2022年上海市春季高考数学试卷含答案解析

2022年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知z=2+i（其中i为虚数单位），则5=—..已知集合A=（-l,2）,集合B=（l,3）,贝！=-.不等式上1<0的解集为—.X.若tana=3,贝！Jtan（a+C）=..设函数f（x）=d的反函数为广|（幻，贝U/t（27）=..在（丁+工产的展开式中，则含1项的系数为.X X•若关于x,y的方程组［+ 2o有无穷多解，则实数，”的值为［znr+loy=8.已知在AA8C中，ZA=-,AB=2,AC=3,贝UA48C的外接圆半径为..用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为—.（用数字作答）10在A4BC中，NA=90。,AB=AC=2点M为边AB的中点点P在边8c上，则M户•（>的最小值为一..已知4（X|，x）,丫2）两点均在双曲线「：0-丁=1（。>。）的右支上，若中2>耳必矿恒成立，则实数”的取值范围为一..已知函数y=/（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x=l对称，且当xw（0,1］时，f（x）=Inx,若将方程/（x）=x+1的正实数根从小到大依次记为X1,々，X3,…，x“，则lim（xn+1-x„）=•n—x»二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.TOC\o"1-5"\h\z.下列函数定义域为R的是（ ）1 2 1A.y=x2 B. y=x"' C. y=x^ D.y=x^.若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是（ ）A.a+d>b+c B. a+c>b+d C. ac>bd D.ad>be.上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A.0 B.2 C.4 D.12.已知等比数列｛a.）的前"项和为S",前〃项积为T“,则下列选项判断正确的是（ ）A.若S2O22>S2O2,,则数列｛«„｝是递增数列B.若《但>%2一则数列｛。,,｝是递增数列C.若数列｛S,,｝是递增数列，则02g.smD.若数列｛7J是递增数列，则生磔-,⑼三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤..（14分）如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、0,,AA,为圆柱的母线，底面半径长为1.（1）若例=4,M为A4,的中点，求直线MO、与上底面所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）若圆柱过的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积..（14分）已知在数列｛4｝中，出=1,其前〃项和为5“.（1）若&｝是等比数列，$2=3,求limS.；“一►8（2）若｛4｝是等差数列，S3,求其公差”的取值范围.19.（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块,AB=30m,AD=15m.为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为Afi边上的点E,出线口为C。边上的点尸，施工要求所与封闭区边界相切，断右侧的四边形地块花将作为绿地保护生态区.（计算长度精确到0.1m,计算面积精确到0。/）（1）若ZA£>£=20。，求£F的长；（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20.(16分)已知椭圆「:二+丫2=1(“>1),a、B两点分别为「的左顶点、下顶点，C、a~D两点均在直线/:x=a上,且C在第一象限.(1)设厂是椭圆r的右焦点，且ZAFB=工，求「的标准方程；6(2)若C、D两点纵坐标分别为2、1,请判断直线4)与直线BC的交点是否在椭圆r上,并说明理由；(3)设直线4£>、BC分别交椭圆「于点P、点Q,若P、。关于原点对称，求|CD|的最小值.21.(18分)已知函数/(x)的定义域为R,现有两种对f(x)变换的操作：夕变换：/(x)-/(xt)；/变换："(x+r)-/(x)|,其中/为大于0的常数.(1)设f(x)=21r=l,g(x)为f(x)做/变换后的结果,解方程：g(x)=2；(2)设/(x)=x2,〃(x)为f(x)做。变换后的结果,解不等式：/(x)..A(x)；(3)设/(x)在(v,0)上单调递增，/(x)先做s变换后得到〃(x),“(X)再做。变换后得到%。)；/(X)先做3变换后得到心)，心)再做9变换后得到似X).若4(》)=也(用恒成立，证明：函数J\x)在R上单调递增.2022年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分).已知z=2+i(其中i为虚数单位)，贝陵=【思路分析】根据已知条件，结合共辗复数的概念，即可求解.【解析】z=2+i,z=2—i.故答案为：2—1.【试题评价】本题主要考查共辗复数的概念，属于基础题..已知集合A=(-l,2),集合8=(1,3),贝()40|8=_(1，2)_.【思路分析】利用交集定义直接求解.【解析】•.•集合A=(-l,2),集合8=(1,3),;.40|8=(1,2).故答案为：(1,2).【试题评价】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题..不等式上」<0的解集为_(0/)_.X【思路分析】把分式不等式转化为二次不等式即可直接求解.【解析】由题意得Mx-D<0，解得0<x<l,故不等式的解集(0,1).故答案为：(0,1).【试题评价】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题..若tana=3,则tan(a+工)=-2 .4一一【思路分析】由两角和的正切公式直接求解即可.tana+tan— 〔【解析】若tana=3,则tan(a+£)= £=若==_2.故答案为：-2.1-tanatan-x4【试题评价】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题.5.设函数f(x)=6的反函数为尸3,则尸(27)=3.【思路分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值.【解析】函数f(x)=M的反函数为尸(X),整理得尸(幻=哄；所以尸(27)=3.故答案为：3.【试题评价】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题..在(丁+工产的展开式中，则含二项的系数为66.X X【思路分析】求出展开式的通项公式，令X的次数为T,求出&的值即可.【解析】展开式的通项公式为九।=G：(V产"勺=3产』，由36-必=-4,得4%=40,X得％=10,即「=C；&Y=?■,即含，•项的系数为66,故答案为：66.【试题评价】本题主要考查二项式定理的应用，根据条件求出通项公式，利用x的次数建立方程是解决本题的关键，是基础题..若关于x,y的方程组。有无穷多解，则实数，”的值为4.[/nr+loy=8【思路分析】根据题意,分析可得直线x+my=2和jnr+16y=8平行，由此求出机的值，即可得答案.【解析】根据题意，若关于X,y的方程组有无穷多解，[侬+16y=8贝U直线工+冲=2和znr+16y=8重合，贝(]有1x16=/nxm,即=]6,解可得相=±4,当机=4时，两直线重合，方程组有无数组解，符合题意,当m=Y时，两直线平行，方程组无解，不符合题意，故加=4.故答案为：4【试题评价】本题考直直线与方程的关系，注意转化为直线与直线的关系，属于基础题..已知在AABC中，44=工，回=2,AC=3,则AABC的外接圆半径为 —.3 -3―【思路分析】直接利用正弦定理余弦定理的应用求出结果.【解析】在AABC中，ZA=-,AB=2,AC=3,3利用余弦定理BC-=AC2+AB2-2ABACcosA,整理得BC=",所以匹=2R,解得R=g.故答案为：竺.sinA 3 3【试题评价】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.9.用数字L2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为17.(用数字作答)【思路分析】根据题意，按四位数的千位数字分2种情况讨论，由加法原理计算可得答案.【解析】根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，当其千位数字为3或4时，有2阀=12种情况，即有12个符合题意的四位数，当其千彳谈字为2时，有6种情况，其中最小的为2134,则有6-1=5个比2134大的四位数，故有12+5=17个比2134大的四位数，故答案为：17.【试题评价】本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题.10在AABC中，ZA=90。，AB=AC=2点时为边AB的中点点P在边上^MPCP的最小值为-2.—8-【思路分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出M户•。户=2——3x，再利用二次函数求最值即可.【解析】建立平面直角坐标系如下，则8(2,0),(7(0,2),M(l,0),直线8c的方程为土+)=1,即x+y=2,22点P在直线上，设P(x,2-幻，MP=(x-1,2-x),CP=(x,-x),—•—- 。 3199MPCP=x(x-l)-x(2-x)=2x2-3x=2(x--^)2 ,

“户•丽的最小值为-2.故答案为：-？.【试题评价】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题.2.已知q(X［，x),A(%,%)两点均在双曲线「:之-丁=1(。＞。)的右支上，若为兑a'恒成立，则实数〃的取值范围为.【思路分析】取A的对称点6(七，-丫2)，结合中2＞丫访，可得。中。6＞。，然后可得渐近线夹角ZA/ON,,90。，代入渐近线斜率计算即可求得.【解析】设鸟的对称点A(x2,-%)仍在双曲线右支，由再毛〉丫跖，彳导与9—乂必＞0，即。门0耳＞0侬立，.•.々OR恒为锐角，即ZAOV,,90。，其中一条渐近线y=L的斜率1,a a：.a..\,所以实数"的取值范围为［1,+oo).故答案为：［1,+oo).【试题评价】本题考查了双曲线的性质，是中档题..已知函数y=/(x)为定义域为R的奇函数，其图像关于x=1对称，且当xe(0,1］时，f(x)=Inx,若将方程/(x)=x+1的正实数根从小到大依次记为外,马，匕，…，x“，则〃一＞«•【思路分析】f(x)是周期为4的周期函数，作出图象，1淅“T-天)的几何意义是两条渐n—x»近线之间的距离，由此能求出结果.【解析】••・函数y=/(X)为定义域为R的奇函数，其图像关于X=1对称，且当X€(0,1］时，f(x)=Inx,・•・/(X)是周期为4的周期函数，图象如图：将方程/（x）=x+l的正实数根从小到大依次记为X1,工2，刍，…，X〃，则lim（七讨-七）的几何意义是两条渐近线之间的距离2,lim（x„+l-xn）=2.“一►X故答案为：2.【试题评价】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图象、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.下列函数定义域为R的是（ ）1££A.y=x^ B.y=x~} C.y=x^ D.y=x2【思路分析】化分数指数鬲为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案.【解析】y=x2=-y=，定义域为{x|x>0},y=x-'=-,定义域为{x|xxO},Xy=X3=Vx,定义域为R,y=x2=«,定义域为{x|x..O}.,定义域为R的是了=x§.故选：C.【试题评价】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题.14.若a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是（ ）A.a+d>b+cB.a+c>b+d C.ac>bd D.ad>be【思路分析】根据已知条件，结合不等式的性质,以及特殊值法，即可求解.【解析】对于A,令a=2,b=l,c=-l,d=-2,满足〃>b>c>d，但a+d=b+c,故A错误，对于8,*:a>b>c>dtSPa>b,c>d,.•.由不等式的可加性可得,a+c>h+d,故3正确，对于C，令。=2,b=\,c=-ltd=-2,满足，但ac=bd,故C错误,对于。，令。=2,b—\,c=—1,d=—2,满足 ，但advbe,故。错误.故选：B.【试题评价】本题主要考查了不等式的性质，掌握特殊值法是解本题的关键，属于基础题.15.上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A.0 B.2 C.4 D.12【思路分析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直.【解析】3点时和9点时相邻两钟面上的时针相互垂直，・•.每天0点至12点（包含0点，不含12点），相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2,故选：B.【试题评价】本题考查两条异面直线垂直的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力，是中档题.16.已知等比数列｛4｝的前〃项和为5“，前〃项积为T„,则下列选项判断正确的是（ ）A.若S->5皿,则数列是递增数列B.若q22>q2一则数列仅“｝是递增数列C.若数列｛*｝是递增数列，则喂2-喂1D.若数列｛7；｝是递增数列，则限2-/以【思路分析】反例判断A；反例判断8；构造等比数列，结合等比数列的性质判断C；推出数列公比以及数列项的范围，即可判断。.【解析】如果数列4=-1,公比为-2,满足邑竣>Sq，但是数列｛4｝不是递增数列，所以A不正确；如果数列4=1,公比为，满足T2m2>,但是数列⑷｝不是递增数列，所以B不正确；2所以C不正确；数列｛I,｝是递增数列，可知7；>,可得4>1,所以5.1,可得02g-曝,正确，所以。正确；故选：D.【试题评价】本题考查数列的应用，等比数列的性质的应用，是中档题.三、简答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(14分)如图，圆柱下底面与上底面的圆心分别为O、a,M为圆柱的母线，底面半径长为1.(1)若A4,=4,M为9的中点，求直线MO,与上底面所成角的大小；(结果用反三角函数值表示)(2)若圆柱过OO|的截面为正方形，求圆柱的体积与侧面积.【思路分析】(1)转化为解直角三角形问题求解；(2)用圆柱体积和侧面积公式求解.【解析】(1)因为例为圆柱的母线，所以M垂直于上底面，所以乙MO\A是直线MOt与上底面所成角，tanZ.MOyA,=々"=y=2,所以NMC\A=arctan2.(2)因为圆柱过OQ的截面为正方形，所以仅=2,所以圆柱的体积为V=nrh=万•产•2=2万,圆柱的侧面积为S=2r〃=2乃•L2=41.【试题评价】本题考查了直线与平面成角问题，考查了圆柱的体积与侧面积计算问题，属于中档题.18.(14分)已知在数列｛q｝中，出=1,其前〃项和为S”.(1)若｛4｝是等比数列，52=3,求limS.；(2)若｛“"｝是等差数列，S2n..n,求其公差,/的取值范围.【思路分析】(1)由已知求得等比数列的公比，再求出前〃项和，求极限得答案；(2)求出等差数列的前2〃项和，代入S”.〃,对”分类分析得答案.【解析】(1)在等比数列｛。“｝中，=1,S2=3，则q=2,・•・公比q ，贝也=^5^=4(1-5),，limS〃=lim4(l )=4；M-X»2”(2)若5｝是等差数列,则s （%+—）・2〃=2而+（2_3d）〃..n.2即（3-2〃）4,1,当〃=1时，；当〃..2时,d...~?—恒成立，・・•一!—e[-l,0）,：.d..O.3-2〃 3-2〃综上所述,dW[。，1].【试题评价】本题考查等差数列与等比数列前〃项和，考查数列极限的求法，考查数列的函数特性及应用，是中档题.19.（14分）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设.如图是一处要架空线入地的矩形地块A8C£>,AB=30m,AID=\5m.为保护。处的一棵古树，有关部门划定了以。为圆心、D4为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区.若空线入线口为AB边上的点E,出线口为8边上的点尸，施工要求即与封闭区边界相切，所右侧的四边形地块BCPE将作为绿地保护生态区.（计算长度精确到O.lw,计算面积精确到0.01/）（1）若ZAD£=20。，求£F的长；（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？【思路分析】(1)作。所，然后结合锐角三角函数定义表示出所,(2)设/4£>£=，，结合锐角三角函数定义可表示4£,FH,然后表示出面积，结合同角基本关系进行化简，再由基本不等式可求.【解析】(1)作，垂足为H,则£F=£7/+HF=15tan20o+15tan50°B23.3ni；(2)设NA£)E=6»,则AE=15tand,F/7=15tan(9O°-2(9),snm^ADEF=2sMm+S.H=2x-xl5xlStand+-xl5xl5ton(9O°-26»),15,”ncc、15,__八,,\+tarT0x225cn1.225>/3=—(30tan0+15cot20)=—(30tan。+15x )= (3tan。+ : ,2 2 2tan64 tan83当且仅当3tan6=——，即tang=近时取等号，此时AE=15tan6=5G，最大面积为tan。 3

【试题评价】本题主要考查了利用基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是由实际问题抽象出数学问题，属于中档题.20.(16分)已知椭圆「:二+丁=1(°>1),A、8两点分别为「的左顶点、下顶点，C、a。两点均在直线/：x=a上,且C在第一象限.(1)设厂是椭圆「的右焦点，且=g,求「的标准方程；6(2)若C、D两点纵坐标分别为2、1,请判断直线4)与直线BC的交点是否在椭圆r上，并说明理由；(3)设直线AD、8c分别交椭圆「于点P、点Q,若P、Q关于原点对称，求18|的最小值.【思路分析】(1)根据条件可得tanZ/4F8=1,解出c,利用a2=A2+c2,求得。，即可C求得答案；(2)分别表示出此时直线8C、直线AD的方程,求出其交点，验证即可；(3)设尸(acosasin。),Q(-acos6,-sin。)，表示出直线 直线A。方程，解出C、D坐标，表示出|8|,再利用基本不等式即可求出答案.【解析】(1)由题可得3(0,-1),尸(c,0),因为乙1b因为乙1b8=工，所以tanZAF8=21 71—=tan一=所以。2=1+(百)2=4，故「的标准方程为三+y2=l；4(2)直线AD与直线BC的交点在椭圆上，由题可得此时A(-a,0),B(0,-l),C(a,2),D(a,l),(—)2则直线8C:y=3x-l,^AD:y=—x+-,交点为(包，-),满足』+a 2a2 5 5 a2故直线AD与直线BC的交点在椭圆上；(3)8(0,7),(3)8(0,7),P(acose,sin6),则直线BP:y=A(-a,O),0(-acos0,-sin0)，贝ll直线AQ:y=sin8+1acos®sin。acos0-ax-l,所以C(a,型也-1),cosO(x+a),所以£)(a,2s?&),， cos0—\所以|。|=包四_1-当咀cos。cos0-l2si/c°sg+s所以|。|=包四_1-当咀cos。cos0-l2 2 2 2 2 2一2,"2)e.->o一2,"22 2n设tan-=f，贝！J|C£>|=2(—+-)-2,2 \-tt则|CD|..6，即|8|的最小值为6.【试题评价】本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等式的应用，属于中档题.21.(18分)已知函数f(x)的定义域为/?,现有两种对f(x)变换的操作：e变换：fw-f(x-t)；0变换：\f(x+t)-f(x)\,其中/为大于0的常数.(1)设/(X)=2"r=l,g(x)为/Xx)做9变换后的结果，解方程：g(x)=2；(2)设f(x)=x2,4(x)为f(x)做co变换后的结果,解不等式:/(X)..〃(x)；(3)设/(x)在(v,0)上单调递增，/(x)先做e变换后得到心)，心)再做。变换后得到々(x)；/(x)先做0变换后得到u(x),v(x)再做9变换后得到似X).若々(x)=%(x)恒成立，证明：函数/(x)在R上单调递增.【思路分析】(1)推导出g(x)=f(x)-f(x-l)=2X-2'-'=2"t=