考点02 正弦定理（解析版）

考点02正弦定理一、单选题1．已知中，内角所对的边分别为.若，则（）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】由正弦定理，可得，进而可求出.【详解】由题意，根据正弦定理可得，，则，因为，所以或.又因为，所以，所以为锐角，且.故选：A.2．在中，，，则的值为（）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】利用正弦定理可得，结合内角和和两角和的正弦公式可求.【详解】由正弦定理可得，故，因为，故，整理得到，解得，故选：A.3．在中，角所对的边分别为，若，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦定理由边化角，结合三角恒等变换即可求解．【详解】依题由正弦定理得：，即，.故选：A.4．在中，分别是角的对边，且，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由正弦定理将化为，而，代入化简可求得的值，进而可得角【详解】解：因为，所以由正弦定理得，因为，所以,因为，所以，因为，所以，故选：D5．在中，内角的对边分别为，，且，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，利用正弦定理转化为，再结合，用b表示a，c，然后利用余弦定理求解.【详解】因为，由正弦定理得，又因为，解得，由余弦定理得，故选：C6．在中，角、、的对边分别为、、，若，且、、为等差数列，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由二倍角公式可求得、的值，进一步可求得的值，利用正弦定理边角互化可得出的值.【详解】，则，所以，，所以，，则，又、、成等差数列，则，，所以，，由正弦定理可得，故选：C.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.7．在中，若，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用正弦定理即可.【详解】在中，由正弦定理：，即，解得：.故选：B8．在中，内角，，的对边分别为，，，若，则（）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理得，再由正弦定理得，化简可得，结合三角函数的性质得可得答案.【详解】由得，由余弦定理得，再由正弦定理得，即，得，由于，，所以（舍去）或，故，于是，所以．故选：A.9．如图，中，角的平分线交边于点，，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】中由正弦定理求得后可得，从而得，角，得，用余弦定理可得．【详解】在中，根据正弦定理得，由，所以，所以，所以，则，所以，在中，由余弦定理得，所以．故选：D．【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件选用恰当的公式进行计算．如先在中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，这样图形听所有角都已知，然后再求选用公式求边．本题也可以不用余弦定理求边．10．设的内角所对的边分别是，其中，那么满足条件的（）A．有一个解 B．有两个解 C．不能确定 D．无解【答案】A【分析】先利用正弦定理求得，再由确定解的个数.【详解】在中，，由正弦定理得：,所以，又因为，所以，所以满足条件的只有一个解，故选：A11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（）A．1∶2∶3 B．3∶2∶1C．2∶∶1 D．1∶∶2【答案】D【分析】三角形中，由角的比例关系可得A＝30°，B＝60°，C＝90°，结合正弦定理即可求a∶b∶c.【详解】在△ABC中，有A∶B∶C＝1∶2∶3，∴B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，即A＝30°，B＝60°，C＝90°，由正弦定理知：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝sin30°∶sin60°∶sin90°＝1∶∶2.故选：D12．已知的内角的对边分别为，且，，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦定理求得，得到，结合两角和的正弦公式，即可求解.【详解】在中，，，，由正弦定理，可得，因为，所以，所以，又由.故选：A.13．在中，角，，所对的边分别为，，，，，．若的平分线与交于点，则（）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根据，由余弦定理可得，再根据，得到角C，然后利用正弦定理解得边c，然后根据为的平分线，在中，利用正弦定理求解.【详解】因为，所以，因为，所以，又，，，则.又为的平分线，，，.故选：A14．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积.根据此公式，若，且，则的面积为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据正弦定理化简已知，求得，再根据余弦定理求，最后代入面积公式求解.【详解】由正弦定理边角互化可知化简为，即，,，解得：，根据面积公式可知.故选：C【点睛】关键点点睛，本题考查数学文化，理解面积公式，对于面积公式可变形为.15．已知在中，内角的对边分别为，，，则周长的最大值为（）A．6 B．9 C．12 D．【答案】B【分析】由正弦定理化角为边，整理后应用余弦定理求得角，然后由正弦定理把用表示，求，利用三角函数恒等变换结合正弦函数性质得最大值，从而得周长最大值．【详解】由得，由正弦定理可将上式转化，得，，．，，则，得，，．易知，，当，即时，取得最大值，且，因此周长的最大值为9．故选：B．【点睛】思路点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系或全部化为边的关系．题中若出现过的一次式，一般采用正弦定理进行转化；若出现边的二次式，一般采用余弦定理进行转化．二、多选题16．在内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，边上的高等于，则以下四个结论正确的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据条件可以求得a，c间的关系，结合正弦定理，余弦定理边角互化得到其余角或边的关系.【详解】∵，∴，由余弦定理知：，解得，，选项D正确；由正弦定理有：，则，选项B正确；易知，，则，，选项C错误.，选项A正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：利用正弦定理，余弦定理边角转化，求得边角关系.17．在中，.若，则的值可以等于（）A． B． C．2· D．3【答案】AD【分析】根据，利用两角和与差的三角函数化简得到，再利用正弦定理求解.【详解】因为，所以，在中，因为，所以，即，解得或，当时，因为，所以，.当时，由正弦定理得：所以，综上：或故选：AD18．在锐角三角形中，、、是其三内角，则下列一定成立的有（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由正弦定理可判断A；由结合正弦函数的单调性、诱导公式可判断BC；由BC结论可判断D.【详解】对于A，在三角形中，两边之和大于第三边，则，由正弦定理得，故A错误.因为是锐角三角形，所以所以B对，同理C对；对于D，由于，，所以D错.故选：BC.【点睛】本题考查三角形中角对应的正弦余弦大小关系，属于基础题.19．已知中，角，，的对边分别为，，，且，则角的值不可能是（）A．45° B．60° C．75° D．90°【答案】CD【分析】先利用正弦定理得到，再利用余弦定理和基本不等式得到，即可判断.【详解】∵，由正弦定理得：∴，∴，当且仅当时取等号，又，故.故选：CD.【点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理，考查了基本不等式.属于较易题.三、填空题20．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，若，，则的面积为_____．【答案】【分析】先求角B，利用正余弦定理求出a、c，利用面积公式求面积.【详解】由题意得，，所以，由正弦定理及得，由余弦定理得，即解得：，所以的面积为.故答案为：.【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：①从题目给出的条件，边角关系来选择；②从式子结构来选择．21．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则___________.【答案】【分析】先由及正弦定理得，结合可得，，再由可得，最后求出结果即可.【详解】由及正弦定理得，因为，所以，则，，因为，所以，则.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查正弦、余弦定理，熟练运用正弦、余弦定理及变形是解题的关键.22．如图所示，在中，已知，为边上的一点，且满足，，则______【答案】【分析】令，根据，结合，由，求得，再由，求得角D，然后在中，利用正弦定理求解.【详解】令，因为，所以，所以，，，在中，由正弦定理得，解得.故答案为：23．的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的取值范围是___________.【答案】【分析】由正弦定理及三角形内角性质得，可得，根据余弦定理，应用基本不等式有，结合A为三角形内角，即可求的范围.【详解】由正弦定理知：，∵，∴，即，又由余弦定理知：当且仅当时等号成立，而，∴，则.故答案为：.【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换、正弦定理的边角关系确定三边的数量关系，根据余弦定理及基本不等式，求角A余弦值的范围，结合三角形内角的性质求角的范围.24．已知在中，角、、的对边分别为、、，若，且、、为等差数列，则________.【答案】【分析】由二倍角余弦、同角三角函数关系求、，利用三角形内角性质，结合、、为等差数列求，并得到其正余弦值，根据以及正弦定理边角关系即可求值.【详解】，则，∵、、等差，有，∴，，，而，∴由正弦定理知：.故答案为：.【点睛】关键点点睛：利用余弦倍角公式、等差数列的性质求内角的正余弦值，由及正弦边角关系求.25．已知三内角，，的对边分别为，，，且，若角的平分线交于点，且，则的最小值为___________.【答案】4【分析】利用正弦定理的边角互化可得，从而可得，再由，根据三角形的面积公式可得，即，再由基本不等式即可求解.【详解】解析：由及正弦定理，得，因为，，所以，即.因为，所以.如图，，所以，所以，即，所以，当且仅当，，即时，等号成立，所以的最小值为4.故答案为：426．在中，，，分别是角，，的对边，若，，的面积为2，则______.【答案】【分析】利用正弦定理化简已知条件，求得，利用三角形的面积公式列方程，求得，结合正弦定理求得的值.【详解】因为，所以由正弦定理得，即，又，所以，即，因为，所以，.因为，所以.因为，所以，所以，所以.故答案为：四、解答题27．已知锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，根据正弦定理化简得，进而求得，即可求解；（2）由（1）得到，根据三角恒等变换的公式，化简，进而得到，得到的范围，即可求解.【详解】（1）在中，由，利用正弦定理得，所以，即，因为，可得，所以，又因为，所以.（2）由（1）知，可得，可得，所以，因为为锐角三角形，所以，，且，所以，，所以故的取值范围为.28．在中，内角所对的边分别为，，，若．（1）求角的大小；（2）若，，点在边上，且，求的长度．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理将原式中的边化为角，再运用正弦的和角公式可求得答案；（2）利用余弦定理可求得AD的长度．【详解】解：（1）由正弦定理，可化为，即，所以，因为，所以，即，因为为三角形内角，所以，所以；所以；（2）由余弦定理得，故，因为在边上，且，所以，又，所以，所以．【点睛】方法点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．29．已知中，内角的对边分别为，_________．（1）求角C的大小；（2）若，求的面积S．在①（R为外接圆的半径），②，③（S为的面积），这三个条件中选一个，补充在横线上，并加以解答．【答案】（1）；（2）【分析】（1）选①，利用正弦定理的边角互化以及二倍角正弦公式即可求解；选②，利用正弦定理的边角互化即可求解；选③，利用三角形的面积公式以及余弦定理即可求解.（2）根据同角三角函数的基本关系求出，再根据正弦定理可得，求出，利用三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）选①，由正弦定理，则，又，所以，解得.选②，，因为，所以.选③，，因为，所以.（2），又，解得，，由（1），由正弦定理，即，整理可得，又，解得，.30．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足：.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可求的大小;（2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合正弦函数的性质可求其取值范围.【详解】（1）由可得即，故，，.（2）由正弦定理可得：，，，，，所以.的周长的取值范围是.【点睛】方法点睛：在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.31．在中，角的对边分别为，，，且为锐角．（1）求角的大小；（2）若的面积为，角的平分线交于点，求的长．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根据余弦二倍角公式，可解得的值，则角的大小可求；（2）利用面积公式解得，由余弦定理解得，再结合正弦定理即可求得结果．【详解】（1）∵，∴，即，解得，∵为锐角，∴；（2）由题意知，得在中，由余弦定理得，故设，在中，由正弦定理得①，在中，由正弦定理得②，联立①②得，又，所以．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系，题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理，应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围．32．在①，，②，成等差数列，③，的面积为这三