2021年全国甲卷高考数学（文科）试卷【含答案】

2021年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1.设集合M={1,3,5,7,9},N={x|2r>7},则A/CN=( )1.A.{7A.{7,9}{5,7,9}{3,5,7,9}2*调查数据整理得到如下频率分布直方图:该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%2*调查数据整理得到如下频率分布直方图:该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.{1,3,5,7,9}为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的A.B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%B.D.3.已知(1-Z)2z=3+2i,贝ljz=(3_-1-2/3-D.3.已知(1-Z)2z=3+2i,贝ljz=(3_-1-2/3-1+2/3_-2+1D.3-2-i4.下列函数中是增函数的为（ ）A.f(x)=-X/(x)=2(3*),f(x)=x2D./(x)=Vx估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间A.§B.A.§B.5C.5D.zyi5.（3,0）到双曲线16-9=1的一条渐近线的距离为（5.6.6.L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为( )%21.259)A.1.5BA.1.5B.1.2C.0.8D.0.67.在一个正方体中，过顶点力的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥4-EFG后,所得多面体的三视图中，正视图如图所小，则相应的侧视图是( )正视图A.1正视图A.1 B.& C.V5 D.3TOC\o"1-5"\h\z9.记S“为等比数列｛四｝的前"项和.若$2=4,$4=6,则S6=( )A.7 B.8 C.9 D.1010.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )A.0.3打B.0.5cosaC.0.6D.0.811.若aw(0,2),tan2a=2-sinCI,贝I]tana=( )715叵在V15A.15B.5C.3D.311.设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1+x)=/(-x).若/(-3)=3,则/(5_亘)=()5_ 1 1 _5A.-3 B.-3 C.3 D.3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。.若向量a,bi前足|a|=3,|a-b|=5,a«b=1,则|b|=..已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30tt,则该圆锥的侧面积为.兀.已知函数/(x)=2cos(cox+cp)的部分图像如图所示，则/(或")=.已知Q,&为椭圆C：16+4=1的两个焦点，P,。为C上关于坐标原点对称的两点，且|尸0|=四&|,则四边形PBQF2的面积为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一■级品二级品合计甲机床15()50200乙机床12080200合计27()130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ n(ad-bc)2 附：A?=(a-H))(c+d)(a+c)(b+d).P(K2》左)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.记S“为数列｛%｝的前〃项和，已知%>0,且数列｛廖i｝是等差数列，证明:｛斯｝是等差数列..已知直三棱柱/8C-481G中，侧面44//为正方形，AB=BC=2,E,尸分别为4c和CG的中点，BFL4M(1)求三棱锥尸-E8C的体积：(2)已知。为棱小8|上的点，证明：BFLDE.Bi，/］ I-4—!/—二b*r£\|Xc.设函数/(x)=a2x2+ax-3lnx+l,其中a>0.(1)讨论/(x)的单调性：(2)若y=/(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围..抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线/：x=l交C于尸，。两点，且OPLOQ.己知点/(2,0),且。M与/相切.(1)求C,OM的方程：(2)设小，A2,凡是C上的三个点，直线小生，小小均与。〃相切.判断直线4小与。M的位置关系，并说明理由.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。［选修4-4：坐标系与参数方程］.在直角坐标系x«y中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2V2cos0.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点4的直角坐标为(I,0),M为C上的动点，点P满足屈=4疝，写出尸的轨迹Ci的参数方程，并判断C与G是否有公共点.|选修4-5：不等式选讲|.已知函数f(x)=\x-2\fg(x)=|2r+3|-\2x-1|.(1)画出y=/(x)和y=g(x)的图像；(2)若/(x+a)2g(x),求a的取值范围.答案一、选择题(共12小题)..设集合A/={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},则A/CN=( )A.{7,9} B.{5,7,9}C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}

7_解：因为N={x|2x>7}={x|x>2},M={1,3,5,7,9},所以MDN={5,7,9}.故选：B.2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间解：对于4该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为(0.02+0.04)X1=0.06=6%,故选项Z正确；对于8，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为(0.04+0.02X3)XI=0.1=10%,故选项8正确；对于C,估计该地农户家庭年收入的平均值为

3X0.02+4X0.04+5X0.1+6X0.14+7X0.2+8X0.2+9X0.1+10X0.1+11X0.04+12X0.02+13X0.02+14X0.02=7,68>6.5万元，故选项C错误；对于。，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为(0.1+0.14+0.2+0.2)Xl=0.64>0.5,故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项。正确.故选：C..已知(1-i) 2x__y__ 2x__y__解：由题意可知，双曲线的渐近线方程为16 9 ,即3x±4y=0,结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x-4y=0的距离,9-0^9则点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距离“9+16-5.故选：A.3,D.-3,D.-2-1A.-1-2iB.-l+2z C.-2+i解：因为(l*i)2z=3+2i,_3+2i=3+2i_(3+2i)i所以z=(l-i)2=_2i=(-2i)・i故选：B..下列函数中是增函数的为( )A./(x)=-xB./(x)=(3)xC.f(x)=x2D.f(x)=Vx解：由一次函数性质可知/(x)=-x在R上是减函数，不符合题意；2_由指数函数性质可知/(X)=(石)x在R上是减函数，不符合题意；由二次函数的性质可知/(x)=N在R上不单调，不符合题意;根据基函数性质可知/(x)=也在1<上单调递增，符合题意.故选：D.TOC\o"1-5"\h\z.点(3,0)到双曲线16-9=1的一条渐近线的距离为( )2 1 A AA.5 B.5 C.5 D.5

6.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据/满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（1V10«=1,259）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6解：在L=5+/g/中，1=4.9,所以4.9=5+恁匕即/gk=-0.1,1 ]解得r=io-°'=10°'1=1^/10=1.259弋0.8,所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选：C.7.在一个正方体中，过顶点X的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥4-EFG后,所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（ ）正视图正视图可得力-EPG在正方体左侧面，如图，根据三视图的投影,可得相应的侧视图是D图形，故选：D.B'B'))D.3.在△Z8C中，已知8=120°,JC=V19,AB=2,则8C=(A.1 B.V2 C.V5解：设角4B,。所对的边分别为a,b,c结合余弦定理，可得19=a2+4-2XaX2Xcosl20",即。2+2。-15=0,解得a=3(a=-5舍去)，所以8c=3.故选：D..记S”为等比数列｛斯｝的前"项和.若$2=4,$4=6,则$6=( )A.7 B.8 C.9 D.10解：•••5”为等比数列｛%｝的前〃项和，S2=4,S4=6,由等比数列的性质，可知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列，二4,2,56-6成等比数列，22=4(Sfi-6)»解得&=7.故选：A..将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为( )A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8解：将3个I和2个0随机排成一行的方法可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法可以是：01011,01101,OHIO,10101,10110,11010,共6种方法，=06满足题意的概率为105°,故选：C.TOC\o"1-5"\h\z冗 cosa.若(0, 2),tan2a=2-sinCL,则tana=( )V15 V5 V5 V15A.15 B.5 C.3 D.3cosa sin2acosa解：由tan2a=2-sina,得cos2a2-sind,2sinacosa_cosa即l-2sin2a-2-sinCI,nVaG(0,2),.•.cosaWO,则2sina(2-sina)=1-2sin2a,解得sina=4,

TOC\o"1-5"\h\z则cosa=Ml-sin2a= 4,1sin。4cosa 15.".tana— 4 .故选：A.11.设/(x)是定义域为R的奇函数，且/(1+x)=/(-x).若-3)=3,则/(_5TOC\o"1-5"\h\z3)=( )5_ 1 1 5_A.-3 B.-3 C.3 D.3解：由题意得/(-x)=-f(x)>又/(l+x)—f(-Jt)=-f(x),所以/(2+x)=/(x),_1_1又/(-E)=~3,5_ 1X1则/(3)~f(2-3)—f(-3)=3.故选：c.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。.若向量&,bf商足|包=3,|a-b|=5,a*b=1,贝!)|以=_372_.\2-2—•——2解：由题意，可得(a-b)=a-2a-b+b=25,——fr—*■ -*2因为|a|=3,a*b=1,所以9-2Xl+b=25,所以,口3|b|=7?=35/2.故啦.已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30ir,则该圆锥的侧面积为39n.解：由圆锥的底面半径为6,其体积为30m设圆锥的高为九则品（兀*62）53。兀解得h得1=./2+62=1^所以圆锥的母线长V2， 2,所以圆锥的侧面积S=n所以圆锥的侧面积S=nri=7TX6X^=39K故397r._413几兀解：由图可知，/(x)的最小正周期「=3(12-3)=n,2兀 n所以3=T=2,因为/(3)=0,717T JT所以由五点作图法可得2X3+(p=2,解得(p=-6,所以/(x)=2cos(2x-6),n JT7T IT所以/(2)=2cos(2X2-6)=-2cos6=-Vs.故-V3..已知Q,&为椭圆C：16+4=1的两个焦点，P,0为C上关于坐标原点对称的两点，且『。|=|招尸小则四边形尸后。出的面积为解：因为尸，。为C上关于坐标原点对称的两点，且|尸0|=四&|，所以四边形尸尸1。&为矩形，设|PQ|=m,|尸尸2尸〃，由椭圆的定义可得|下川+|尸尸2|尸超+"=2。=8,所以m2+2mn+n2=64,因为『居|2+|尸&『=回尸2|2=4/=4(a2-b2)=48,即m2+n2=4S,所以加〃=8,所以四边形PFiQF?的面积为|尸外|尸尸2尸加"=8.故8.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：-'级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ n(ad-bc)2 附：(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P(烂2%)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200件,150二3因为甲的一级品的频数为150,所以甲的一级品的频率为而二；120二3因为乙的一级品的频数为120,所以乙的一级品的频率为而7； n(ad-bc)2 (2)根据2X2列联表，可得烂=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)400(150X80-50X120)2=270X130X200X200^io.256>6,635.所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异..记S”为数列｛%｝的前〃项和，已知。“>0,。2=3。1,且数列｛廖i｝是等差数列，证明:｛斯｝是等差数列.证明：设等差数列｛、瓦｝的公差为d,由题意得］+a2=7^7=27^7,皿止恒-^^^-正二屈,所以叵(«-1)所以S“=〃2al①；当"22时，有S,-i=(n-1)2al②.由①②，得a“=S”-S„-1=n2ai-(n-1)2a\—(2m-1)内③，经检验，当"=1时也满足③.所以a”=(2«-1)a\,mGN+,当"22时，a„-a„.[=(2«-1)a\-(2〃-3)a\=2a\,所以数列｛为｝是等差数列..已知直三棱柱48C-小81G中，侧面44//为正方形，AB=BC=2,E,尸分别为4c和CG的中点，BFL4B.(1)求三棱锥尸-E8C的体积：(2)已知。为棱小当上的点，证明：BF1.DE.解：(1)在直三棱柱4BC-aSG中，BBiLAiBi，又8尸_1_m8|,BB[RBF=B,BB\,8/u平面8CGS，.•.小81_L平面BCCR,■:AB〃AM平面BCCiS，又AB=AC,故AC=J?7=2圾，...CE=V2=BE,而侧面4小丛8为正方形，.cf[cCi]ab=i...V李AEBCTxfxV2XV2X14,即三棱锥F-EBC的体积为方(2)证明：如图，取8c中点G,连接EG,BiG,设B|GnBE=，，•点£是/C的中点，点G时8c的中点，：.EG//AB,:.EG〃AB〃B\D,:.E、G、&、。四点共面，由（1）可得平面BCGS，，EG_L平面BCCB，:.BF1EG,tanNCBF=^q，tanZBBi=~V BO/ Bbl/,且这两个角都是锐角,：./CBF=/BB\G,：・/BHBi=NBGBi+NCBF=NBGBi+NBBiG=90°,工BF工BG又EGn8|G=G,EG,BQu平面EG8|O,・・・8/U平面EGBiD,又DEu平面EGBiD,：.BFLDE.C20.设函数/(x)=a2x2+ax-3/nx+l.其中a>0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若y=/(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围.32a2x2+axY(2ax+3)(ax-1)解：(1)/(x)=2a2x+a-X=X=x,x>0,因为a>0,3 1所以-2a<0<a,1所以在(0,a)上，/(x)<0,f(x)单调递减，2在（a,+8）上，/（x）>0,/（x）单调递增.工 工综上所述，/（X）在（0,7）上单调递减，在（T,+8）±/（X）单调递增.1工工工（2）由（1）可知，f（x）min=f（a）=a2X（a）2+aXa-3lna+l=3+3加a,因为歹=/（x）的图像与x轴没有公共点，所以3+3/〃a>0,所以a>e,1所以a的取值范围为（e,+oo）..抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线/：x=l交C于尸，0两点，且OPLOQ.已知点M（2,0）,且。M与/相切.（1）求C,OM的方程：（2）设小，A2,4是C上的三个点，直线小42,小小均与。M相切.判断直线生4与的位置关系，并说明理由.解：（1）因为x=l与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y1—2px（p>0），令x=i,贝ijy=±VS,根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，。在X轴下方，故p（i'V^）'Q（i’"V2p）,因为皿。0,故i吗x（-疡=°及4；抛物线c的方程为：y=x,因为。M与/相切，故其半径为1,故。M：（x-2）2+jP=l.（2）设小（xpyt）,A2（%2>及），为（X3，为）.当小，A2,4其中某一个为坐标原点时（假设小为坐标原点时），2k设直线小42方程为h-y=0,根据点M（2,0）到直线距离为1可得I1+卜2=1,解+返得”=一3,联立直线为42与抛物线方程可得X=3,此时直线A2A3与0M的位置关系为相切，当小，42，43都不是坐标原点时，即》］工工2#、3，直线小42的方程为％-尸办/2=0，|2+y1y2l此时有,Jl+（y；+y2）2,ap（yi-Dy2+2y1y2+3-y2=o）同理，由对称性可得，3一1丘沁丫心+3小=0,2八2 — 9所以W刈是方程d-Dt+2yJ+3-yi=o的两根，依题意有，直线4243的方程为X-（”+》3）尸了93=0，923-y?9 （2-^—L）2_（2+y2y3）_yriTTOC\o"1-5"\h\zci 5- -工1+（y2+丫3）2 ~2y］l+（^y-）令M到直线刈4的距离为d，则有 yl-1 ,此时直线A2A3与OM的位置关系也为相切，综上，直线刈心与。M相切.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第