2022-2023学年数学人教A版必修一单元卷第四章 指数函数与对数函数（通关解析版）

2022-2023学年数学人教A版2019必修一单元卷第四章指数函数与对数函数一.指数与指数函数(-)指数.根式的概念：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作我=0。注意：(1)(标)"=4(2)当n是奇数时，V7=a，当n是偶数时，海 八.分数指数基正数的正分数指数基的意义，规定：a”=V而(〃>0,6,〃£N*,且〃>1)21正数的正分数指数基的意义：a”=7(。>0,机,〃£N*,且〃>1)an0的正分数指数基等于0,0的负分数指数幕没有意义3.实数指数幕的运算性质aras=ar+x(a>0,r,5g/?)(ar)s=(a>0,r,sgR)(ab)r=arbr(a>0,fr>0,rg7?)题型一：根式的化简求值例1：下列运算中正确的是()A.{(2一兀)2=2-乃B.=4-aC.(小〃=~TD.["五)戊=f【答案】C【详解】对于A,2-pv0,所以J(2『=万一2,错误；对于B,因为一~->0»所以avO,则aj—■-=—(—«)-J——=—y/—a»错误；对于D,仅呷+°=产2=上，错误.故选：C.举一反三I.式子后汨（m>0）的计算结果为（）A.1 B.用药 C.fr^2 D.m【答案】D2・化简Jl1+6五= -【答案】3+V2##V2+3【详解】Jll+60=J（3+&『=3+JL故答案为:3+&.题型二：指数幕的运算例2：计算:-（彳），+（1.5尸=一.【答案】^-##0.5故答案为：y举一反三1.（多选）下列化简结果中正确的有（机、〃均为正数）（ ）（］Y*/、“ fa,〃为奇数【详解】A.彦）=（«-"）=「，故正确；B.后心，〃为偶数，故错误,C.=^la^»故错误；D.(4一3.14)°=1,故正确.故选：AD2.计算：1n3-- .(1)(2-)2-(-9.6)°-(3-)3+(1.5)-2；4 8(2)Vm7-(^)°+025；x(-ZL)-(2)Vm7-(|)°+0.25=x=(2)Vm7-(|)°+0.25=x=-4-1+7025x(-72)4=-3题型三：分数指数幕与根式的互化例3：已知%b为正数，化简孚,后=【答案】■【详解】原式=是0=。轴.故答案为:嵩〉b-b'举一反三1.2；=()A.1B.啦 C.\[5 D.>/5【答案】B【详解】2-L:啦.故选：B.2.若10x=2,贝hod等于（）A.8B.—8 C.- D.—8 8【答案】C【详解】•,-101fp3x ] 1 1『2,则1°=”厂2广8・故选：C.题型四：指数黑的化简、求值例4：化简：2 +(X1)+(x2),并求当X—G+1时的值.x"-3x4-2【详解】由一X1 / [\_|/c、o 1 1 [l+x—2+x2-3x4-2r +(X-1)+(X-2)= + +1= 2-3x+2 (x-1)(x-2)x-\ (x-1)(x-2)%2—2x+1x-1(x-l)(x-2：)x—2X=\/5+1时,庐4V3+1-1G 3+G原双=L =r- =J3+1-2V3-1 2举一反三已知a+qT=3,则/+/= •【答案】有【解析】【详解】1 _2 1 」 ||e1J.a+a~'={a2+a2）2-2=3'（a2+a2）2=5'\-a^+a>0'"•：+a=-45-二指数函数.指数函数定义：一般地，函数y=a*（。>0且。#1）叫做指数函数，其中x是自变量，a叫底数，函数定义域是R..指数函数y=a*在底数a>l及0<a<l这两种情况下的图象和性质：3.与指数函数相关的定义域及值域问题（1）求由指数函数构成的复合函数的定义域时，可能涉及解指数不等式（即未知数在指数上的不等式），解指数不等式的基本方法是把不等式两边化为同底数累的形式，利用指数函数的单调性将累的形式转化为熟悉的不等式.（2）求由指数函数构成的复合函数的值域，一般用换元法即可，但应注意中间变量的值域以及指数函数的单调性。4.指数式的大小比较（1）比较同底不同指数幕的大小，利用函数单调性进行比较（2）比较不同底同指数'暴的大小，可利用两个不同底指数函数图象间的关系，结合单调性进行比较.（3）比较既不同底又不同指数塞的大小，可利用中间量结合函数的单调性进行比较.题型一：指数函数的概念例5：函数y=（a-2>，是指数函数，则（ ）A.a=l或a=3 B.a—\ C.a=3 D.a>0且awl【答案】C【详解】由指数函数定义知（a-2）2=l,同时a>0,且所以解得a=3.故选：C【详解】由题J-Z-NO,即即2-3221，8 8因为y=2'为单调递增函数，所以—32x—l,即xW-2故答案为：(7,-2]举一反三.已知函数/(x)=j2、-a的定义域为[2,内),则“=.【答案】4【详解】由题意可知，不等式2、-。20的解集为[2,+8),则2?-a=0,解得〃=4,当。=4时，由2、-420,可得2*24=22，解得》22,合乎题意.故答案为：4..函数〃x)=2，+曲二匚的定义域为.【答案】卜2,0)5。,2],、 f4—x2>0解：要使/'(X)有意义，贝X：；解得—2Mx42,且XK0；・J(x)的定义域为[-2,0)5。，2].故答案为：[-2,0)5。，2]题型四：指数函数的值域例8：函数g(x)=2：(x>0)的值域为.【答案】(1,一)【详解】当x>0时，^>0,则g(x)=2：>20=l，故函数g(x)的值域为(1，e).故答案为：(1,+<»).举一反三函数丫=，-2(。>0且〃*1,-14》41)的值域是-1,1,则实数。=—.【答案】3或g【详解】当。>1时，函数y=，-2(a>0且”#1,-14x41)是增函数，r \ [1_2=_5••值域是[白一'一2,a-2j,a3=0=3；a-2=l当Ovavl时，函数y=优一2(。>0且4H1，-1VxKl)是减函数，••值域是[a-2,a「2],/.•a5=>«=-.a—2=—

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综上所述，可得实数a=3或;.故答案为：3或1题型五：指数函数的单调性例9：不等式3启尔>32-恒成立，则。的取值范围是.【答案】(-2,2)解：因为y=3*在R上递增，所以不等式3内">32i-2恒成立，BPx2+ar>2x+6/—2»恒成立，亦即x2+(a—2)x—a+2>0恒成立，则△=(〃—2y—4(—a+2)vO,解得-2<av2,故〃的取值范围是(一2,2).故答案为：(一2,2)举一反三.求函数y= +17的单调区间.【详解】设>0,又y=r-8/+17=(r-4)2+l在(0,4]上单调递减，在(4,+oo)上单调递增.令(£)<4,得.之一2,令得x<—2.而函数f=(；J在R上单调递减，所以函数y=(；1-8(；J+17的增区间为[-2,+00),减区间为(，》,-2).故答案为：增区间为“2,+8),减区间为(-8,-2).已知函数/Xx)=x+工，g(x)=r+a,若-.1,3x2e[2,3],使得则实数a的取值X 一范围是()A.；,+8) B. C.[-3,+oo) D.[1,+<»)【答案】A解：Vx,gpl,3x2g[2,3],使得f(w)4g«),等价于,训w[2,3],/(%)1nM4g(毛)，由对勾函数的单调性知/(x)=x+±在[1上单调递减，所以八成xL2」 2又8。)=2*+4在[2,3]上单调递增，所以g(x)a=2,+a=8+a,所以：48+a,解得所以实数a的取值范围是；,+8).故选：A.题型六：指数函数过定点问题例10：函数y=a""+l,(a>0且4X1)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是( )A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

【答案】B解：令x-l=O,解得x=l,所以当x=l时，y=^l+l=a0+l=2,所以函数丫=。1+1过定点（1,2）.故选：B举一反三1 2函数丫=。”'+1图象过定点A,点A在直线加+政=3（〃1>1,〃>0）上，则^~；+—最小值为 .m-\n9【答案】-##4.52【详解】当％=1时，y=a°+l=2,.・.y=〃i+l过定点A（l,2）,又点A在直线的+〃y=3匕:.m+2n=3,B|J（/w-l）+2n=2,•：m>\.n>0,...加一1>0,+沁土+淤-1）+2〃）毛（5+念2（m+沁土+淤-1）+2〃）毛（5+念--卜不5+2J-一L=>（当且仅当TOC\o"1-5"\h\zn2 V/?i—1 n27\/念=中，即噜（〃号时取等号），1 2… 9」7+上的最小值为）m—\n 2q故答案为：-.题型七：指数函数中的参数问题例11：已知函数/（x）=S1+a为奇函数，则方程f（x）=；的解是x=.【答案】-1【详解】因为函数f（x）=±+a为奇函数，故/（0）=±+。=0,解得〃=-3,故〃力=；即上-：=，故3（3，+1）=4,解得x=T3+124 ' '故答案为：-1举一反三4'-2x+2+m^x<0已知/（x）=< | 的最小值为2,则m的取值范围为 x+—,x>0.x【答案】［5,+8）【详解】当x>0时，X+—>2./X--=2,当且仅当*=,，即x=l时取"=",当X40时，0<2x<l,4I-2x+2+m=（,2I-2）2+m-4,当2"=1，即x=0时，4*-2川+机取最小值机-3,4v-2x+2+/n,x<0因/"）=< 1八 的最小值为2,于是得根一3N2,解得山25,x+—,x>0:X所以m的取值范围为［5,+8）.故答案为：［5,+8）题型八：指数函数实际应用例12：企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P（单位：mg/L）与时间r（单位：h）间的关系为（其中尼，女是正的常数）.如果在前10h消除了20%的污染物，则20h后废气中污染物的含量是未处理前的（ ）A.40% B.50% C.64% D.81%【答案】C【详解】当f=0时，「=兄；当t=10时，（1一20%）4=用『°",］ J_即「。*=0.8，得-*=0.8而，所以尸=?户"=4k-*）'=0.8而4；20当，=20时,p=0.8*»/>=0.64/»-故选：C举一反三我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间r（单位：h）的变化用指数模型c（r）=c°e”描述，假定某药物的消除速率常数k=0.1（单位：h1），刚注射这种新药后的初始血药含量c0=2000mg/L,且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：In2x0.693,In3*1.099）A.5.32h B.6.23h C.6.93h D.7.52h【答案】C解：由题意得：c（t）=coe=2000e"'"设该要在机体内的血药浓度变为l（）00mg/L需要的时间为乙c（/,）=2000e^1,1>1000>12故-O.ltN-In2,t< »6.93故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93〃故选：C

二.对数与对数函数对数.对数的概念：一般地，如果优=N，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x=log“N（a—底数，N—真数，log〃N一对数式）说明：1.注意底数的限制，a>0且#1；2.真数N>03.注意对数的书写格式.2、两个重要对数：（1）常用对数：以10为底的对数，logmN记为IgN；（2）自然对数：以无理数e为底的对数的对数，log,N记为InN.3、对数式与指数式的互化x=lognN=■a*=N对数式指数式对数底数一a-基底数对数一X—指数真数-N一幕结论：（1）负数和零没有对数2）logaa=1,logal=0特别地，lgl0=l,lg1=0,lne=1,In1=0（3）对数恒等式：i=n例1：1.已知（⑹”=8,则。噫3=（ ）A.6 B.-6 C.8 D.-8【答案】B【详解】由（6/=8,得-圻嘎⑶所以a=-21og,8,所以alog,3=-21og38xlog,3=-2x-^—x-^—=-6ln3ln2故选：B2.设。=log34,贝lj32°=.【答案】16【详解】由。=log34得邛=4J2"=16.故答案为：16举一反三.十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化大数运算而发明了对数，后来瑞士数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即a"=Nob=log“N（々>0且awl）,已知加=log63,6"=12,则加+〃=（ ）1【答案】B21【答案】B234【详解】因为6"=12,所以〃=log612,乂因为机=log63,所以帆+〃=log612+log63=log636=2,故选：B..方程ln(log3X)=0的解是( )A.1 B.2【答案】DC.e D.3【详解】ln(log3X)=0,log,x=e°=1,：.x=3.故选：D.对数的运算性质如果a>0,a#1,M>0,N>0有：1、logf((M•N)=loguM+log„N两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和2、log“9=l°g“MT°g“N两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差3、logflMn=nlogttA/(neR)说明：一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍1）简易语言表达:''积的对数=对数的和”……2）有时可逆向运用公式3）真数的取值必须是（0,+8）4）特别注意：log“MNHloguMlog„Nlog„（M土N）xlog,,M±logf,N例2：1.计算：21g6_lg4^=（ ）A.10 B.1【答案】BC.2 D.Ig5【详解】21gV5-lg4-i=lg(x/5)2+lg>/4=lg5+lg2=lglO=l-故选：B.计算：1.1°+即2-0.5-2+至25+2恒2=( )A.0 B.1【答案】BC.2 D.3解：l.l°+e,n2-0.5-2+lg25+21g2=l+2-4+2Ig5+21g2=-l+21g(5x2)=-l+2=l故选：B.计算：21og93+log,15-log,5=.

1 15解：2log93+log,15—log35=2x—+log3—=14-1=2,故答案为：2..计算(l)log3x/27+lg25+lg4+7啕2+(-9.8)°所以：=log疝2,(=108.5,lg8lg8+®251ig>Aoigo.i-log23xlog,4.【解析】(l)log3历+1g25+1g4+【解析】(l)log3历+1g25+1g4+7,叫2+(-9.8)°3=log332+lg52+lg22+2+llg(8xl25)⑵原式="D-log,3x1^2^=-6-2=-8

"bg?3举一反三1.计算：eln2+(log23).(log34)=.【答案】4【详解】—(喝3>叱4)=2+肾,2+血4=2+2=4,故答案为：42.计算log327+1g25+1g4+log42=.【答案】—##5.5【详解】log?27+1g25+1g4+log42=log333+lg(25x4)+^=3+2+^=y.故答案为：2.若lg5-lg3+lgm=l,则加=【详解】Ig5-lg3+lg/n=lg—=lgl0,BP^=10,可得机=6故答案为：6.计算下列各题：.- 1 1(1)已知2"=5〃=可，求一+；•的值：

ab⑵求⑵Og&3+logg3)(log,2+log,2)的值.解：因为2"=5"=加，所以a=log2>/i5、b=log5Vi0.所以4+：=log而5+log而2=log而(5x2)=log而10=log,10=2log1010=2；ab 102⑵解：(21吗3+1嗝3)(1幅2+1唱2)=(21og2,3+log2,3)(log32+log3?2)=(|噫3+glog?3jlog,2+glog,2)4 3=3log23-log32”g3lg2.lg2lg3换底公式log,,b= =用(a>0,aw1,c>0,cHl,b>0)log,。Iga利用换底公式推导下面的结论TOC\o"1-5"\h\z, . 1 几①logab= ②log,*•log/,C^\ogtd=log”d③logbn=—log。blog/ "in例3：1.已知log23=〃，则下列能化简为丁，的是（ ）1+2aA.log8：3 B.咻3C.log186D.log123【答案】B【详解】对于A,loggbnlog?、3=；log23=；a,A错误；对于B,.ilog23log183=,°；c=log：3 _log23_a,B正确；log218log22+21og23l+21og23\+2a对于C,,jlog,6log,K6= =log22+log231+log23 1+4，C错误；logJ8log22+21og23l+21og23l+2a对于D,,二log23logp3=,"=log；3log23_aD错误.log,12210g22+log?32+log232+a故选：B.2.(log23-log83)(log,2+log92)=.(用数字作答)【答案】1【详解】械23T°gg3)(log32+log92)=(1唱3-警!)(1吗2+警!)log,8 log391 1 7 3=(log,3--log,3)(log,2+-log,2)=-log23x-log,2=1.故答案为：1举一反三1.计算：2(log43+log83)(log32+log92)=5【答案】-##2.5【详解】2(log43+logK3)(log,2+log,2)=2^-^-^+-^-^Jlog,2+=2[7F^5+;^r^5ilog32+llo8,2>l=2x^x'F_7xIx,og32=I；<21og32310g32八 2J6log,22 2故答案为：I".2.计算：eM2-log531og925等于.【答案】1【详解】e'n2-log,31og925=2-"空=2-1=1.In521n3故答案为：1.对数函数.对数函数的概念：一般地，形如旷=1/“*(。>0且4*1)的函数叫对数函数..对数函数旷=1。8“尤(。>0且。*1)的图像和性质。y=1咀xa>la<\图像1°心。)—<O(16 性质(1)定义域：(。,+8)(2)值域：R(3)图像过定点：(1,0)(4)在(0,+8)上是增函数(1)定义域：(0,+8)(2)值域：R(3)图像过定点：(1,0)(4)在(0,+8)上是减函数3.指对数函数性质比较图象特征函数性质共性向X轴正负方向无限延伸函数的定义域为R函数图象都在X轴上方函数的值域为R+图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都过定点(0,1)过定点(0,1)0<a<l自左向右看，图象逐渐下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都小于1当x>0时,0vyvl;在第二象限内的图象纵坐标都大于1当x<0吐图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢：a>l自左向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1当x>0时,y>l;在第二象限内的图象纵坐标都小于1当x<0时,0<y<l图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快：.反函数：一般地，设A,B分别为函数y=/(%)的定义域和值域，如果由函数y=f(x)可解得唯一x=(p(y)也是一个函数(即对任意一个ywB,都有唯一的xeA与之对应),那么就称函数x=°(y)是函数y=/(x)的反函数，记作x=/一|(旷).在％=/T(y)中，y是自变量,x是y的函数，习惯上改写成、=/T(x)(xe8,yeA)的形式.指数函数y=a*(a>0,且aWl)与对数函数y=log“x(a>0,且aH1)互为反函数，互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。注意：指数增长模型：y=N(l+p)x 指数型函数：y=kax考点：(1)ab=N,当b>0时，a,N在1的同侧；当b<0时，a,N在1的异侧。(2)指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幕的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进l(=a。)进行传递或者利用(1)的知识。(3)求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。(4)分辨不同底的指数函数图象利用a』a,用x=l去截图象得到对应的底数。.与对数函数有关的函数的定义域(1)对数函数y=bg“x的定义域为(0,+8)。f(x)>0,(2)形如y=logg“)/(x)的函数，定义域由，g(x)>0,来确定。.g(x)+1(3)形如y=/(log,,x)的复合函数在求定义域时，必须保证每一部分都要有意义。.对数式的大小比较：(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较.(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论(分0<a<l,a>l).(3)若底数不同、真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以画出对数函数的图象，再进行比较。(4)若底数与真数都不同，则常借助0,1等中间值进行比较。题型一：对数函数的概念例4：下列函数中，是对数函数的是（ ）A.y=logxa（x>0且；#1）B.y=log2X_1C.y=\gx2D.y=log5X【答案】D【详解】A、B、C都不符合对数函数的定义，只有D满足对数函数定义.故选：D.举一反三若函数/（x）=a\a>0,aw1）的反函数的图像经过点（4,2）,则a=.【答案】2解：因为函数/（外=，3>0,。片1）的反函数为丁=108“1，所以log“4=2,即6=4,所以。=2或。=一2（舍去）；故答案为：2题型二：对数函数的定义域例5：函数/（x）=j2-x+lnx的定义域为（）A.（2,+oo） B.[0,2） C.（0,2] D.[0,2]【答案】CP2-y>ofx<2【详解】要使函数解析式有意义，需满足/'=>一二解得:xe（0,2].[x>0 [x>0, 」故选：c举一反三.函数y=iog5*2-x-2）的定义域是.【答案】｛X|x>2或x<-l｝解:由V-x-2>0,解得x>2或x<-l,故答案是｛x|x>2或.已知函数y=lg（Jx2-x+l+or）的定义域是R,则实数a的取值范围是一.【答案】（-争解：•.•函数y=lg（Jf_工+]+办）的定义域是R，・・・，入2_工+1+。%>（）对于任意实数X恒成立，即arAf/f-x+l对于任意实数x恒成立,当x=0时，上式化为0>-1,此式对任意实数。都成立；当心>0时，则,X VX2XVx>0, >0,则4+1=（，）2+T-T'xxxx2 44则-、U」+iwg可得心一立；\x2x2 2当x<0时，则玄—x+l=/_*_1+1,—XVx~XVx<0,.-.-<0,则与-!+1=（'-1尸+3>1,x X-xx2 4则可得gl.V.v~x综上可得，实数”的取值范围是卜孝,1.故答案为：卜等」.题型三：对数函数的值域例6：已知函数，（x）=lg（x2+l）,x«—l,3],则〃x）的值域为（ ）A.[0,+巧 B.[0,1） C.[Ig2,l] D.[0,1]【答案】D【详解】因为xw[-1,3],所以f+141,10],所以/（力=怆（/+1）目0』，故选：D举一反三.函数丫=叫|'-6'+10）的值域是.2【答案】（,,0]【详解】令，=W-6x+10，则y=bg/，因为f=W-6x+10=（x-3尸+121,2所以r=W-6x+10的值域为U,+8）,因为产唾『在U,+8）是减函数，2所以y=log『GogJ=0,所以k1唱,-6x+10）的值域为y,o],2 2 2故答案为：（7,0].若函数/（x）=l°g,（加+'+2）的最大值为0,则实数。的值为.2【答案】74a>0【详解】因为/（X）的最大值为0,所以a（x）="+x+2应有最小值1,因此应有<8。-1t解得。=9.——=1, 4I4。故答案为：—.4题型四：对数函数的图像例7：已知函数"x)=log“(x-。)(a>0且axl,a,b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是()C.0<a<l,Z?<—1 D.0<a<l,—1</?<0【答案】D【详解】因为函数/(x)=log“(x-b)为减函数，所以0<“<1又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以x=l+6>0,即匕>-1又因为函数图象与y轴有交点，所以6<0,所以-l<b<0,故选：D举一反三函数与g(x)=-iog,x的大致图像是( )【答案】A解：因为在定义域R上单调递减,又g(x)=-log4x=lo&,x=log/，所以g(x)在定义域(o,y)上单调递减，故符合条件的只有A：故选：A题型五：对数函数的单调性例8：1.满足函数/(x)=ln(,nr+3)在(-00,1］上单调递减的一个充分不必要条件是()A.―4Vmv—2 B.-3v机v0 C・~4v/nv0 D.—3v，〃v—1【答案】D解：若/(x)=ln(〃a+3)在(yo,1］上单调递减，则满足6<0且机+3>0,即川<0且血>一3,则一3<0,即fM在（田』上单调递减的一个充分不必要条件是-3<-1,故选：D.2.已知kg->1,则实数。的取值范围为.【答案】康）.解：当0<“<1时，由 可得logj>log“"，解得g<a<l：l_ ]_ / 1 …'与4>1时，108/>1，可得logj>log：，得“<§，不满足4>1，故无解.综上所述4的取值范围为：（（I）.故答案为：（J1）.举一反三.若/。）=[，一"）:""「是定义在R上的增函数，实数〃的取值范围是（[logflx+3,x>lA.[1,5] B.■|,5）C.加 D.（1.5）【答案】B【详解】因为小）=卜一"）’「x1是定义在r上的增函数，[logttx+3,x>l6-〃>1所以，a>l ,解得34a<5,2logdl+3>（6-a）-tz故选：B2.函数y=l°g|（3x-l）的单调递减区间为2【答案】[*8）【详解】函数y=i°g；（3x-i）的定义域为（；,+8）又yT°g1（3xT）是由y=l°g[“与"=3x-l复合而成，2 2因为外层函数y=1°gi"单调递减，所以求函数丫=1°8|（3、-1）的单调递减区间即是求内层函数w=3x—1的2 2增区间，而内层函数〃=3x—l在+8）上单调递增，所以函数尸黑（31）的减区间为+8）故答案为：(；，+8)题型六：反函数例9：已知函数/(x)=l+log2X,它的反函数为y=fT(x),则/'(3)=.【答案】4【详解】因为f(x)=l+log2X，所以令f(x)=l+log2X=3,解得x=4,根据互为反函数之间的关系，可得r'(3)=4.故答案为：4.举一反三已知演，々分别是方程e*+x-2=0,lnx+x-2=0的根，则为+*2=( )A.1 B.2 C.72 D.V2+1【答案】B【详解】由题意可得演是函数y=e，的图象与宜线y=-x+2交点A的横坐标，巧是函数y=lnx图象与直线丫=-工+2交点8的横坐标，因为y=e、的图象与y=Inx图象关于直线y=x对称，而直线y=-x+2也关于直线y=x对称，所以线段AB的中点就是直线y=-x+2与y=x的交点，由卜'，得I二，即线段AB的中点为(U),所以±中=1,得%+%=2,[y=-x+2 [y=l 2故选：B题型七：对数函数的应用例10：人们常用里氏震级表示地震的强度，入表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为2 -A/f=-lgE,-4.8,2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏4.2级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏6。级地震，则后者释放的能量大约为前者的()倍.(参考数据：1003~2.00,10°7=5.01)A.180 B.270 C.500 D.720【答案】C【详解】设前者、后者的里氏震级分别为用:、前者、后者释放出的能量分别为E、E",则其满足关系%'=；lg-4.8和M；=|IgE：-4.8,两式作差可以得到-M；=-lgE；--lgEt,,F“ 尸”即—=1027,所以t=1()27=103+10°3=500,故选：C.E, E,举一反三(多选)某学校为了加强学生核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，让学生以函数”力=电热为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下，其中研究成果正确的是()A.函数/(力的定义域为(T1),且f(x)是偶函数B.对于任意的xe(Tl),都有含)=2〃x)C.对于任意的a,都有/(。)+/伍)=/(霖)D.对于函数/(x)定义域内的任意两个不同的实数々，々，总满足坐彳回＞。【答案】BC【详解】A：由产＞0,解得xw(-lj),故f(x)的定义域为(-。).又〃-x)=lgg=-lg8=-/(x),.•.〃x)=lgF为奇函数,故错误.1+XI2x, /. -(lx\.V2+1.X2-lx+1.(X—1) 1—XccI\J,&B：由/-^―=lg—七＞=lgkw--=lg； 77=21g--=2/(x),故止确.(X+U]I2xx-+2x+\ (X+1) 1+Xx2+lr(xx,I—a 1—b (l-0)(l-0)c：/(a)+/(/?)=ig-—+ig—=ig)-~,, 1+47 1+b (l+a)(l+b)a+bf(=ig-■=1+而-(a+b)=(j)(1叫,+ah)]।a+＞ l+"+(〃+b) (l+a)(l+/?)+ab.•./(a)+/S)=/(需)故正确.i-lD：取A=:，9=0,则f(0)=lgW=0,/(']=lgT=lg：＜。，1+0 \^J ।A32A— ＜0,故错误.故选：BC.--02题型八：对数函数的过定点例11：(2022•上海市实验学校模拟预测)已知函数/(外=1+1。8“。-1)(4＞0且。*1)的图像恒过定点户，又点户的坐标满足方程加r+〃y=l,则机”的最大值为.【答案】1##0.1258

【解析】【详解】f(x)=l+bg”(x-l)(a>0且过定点(2,1),所以尸(2,1),所以2机+〃=1故2m+ =>mn<-,当且仅当/«=!，〃=:时等号成立.\2) 8 4 2故答案为：!8