用向量讨论垂直和平行-课件

2.4用向量讨论垂直与平行

2.4用向量讨论垂直与平行

—.平行与垂直关系的向量表示1.平行关系设直线l，m的方向向量分别为

，，平面，的法向量分别为，线线平行线面平行面面平行点击点击点击—.平行与垂直关系的向量表示1.平行关系设直线l，m的方向向2.垂直关系设直线l，m的方向向量分别为

，，平面，的法向量分别为，线线垂直线面垂直面面垂直点击点击点击练习：完成成才之路预习效果展示2.垂直关系设直线l，m的方向向量分别为，

平面的法向量就是平面法线的方向向量，因此可以先确定平面的法线，再取它的方向向量．也可以直接判定向量与平面内的两条相交直线垂直，而得到平面的法向量．确定平面的法向量通常有两种方法：(1)几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直；(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量．3.确定平面的法向量平面的法向量就是平面法线的方向向量，因此可以先用向量讨论垂直和平行-课件3.三垂线定理3.三垂线定理用向量讨论垂直和平行-课件

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．线面平行二.堂典例训练 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个面的中心．求证：平面EFG∥平面HMN.面面平行[分析]

用向量证明面面平行有两个途径：利用面面平行的判定定理，即证明一个平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面；证明两个平面的法向量平行． 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件[总结反思]

证明面面平行的向量方法有两种：第一种是分别求出两平面的法向量，再证明两法向量平行；第二种是证明一个平面有两不共线向量平行于另一平面，转化为线面平行的问题．用向量讨论垂直和平行-课件在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为C1D1、B1C1、CC1的中点．求证：平面A1DB∥平面EFG.[证明]

以D为原点，直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为C1D用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．[分析]

可以从纯几何的角度和向量运算的角度进行证明．线面垂直[解析]

证法一：如图，取A1B1的中点G，连接EG，FG，A1B，则FG∥A1D1，EG∥A1B． 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件[总结反思]

用向量法证明线面垂直的方法与步骤(1)基向量法①确定基向量作为空间的一个基底，用基向量表示有关直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的方向向量，并分别用基向量表示；③分别计算有关直线的方向向量与平面相交直线的方向向量的数量积，根据数量积为0，证得线线垂直，然后由线面垂直的判定定理得出结论．[总结反思]用向量法证明线面垂直的方法与步骤(2)坐标法方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；④分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求出平面的法向量；④判断直线的方向向量与平面的法向量平行．(2)坐标法用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件

在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE：EC＝PF:FB＝1:2.求证：平面GEF⊥平面PBC．

面面垂直[证明]

证法1：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件[证明]

∵FA⊥平面ABCD，∴FA⊥AD，FA⊥AB，又AD⊥AB，∴AF、AD、AB两两垂直．如图，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB＝1，[证明]∵FA⊥平面ABCD，∴FA⊥AD，FA⊥AB，又用向量讨论垂直和平行-课件

如图，在棱长AB＝AD＝2，AA1＝3的长方体AC1中，点E是平面BCC1B1上的一个动点，点F是CD的中点．试确定点E的位置，使D1E⊥平面AB1F.探索性问题 如图，在棱长AB＝AD＝2，AA1＝3的长方体AC1中，点用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，DD1上是否分别存在点E，F，使得B1E⊥平面ABF，若存在，请证明你的结论，并求出E，F满足的条件；若不存在，说明理由．[误解]

若在建系不恰当，则会导致运算烦琐，甚至出错，致使结论错误；若不知如何把线面的位置关系转化为向量之间的关系，则本例无法继续求解．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，DD1[正解]

建立如图空间直角坐标系，[正解]建立如图空间直角坐标系，[总结反思]

1.准确确定点的坐标认真审题，分清题设条件，建立适当的空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标及合理设出待定点的坐标，本例中E，F要在正方体的棱上，其坐标必需满足条件h，m∈[0,1]．2．合理转化已知条件根据题设条件，将几何关系转化为向量关系，准确运用向量运算解答．例如本例中②处的转化．[总结反思]1.准确确定点的坐标用向量讨论垂直和平行-课件lmlmll用向量讨论垂直和平行-课件lmlmll用向量讨论垂直和平行-课件2.4用向量讨论垂直与平行

2.4用向量讨论垂直与平行

—.平行与垂直关系的向量表示1.平行关系设直线l，m的方向向量分别为

，，平面，的法向量分别为，线线平行线面平行面面平行点击点击点击—.平行与垂直关系的向量表示1.平行关系设直线l，m的方向向2.垂直关系设直线l，m的方向向量分别为

，，平面，的法向量分别为，线线垂直线面垂直面面垂直点击点击点击练习：完成成才之路预习效果展示2.垂直关系设直线l，m的方向向量分别为，

平面的法向量就是平面法线的方向向量，因此可以先确定平面的法线，再取它的方向向量．也可以直接判定向量与平面内的两条相交直线垂直，而得到平面的法向量．确定平面的法向量通常有两种方法：(1)几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直；(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量．3.确定平面的法向量平面的法向量就是平面法线的方向向量，因此可以先用向量讨论垂直和平行-课件3.三垂线定理3.三垂线定理用向量讨论垂直和平行-课件

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．线面平行二.堂典例训练 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1；(2)求证：AC1∥平面CDB1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个面的中心．求证：平面EFG∥平面HMN.面面平行[分析]

用向量证明面面平行有两个途径：利用面面平行的判定定理，即证明一个平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面；证明两个平面的法向量平行． 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件[总结反思]

证明面面平行的向量方法有两种：第一种是分别求出两平面的法向量，再证明两法向量平行；第二种是证明一个平面有两不共线向量平行于另一平面，转化为线面平行的问题．用向量讨论垂直和平行-课件在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为C1D1、B1C1、CC1的中点．求证：平面A1DB∥平面EFG.[证明]

以D为原点，直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为C1D用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．[分析]

可以从纯几何的角度和向量运算的角度进行证明．线面垂直[解析]

证法一：如图，取A1B1的中点G，连接EG，FG，A1B，则FG∥A1D1，EG∥A1B． 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件[总结反思]

用向量法证明线面垂直的方法与步骤(1)基向量法①确定基向量作为空间的一个基底，用基向量表示有关直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的方向向量，并分别用基向量表示；③分别计算有关直线的方向向量与平面相交直线的方向向量的数量积，根据数量积为0，证得线线垂直，然后由线面垂直的判定定理得出结论．[总结反思]用向量法证明线面垂直的方法与步骤(2)坐标法方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；④分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求出平面的法向量；④判断直线的方向向量与平面的法向量平行．(2)坐标法用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件

在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE：EC＝PF:FB＝1:2.求证：平面GEF⊥平面PBC．

面面垂直[证明]

证法1：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件用向量讨论垂直和平行-课件[证明]

∵FA⊥平面ABCD，∴FA⊥AD，FA⊥AB，又AD⊥AB，∴AF、AD、AB两两垂直．如图，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB＝1，[证明]∵FA⊥平面ABCD，∴FA⊥AD，FA⊥AB，又用向量讨论垂直和平行-课件

如图，在棱长AB＝AD＝2，AA1＝3的长方体AC1中，点E是平面BCC1B1上的一个动点