dsp 数字信号处理课件 第1章 离散时间信号与系统

第1章离散时间信号与系统掌握离散时间信号与系统的基本描述方法和数字信号处理的基本概念。1、离散时间信号与系统的概念2、离散时间系统的特性及判断方法3、掌握序列的表示法、序列之间的基本运算4、周期序列（复指数周期序列）的判定方法及 最小正周期的求法5、采样定理[教材第1章，4至28页]

2022/12/191第1章离散时间信号与系统掌握离散时间信号与系统的基本描述1.1离散时间信号与系统的概念回顾：连续（模拟）系统及数学模型离散信号与系统2022/12/1921.1离散时间信号与系统的概念回顾：连续（模拟）系统及数学ReviewofAnalogSignalsx(t)--ananalogsignal(模拟信号）X(jΩ)--theFouriertransform

ofx(t)

(x(t)的傅立叶变换)（FT）

[1]FT/IFT,STofsignalspectrum(pl.spectra)---频谱2022/12/193ReviewofAnalogSignalsx(t)傅立叶变换存在的条件:(角频率--theradianfrequency)IFT（TheinverseFouriertransformofX(jΩ)傅立叶逆变换2022/12/194傅立叶变换存在的条件:2022/12/164TheLaplacetransformisdefinedbyCondition:拉氏变换2022/12/195TheLaplacetransformisdefin1).GeneralI/Odifferentialequation（输入输出微分方程）零输入响应、零状态响应的求解[2]mathematicmodelsofsystem

系统的数学模型2022/12/1961).GeneralI/Odifferen2).h(t)——impulseresponse(冲激响应)convolutioninthetimedomain(时域卷积)2022/12/1972).h(t)——impulseresponse

3)thefrequencyresponseofthesystem（系统的频率响应）

h(t)H(jΩ)系统输出的频谱Y(jΩ)=H(jΩ)X(jΩ)2022/12/1983)thefrequencyresponseo

4)系统函数(传递函数):系统的s域关系：

Y(s)=H(s)X(s)h(t)H(s)

2022/12/1994)系统函数(传递函数):Y(s)=H([3]Discrete-timeSignalandSystem

1)

信号Signaltype:a.δ(n)b.u(n)c.RN(n)d.e.sin(ωn)f.g.x(n)=x(n+kN)2022/12/1910[3]Discrete-timeSignalandSa.δ(n)----theunitimpulsesequence

（单位冲激序列或单位脉冲序列）2022/12/1911a.δ(n)----theunitimpulsesb.u(n)----theunitstepsequence

（单位阶跃序列）2022/12/1912b.u(n)----theunitstepseqRN(n)----therectangularsequence

（矩形序列）2022/12/1913RN(n)----therectangularseq ----theexponentialsequence

（指数序列）2022/12/1914 ----theexponentialsequence.sin(ωn)----thesinusoidalsequence

（正弦序列）2022/12/1915e.sin(ωn)----thesinusoidalf. -thecomplexexponentialsequence

（复指数序列）2022/12/1916f. -thecomplexex2022/12/19172022/12/1617g.x(n)=x(n+kN)----theperiodicsequence

（周期序列）正弦序列：x(n+N)=Asin(ω0(n+N)+φ) =Asin(ω0n+ω0N+φ)若周期性：x(n+N)=x(n)

Nω0=k2π需满足：

I.N为整数II.为有理数2022/12/1918g.x(n)=x(n+kN)----thepa.GeneralI/Odifferenceequation（输入输出差分方程）

I.差分方程的迭代解II.卷积和（线性卷积）2)

系统的数学描述2022/12/1919a.GeneralI/Odifferencb.h(n)——impulseresponse

(单位脉冲响应)c.H(z)——systemfunction(ortransferfunction) inthez-domain

(z域系统函数或传递函数)

z-transform2022/12/1920b.h(n)——impulseresponse21.2离散系统的特性及判断方法[1]

系统的线性与时变特性 1).LinearandNonlinearSystem Linearsystem:齐次性与叠加性 2).Time-invariantandTime-varyingSystem Time-invariant:时不变特性（非时变）2022/12/19211.2离散系统的特性及判断方法[1]系统的线性与时变特y(n)=T［x(n)］Linearsystem:叠加性:T［x1(n)+x2(n)］=y1(n)+y2(n)齐次性:T［ax1(n)］=ay1(n)Time-invariant:y(n-n0)=T[x(n-n0)]2022/12/1922y(n)=T［x(n)］Linearsystem:202例：求y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)系统性质 y1(n)=T［x1(n)］=ax1(n)+by2(n)=T［x2(n)］=ax2(n)+by(n)=T[x1(n)+x2(n)]=ax1(n)+ax2(n)+by(n)≠y1(n)+y2(n)该系统不是线性系统。2022/12/1923例：求y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)系统性质202例：检查 y(n)=ax(n)+b 代表的系统是否是时不变系统 上式中a和b是常数。解： y(n)=ax(n)+by(n-n0)=ax(n-n0)+by(n-n0)=T［x(n-n0)］

因此该系统是时不变系统。2022/12/1924例：检查2022/12/1624[2]系统的因果与稳定性3）CausalandNoncausalSystem causalsystem（因果系统）: I.响应不出现于激励之前

II.h(n)=0,n<0 （线性、时不变系统）2022/12/1925[2]系统的因果与稳定性2022/12/16254）StableSystemI.有界输入导致有界输出

II.（线性、时不变系统）

III.H(z)的极点均位于Z平面单位圆内（因果系统）2022/12/19264）StableSystem2022/12/16261.3掌握序列的表示法、序列之 间的基本运算乘法、加法、移位、翻转、累加、差分及尺度变换（抽取/插值）、卷积等乘法和加法，是指它的同序号的序列值逐项对应相乘和相加2022/12/19271.3掌握序列的表示法、序列之 间的基本运算乘法、加法、例：求的线性卷积。解：（含基本运算——乘加）2022/12/1928例：求1.4周期序列（复指数周期序列）的判定方法及最小正周期的求法如果对所有n存在一个最小的正整数N，使

x(n)=x(n+N),-∞<n<∞ 则称序列x(n)为周期性序列，周期为N。 注意N要取整数。2022/12/19291.4周期序列（复指数周期序列）的判定方法及最小正周期的求1.5采样定理Samplingtheorem[1]IdealSamplerp(t)ttT(samplinginterval)2022/12/19301.5采样定理Samplingtheorem[1]Ideδ(t)----impulsefunction，deltafunctionT----thesamplinginterval（采样间隔）x(t)----analoguesignal

Idealsampler=P(t)2022/12/1931δ(t)----impulsefunction，delSampledsignal:

2022/12/1932Sampledsignaldiscrete-timesignalperiodicspectrum(离散时间信号)(周期性频谱)[2]周期性频谱periodicspectrum2022/12/1933discrete-timesignalper2022/12/19342022/12/16342022/12/19352022/12/1635经过采样的信号可表示为：采样信号的频谱为：2022/12/1936经过采样的信号可表示为：2022/12/1636采样后信号的频谱是原模拟信号频谱以采样角频率Ωs周期延拓的结果[Example1]2022/12/1937采样后信号的频谱是原模拟信号频谱以采样2022/12/163[Example2]X(jΩ)----theoriginalspectrum(原信号频谱)X(jΩ)ΩΩm-ΩmΩ•ΩsΩm-ΩmTheperiodicextension（周期性延拓）oftheX(jΩ)采样后信号频谱基带频谱2022/12/1938[Example2]X(jΩ)ΩΩm-ΩmΩ•ΩsΩm-Afolding（折叠） oraliasing（混叠）of‘image’frequenciesΩ•oΩs•2Ωs2022/12/1939Afolding（折叠）Ω•oΩs•2Ωs2022/12

[3]SamplingTheorem（基带）采样定理Twocondition:Bandlimitedsignal(带限信号)(2)Fs2fmaxorTfs:thesamplingrateT:thesamplingtimeintervalFs=2fmax——theNyquistrate（奈奎斯特速率）fs/2——theNyquistfrequencyorfoldingfrequency（奈奎斯特频率或折叠频率）[-fs/2,fs/2]——Nyquistinterval（奈奎斯特间隔）2022/12/1940

[3]SamplingTheorem（基带）采样定理关于ADC的新技术（了解）降低采样率 欠采样定理 （通带采样、谐波采样定理）高速高分辨率 流水线ADC提高采集速度 取样-滤波数据采集技术2022/12/1941关于ADC的新技术（了解）降低采样率2022/12/16射频/中频欠采样Shannon通带采样定理：

N=int(fL/BW)

可得数字中频信号（采样变频）2022/12/1942射频/中频欠采样Shannon通带采样定理：2022/12/特例，间隔零点I/Q序列。无需高精度复振荡源，实现容易正交采集2022/12/1943特例，间隔零点I/Q序列。无需高精度复振荡源，实现容易正交采2022/12/19442022/12/1644流水线ADC2022/12/1945流水线ADC2022/12/16452022/12/19462022/12/1646取样-滤波数据采集2022/12/1947取样-滤波数据采集2022/12/1647[4]Anti-aliasingPrefilter

(反混叠前置滤波器)Cutofffrequency----截止频率Ωs/2cutoff2022/12/1948[4]Anti-aliasingPrefilter

[example]analoglowpassprefiltersamplerandquantizerxi(t)x(t)x(nT)analogsignalbandlimitedsignaldigitalsignalratefscutofffmax=fs/2采样演示2022/12/1949[example]analoglowpassprefilt[5]量化与编码1)量化将采样信号的幅值用二进制代码表示数字信号。 量化就是把采样信号的幅值与某个最小数量单位的一系列整数比较，以最接近于采样信号幅值的最小数量单位的倍数来代替该幅值。2022/12/1950[5]量化与编码1)量化2022/12/1650最小数量单位称为量化单位。量化单位定义为量化器满量程电压VFSR(FullScaleRange)与的比值，用q表示，有N为量化器的位数。2022/12/1951最小数量单位称为量化单位。2022/12/1651例如：当VFSR=10V，N=8时，量化电平q=39.2mV；当VFSR=10V，N=16时，量化电平q=0.15mV量化后的信号称为量化信号。量化的方法主要有：“只舍不入”，“有舍有入”任何量化都会引起误差，称为量化噪声。2022/12/1952例如：当VFSR=10V，N=8时，2022/12/16522)编码：编码：把量化信号的电平用数字代码来表示； 有多种形式，常用二进制编码。

二进制编码：用1和0组成的N位数码来表示量化电平。[例]一个12位单极性A/D转换器，输入电压信号0~+10V，则A/D满幅电压： VMAX=9.99744[10]V1111111111112022/12/19532)编码：编码：把量化信号的电平用数字代码来表示；202这里而2022/12/1954这里2022/12/16541）IdealReconstructors设，无混叠可由理想低通滤波器恢复原[6]模拟重建AnalogReconstructors2022/12/19551）IdealReconstructors设

for-fs/2ffs/2theidealreconstructionfilter：H(f)=T,if|f|fs/20,otherwiseT：thepassbandgain(通带增益),fs：Nyquistinterval2022/12/1956for-fs/2ffs/2theidealrecTheimpulseresponseoftheidealreconstructor:理想重建内插公式idealreconstructorinherentinsertformula2022/12/1957TheimpulseresponseoftheidtheoutputofDSP(noaliasing)2022/12/1958theoutputofDSP(noaliasing内插公式2022/12/1959内插公式2022/12/1659

ffmax-fmaxo•••fidealfilter-fsfs2fs-fs/2fs/22022/12/1960

ffmax-fmaxo•••fidealfilter-f2)StaircaseReconstructors2022/12/19612)StaircaseReconstructors2h(t)ofthestaircasereconstructor:（零阶保持器的冲激响应）h(t)=u(t)-u(t-T)=1,if0tT0,otherwise零阶保持器2022/12/1962h(t)ofthestaircasereconstrFrequencyresponseofstaircasereconstructor2022/12/1963Frequencyresponseofstaircaso•••fidealfilter-fsfs2fs-fs/2fs/2o-fsfs2fs-fs/2fs/2••••f2022/12/1964o•••fidealfilter-fsfs2fs-fs/23)反混叠后置滤波器Anti-aliasingPostfilter-fsfs2fs-fs/2fs/2••••fAnti-imagelowpasspostfilter2022/12/19653)反混叠后置滤波器Anti-aliasingPostf1.6采样率转换实际需要： 例如：在数字电话系统中，传输的信号有语音信号、传真信号、视频信号等，各种信号的频率成分相差很大，所以该系统应具有多种采样率，在传输不同信号时需进行采样率的转换。减少运算量： 数字域中，fs>2fmax即可，抽取，取出冗余相关数据，数据量减少提高DAC质量，降低滤波器要求 2022/12/19661.6采样率转换实际需要：2022/12/1666

降低采样率，去掉多余的数据。用表示[1]抽取（Decimation)2022/12/1967降低采样率，去掉多余的数据。用表示[1]抽取（Decim抽取时应特别注意频谱的混叠问题。00|)(|1wjeXWW|)(|2wjeY2022/12/1968抽取时应特别注意频谱的混叠问题。00|)(|1wjeXWW|抽取前需进行抗混叠滤波00|)(|1wjeXWW|)(|2wjeYW01sW2sW|)(|1wjeV2022/12/1969抽取前需进行抗混叠滤波00|)(|1wjeXWW|)(|2w[2]插值（Interpolation）提高采样率，增加数据。c(n+m/(M+1))=∑x(k)sin[(n+m/(M+1)-k)π]/ [(n+m/(M+1)-k)π]

2022/12/1970[2]插值（Interpolation）提高采样率，增加2022/12/19712022/12/1671作业： P29-30习题 3大题5大题的(4)(5)(6)(7)(8)小题 6大题的(3)(5)小题 7大题

2022/12/1972作业：2022/12/1672第1章离散时间信号与系统掌握离散时间信号与系统的基本描述方法和数字信号处理的基本概念。1、离散时间信号与系统的概念2、离散时间系统的特性及判断方法3、掌握序列的表示法、序列之间的基本运算4、周期序列（复指数周期序列）的判定方法及 最小正周期的求法5、采样定理[教材第1章，4至28页]

2022/12/1973第1章离散时间信号与系统掌握离散时间信号与系统的基本描述1.1离散时间信号与系统的概念回顾：连续（模拟）系统及数学模型离散信号与系统2022/12/19741.1离散时间信号与系统的概念回顾：连续（模拟）系统及数学ReviewofAnalogSignalsx(t)--ananalogsignal(模拟信号）X(jΩ)--theFouriertransform

ofx(t)

(x(t)的傅立叶变换)（FT）

[1]FT/IFT,STofsignalspectrum(pl.spectra)---频谱2022/12/1975ReviewofAnalogSignalsx(t)傅立叶变换存在的条件:(角频率--theradianfrequency)IFT（TheinverseFouriertransformofX(jΩ)傅立叶逆变换2022/12/1976傅立叶变换存在的条件:2022/12/164TheLaplacetransformisdefinedbyCondition:拉氏变换2022/12/1977TheLaplacetransformisdefin1).GeneralI/Odifferentialequation（输入输出微分方程）零输入响应、零状态响应的求解[2]mathematicmodelsofsystem

系统的数学模型2022/12/19781).GeneralI/Odifferen2).h(t)——impulseresponse(冲激响应)convolutioninthetimedomain(时域卷积)2022/12/19792).h(t)——impulseresponse

3)thefrequencyresponseofthesystem（系统的频率响应）

h(t)H(jΩ)系统输出的频谱Y(jΩ)=H(jΩ)X(jΩ)2022/12/19803)thefrequencyresponseo

4)系统函数(传递函数):系统的s域关系：

Y(s)=H(s)X(s)h(t)H(s)

2022/12/19814)系统函数(传递函数):Y(s)=H([3]Discrete-timeSignalandSystem

1)

信号Signaltype:a.δ(n)b.u(n)c.RN(n)d.e.sin(ωn)f.g.x(n)=x(n+kN)2022/12/1982[3]Discrete-timeSignalandSa.δ(n)----theunitimpulsesequence

（单位冲激序列或单位脉冲序列）2022/12/1983a.δ(n)----theunitimpulsesb.u(n)----theunitstepsequence

（单位阶跃序列）2022/12/1984b.u(n)----theunitstepseqRN(n)----therectangularsequence

（矩形序列）2022/12/1985RN(n)----therectangularseq ----theexponentialsequence

（指数序列）2022/12/1986 ----theexponentialsequence.sin(ωn)----thesinusoidalsequence

（正弦序列）2022/12/1987e.sin(ωn)----thesinusoidalf. -thecomplexexponentialsequence

（复指数序列）2022/12/1988f. -thecomplexex2022/12/19892022/12/1617g.x(n)=x(n+kN)----theperiodicsequence

（周期序列）正弦序列：x(n+N)=Asin(ω0(n+N)+φ) =Asin(ω0n+ω0N+φ)若周期性：x(n+N)=x(n)

Nω0=k2π需满足：

I.N为整数II.为有理数2022/12/1990g.x(n)=x(n+kN)----thepa.GeneralI/Odifferenceequation（输入输出差分方程）

I.差分方程的迭代解II.卷积和（线性卷积）2)

系统的数学描述2022/12/1991a.GeneralI/Odifferencb.h(n)——impulseresponse

(单位脉冲响应)c.H(z)——systemfunction(ortransferfunction) inthez-domain

(z域系统函数或传递函数)

z-transform2022/12/1992b.h(n)——impulseresponse21.2离散系统的特性及判断方法[1]

系统的线性与时变特性 1).LinearandNonlinearSystem Linearsystem:齐次性与叠加性 2).Time-invariantandTime-varyingSystem Time-invariant:时不变特性（非时变）2022/12/19931.2离散系统的特性及判断方法[1]系统的线性与时变特y(n)=T［x(n)］Linearsystem:叠加性:T［x1(n)+x2(n)］=y1(n)+y2(n)齐次性:T［ax1(n)］=ay1(n)Time-invariant:y(n-n0)=T[x(n-n0)]2022/12/1994y(n)=T［x(n)］Linearsystem:202例：求y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)系统性质 y1(n)=T［x1(n)］=ax1(n)+by2(n)=T［x2(n)］=ax2(n)+by(n)=T[x1(n)+x2(n)]=ax1(n)+ax2(n)+by(n)≠y1(n)+y2(n)该系统不是线性系统。2022/12/1995例：求y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)系统性质202例：检查 y(n)=ax(n)+b 代表的系统是否是时不变系统 上式中a和b是常数。解： y(n)=ax(n)+by(n-n0)=ax(n-n0)+by(n-n0)=T［x(n-n0)］

因此该系统是时不变系统。2022/12/1996例：检查2022/12/1624[2]系统的因果与稳定性3）CausalandNoncausalSystem causalsystem（因果系统）: I.响应不出现于激励之前

II.h(n)=0,n<0 （线性、时不变系统）2022/12/1997[2]系统的因果与稳定性2022/12/16254）StableSystemI.有界输入导致有界输出

II.（线性、时不变系统）

III.H(z)的极点均位于Z平面单位圆内（因果系统）2022/12/19984）StableSystem2022/12/16261.3掌握序列的表示法、序列之 间的基本运算乘法、加法、移位、翻转、累加、差分及尺度变换（抽取/插值）、卷积等乘法和加法，是指它的同序号的序列值逐项对应相乘和相加2022/12/19991.3掌握序列的表示法、序列之 间的基本运算乘法、加法、例：求的线性卷积。解：（含基本运算——乘加）2022/12/19100例：求1.4周期序列（复指数周期序列）的判定方法及最小正周期的求法如果对所有n存在一个最小的正整数N，使

x(n)=x(n+N),-∞<n<∞ 则称序列x(n)为周期性序列，周期为N。 注意N要取整数。2022/12/191011.4周期序列（复指数周期序列）的判定方法及最小正周期的求1.5采样定理Samplingtheorem[1]IdealSamplerp(t)ttT(samplinginterval)2022/12/191021.5采样定理Samplingtheorem[1]Ideδ(t)----impulsefunction，deltafunctionT----thesamplinginterval（采样间隔）x(t)----analoguesignal

Idealsampler=P(t)2022/12/19103δ(t)----impulsefunction，delSampledsignal:

2022/12/19104Sampledsignaldiscrete-timesignalperiodicspectrum(离散时间信号)(周期性频谱)[2]周期性频谱periodicspectrum2022/12/19105discrete-timesignalper2022/12/191062022/12/16342022/12/191072022/12/1635经过采样的信号可表示为：采样信号的频谱为：2022/12/19108经过采样的信号可表示为：2022/12/1636采样后信号的频谱是原模拟信号频谱以采样角频率Ωs周期延拓的结果[Example1]2022/12/19109采样后信号的频谱是原模拟信号频谱以采样2022/12/163[Example2]X(jΩ)----theoriginalspectrum(原信号频谱)X(jΩ)ΩΩm-ΩmΩ•ΩsΩm-ΩmTheperiodicextension（周期性延拓）oftheX(jΩ)采样后信号频谱基带频谱2022/12/19110[Example2]X(jΩ)ΩΩm-ΩmΩ•ΩsΩm-Afolding（折叠） oraliasing（混叠）of‘image’frequenciesΩ•oΩs•2Ωs2022/12/19111Afolding（折叠）Ω•oΩs•2Ωs2022/12

[3]SamplingTheorem（基带）采样定理Twocondition:Bandlimitedsignal(带限信号)(2)Fs2fmaxorTfs:thesamplingrateT:thesamplingtimeintervalFs=2fmax——theNyquistrate（奈奎斯特速率）fs/2——theNyquistfrequencyorfoldingfrequency（奈奎斯特频率或折叠频率）[-fs/2,fs/2]——Nyquistinterval（奈奎斯特间隔）2022/12/19112

[3]SamplingTheorem（基带）采样定理关于ADC的新技术（了解）降低采样率 欠采样定理 （通带采样、谐波采样定理）高速高分辨率 流水线ADC提高采集速度 取样-滤波数据采集技术2022/12/19113关于ADC的新技术（了解）降低采样率2022/12/16射频/中频欠采样Shannon通带采样定理：

N=int(fL/BW)

可得数字中频信号（采样变频）2022/12/19114射频/中频欠采样Shannon通带采样定理：2022/12/特例，间隔零点I/Q序列。无需高精度复振荡源，实现容易正交采集2022/12/19115特例，间隔零点I/Q序列。无需高精度复振荡源，实现容易正交采2022/12/191162022/12/1644流水线ADC2022/12/19117流水线ADC2022/12/16452022/12/191182022/12/1646取样-滤波数据采集2022/12/19119取样-滤波数据采集2022/12/1647[4]Anti-aliasingPrefilter

(反混叠前置滤波器)Cutofffrequency----截止频率Ωs/2cutoff2022/12/19120[4]Anti-aliasingPrefilter

[example]analoglowpassprefiltersamplerandquantizerxi(t)x(t)x(nT)analogsignalbandlimitedsignaldigitalsignalratefscutofffmax=fs/2采样演示2022/12/19121[example]analoglowpassprefilt[5]量化与编码1)量化将采样信号的幅值用二进制代码表示数字信号。 量化就是把采样信号的幅值与某个最小数量单位的一系列整数比较，以最接近于采样信号幅值的最小数量单位的倍数来代替该幅值。2022/12/19122[5]量化与编码1)量化2022/12/1650最小数量单位称为量化单位。量化单位定义为量化器满量程电压VFSR(FullScaleRange)与的比值，用q表示，有N为量化器的位数。2022/12/19123最小数量单位称为量化单位。2022/12/1651例如：当VFSR=10V，N=8时，量化电平q=39.2mV；当VFSR=10V，N=16时，量化电平q=0.15mV量化后的信号称为量化信号。量化的方法主要有：“只舍不入”，“有舍有入”任何量化都会引起误差，称为量化噪声。2022/12/19124例如：当VFSR=10V，N=8时，2022/12/16522)编码：编码：把量化信号的电平用数字代码来表示； 有多种形式，常用二进制编码。

二进制编码：用1和0组成的N位数码来表示量化电平。[例]一个12位单极性A/D转换器，输入电压信号0~+10V，则A/D满幅电压： VMAX=9.99744[10]V1111111111112022/12/191252)编码：编码：把量化信号的电平用数字代码来表示；202这里而2022/12/19126这里2022/12/16541）IdealReconstructors设，无混叠可由理想低通滤波器恢复原[6]模拟重建AnalogReconstructors2022/12/191271）IdealReconstructors设

for-fs/2ffs/2theidealreconstructionfilter：H(f)=T,if|f|