求证：a 2b 3c

1 ．1021xx223x1k有四个不同的实根，求k的取值范围．12．设0x，y，z10，求证x(1y)y(1z)z(1x)1．13．从自然数l，2，3，…354178个数，试证：其中必有两个数，它们的差为14a、bcdeabcde8a2b2c2d2e16的实数，试确定e的最大值．如图，已知一等腰梯形，其底为a和b，高为h．求点P到两底边的距离；在什么条件下可作出P求点P到两底边的距离；在什么条件下可作出P?参考答案温馨提示温馨