2018-2022高考真题 解三角形与三角函数 解答题全集 （学生版 解析版）

2018.2022高考真题解三角形与三角函数解答题全集(学生版解析版)解答题(共45小题)(2022•全国)记△A8C的内角A,B.C的对边分别为。，6c,已知sinA=3sin8,C=*c—y/7.(1)求a：(2)求sinA.(2022•上海)在如图所示的五边形中，AD=BC=6.48=20,。为AB中点，曲线8上任一点到。距离相等，角ND4B=NA8C=12O°,P.Q关于OM对称：(1)若点尸与点C重合，求NPO8的大小；(2)「在何位置，求五边形面积5的最大值.(I)求＜•的值：(2)求sin8的值；(3)求sin(24-fl)的值.(2022•浙江)在△A8C中，角A,B,C所对的边分别为a，b,c.已知4。=亦c,cosC=3广(I)求sinA的值：(II)若〃=11,求的面积.(2022•北京)在△ABC中,sin2C=GsinC.(1)求NC：(II)若〃=6,且AABC的面积为60，求AABC的周长.

6.(2022•乙卷)记8c的内角A,&C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A-8)=sinBsin(C-A).(1)若A=28,求C:(2)证明:2r?=/;2+c2.cosA si?l287.(2022・新高考1)记443。的内角43,。的对边分别为“,〃,(',已知 .= .l-¥sinAl+cos28(1)若C=竽，求8；q2+M(2)求一7一的最小值.(2022•新高考H)记8c的内ff]A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个1E三角形的面积依次为Si，S2.S3.已知Si-5%+S3=苧，sinB=(1)求△ABC的面积；(2)若§in4sinC=芋，求力.(2022•乙卷)记△A8C的内角A,&C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A・8)=sinBsin(C-A).(1)证明：W=〃2+J；(2)若a=5,cosA=符，求△A8C的周长.(2021•全国)记△A8C的内角A,B.C的对边分别为a,b,c.已知a=2后，b=3,sin2(B+C)+&sin2A=0,求c及cos8.(2021•北京)在△A8C中，c=2反os8,ZC=(I)求N8：(II)再在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求8c边上的中线的K.条件①，=b;条件②△A8c的周长为4+2%：条件③AA8c的面积为X-.4注：如果选择的条件不符合要求，第(U)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.（2021•新高考II）在AABC中,角A,B,C所对的边K为。，h,c,b=a+\,c=a+2.(1)若2sinC=3sinA,求△A8C的面积:(2)是否存在正整数小使得“8c为钝角三角形？若存在，求出”的值：若不存在，说明理由.(2021•天津)在AA8c中，内角A,B,C的对边分别为“，h.c.且sinA：sin8：sinC=2：1：V2.b=V2.(1)求"的值：(2)求cosC的值：(3)求sin(2C-^)的值.(2021•浙江)设函数/(.r)=sin>+coir(.r€R).(I)求函数y=U(x+分产的最小正周期：(Il)求函数)=/■(、)在［0,勺上的最大值.(2021•上海)在△ABC中，已知”=3,b=2c.(1)若4=冬，求S&AHC(2)若2sin8-sinC=1,求CalAC.(2021•新高考I)记AA8c的内角A,B,C的对边分别为“，b,c.已知乒=比,点D在边AC上.，BDs\n^ABC=as\nC.(1)证明:BD=b；(2)看AO=2OC,求cos/A8c.(2021•上海)已知A、8、C'为丛ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，”=2,cosC=(1)若siM=2sin8,求。、c；(2)若cos(A—与)=W，求。(2020•全国)设AA8c的面积为105后，内角A,B.C的对边分别为“，b,c,且”=7,sin2A=sin2B+sin2C-sinBsinC.求A,，，和c.(2020•天津)在中，角A,B，C所对的边分别为“，b,c.已知。=2无，〃=5,c=V13.(I)求角C的大小：(II)求sia4的值：

(Ill)求sin(2A+Q的值.(2020•北京)在△A8C中，a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(I).的值:sinC和△A8C的面积.条件①：c=7,cos4=-^；条件②：co3=cosB=技.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.(2020•上海)已知函数=sinar,to>0.(I)f(.V)的周期是4lT,求3,并求/(x)=:的解集：(2)已知3=1,g(a)=f(a)+何(-x)/ -v),a€|0,7],求g(.r)的值域•乙 *T(2020•新课标I) 8c的内角A,B,C的对边分别为a，仇c.已知8=150°.(I)若a=6c,b=2>/7,求AA8c的面积；(2)若sinA+V?sinC=芋，求C.(2020•山东)在①<“=yG,②<3inA=3,③c=6b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求。的值：若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在AABC,它的内向A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=V5sin8,r=- 9‘6, '注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(2020•江苏)在△48C中，角A、B、C的对边分别为“、b、c.已知a=3,c=V2,B=45°.⑴求sinC的值:(2)在边8c上取一点/),使得cos/AOC=—t，求(an//)AC的值.

7T(2020•新课标H)△ABC的内新A,B,C的对边分别为a,b,c,已知co/(一+A)2A5+COS4=-r.q(1)求A：(2)若…=冬,,证明：△48C是直角三角形.(2020•浙江)在锐角△ABC中，角A,B.C所对的边分别为“，〃，c.已知2AinA-V5a=0.(I)求角B的大小：(II)求cosA+cusB+cosC的取值范围.(2020•新课标II)A48c中,sin24-sin2B-sin2C=sinfisinC.(1)求A：(2)若8c=3,求AA8c周氏的最大值.(2019•全国)已知函数/(a)=2sin2r-4cos2r+l.(1)求/(X)的最小正周期；X 7T(2)设g(A-)=/(-),求g(.v)在区间［0,7的最大值与最小值.(2019•上海)如图，A-8-C为海岸线，AB为线段,尻:为四分之一圆弧，8O=39.2b”,ZBDC=22°,ZCBD=68°,NBDA=58°.(1)求尻:的氏度：(2)若A8=40b”，求。到海岸线A-8-C的最短距离.(精确到O.OOIh”)(2019•新课标HI)△△8c的内角A、8、C的对边分别为a, c.已知«sin--=/>sinA.(1)求8：(2)若AA8c为锐角三角形，且c=L求AA8c面积的取值范围.(2019•天津)在AA8c中，内角A,B,C所对的边分别为“,b,c.已知〃+c=2a,3csin8

=4«sinC.(I)求cos8的值；(11)求sin(264-7)的馆.o(2019•北京)在8c中,a=3,b-c=2,cosfi=-1.(1)求仇c的值；(Il)求sin(8-C)的值.(2019•浙江)设函数/(x)=siav,a6R.(I)已知%[0,2n),函数是偶函数，求8的值：(II)求函数尸[/(.什金)F+lf(.什与)产的值域.(2019•江苏)在△A8C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.⑴若a=3c,b=cosB=求c的值；(2)若包组=求sin(8+彳)的值.a2b 2(2019•北京)在△A8C中,«=3,b-c=2,cosB=(I)求〃，c的值；(Il)求sin(fi+C)的值.(2019•新课标1)8c的内角A,B,C的对边分别为“，。，c.设(sinfl-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A；(2)若&“+〃=2c,求sinC.(2018•新课标1)在平面四边形A8CD中，ZADC=90,.NA=45°,AB=2,BD=5.(1)求cosZ.ADB；(2)若DC=20,求BC.(2018•全国)在△/18c中，角A、8、C对应边“、b、c,外接圆半径为1,已知2(sin2A-sin2C)=(«-/>)sin8.(1)证明(r+b2-<r=ab\(2)求角。和边c.（2018•天津）在8c中，内角A,B,C所对的边分别为a，b,c.己知〃sinA=acos(8-力.D(I)求为8的大小：(II)设〃=2,c=3,求b和sin(2A-fi)的值.(2018•北京)在△A8C中，a=7,b=8,cosB=-(I)求NA；(11)求AC边上的高.(2018•江苏)已知a,B为锐向,iana=g,cos(a+p)=-辱(1)求cos2a的佰；(2)求urn(a-p)的值.(2018•浙江)已知向a的顶点与原点O重合，始边与工轴的非负半轴重合，它的终边过点P(—^»—《).(1)求sin(a+n)的值;(11)若知0满足sin(a+p)=/，求cosp的值.(2018•北京)已知函数/(k)=sin-.v+V3siiuco!iv.(I)求;•(、)的最小正周期：(II)若八.v)在区间【一看间上的最大值为:，求，”的最小值.J 2(2。18•上海)设常数“6R,函数f(x)=«sin2v+2cos2x.(I)若/")为偶函数，求。的值；(2)若/(工)=71+1,求方程=1一位在区间［-“，E上的解.4(2018•上海)已知)，=cosx.(I)若/⑷=热旦ae|0,n|,求/1(a-令的值；(2)求函数y=/(2.i)-2f(.v)的最小值.

2018.2022高考真题解三角形与三角函数解答题全集(学生版解析版)参考答案与武届所一.解答题(共45小题)(2022•全国)记△ABC的内为A,B,C的对边分别为小h,c,已知sinA=3sin8,C=j.＜、=V7.(I)求“：(2)求sinA.【解答】解:(I)VsinA=3sinfi.，由正弦定理可得，“=3〃，...由余弦定理可得，＜，2=“2+〃2-2“反osC,即7=9庐+〃2一3〃2,解得/＞=[,'.(1=3.■=3,C=|,c=V7,...asEC3x竽3721,51/1/1c-TT-14(2022•上海)在如图所示的五边形中，AD=BC=6.AB=20,。为A8中点，曲线CD上任一点到。距离相等，角ND48=NA8c=120°,P,。关于OM对称：(1)若点P与点C重合，求NPO8的大小：(2)。在何位置，求五边形面积S的最大值.【解答】解：(1)点P与点C重合，由题意可得06=10,BC=6.ZABC=120°.由余弦定理可得OP=O82+BC^-2OB•SCcosZAfiC=36+100-2X6X10X(-i)=|96.所以0P=4所以0P=4在AOBP中’由正弦定理得q12。。BP

sin^POB14 6 2/q所以TT=-—―>解得sinNP08=vssmzPOB 14

所以/，。力的大小为arcsin ：14(2)如图，设CO与仞。相交于点N,由题意知五边形COQ例P关于例N对称，所以Sn边越cdqmp=2S型边/cpmn=2(S四边形ocpz-S^onc)，设NC。例=e,结合(I)可知COS0=婴，所以sin0=圣，且9为锐角，14 14因为OC=OP=OM=14,所以CM2=OC2+OM2-2OC*OM«c»s0=28x(14-3料)，故CM=J28X(14-3V3).显然，ACM/,的底边CM为定值，则P在劣弧CM中点位置时，CM边上的高最大，此时OP±CM,故S四灯心ocpm= -CM=1x14xJ28xV14-3>/3=14J?x(14-3V3).而Sgonc=xNC=Ix14xcosOx14xsind=故S的最大值为2(14(7x(14-3\/5)-竽)=28J7x(14-373)-396，同理，当P在劣弧。例中点时，S也取得相同的最大值，故P点在劣弧C/W中点或劣弧。例的中点位置时，五边形CDQMP的面积战火,且为(2022•天津)在△/»8c中，fflA.B.C所对的边分别为a，b,c.已知”=布，b=2c.coS41coS41-4(1)求C的值：(2)求sinB的值：(3)求$in(2A-B)的值.【解答】解(1)因为a=布，b=2c,cosA二一上,由余弦定理可得cos4=2当仁。2=-

解得：(2)cosA=-A6(0,n)»所以sin4=71—cos2乂=一^一,由b=2c,可得sin8=2sinC,由正弦定理可得二工=即,sinAsinC竺sine4可得sinC=黑，O所以sin5=2sinC=2x^(3)因为cosA=—itsin>\=—4—,所以sin2A=2sinAcosA=2X(-J)x cos2A=2cos2A-1=2xA-1=-Z»sinfi= 可得co3=*，所以sin(24-B)=sin2Acosfl~cos24sinfl=— (-3x^7^=o4 o4o所以sin(24-/?)的值为"二.8(2022•浙江)在△A8c中,角A,8,C所对的边分别为a,4<已知4a=Ac,coj9=(I)求sinA的值;(11)若b=ll,求△ABC的面积.【解答】解：(I)因为cosC=5>0,所以CW(0,—)»且sinC="-cos2c=由正弦定理可得：诉=嬴'即有sinA==pinC=李x好咯:(II)因为4a=瓜=4=条々,所以4VC,故AW(0,三),2又因为sinA=泉所以cosA=4^,所以sinH=sin|rr-<A+C)|=sin(A+C)=sin4cosC+cos4sinC=由正弦定理可得:sinAsinC

由正弦定理可得:sinAsinC所以«=5V5siM=51所以Srarc=z〃sinC=x5XIlx=22.5.(2022•北京)在Z\A8c中，sin2C=v'SsinC.(I)求NC：(1【)若〃=6,旦△A8C的面积为60,求AABC的周长.【解答】解：(I)•.•$in2C=逐sinC,/.2sinCcosC=v^sinC.乂sinCWO,2cosC=a/3,Z.cosC=YUVCVn,・「7r-C=6;(II);△ABC的面积为66，1.「(7/;sinC=6\/3t,已知sinCsin(A-B)乂b=6,C=,已知sinCsin(A-B)(A=2B联立［2C-4=7t ,解得。=五不：U+B+C=TT证明：(2)由sinCsin(4-B)=sinBsin(C-A)»得sinCsinAcosB-sinCcosAsinB=sinBsinCcos4-sin8coscsinA,由正弦定理可得accosB-bcvosA=hcvosA-dftcosC,a2+c2-d2 b2-k-c2-a2 a2^b2-c2由余弦定理可得：ac9 =2be- -ab•2ac 2be 2ab整理可得：2J=F+J.sin2Bl+cos28sin2Bl+cos287.（2022•新高考I）记△板的内角A,/，,C的对边分别为—已知…(I)若C=等，求8:a2^b2(2)求:一的最小值.・a，，~・… cosAsin2B )【解答】解：(I)*/ ：—= ,l+co$28=2co，/#0,cos/^O.1+S17L4 1+COS28cosAIstnBcosBsinB**l+sin4-2cos2B-cos8'化)9：cosAcosB=sinAsinB+sinB,.,.cos(8+A)=sinB,. 27r・・一cosesinZ?fC.i,0<^<2：,B=Z3 6(2)由(I)可得：-cosC=sin/^>0.JcosCVO,Ce(~»it),•・C为钝角，&A都为锐角，8=C-名sin4=sin(8+C)=sin(2C-j)=-cos2C,a2+d2sin2A-¥sin2Bcos22C^cos2C(l-2sin2C)2+(l-s£n2C)c2-sin2C-sin2C- sin2C 一2+4sin4c-5sE2c 2 , 、) l、……•八】” —； =—77+4shrC-5226三？-5=4近-5,当且仅当sinC=汴时sin2C sin2C 之5取等号.^2,l2••f―的最小值为小h-5.8.（2022,新高考1【）记8c的内角乂，&C的对边分别为a,b,c,分别以小b,r为

边长的三个正三角形的面积依次为Si，S2,S3.已知Si-52+53=等si“8=(1)求△A8C的面积；(2)若sinAsinG孝,求江【解答】解：(I)5i=^rsin60°=¥，尸，52=*sin60"=空/，Ss=^c2sin6tv二乎1工，•:Si-S2+S3=将-糊+条2=冬解得：次-〃2+J=2,VsinZ?=1,/一从+J=2>0,BPcosB>0,，cos8=，cos8=272，cos6=a2+c2-62_2&，cos6=2ac-=TF，c1 .Dv2、mbc=5"csinS=-Q-.. v».,.△/1/，。的面枳为,.8(2)由正弦定理得：——=-y-=——sinBsinAstnC.hsinA bsinC••<!= ： Jo已知，sinB=w Jo已知，sinB=w，sinAsinC-解得：9.(2022•乙卷)记△A8C的内角A,B,C的对边分别为小b.c,已如sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).(1)证明：2〃2=启+(乙smB sinB由(1)得at—・bsEAbsinC3^2,.nc=-^-5-* = s)8SinB4

(2)若。=5,8必=打，求AA8c的周氏.【解答】(1)证明：△A8C中，sinCsin(A・8)=sinBsin(C-A),所以sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA)»所以sinAsinBcosC+sinAcosBsinC=:2cos4sinBsinC»即sinA(sinBcosC+cos^sinC)=2cos4sinBsinC»所以sinAsin(5+C)=2cosAsinBsinC»由正弦定理得a?=2bccosA,由余弦定理得(C=b2^c2-2bccosA,所以2-=以+洛(2)当a=5,cos4=今时，/?2+c2=2X52=5O,2b<=-^―；=-^=31,31 cosA2531所以(〃+c)2=/?2+c2+2/;c=5O+31=81,解得Hc=9,所以△A8C的周长为a+〃+c=5+9=14.10.(2021•全国)记△A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知a=2灰，b=3,sin2(8+C)+V2sin24=0,求(•及cos8【解答】解：VA+B+C=n,sin2(B+C)+企sin2A=0,•"•sin2A+2\f2sinAcosA=0*VsinA^O.sinA=2y/2cosA,AcosA<0,A为钝角,XVsin2A+cos24=I*.4 1 .x272••cosA—3,Sin/l--~-一,由正弦定理可得，=-7—,即彳吟=-7-7>解得sin8=冬.sinAsinB smB 3T"又Vsin2B+cos2B=I,B为锐角，；・cos8=洋AcosB=七耳上L,即、等一2=g化简整理可得，J-8c+l5=O,解得4=3或cZac 4V6c3=5,VZA>ZC

■：S>2瓜.\c=3,故c=3,cosB=(2021•北京)在△A8C中，<、=2反03，NO冬.(I)求N8；（11）再在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使AABC存在且唯一确定，并求8c边上的中线的K.条件①c=V26：条件②△A8C的周氏为4+2遍;条件③AA/?。的面枳为注：如果选择的条件不符合要求，第（11）问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【解答】解：（I）Vc=2/xosB.由正弦定理可得sinC=2sin8cos8,即sinC=sin2B,・・.当C=28时，8=全即。+8=b，不符合题意，舍去,：.C+2B=-n.:.2B=(Il)选①c=y/2b.由正弦定理可得c sinC v l. ... 17=——="T=v3,与已知条件c=y/2h矛盾，故△ABC不存在,b sinB 12选②周氏为4+2V3,2nDnC=曰S=6'

由正弦定理可得焉=熹=肃="=专=2R,2 2 7：.a=R,b=R,c=V3R,：.a+l)+c=(2+V3)/?=4+2>/3,.,./?=2,即“=2,b=2,c=2冉,.••△A8c存在且唯一确定,设8c的中点为C.：.CD=1,在△AC7)中，运用余弦定理，AD2=AC2+CD2-lAC'CD'cos^C,即业=4+l-2x2xlx(-1)=7,AD=",Z.8c边上的中线的长度/.选③面积为Saabc=挈，,:A=8=看，:・a=b,:.Subc=^absinC=1a2x=孚，解得a=V3,余弦定理可得AD2=AC2+CUr-2XACXCDxcos^=3+1+V3x^=^,4D=苧.(2021•新高考II)在AA8c中，角A,B,C所对的边长为a,h,c,h=a+],c=a+2.(1)若2sinC=3siM,求AA8C的面枳：(2)是否存在正整数“，使得AA8c为钝角三角形？若存在，求出”的值：若不存在,说明理由.【解答】解：⑴•；2sinC=3siM••・根据正弦定理可得2c=3a,,r=a+2.〃=5,r=6,在AA8c中，运用余弦定理可得cosCa2+62-c2_42+52在AA8c中，运用余弦定理可得cosC-2ab-=2x4x5=可

*/siirC+cos2C=I.AsinC=V1—cos2C=Jl—(^)2=:S&abc~4absmc=ix4x5x，——j—.(2)*：c>h>a,/.△ABC为钝角三角形时,伯C必为钝角,<0,a2+b2—c2_q2+(q+i)2—(q+2)2

lab=2a(q+1)<0,，入2.l3V0,J0VaV3,「三角形的任意两边之和大于第三边，：・a+b>c,即.+〃+1>〃+2,即a>I.1W3,为正整数，〃=2.(2021•天津)在△ABC中，内角A,B.C的对边分别为a,b,c,且siMsin&sinC=2：1：V2,b=V2.(I)求”的值：(2)求cosC的值;(3)求sin(2C-1)的值.【解答】解：(1);△ABC中，siM：sfnB：sinC=2：I：V2.J.a；/?：<=2：1：V2,'：b=V2,：.a=2b=2y[2,c=V2b=2.AABC中，山余弦定理可得85。=〃?：—c2 8n~4青2ab2x2j2x、「24(3)由(2)可得sinC= -cos2c=g,TOC\o"1-5"\h\z:.sin2C=2sinCcosC=cos2C=2cos2C-1=5,o o,,TTs n tt3V*2T-1sm(2C--T)=sM2Ccos——cos2Csin-= .6 6 6 16(2021•浙江)设函数.f(.r)fhu+cosr(a€R).(I)求函数)，=V(K+分]2的最小正周期；

(11)求函数y=/(x)fCv-J)在|0,会上的坡大值.【解答】解：函数/(k)=sin.v+cos.v=y/2sin(x+(I)函数y=lf(k+少]2=(V2sin(x+^+^)]2=2cos2(.v+^)=l+cos[2(.r+J)]=l+cos⑵+'=I-sinZv.则最小正周期为T=竽=/r：(II)函数y=f(a)f(a—=V2stn(x+，)•yflsin^x一号+9=V2(sin.r+co&v)siru=V2(sin2x+sinxcosx)='/2(1~c°s2x+^sin2x)=sin(2.r-J)+空，因为.v€[0,9所以入一色[一今,争，所以当2l今=今即.v=券时，划5=I+冬(2021•上海)在△A8C中，已知”=3,b=2c.(I)若＜4=冬，求Saa8c.(2)若2$in8-sinC=1,求GabcTOC\o"1-5"\h\z【解答】解：(1)由余弦定理得cos4=-1= -。2=22bc 4c2解得＜2=\•C1.. -/3^_2 9/3・•S^abc=-bcsinA=—x2c，=-=-；-：2 4 14V/?=2c,・・・由正弦定理得sin8=2、inC,XV2sinfl-sinC=L1 7/.sinC=sin8=w，AsinC＜sinfi,:,C〈B,；.C为锐例,由余弦定理得：<2=/+/，2-2“桃osC,又•；"=3,b=2e..•.c2=9+4c2-8x/2c.得：3。2-8企<，+9=0,解得：<="牛」.当（=，々产时,b=电警匡时Cz/bc=3+4>/2+V5：当c=吗毡时，b=8'与2后时c&bc=3+4&-V5.（2。21•新高考I）记AA8C'的内角A,8,C的对边分别为“，b.c.已知必―点

D在边AC上，BDsinZABC=asinC.(1)证明：BD=b：(2)若AO=2OC cosZABC,【解答】解【解答】解：(1)证明：由正弦定理知,b csin^ABCsinz.ACB：.b=2Rs\n^ABC,c=2RsmZACB,：.b=2Rs\n^ABC,c=2RsmZACB,Vfc2=«c.・・・〃・2Rsin/A8C=a・2Rsin/AC8,即〃sin/A8C=nsinC,,:BDsinZABC=«sinC»:・BD=b；(2)法一：由(I)知BD=b,*：*：AD=2DC.2 1：.AD=p,DC=^bt在△在△A8。中,，h rmtn 、✓DnAIn 弦xii,cosNBDA— 2/?Z)AD在△CBO中,由余弦定理知,cosZBDC=在△CBO中,由余弦定理知,cosZBDC=bd2+cd2-bc2-2BDCD107一9a26bz'：'：ZBDA+ZBDC=-n,:.cosZBDA+cosZBDC=0,12b210b212b210b2-9a26b2=0»得I1Z;2=3c2+6o2,/.3c-2-1l〃c+6/=0,TOC\o"1-5"\h\z、 2.・・(♦=3a或(=3。，在△ABC中，由余弦定理知，cosNA8C=四3二尤=《¥二竺,Zac 2qc当c=3”时，cos/A8c=2>1(舍)：o7 7当c=不。时，cos/A8c=讨综上所述,cos/A8C=g.法二：丁点。在边AC上且AD=2OC,

：.BD=^BA+|fiC,：.BD2=^BA-BD+^BC■BD,而由(I)知8。=〃，i 2Ab2=qbc♦cos乙ABD+ .cos乙CBD,即3h=c*cosZABD^2a•cosZCBD»、 b2+c2-xb2 a2+h2—ife2由余弦定理知：3b=c——方f—+2a——%/一,・・・II/J=3J+&Z2,・；b2=ac,:.3d-11ac^6(r=0,2.•・c=3"或c=?。，在8c中，由余弦定理知，cosNA8C=必窘五=吆/空，当c=3”时，cosNA8c=2>1（舍）：o7 7当c=3Q时，cosZASC=”；7综上所述，c°sNA8C=务法三：在△88中，由正弦定理可知“sinC=8DsinN8CC=〃sinN8OC,而由题意可知«<=/?=asinC=bsinNA8C,于是sinN8DC=sinNA8C,从而N8DC=NA8c或N8OC+NA8C=n..2若NBDC=NABC,则△C8"Z\CA8,于是C"=COQ=></=gna：b：c=l：V3：3,无法构成三角形，不合题意.若N8CC+NABC=n,则NAD8=/ABC=4ABDsMCB.2J2于是A*=4。・从。=〃=b：c=3：V6：2,满足题意，因此由余弦定理可得co$NA8C=a2f-b=、.2ac12（2021•上海）已知A、8、C为8c的三个内角，“、〃、c是其三条边，“=2,cosC=-7.(1)若siM=2sinB»求〃、c：

（2）若cos（A—称）二1，求r.【解答】解：（I）因为sinA=2sin8,可得。=2〃,小工八「—2+庐-C?2^+12—c2 1-rr<qrr由于c°sC=2ab=2x2x"二一“可得胃瓜(2)因为cos(八一/)=乎(cos4+sin4)=可得cos/4+sinA=挈^，又cos2A+sin2A=I,可解得cos4=率，sinA=条或siM=尊cosA=乐因为cosC=/可得疝。=祟，snC=-底，可得C为钝角,甘▲ 7/2 ， 72 -ar-T4Ti八 /4/八tanAA-tanC若s(nA=cos4=而，可得tatiA=7,可得(an^=-tan(4+C)=必强恒八=7-7157x(一生)-1可得8为钝角，这与。为钝角矛盾，舍去,所以sma4由正弦定理焉=品，可得『颦•（2020•全国）设△"（7的面积为10叵内角A,B,。的对边分别为小b,c,且〃=7,sin2A=sin2£i4sin2C-sin£^sinC.求A,〃和c,【解答】解：sin2fi+sin2C-sin2A=sinfisinC,所以/Ar-(F=bc,则cosA=b2+c2-a2则cosA=2bc=痴=2'因为OVAVm所以，仁全因为△ABC的面积为ioV5,所以”csinA=当〃c=IOx/5,即〃c=40,①又因为由余弦定理可得：lr+（r-（c=Ik1,a=l,所以/『+（2=89,②所以由①②联立解得〃=5,。=8或〃=8,c=5.（2020•天津）在AA8c中，向A,8,C所对的边分别为“，b,c.已知“=2应，〃=5,

e=VT3.(I)求角C的大小;(H)求sin4的值；(111)求sin(2/44-?)的值.*r【解答】解：(【)由余弦定理以及4=2灰，力=5,(=41n.i「n.i「 a2+°2_c2则c°sC=2岫8+25-13_422x272x5一7vce(0.n).(II)由正弦定理，以及C=。“=2或，。=同，可得sinA=竺”=空擎:甯：(III)由〃Vc,及siM=2^^,可得ccM=，1-sin?4=邛^,则sin2A=2siMcosA=2x x=若，Acos24=2cos24-1=/.sin(24+?)=挈(sin2A+cos2A)=空(~+—)=工老.4 2 2 13 13 26(2020♦北京)在AA8c中，〃+〃=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(I)。的假：(II)sinC和AA8c的面积.条件①：e=7,cos4=-i：条件②：cosA=g,cos8=注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【解答】解：选择条件①(I)由余弦定理得J=M+c2-2hccoW即〃2_〃2=49・14〃X(-;)=49+2〃，:.(。+〃)=49+2〃，•：a+b=11,.,.Ik/-ll/?=49+2/7,U[JIla-13ft=49»

联立上,+"：尸…解得〃=8,0=3,"la—13d=49故a=8.(II)在AA8c中，sinA>0,/.sinA=yjl-cos2A=由止弦定理可得-7=sitl4sinC..「csinA 7x竽x/3TOC\o"1-5"\h\z..sinC=---=-q^-==,a8 2.#•S/.abc=:加inC=gx8X3x竽=6\/3.选择条件②(【)在△ABC中，sinA>0,sin8>0,C=n-(A+8),1 9VcosA=g,cosfl=宿.♦.sinA=V1-cos2A=sinfi=V1-cos2B=o lb由正弦定理可得ab由正弦定理可得ab

sinAsinBa sinA 6b stnB 5•:a+b=11,•'・a=6,b=5,故a=6：(H)在△△8c中，C=tt-(A+8),0 q r i/.sfnC=sfn(4+8)=sfnAcosB+cos4siiiB=-3-xrz+ xo="F•o 1O loo 4S^abc=^//?sinC=3x6X5x¥=(2020•上海)己知函数/(.r)=sinu).v,a)>0./(x)的周期是4m求3,并求/(x)=；的解集：jr 兀(2)已知3=1,K(X)=/(x)+V3f(-a)/(--X)..ve[0,-].求8(.V)的值域.【解答】解：⑴由于/(K)的周期是4m所以3=需二与所以/(k)=sjn1x.令sin-x=万，故5x=2kn+g或2k;r+ 整理得x=4kn+g或x=4〃tt+等.故解集为=4kjr+*或x=4Att+苧，蛇Z}.

(2)由于3=1,所以f(x)=sinv.所以g(.v)=sin2x+V3sin(-x)sin(^-x)='二学"--ysinZx=一苧sin2x-3cos2x+方=5-sin⑵+[)・TOC\o"1-5"\h\za. 2 2 o.7T由于工£[0,-|,...,n n 2n所以一<2x4--<—•6 6 31 n-<sin(2x+-)<1,故-1W—stn(2x+1)W-故一狂g(x)<0.所以困数g(.r)的值域为I—：.0].(2()2()•新课标])△△8c的内附A，B,C的对边分别为“，b.c.已知8=150°.(1)若a=V5c,〃=2",求AA8c的面积;(2)若sinA+VIsinC=竽，求C'.【解答】解：(I)8c中，8=150°,(i=V3c,b=20„a2+c2-b2 3c2+c2-28cosn=一= 〜厂>2ac 275c2：.c=2(负值舍去)，a=2\f3,:・S〉abc=2^csinfi=2,2V3-2-i=V3.sin4+V5$inC=¥，即sin(180°750°-C)+V3sinC=节,化简得;cosC4--sinC=—,2 2 2sin(C+30°)=苧，V00<C<30°,・・・30°<C+30°<60°,・・・C+3()°=45°,：.C=\5°.

(2020•山东)在①“c=V5,②cinA=3,③c=75。这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求,的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△48C,它的内角A,B,C的对边分别为“，b<c,且sinA=V5sin8,注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解答】解：①w=V5.△48C中，sinA=V3sinfl.R|Jb=^-a.\/3♦b=19c=I>②csinA=3.n△A8c中，csinA=«sinC=asin-=3,：.a=6.6*/sinA=V5sin8,即a=Mb,；・b=2V3.「a2-Fb2-c2 364-12-c2GCOSC=2ab-=2x6x273=T«C=2\/3.③。=\f3b.Vsin4=V3sinB,即a=>/36>乂・・・c=6b,与已知条件c=I相矛盾，所以问题中的三角形不存在.O(2020•江苏)在AS8C中，角A、8、C的对边分别为。、。、c.已知”=3,c=&,B=45°.(1)求sinC的值：(2)在边8c上取一点/),使得cosNA/)C=-?,求lanN/)AC的值.

【解答】解：（1）因为a=3,c=V2,8=45°•,由余弦定理可得：。=+c'2—云・ccosBJ9+2-2x3xV2x^='/5（由正弦定理可得肃=高，所以sq加访45。所以sinC=卓;(2)因为cosNAOC=-g,所以sinNAOC'=6一cos?乙ADC=1,在三角形AOC中，易知C'为锐角，由（I）可得c-sC=、"一siMc=所以在三角形ACC中，sinZOAC=sin(Z4DC+ZC)=sinZ/tDCcosZC+cosZ4£)Csin"=芯，因为/D4C6(0，J),所以cos/D4C'=VT-si^Z-DAC=所以um"C=公既TT(2020•新课标H)△/»8c的内向A,B,C的对边分别为“，b,c,已知cos?(~+4)+cosA=1.(I)求A：（2）若…=争，证明：AA8c'是直角三角形.TOC\o"1-5"\h\z7Z" q【解答】解：(I)Vcos2(-+A)+cosA=sin，+cosA=1-cos2A+cos4=7.2 4\o"CurrentDocument"31 1AcosM-cos/1+了=0，解得cos4=5,4 LV4€(0,tt).・A7r・・A=3：

(2)证明：b-c—A=j,河 1.二由正弦定理可得sinB-sinC=?sinA=于/.sinB-sin(g—B)=sin8—当cos8-gsinB=*sinS—^cos8=sin(8—=，,'：Be(0,等),B-^E(-1,；)=可得8=今可得AA8c是直角三角形，得证.(202()•浙江)在锐角AA8c中，角A,8,C所对的边分别为a,b,c.已知2MM-恁=0.(I)求角6的大小:(II)求cosA+cos8+cosC的取(宜范围.【解答】解：(1)V26sinA=\/3«»2sinBsin4=V3sinA»VsinA^O,sin8=・o-n・・8一于(II)•••△A8C为锐角三角形，B=1.c=t-a27r:.27r:.cos4+cosB+cosC=cosA+cos( 37T 1 4.1+cos-=cosA—2cos4+彳sin4+2=；co&4+亨sinA+*=sin(4+1)+1,△A8c为锐角三角形，0VA<g,0<C<J.解得?<4V?,6 乙《VA+K筝<sin"+刑1 jr13+2<sin(A+片)+2^2«

.•.COS八+cos"+8sC的取值范围为(---，~].(2020•新课标11)△A8C中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.(I)求A：(2)若8c=3,求△A8C周长的最大值.【解答】解：(1)设△ABC的内向A,8,C所对的边分别为小b,c,因为sin2A-sin2fi-sin2C=sinfisinC,由正弦定理可得a2-h2-c2=bc\即为b2+c2-a2=-be,由余弦定理可得cos4=叱"/=_装=由OVAVn,可得从二等；(2)由题意可意4=3.乂8+C=g,可设8地V,C^+(l,由正弦定理可得singsinBsinC由正弦定理可得singsinBsinC=2>^3,可得5=2bsin(——〃),c=2x^3sin(一+d),6 6则△ABC周长为a+Hc=3+2V3[sin(--r/)+sin(乙+d)]=3+26 6(3cosd-岑sin"±cos"+坐sin")•=3+2，5cosd.当"=0,即8=C=飘，AABC的周长取得最大值3+26.另解：”=3,-=争,又〃2=序+(2-28ccosA,.・・9=启+(?+仪,=(/j+c)2-bc^(f*c)2-J(He)2,由"+c>3,剜6+cW2，5(当且仅当。=c•时，“=”成立)，则▲ABC周长的最大值为3+2遮.(2019•全国)已知函数/(a)=2sin2.v-4cos2x+l.(1)求/(工)的最小正周期：X 7F(2)设/(A)=/(-),求g(A)在区间[。，刀的最大值与最小值.2 J【解答】解：/(X)=2sin2x-4cos2a+1=1-cos2v-2(HcosZv)+I=-3cos2「

(I)/(.V)的坡小正周期7=彳=THX r(2)«(v)=f(-)=-3cos(2•9)=-3cosx.V.tG|0,^|,3/.-3cos,rG|~3,一21.yr 0即K(v)在区间［0, 的最大值为一宗城小值为-3.3 L29.(2019•上海)如图，A-B-C为海岸线，A8为线段，曲为四分之一圆弧，BD=39.2km,NBDC=22",ZCBD=68°,NB/)A=58°.(I)求元的长度：(2)若AB=40h〃，求。到海岸线A-B-C的最短距离.(精确到0.0015)【解答璐：(I)由题意可得,8C=8Csin22",弧BC所在的圆的半径R=BCsin£=—BC,4 2弧BC的长度为工冗R=-n•BC•—=—X3.141X39.2xsin220=16.31047/7：2 2 2 4(2)根据正弦定理可得,(2)根据正弦定理可得,BDABstnAsin58°；.sinA=xsin580=0.83b4=56.2°,/.ZAfiD=I80°-56.2°-58°=65.8°,JDH=BDXsinNA8O=35.750km<CD=36.34647〃D到海岸线A-B-C的最短距离为35.750A”4+c3().(2019•新课标川)丛ARC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c.己知“sin.=〃sinA.(I)求以(2)若AABC为锐角三角形,且c=l,求AABC面积的取值范闱.4+C 71—B R【解答】解：(1)“sin =〃sinA,即为asin =ncos-=Z)sinA.2 2 2

可得sinAcos-=sinBsinA=2sin-cos-sinA»TOC\o"1-5"\h\z2 2 2Vsiit4>0,B B B/.cos-=2sin-cos-»2 2 2B _若cosy=0,可得8=(2A+I)n,KEZ不成立,l!)0<e<n,可得8=,：(2)若△A8C为锐角三角形，且。=1,由余弦定理可得b=J。?+1—2ali•cos9=Va2—a+1»由三角形A8c为锐角三角形，可得“2+M-“+|>।旦[+/一”+i>“2,旦1+(,2>(12-4+],解得T<a<2'可得AABC面积S=B,Lsin'= ').(2019•天津)在8c中，内角A,B,C所对的边分别为a,〃，c.已知/>+c=2a3<sinB=4r/sinC.(I)求cosB的值;(II)<Rsin(2/?+t)的值.ohc【解答】解(I)在三角形ABC中,由正弦定理「7=-得从inC=csin4又由sinBsinC3csin/?=4〃sinC,得3〃sinC=4〃sinC,即3力=4〃.又因为6+c=〃，得b=学,c=与，由余弦定理可得cosB='2+22_匕2__2+^2一知2__工一猛—— 2.争_一_不TOC\o"1-5"\h\z(H)由(I)得sin8=VI—cos?8=自2从而sin28=2sin8cos8=—4 ocos2B=cos2fl-sin2B=一:，o■u. “，- 71 ~.兀V15x/371 3V5+7故sin(24+7-)=s(n2Bcos-4-cos2fism-=- x x- .6 6 6 8 2 8 2 16(2019•北京)在△<8C中，0=3,…=2,cosfi=(I)求〃，c的值；

(11)求sin(B-C)的值.【解答］解：(1)，；a=3,b-c=2.cosB=—:,由余弦定理,得b2=a2^c2-lacc^sB=9+(b-2)2-2x3x(b-2)x(一今，/J?=7.：.c=b-2=5：1 J?(H)在AA8c中,・.・8$3=—2,Asinfi=由正弦定理有：—7=T.s(nCsinB..「csinB5x空SV3,.stnC=--=,Vfr>c,:.B>C,・・・C为锐知，.「11..cosC=包，/.sin(B-C)=sin^cosC・cos^sinC4/37.(2019•浙江)设函数/(a)=sinx.joER.(I)已知8日0,2n),函数/(x+e)是偶函数，求8的值:(II)求函数尸［/C+5)-叱(.什.F的值域【解答】解:(1)由/(.r)=sin-v,得/(x+0)=sin(a+0),V/(.v+0)为偶函数,：.Q=^+kn(jteZ).V0G|O,2n),二6=*或。=岑，(2)),=『(、+令］2+［f(.k+J)J2sins十直/1—cos(2x+专)=sin2(x+2sins十直/1—cos(2x+专)I-y(cos2xcos看-sinZxsin看-sin2x)

3•n ,-=4stn2x-彳cos2x+1=空sin(2x-看)+1,,；.veR,；.sin(2x-^)6[-l.1].：.y=^sin(2x-^)+1G[1- 1+争，函数F=va+金)产+/门+与)f的值域为：口一空，i+当](2019•江，苏)在AABC中，用A,B,C的对边分别为“，b,c.(I)若”=3c,b=V2,cos8=多求c的值；⑵喈=需求，…分的值【解答】解：(1)•.•在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.«=3c»h=y/2,cosB=多.•.由余弦定理得：解得c=等.・••由正弦定理得:・••由正弦定理得:2bsinAsinBcosB/.2sin8=cos8,Vsin2fi4-cos25=I,:.sin(8+?)=cos8= .(2019•北京)在△ABC中，“=3,b-c=2,cosB=-1.(I)求瓦c的值：(II)求sin(B+C)的值.【解答]解：(1)\*«=3.b-c=2,cos8=由余弦定理，得lr=<r+c2-2“ccos8

=9+(b-2好一2x3x(b-2)x"；).A/?=7. c=/?-2=5；(2)在△/18c中，VcosB=Csin8=厚,由正弦定理布备=焉3x里_373-7--TT,3J7sin(B+C)=sin(it-A)=sinA=36.(2019•新课标I)AABC的内角八，8,C的对边分别为a,b9c.设(sin8・sinC)2=sin2A-sintfsinC.(1)求A：(2)若>/2a+〃=2c,求$inC.【解答】解：(1)ZXA8C的内角A,8,C的对边分别为ab,c.■:(sinfi-sinC)2=sin24-sinfisinC,/.sin2tf+sin2C-2sintfsinC=sin24-sinffsinC,・••由正弦定理得:/?2+c2-a2=hc,1-2一一=1-2一一=2bVO<A<n,•"吟,；Ca+b=2c,A=g,/.由正弦定理得+sinB=2sinCtTOC\o"1-5"\h\zV⑥ 27r・一+sin(——C)=2sinC2i3 7解得sin(C-1)=孝，7TTTt、八IT37r"一不=4或C-6=-'•,OVCV军;.c=J+J,3 4 6n n n n n n >/2 43 42 1 ©+鱼sinC=S!ii(-+-)=sin-cos-+cos-sin-=—x—+—x-= .4 6 4 6 4 6 2 2 2 2 4(2018•新课标I)在平面四边形ABC。中,NAOC=90°,NA=45°,A8=2,BD=5.

(I)求cosZ4DB：(2)若。C=2VL求BC【解答】解：(1)VZ4DC=90a.Z4=45°,A8=2,BD=5.・••由正弦定理得:ABsim.ADB・••由正弦定理得:ABsim.ADBsinz.4sin£ADBsin450'♦：AB<BD,JNAOBV/A,AcosZ4DB=723AcosZ4DB=723•；NAOC=90°,.,.cosZflDC=sinZ4D»=,:DC=2a,：.BC=>JBD2-FDC2-2xSDxDCxcos^BDC（2018•全国）在ZSABC中,角A、8、C对应边“、伍c,外接圆半径为1,已知2（sin2A-sitrC)=(n-/?)sin8.(1)证明a2^b2-3=ab：（2）求角C和边c.【解答】证明：（I）•・•在△ABC中，角A、&C对应边外b、c,外接圆半径为1,由正弦定理得:而由正弦定理得:而=茄=就=2R=2,TOC\o"1-5"\h\z• •八。 • b•,、・・sim4=2，sir)8=2，sinC=V2(sin2A-sin2C)=(a-/?)sinB,.a? c2 b•".2( )=(〃-/?)•一,4 4 2化筒，得：</+扇-<2=（而,

故〃2+〃2一於=加解：(2)'：(F+序-?=ab.a2a24-fa2-c2

2abab1

而=2'解得C—号，\[3L.*.c=2sinC=2--=y/3.(2018•天津)在△A8C中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知〃sinA=acos(8-？,o(I)求用B的大小：(II)设a=2,c=3,求〃和sin(14-8)的值.【解答】解：(I)在△/18c中，由正弦定理得-;—=~：—.得〃siiv4=asin/3,sinAsinB乂b§iM=〃cos(8-看).•,.asin8=aco9(/，一§),即sin/?=cos(/?-=cos8cos-+sin8sin—=—cosB^-^sinB^6 6 6 6 2 2Atan/?=V3,乂加(0,n),，8=冬(11)在8c中，。=2,c=3,8=E，由余弦定理得b=Vaz+c2-2accosB=近，由/;sinA=aCos 得siM=g.. 2Vt/<c,:、cosA=-f=»%743sin24=2sin4cos4=-y-,cos24=2cos24-I=y»Asin(2A-8)=sin24cos^-cos24sm8= xJ—Jx'=(2018•北京)在AABC中，u=7,b=8,cosfi=-1.(I)求NA：(II)求AC边上的高.【解答】解：(I)'：a<b,：.A<B,即A是锐角，Vcos«=-i,Asin/?=V1-cos2B=Jl-(-1)2=竿,由正弦定理得用=由正弦定理得用=asinBb-7—得sinA=sin