电磁场课件-第二章

第2章静电场与恒定电场一、场量的定义和计算(一)电场1.什么是电场？

这种存在于电荷周围，能对其他电荷产生作用力的特殊的物质称为电场。可见电荷是产生电场的源。2.电场强度的定义

单位正电荷在电场中某点受到的作用力称为该点的电场强度。电场强度严格的数学表达式为：

在此要求实验电荷足够小，以使该电荷产生的电场不致使原电场发生畸变。3.库仑定律

其中：为真空中介电常数。4.电场强度的计算

其中：是源电荷指向场点的方向。(1)点电荷周围电场强度的计算公式：解：如图

点的坐标矢量为：点的坐标矢量为：点电荷电场强度的计算公式其中：所以:例1：在直角坐标系中，设一点电荷q位于点，计算空间点的电场强度。结论：

在直角坐标系中，若源电荷所在点的坐标为，场点P的坐标为，则P点的电场强度为：多个电荷产生的电场

如果有多个点电荷源,场域中某点的电场强度应该是所有点电荷在该场中产生的电场强度的矢量和。(2)连续分布的电荷源产生的电场a.线电荷分布：电荷沿某一曲线连续分布。

线电荷密度定义：

单位长度上的电荷量。

上所带的电荷量：产生的电场强度为：该线电荷在空间产生的电场强度：b.面电荷分布：电荷沿空间曲面连续分布。

面电荷密度定义：单位面积上的电荷量。

上所带的电荷量：产生的电场强度为：该面电荷在空间产生的电场强度：c.体电荷分布:电荷在某空间体积内连续分布。体电荷密度定义：单位体积内的电荷量。

上所带的电荷量：产生的电场强度为：该体电荷在空间产生的电场强度:解：根据题意，选取圆柱坐标系面元：面元上的电荷量为：从此电荷源到z轴上P点的距离矢量为：距离大小为：根据面分布电荷在空间一点所产生的电场强度公式：

例2：设有一无限大的均匀带电平面，面电荷密度为。求：距平面h高处的电场强度。

由于电荷分布的对称性，对每一个面元，将有一个对称面元与之对应，这两个面元上的电荷在P点产生的电场强度的径向分量相互抵消，因此P点的电场强度的径向分量为零。

可见：无限大均匀带电平面产生的电场是均匀的,与距离

h无关，方向为该平面的法线方向。3.几种典型电荷分布的电场强度

均匀带电直线段的电场强度：

均匀带电圆环轴线上的电场强度：（无限长）（有限长）均匀带电圆环均匀带电直线段1.静电场的环路定律，以及无旋性电场力作功与路径无关,静电场是保守场，是无旋场。由Stokes’定理，静电场在任一闭合环路的环量说明即下页上页返回（二）电位

电荷在电场中受力为：电荷在静电场中由P点移动到A点，外力所做的功为：电位差定义：

单位正电荷由P点移动到A点，外力所做的功称为A点和P点之间的电位差。

1.电位差电荷在电场中要保持静止，需受外力作用为：结论：空间两点的电位差只与两点所在位置有关，而与积分路径无关。例3：计算原点处一点电荷q产生的电场中AP之间的电位差。解：选取求坐标系，点电荷q产生的电场所以：o（1）电位定义：

外力将单位正电荷是由无穷远处移到A点，则A点和无穷远处的电位差称为A点的电位。2.电位以无穷远处为零电位参考点。为电荷源到A点的距离。（2）电位计算：a.点电荷的电位计算：多个点电荷的电位计算：其中：为第i个电荷源到A点的距离。b.连续分布的电荷源的电位计算线电荷分布：面电荷分布：体电荷分布：3.电场强度与电位之间的关系

负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。在直角坐标系中根据E与的微分关系，试问静电场中的某一点()()??下页上页返回例4:

有一对等量异号相距很近的电荷构成电偶极子，如图，

求：P点的电位和电场强度。解：取球坐标系，P点的电位因为：则：电场强度：电偶极子的场图等位线电场线

表示电偶极矩（dipolemoment)，方向由-q指向+q。电力线与等位线（面）的性质：图1点电荷与接地导体的电场图1点电荷与不接地导体的电场E线不能相交,等线不能相交；E线起始于正电荷，终止于负电荷;E线愈密处，场强愈大;E线与等位线（面）正交；下页上页返回微波炉是利用电磁波的能量来加热食物的。微波炉由一个磁控管将电能转化为电磁波，然后照射到食物上。食物被电磁场加热的原因：因为食物中含有水分子，而水分子具有一定的电偶极矩，在高频电磁场作用下，正负电荷将受到电场力的作用，电偶极矩发生迅速变化和旋转，使得水分子运动加剧，温度上升，熟化食物。微波炉的工作原理2.3静电场中的导体和电介质一、导体1.导体的定义：含有大量可以自由移动的带电粒子的物质。导体分为两种金属导体：电解质导体：由自由电子导电。由带电离子导电。2.静电场中的导体

静电平衡状态的特点演示

（1）导体为等位体；（2）导体内部电场为零；（3）导体表面的电场处处与导体表面垂直，切向电场为零；（4）感应电荷只分布在导体表面上，导体内部感应电荷为零。++++++------1.静电场中导体的性质导体内电场强度E为零，静电平衡；导体是等位体，导体表面为等位面；电场强度垂直于导体表面，电荷分布在导体表面，接地导体都不带电。（）一导体的电位为零，则该导体不带电。（）任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不

变的。（）下页上页返回二、电介质

电介质是一种绝缘材料，在外电场作用下不能发生传导现象，可以发生极化现象。电介质有多种形态：固态，液态和气态。电介质分子可分为两类：无极分子有极分子当外电场不存在时，电介质中分子的正负电荷的“重心”是重合的。当外电场不存在时，电介质中的正负电荷“重心”不重合，因此每个分子可等效为一个电偶极子。1.电介质的特性

无极分子：有极分子：1.电介质的极化现象

电介质的分子分为无极分子和有极分子。在电场作用下，介质中无极分子的束缚电荷发生位移，有极分子的固有电偶极矩的取向趋于电场方向，这种现象称为电介质的极化。通常，无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。2电介质的极化电位移矢量无极分子有极分子无外加电场无极分子有极分子有外加电场E2.静电场中的电介质电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列；电介质内部和表面产生极化电荷(polarizedcharge)；极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。下页上页返回EE2.极化强度矢量

极化强度矢量

是描述介质极化程度的物理量，定义为

——分子的平均电偶极矩

的物理意义：单位体积内分子电偶极矩的矢量和。

极化强度与电场强度有关，其关系一般比较复杂。在线性、各向同性的电介质中，与电场强度成正比，即

——电介质的电极化率

E

由于极化，正负电荷发生位移，在电介质内部可能出现净余的极化电荷分布，同时在电介质的表面上有面分布的极化电荷。3.极化电荷(1)

极化电荷体密度

在电介质内任意作一闭合面S，只有电偶极矩穿过S的分子对S内的极化电荷有贡献。由于负电荷位于斜柱体内的电偶极矩才穿过小面元dS，因此dS对极化电荷的贡献为S所围的体积内的极化电荷为E

S(2)

极化电荷面密度

紧贴电介质表面取如图所示的闭曲面，则穿过面积元的极化电荷为故得到电介质表面的极化电荷面密度为思考根据电荷守恒定律，极化电荷的总和为零电介质均匀极化时，极化电荷体密度有电介质时，场量为下页上页返回下页上页返回例1、半径R

的介质球被均匀极化，极化强度为。求：介质球内和表面的分布。由此可知，上半球面上下半球面上解：在介质球内球面上任一点作散度运算1真空中的高斯定律(Gauss’sTheoreminVacuum)高斯定律的微分形式1.E的散度

说明静电场是有源场，电荷是电场的通量源。2.4高斯定律下页上页返回2.E的通量图1.2.1闭合曲面的电通量图1.2.2闭合面外的电荷对场的影响散度定理

S面上的E是由系统中全部电荷产生的。

E的通量等于闭合面S

包围的净电荷。下页上页返回

当电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。

3.利用高斯定理计算电场强度具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：

球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。均匀带电球体带电球壳多层同心球壳

无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。

轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。(a)(b)

例2.2.3

求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为a，电荷密度为0。

解：（1）球外某点的场强（2）求球体内一点的场强ar0rrEa(r≥a)（r<a）4.介质中的高斯定理

介质的极化过程包括两个方面：外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状态。无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服从同样的库仑定律和高斯定理。自由电荷和极化电荷共同激发的结果

介质中的电场应该是外加电场和极化电荷产生的电场的叠加，应用高斯定理得到：任意闭合曲面电位移矢量D的通量等于该曲面包含自由电荷的代数和

小结：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为

引入电位移矢量（单位为C/m2)-（电感应强度、电通量密度）将极化电荷体密度表达式代入，有则有

其积分形式为

（积分形式）

（微分形式），

在这种情况下其中称为介质的介电常数，称为介质的相对介电常数（无量纲）。*

介质有多种不同的分类方法，如：均匀和非均匀介质各向同性和各向异性介质时变和时不变介质线性和非线性介质确定性和随机介质5.电介质的本构关系

极化强度与电场强度之间的关系由介质的性质决定。对于线性各向同性介质，

和

有简单的线性关系例2.3.1平板电容器中有一块介质,画出D、E

和P线分布。图D、E与P

三者之间的关系D线E线P线思考D

线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；E

线由正电荷出发，终止于负电荷；P

线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。电场强度在介质中减少了吗？下页上页返回计算技巧：a）分析场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。b）选择适当的闭合面作为高斯面，使

中的D可作为常数提出积分号外。

高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对称性的场才有解析解。5.高斯定律的应用下页上页返回

例2.3.3

试求电荷线密度为的无限长均匀带电体的电场。解:

分析场分布,取圆柱坐标系由得下页上页返回图1.2.8无限长均匀带电体球壳内的电场球壳外的电场例2.3.4

哪些区域的电场能用高斯定律直接求解？下页上页返回图1.2.10±q分别在金属球内外图1.2.9q在金属球壳内例11一均匀带电球壳，电荷密度为，球壳内外半径分别为a、b，求各区域中的电位移矢量。解：如图，选球坐标系，由于球壳内均匀带电，所产生的电场具有中心对称性。（1）区域取半径为R

的球面为高斯面，根据电高斯定律:可得：（2）区域取半径为R

的球面为高斯面，根据电高斯定律:

可得：（3）区域同理取半径为R

的球面为高斯面，根据电高斯定律:可得：例若点电荷±q

分别置于金属球壳内外，问（1)

穿过闭合面（金属球壳）的D

通量是多少？（2)闭合面上的D

与－q有关吗？下页上页返回图点电荷±q分别置于金属球壳的内外2.4.3基本方程、分界面上的衔接条件1基本方程(BasicEquation)静电场是有源无旋场，静止电荷是静电场的源。静电场的基本方程为微分形式积分形式构成方程下页上页返回矢量A

可以表示一个静电场。能否根据矢量场的散度判断该场是否静电场?

例1.3.1

已知试判断它能否表示静电场？解:

根据静电场的旋度恒等于零的性质,思考下页上页返回包围点P作高斯面()。2.5分界面上的衔接条件（BoundaryCondition)1.D的衔接条件(法向边界条件）则有根据图1.3.1介质分界面D

的法向分量不连续当时，

D

的法向分量连续。下页上页返回2.E的衔接条件（切向分量）围绕点P作一矩形回路()。

E的切向分量连续。根据则有3.折射定理当交界面上时，折射定律下页上页返回图1.3.2介质分界面4、的衔接条件设P1与P2位于分界面两侧，

因此电位连续得电位的法向导数不连续由，其中图1.3.3电位的衔接条件下页上页返回说明

（1）导体表面是等位面，E线与导体表面垂直；图1.3.4导体与电介质分界面例1.3.2

试写出导体与电介质分界面上的衔接条件。

解:

分界面衔接条件导体中E＝0，分解面介质侧（2）导体表面上任一点的D

等于该点的。下页上页返回2.6泊松方程和拉普拉斯方程2.6.1泊松方程与拉普拉斯方程

(Poisson’sEquationandLaplace’sEquation)泊松方程—拉普拉斯算子BoundaryValueProblemandUniquenessTheorem拉普拉斯方程当r=0时下页上页返回

电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷能力的物理量。

孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位的比值，即2.7.电容

孤立导体的电容

两个带等量异号电荷（q）的导体组成的电容器，其电容为

电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。(1)假定两导体上分别带电荷+q和-q；(2)计算两导体间的电场强度E；

计算电容的步骤：(4)求比值，即得出所求电容。(3)由 ，求出两导体间的电位差；

解：设内导体的电荷为q，则由高斯定理可求得内外导体间的电场同心导体间的电压球形电容器的电容当时，

例2.1.4

同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为b，其间填充介电常数为ε的均匀介质。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容

例2.1.5

如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的轴线距离为D，且D>>a，求传输线单位长度的电容。

解

设两导线单位长度带电量分别为和。由于，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P的电场强度为两导线间的电位差故单位长度的电容为

例3.1.6

同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体间填充的介电常数为的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。内外导体间的电位差

解

设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为和，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为同轴线电力电缆下页返回电力电缆上页返回2＊

部份电容

在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的概念加以推广，引入部分电容的概念。

在由N个导体组成的系统中，由于电位与各导体所带的电荷之间成线性关系，所以，各导体的电位为式中：——自电位系数——互电位系数（1）电位系数

αij在数值上等于第i个导体上的总电量为一个单位、而其余导体上的总电量都为零时，第j个导体上的电位，即

αij只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；

具有对称性，即αij=αji。

αij>

0；

电位系数的特点：若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为

式中：——自电容系数或自感应系数

——互电容系数或互感应系数

（2）电容系数

βij在数值上等于第

j个导体上的电位为一个单位、而其余导体接地时，第i个导体上的电量，即

βij只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；

具有对称性，即βij=βji。

βii>

0、；

电容系数的特点：将各导体的电量表示为

式中：（3）部分电容——导体i与导体j之间的部分电容——导体i与地之间的部分电容

Cii在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时，第i个导体上的电量；

Cij只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；

具有对称性，即Cij=Cji。

Cij>

0；Cij在数值上等于第j个导体的电位为一个单位、其余导体都接地时，第i个导体上的电量；

部分电容的特点：

在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压U，极板上所带电荷分别为，则比值称为这两个导体间的等效电容。（4）等效电容如图所示，有三个部分电容导线1和2间的等效电容为导线1和大地间的等效电容为导线2和大地间的等效电容为12大地大地上空的平行双导线所以静电屏蔽在工程上有广泛应用。图1.8.6静电屏蔽

三导体系统的方程为：

5.静电屏蔽当时，

说明1号与2号导体之间无静电联系，实现了静电屏蔽。下页上页返回屏蔽室门屏蔽室门（双层铜皮）下页上页返回屏蔽室门（双层铜皮）电力电容下页返回电力电容电力电容下页上页返回电力电容下页上页返回电力电容变压器（6kV:250kV）调压器（0~6kV）水电阻可产生1800kV冲击电压放电铜球放电线路六氟化硫SF6气体绝缘设备上页返回

如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。

静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量

静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有能量。

任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而作功。2.8静电场的能量

1.静电场的能量

设系统从零开始充电，最终带电量为q、电位为

。充电过程中某一时刻的电荷量为αq、电位为α。(0≤α≤1)

当α增加为(α+dα)时，外电源做功为:α

(qdα)。对α从0到1积分，即得到外电源所做的总功为

根据能量守恒定律，此功也就是电量为q的带电体具有的电场能量We，即

对于电荷体密度ρ为的体分布电荷，体积元dV中的电荷ρdV具有的电场能量为故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，电场能量为对于多导体组成的带电系统，则有——

第i个导体所带的电荷——

第i个导体的电位式中：2.电场能量密度

从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。

电场能量密度：

电场的总能量：积分区域为电场所在的整个空间

对于线性、各向同性介质，则有由于体积V外的电荷密度ρ＝0，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面S无限扩大时，则有故

推证：ρρ＝0S

例3.1.7

半径为a的球形空间内均匀分布有电荷体密度为ρ的电荷，试求静电场能量。

解：方法一，利用计算

根据高斯定理求得电场强度故

方法二：利用计算

先求出电位分布

故2.8.2静电力(ElectrostaticForce)1.虚位移法(VirtualDisplacementMethod)功=广义力×广义坐标

广义坐标距离面积体积角度广义力机械力表面张力压强转矩单位NN/mN/m2Nm

广义力f：企图改变广义坐标的力。

广义坐标g：距离、面积、体积、角度。下页上页返回力的方向：f的正方向为g增加的方向。（1）常电荷系统（K断开）

表示取消外源后，电场力作功必须靠减少电场中静电能量来实现。在多导体系统中，导体p发生位移dg后,其功能关系为外源提供能量

=

静电能量增量+

电场力所作功即图1.9.3多导体系统(K断开)下页上页返回外源提供能量的增量

说明：外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。（2）常电位系统（K闭合）广义力是代数量，根据f的“±”号判断力的方向。图1.9.4多导体系统(K闭合)下页上页返回解法一：常电位系统例2.9.3

试求图示平行板电容器极板的电场力。图1.9.5平行板电容器取d为广义坐标（相对位置坐标）负号表示电场力企图使d

减小，即电容增大。下页上页返回解法二：常电荷系统负号表示电场力企图使d

减小，即电容增大。下页上页返回

例1.9.4

图示一球形薄膜带电表面，半径为a

，其上带电荷为q，试求薄膜单位面积所受的电场力。解：取体积为广义坐标f的方向是广义坐标V增加的方向，表现为膨胀力。N/m2下页上页返回图1.9.6球形薄膜2.法拉第观点（Farade’sreview）

法拉第认为，沿通量线作一通量管，沿其轴向受到纵张力，垂直于轴向受到侧压力，其大小为图1.9.9根椐场图判断带电体受力下页上页返回图1.9.7电位移管受力情况图1.9.8物体受力情况例1.9.5

计算平板电容器中介质分界面上的压强。图(a)若，则力由指向。结论:分界面受力总是从大的介质指向小的介质。下页上页返回图1.9.10平行板电容器(a)(b)图(b)结论:分界面受力总是从大的介质指向小的介质。若，则力由指向。(b)下页上页返回静态场的应用图1.9.11静电分离SteadyFieldApplications图1.9.12静电喷涂上页返回

通有直流电流的导电媒质中同时存在着电流场和恒定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，它与静电场有相似之处。2.9恒定电场

本章要求:

熟练掌握静电比拟法和电导的计算。

理解各种电流密度的概念，通过欧姆定律和焦耳定律深刻理解场量之间的关系。

掌握导电媒质中的恒定电场基本方程和分界面衔接条件。下页上页返回1电流(Current)定义：单位时间内通过某一横截面的电量。2.9.1

导电媒质中的电流三种电流：A传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动。位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流。运动电流——带电粒子在真空中的定向运动。下页上页返回1.电流面密度J体电荷以速度v

作匀速运动形成的电流。电流密度定义：2.1.2

电流密度（CurrentDensity)下页上页返回图2.1.1电流面密度矢量大小：方向：正电荷速度方向矢量形式：通过任意曲面的电流：

下页上页返回图2.1.2电流的计算电流强度是电流密度对某曲面的的通量2.电流线密度K电流en

是垂直于dl，且通过dl与曲面相切的单位矢量。面电荷在曲面上以速度v运动形成的电流。图2.1.3电流线密度及其通量下页上页电流线密度返回3.元电流的概念元电流是元电荷以速度v运动形成的电流工程应用媒质磁化后的表面磁化电流；同轴电缆的外导体视为电流线密度分布；高频时，因集肤效应，电流趋于导体表面分布。下页上页图2.1.4媒质的磁化电流返回2.1.3

欧姆定律的微分形式

(DifferentialFormofOhm’sLaw)

J与E共存，且方向一致。简单证明：欧姆定律

微分形式。在线性媒质中对两边取面积分左边右边欧姆定律

积分形式。所以下页上页图2.1.5J与E之关系返回2.1.4

焦尔定律的微分形式

(DifferentialFormofJoule’sLaw)导体有电流时，必伴随功率损耗，其功率体密度为W/m3W—焦耳定律微分形式—焦耳定律积分形式下页上页返回1

基本方程(BasicEquations)2.9.3

电荷守恒定律

电荷守恒原理1.J

的散度亦称电流连续性方程下页上页返回S图2.2.2电源电动势与局外场强在恒定电场中恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。故散度定理下页上页返回结论：恒定电场是无源无旋场。2.E的旋度

所取积分路径不经过电源，则3.恒定电场（电源外）的基本方程恒定电场是无旋场。得积分形式微分形式构成方程斯托克斯定理下页上页返回2.3.2

分界面的衔接条件（BoundaryConditions)

说明分界面上E

切向分量连续，J

的法向分量连续。折射定律图2.3.1电流线的折射由得下页上页返回钢：土壤