复变函数课件

复变函数论Tel:第一章复数与复变函数第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章解析函数的幂级数表示法第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第六章留数理论及其应用第七章共形映射第八章解析延拓第九章调和函数先从二次方程谈起…公式：此公式早于公元前四百年，已被巴比伦人发现和使用。在中国的古籍《九章算术》中，亦有提及与二次方程有关的问题。复变函数的产生和发展简史：

由二次方程到三次方程由于实际应用上的需要，亦由于人类求知欲的驱使，很自然地，人类就开始寻找三次方程的解法。很可惜，经过了差不多二千年的时间，依然沒有很大的进展！

怪杰卡丹诺

(GirolamoCardano;15011576)一个多才多艺的学者一个放荡不羁的无赖他精通数学、医学、语言学、天文学、占星学一生充满传奇，人们称他为「怪杰」。

怪杰1545年，卡丹诺在他的著作《大术》（ArsMagna）中，介绍了解三次方程的方法。从此，解三次方程的方法，就被称为「卡丹诺公式」。卡丹诺公式解方程公式：

例二解

x3

=15x+4注意：m=15、n=4x=（无解）但非常明显，x=4是方程的一个解！为什么？

虚数笛卡尔（RenéDecartes;15961650）法国著名的哲学家坐标几何的创始人1637年，他称一个负数的开方为

虚数(imaginary

number)。但他不承认虚数是数字的一种。复变函数的引入欧拉（LeonhardEuler,1707-1783）瑞士数学家。13岁入大学，17岁取得硕士学位，30岁右眼失明，60岁完全失明。著作非常多，深入每个数学分支，对后世影响深远。复变函数的引入1748年，欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，並写出以下公式：

1777年，在他的著作《微分公式》中，首次使用i

來表示虚数。他创立了复变函数论，并把它们应用到水力学、地图制图学上。几何解释1797年，挪威数学家维塞尔（CasparWessel;17451818）提出复数的几何解释。实轴虚轴Oa+bir=r(cos+isin)1806年，法国数学家阿根（JeanRobertArgand;17681822）亦提出类似的解释。自此，人们亦称复数平面为「阿根圆」。代数基本定理高斯（CarlFriedrichGauss;1777-1855）德国数学家，人称「数学王子」。18岁时，运用一些复数运算原理，以尺規画出正十七边形。20岁取得博士学位，並成功地证明了「代数基本定理」。确定复数的名称。拉普拉斯，欧拉和达朗贝尔是复变函数论的先驱。1777年3月，欧拉向彼得堡科学院提交了一篇论文，论文中考虑了复变函数的积分比欧拉更早，达朗贝尔在1752年关于流体力学论文中已经得到这两个方程，有的教科书称这两个方程为达朗贝尔——欧拉方程。

我国数学家杨乐、张广厚在单复变函数的值分布理论和渐进值理论的研究中取得了具有世界水平的成果，他们的研究进一步充实了复变函数论的理论。

近几十年来，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家庞加莱、阿达马都做了大量的研究工作，开拓了复变函数更广阔的领域。

现在，复变函数理论及方法在数学及工程技术中有着广泛的应用。比如，在复变函数理论最先得到成功应用的流体力学、电磁学、平面弹性力学这三个领域中，复变函数方法已经发展成为解决有关问题的几种经典方法之一。

复变函数不仅在其他学科得到广泛应用，而且在数学领域里，许多分支也都应用它的理论，他已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对他们的发展有很大的影响。复变函数的应用

这样取X=1，得矛盾！第一章复数与复变函数1复数3复变函数4复球面与无穷远点2复平面上的点集

加、减：乘法：

注:复数的四则运算除法：

容易证明:复数的运算满足分配律、交换律、结合律.

有序实数对(x,y)平面上一点P实轴、虚轴、复平面Z

平面、w

平面2.复平面xyO复数

代数表示复数向量表示的重要意义：能够将代数问题化为几何问题，从而使问题变得直观,由此立即得到下面不等式：oxy(z)

z1z2

z1+z2z2-z1两点距离公式显然为整数.3.复数的模与辐角复数的三角表示根据上式称为复数的三角表示.Oxy可以得到复数的指数表示由欧拉公式可以得到复数的指数表示式:(1)南极、北极的定义xyONSz复数的球面表示xxONSzP(z)z

球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.(2)复球面的定义

用来表示复数的这个球面称为复球面.

全体复数与复球面-{N}成一一对应关系.因而球面上的北极N就是复数的几何表示.xxONSzP(z)z(3)扩充复平面的定义我们规定:北极N与一个模为无穷大的假想的点对应这个假想的点称为“复数无穷远点”记作.复平面加上后称为扩充复平面，记作C注：如不声明，我们讨论的都是有限复平面。关于∞的运算，规定如下：仍然不确定。381、乘积与商因此注意多值性4.复数的乘幂与方根39xyO判断下列说法是否正确？几何解释(T)(F)40除法运算或者集合等式41例1：已知正三角形的两个顶点为求三角形的另一个顶点。xyO422、幂与根(2.1)定义z的n次幂：则有—---棣莫弗公式.(2.2)定义z的n次根：若有wn=z,则称w为z的n次根，记为定义43如何求z的n次根呢？44当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：45xyo注46例3.例2.4748例1法一法二麻烦5.共轭复数

另外，还经常用到以下性质：显然例2求复数（复数）的实部、虚部和模。解（1）因为（2）因为并用此等式证明三角不等式。证其次则53例2：设试写出f(z)的关于z表达式。分析：令解出x,y代入表达式整理可得。例3：设分析：令54例4：试证下列等式分析：6.复数在几何上的应用举例例9.下列方程各表示什么曲线？4）写出直线的复数形式方程.1）2）解：1)、2)的关键是知道复数模的几何意义，所以：1）表示圆周，

2）表示直线.3）3）化为实方程，为此代入，得化简，得，表示一条直线.4）由得代入直线方程因而直线的方程为，其中