2022年北京市高考数学试卷含答案解析

2022年北京市高考数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。TOC\o"1-5"\h\z1.已知全集。={x|-3<xv3},集合A={x|-2V玉,1},则64=( )A.(-2,1]B.(-3,-2)|J|l,3)C.[-2,1)D.(-3,-2]J(1,3)2.若复数::满足i・z=3-4i,则|z|=( )A.1 B.5 C.7 D.253,若直线2x+y—1=0是圆(x-a)2+y2=i的―对翩由，贝|」々=( )A.- B.-- C.1 D.-12 24.已知函数/(x)=—!—,则对任意实数x，有( )14-2A.f(-x)+f(x)=0 B./(-x)-/(x)=0C./(-x)+/(x)=1 D.f(-x)-f(x)=15,已知函数/（幻=8§2工一§而2天，贝U（）TOC\o"1-5"\h\zA./（x）在（-巳,-工）上单调递减2 6B./（X）在（-?，2）上单调递增c.y（x）在（o,g上单调递减D.f（x）在£,女）上单调递增4 12.设他“｝是公差不为0的无穷等差数列，则“｛4｝为递增数列”是“存在正整数N。，当〃〉乂时，。“>0”的（ ）A.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和衣2的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是加厂.下列结论中正确的是（）A.当7=220,P=1026时，二氧化碳处于液态B.当7=270,尸=128时，二氧化碳处于气态C.当7=300,2=9987时，二氧化碳处于超临界状态D.当T=360,P=729时，二氧化碳处于超临界状态TOC\o"1-5"\h\z.(2x—I)4=qx'+ +叼*-+qx+%,则4+a,+q=( )A.40 B.41 C.TO D.Y1.已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是AABC及其内部的点构成的集合.设集合T={QwS|PQ.5},则T表示的区域的面积为( )3乃A,— B.n C.27V D.344.在AABC中，AC=3,5c=4,NC=90。.P为AABC所在平面内的动点，且PC=l,则丽•丽的取值范围是( )A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4]D.[-4,6]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。.(5分)函数=L+的定义域是—.X.(5分)已知双曲线y2+t=1的渐近线方程为v=±£x,则,”=_.m 3.(5分)若函数/(x)=Asinx-Gcosx的一个零点为彳，贝!|A=；/(^)=..(5分)设函数f(x)=[团:产<”‘若f⑶存在最小值，则"的一个取值为 ；«的最大值为..(5分)已知数列0)的各项均为正数，其前〃项和5,,满足”“-5.=9(〃=1,2,...).给出下列四个结论：①{”“}的第2项小于3；②{4}为等比数列；③{4}为递减数列；④{”“}中存在小于正。的项.其中所有正确结论的序号是—.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。.(13分)在AA8C中，sin2c=GsinC.(1)求NC；(II)若b=6,且AABC的面积为6右,求AABC的周长..(14分)如图，在三棱柱A8C-48c中，侧面8CR与为正方形，平面反&月_L平面,AB=BC=2,M,N分别为弓与，AC的中点.(I)求证：MN//平面BCQB,；(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线4?与平面M所成角的正弦值.

条件①：ABA.MN；条件②：BM=MN.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.Bi M 4..(13分)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50,”以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：㈤：甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；丙：9.85,9.65,9.20,9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的I：匕赛成绩相互独立.(I)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(II)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；(HI)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)r22.(15分)已知椭圆与=l(a>b>0)的一个顶点为A(0,l)，焦距为26.ab(I)求椭圆E的方程；(II)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆“交于不同的两点B,C，直线AB,AC分别与x轴交于点M,N.当|MN|=2时，求大的值..(15分)已知函数f(x)=exln[\+x).(I)求曲线y=/(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(II)设8。)=广(外，讨论函数g(x)在[0,+oo)上的单调性;(HI)证明：对任意的s,re(0,+co),f(s+t)>f(s)+f(t)..(15分)已知Q:q,出 《为有穷整数数列.给定正整数加，若对任意的〃€{1,, ,m},在。中存在q,aM,ai+2, ,aj+y(J..O)，使得q+。川+4*2+…+《・+)=〃>则称。为机-连续可表数列.(I)判断。：2,I,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(0)若Q:o,,% 4为8-连续可表数列，求证：4的最小值为4；(III)若Q:q,a2,...,%为20-连续可表数列，且4+%+...+a*<20,求证：火..7.2022年北京市高考数学试卷参考答案与试gg解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知全集U={x|-3<x<3},集合A={x|-2<x,1},则用A=( )A.(-2,1] B.(-3,-2)|J[l,3)C.[-2,1)D.(-3,-2]^(1,3)【思路分析】由补集的定义直接求解即可.【解析】因为全集。=3-3<》<3},集合A={x|-2<x,1},所以6A={x|-3<x,-2或l<x<3}=(-3,-2]|J(1,3).故选：D.【试题评价】本题主要考查补集的运算，考查运算求解能力，属于基础题.2.若复数z满足i-z=3-4i,则|z|=( )A.1 B.5 C.7 D.25【思路分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解.【解析】由i・z=3-4i,得z=3,ii..3-4/|3-4;|5/32+1尸<TOC\o"1-5"\h\z.JzH = = =5・/ \i\ 1故选：8.【试题评价】本题考查复数模的求法,考查化归与转化思想，是基础题.3.若直线2x+y-l=0是圆(x-a)2+y2=[的―条对称轴,则“=( )A.- B.-- C.1 D.-12 2【思路分析】由圆的方程求得圆心坐标，代入直线方程即可求得〃值.【解析】圆(x-a)2+y2=\的圆心坐标为(a,0),•.•直线2x+y-l=。是圆(x-a)2+/=1的一条对称?由，圆心在直线2x+y—l=0_t,可得2a+0—1=0,即a=g.故选：A.【试题评价】本题考查直线与圆位置关系的应用，明确直线过圆心是关键，是基础题.4.已知函数/(x)=—,则对任意实数x,有( )1+2A.7(-%)+/(x)=0 B./(-x)-/(x)=0c.f(-x)+/(x)=l D.f(-x)-f(x)=1【思路分析】根据题意计算〃x)+f(-X)的值即可.1 1 2r【解析】因为函数/。)=丁=,所以“一的二丁匚二丁；，1+2* 1+2 2+11+2”所以/(一幻+/。)=丁下=1.1+2故选：c.【试题评价】本题考查了指数的运算与应用问题，是基础题.TOC\o"1-5"\h\z.已知函数/(x)=cos2x-sin2x，贝！J( )A./(x)在(-石，-工)上单调递减2 6B./(x)在(-?,台上单调递增C./(x)在(0彳)上单调递减D.f(x)在口,卫)上单调递增4 12【思路分析】利用二倍角公式化简得f(x)=cos2x，周期T="，根据余弦函数的单调性可得了(x)的单调递减区间为伙万，卜版J/eZ),单调递增区间为限+版■,万+以］伏eZ),进而逐个判断各个选项的正误即可.【解析】f(x)=cos2x-sin2x=cos2x，周期丁=万，.•J(x)的单调递减区间为伙乃,-+k^］(keZ)，单调递增区间为［生+«乃,万+&乃］伏wZ),TOC\o"1-5"\h\z对于A,〃x)在(一g，-。上单调递增，故A错误，2 6对于B,/(x)在(-2，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，故8错误，4 12对于C,〃x)在(0,()上单调递减，故。正确，对于。，"X)在(工，生)上单调递减，在(生，卫)上单调递增，故。错误，4 2 2 12故选：C.【试题评价】本题主要考查了二倍角公式，考查了余弦函数的单调性，属于基础题..设｛«„)是公差不为0的无穷等差数列，则“｛4｝为递增数列”是“存在正整数乂，当〃〉乂时，可>()”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【思路分析】根据等差数列的定义与性质，结合充分必要条件的定义，判断即可.【解析】【解法一】：因为数列以｝是公差不为0的无穷等差数列，当｛叫为递增数列时，公差d>0,令a”=q+(〃-1)”>0,解得〃>1-号，［1-5表示取整函数，所以存在正整数乂=1+［1-争，当〃>乂时，a„>0,充分性成立；当〃〉乂时，a„>0,4T<0,贝lld=a“-a“T>。，必要般立；是充分必要条件.故选：C.【解法二】：设等差数列｛《,｝的公差为d，则d/0,记［x］为不超过x的最大整数.若｛/｝为单调递增数列，则d>0,若42。，则当〃22时，an>ax>0；若4<。，贝(Ja“=4+(〃-l)d,由(令或若)4=4+(〃-1)4>0可得〃>1-3，取黑=1-3+1,则当〃>乂时,a L4一%>。，所以，"｛《,｝是递增数列”="存在正整数M,当〃>N。时，q>0”；若存在正整数M,当〃〉乂时，«„>0,取AeN*且%>乂，ak>0,假设d<0,令a”=a*+(〃-&)d<。可彳导〃>后一生，且左一牛〉火,a a当〃>攵一号+1时，4,<0,与题设矛盾，假设不成立，则d>0,即数列｛《,｝是递增数列.所以，“｛4｝是递增数列”U“存在正整数N。，当〃〉N。时，见>0所以，“｛4｝是递增数列”是“存在正整数N。，当〃〉N。时，%>0”的充分必要条件.故选：C.【试题评价】本题考查了等差数列与充分必要条件的应用问题，是基础题..在北京冬奥会上，国家速滑馆・,冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与7和依尸的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是.下列结论中正确的是()A.当7=220,P=1026时，二氧化碳处于液态B.当T=270,P=128时，二氧化碳处于气态C.当7=300,P=9987时，二氧化碳处于超临界状态D.当T=360,P=729时，二氧化碳处于超临界状态【思路分析】计算每个选项的/gP的值，结合T与图可判断结论.【解析】对于A,当7=220,P=1026时,，gP>3,由图可知二氧化碳处于固态，故A错误；对于B:当7=270,2=128时，2<lgP<3,由图可知二氧化碳处于液态，故B错误；对于C：当7=300,P=9987时,lgP^4,由图可知二氧化碳处于固态，故C错误；对于。：当T=360,P=729时，2</g尸<3,由图可知二氧化碳处于超临界状态，故。正确；故选：D.【试题评价】本题考查对数的计算,考查看图的能力，数形结合思想，属基础题..若(2x—I)4=a4x4+a.,x3+a2x2+4X+%,贝(100+02+44=( )A.40 B.41 C.TO D.-41【思路分析】由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出。。和的,以及知的值，可得结论.【解析】【解法一】,/(2x-1)4=a4x4+a,%3+a2x2+a^x+a„,=C"+C；-22+(^-24=1+24+16=41,故选：B.【解法二】：(补解)赋值法：令x=l,原式为：1=%+03+02+4+4---①，令x=-l,81=a4-a,+%-Oj+a0---②,①+②得：a4+七+4=41, :B.【试题评价】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题.9.已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是AABC及其内部的点构成的集合.设集合7=刈65|尸2,5),则7表示的区域的面积为()37rA.— B.n C.27r D.3万4【思路分析】设点P在面ABC内的投影为点O,连接04，根据正三角形的性质求得0A的长，并由勾股定理求得OP的长，进而知T表示的区域是以O为圆心，1为半径的圆.【解析】设点P在面A8C内的投影为点O,连接OA,则OA=gx3G=26,所以OP=’尸牙-OA」=J36-12=2#,由JPQ2-O尸=,25-24=1,知T表示的区域是以O为圆心，1为半径的圆,所以其面积S=i.故选：B.【试题评价】本题考查棱锥的结构特征，点的轨迹问题，考查空间立体感和运算求解能力，属于基础题.10.在AA8C中，AC=3,SC=4,ZC=90°.P为AA8C所在平面内的动点，且PC=1,则中•丽的取值范围是( )A.[-5,3]B.[-3,5] C.[-6,4]D.[Y,6]【思路分析】根据条件，建立平面直角坐标系，设尸(x,y),计算可得雨尸万=-3》-4丫+1,进而可利用参数方程转化为三角函数的最值问题求解.【解析】【解法一】：在AABC中，AC=3,BC=4,NC=90。,以C为坐标原点，CA,C8所在的直线为x轴，)•轴建立平面直角坐标系，如图：则4(3,0),8(0,4),C(0,0),设P(x,y)，因为PC=1,所以V+y?=1,又方=(3-x,-y),PB=(-x,4-y).^mPAPB=-x(3-x)-y(4-y)=x2+y2-3x-4y=-3x-4y+\,设x=cos。,y=sin6, 3^rUZPAPB=-(3cos(9+4sin6»)+l=-5sin(6»+^)+l,M^tan^^-,4当sin(。+0)=-1时,P/CP后有最小值为T,(雷芳校对)sin(6+p)=l当sin(6+c)=T时，雨・产后有最大值为6,所以西•丽w[-4,6],故选：D.【解法二】：(补解)在AABC中，ZC=90°,所以c4.CB=0,<PCCB>=--<PC,CA>,( )<PC,CB>=--<PC,CA>,2 2PA.PB=(PC+C4)^PC+CB)=PC2+PC.CA+PC.CB+CA>CB=1+3cos<PC,CA>+4cos<PC,CB>+0=1+3cos<PC,CA>+4sin<PC,CA>=1+5sin[<PC,CA>+(p]TOC\o"1-5"\h\z其中，^e|0,—|,tan^=-(校对')其中,lang=。k2J4 4所以，T4雨.而46故选：D【解法三】：(补解)在AABC中，NC=90。设M是AB的中点，因为AC=3,8c=4,. :ns___ 、所以Afi=5,MAMB=-—,MA+MB=0,\CM\=-4 2中•丽=(而+碉㈣=PMi+PM-MA+PM•MB+MA•MB(校对)=PM+PM.MA+PM•MB+mA・M8=PM^-—43 7因为=|CA/|-1=-, =|CM|+1=-所以，-4<PA.PB<6故选：D【试题评价】本题考查了平面向量数量积的最值问题，属于中档题.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.(5分)函数 的定义域是.X【思路分析】由分母不为0,被开方数非负列不等式组，即可求解函数的定义域.【解析】要使函数“x)=1+E有意义，Xx工0,C，解得x,l且XN0,1-X..0所以函数的定义域为(-00,0)U(0,1].故答案为：(-00,0)U(0,1].【试题评价】本题主要考杳函数定义域的求法，考查运算求解能力，属于基础题..(5分)已知双曲线y2+-=l的渐近线方程为y=土与，则，”=_-3_.TOC\o"1-5"\h\zm 3【思路分析】化双曲线方程为标准方程，从而可得，”<0,求出渐近线方程，结合已知即可求解m的值.【解析】双曲线9+二=1化为标准方程可得二=1,m -m所以帆<0,双曲线的渐近线方程y=±，=x，yj-m又双曲线y2+K=1的渐近线方程为y=土3x,m 3所以/解得机=—3.故答案为：一3.【试题评价】本题主要考查双曲线的简单性质，考查运算求解能力，属于基础题..(5分)若函数/(x)=4sinx-石cosx的一个零点为:，则A=1 ；/哈)= -【思路分析】由题意，利用函数的零点，求得A的值，再利用两角差的正弦公式化简/(幻，可得呜)的值.C1【解析】•.,函数f(x)=Asinx-x/5cos_j^一个零点为§, —A-\f3x-=0,：.A=\,^f{x)=sinx—75cosx=2sin(x—y),/./(—)=2sin(---)=2sin(--)=-2sin-=-x/2,故答案为：1； .八12, 123 4 4【试题评价】本题主要考查两角差的正弦公式，函数的零点，求三角函数的值，属于中档题.

14.（5分）设函数/（幻=广优：产<“'若山）存在最小值，则£1的一个取值为0 ；a［（x-2）,x..a*的最大值为一.【思路分析】对函数/（X）分段函数的分界点进行分类讨论，研究其不同图像时函数取最小值时。的范围即可.【解析】【解法一】：当avO时，函数图像如图所示，不满足题意，当a=0时，函数图像如图所示,满足题意；当0va<2时，函数“X）图像如图所示,要使得函数有最小值，需满足-a?+1..0,解得：0<a,,1；当a=2时，函数图像如图所示,不满足题意，当a>2时,函数/⑴图像如图所示,要使得函数f（x）有最小值，需（a-2）2,, +1,无解，故不满足题意；综上所述：a的取值范围是[0,1],故答案为：0,1.【解法二】：(补解)因为一次函数/(x)=-ar+l的定义域为(yo,a),①若a<0时，当x<a时，/(x)=-av+l在区间(-co,a)上单调递增，/(X)的值域为(—,-02+1),故“X)没有最小值，不符合题目要求，舍去；②若a>0时，当x<a时，〃x)=-ar+l在区间(-00,。)上单调递减，所以/(x)>/(a)=-a2+l,当x>a时，f(x)=< , 如果/(x)存在最小值，&[(a-2y,aN2,有-M+IZO或一/+12(a-2y解得()<“41,1,x<0,③若a=0时，= 2 ,二/(X)的值域为[0,+oo),/(x)1nM=0,符合题(x-2),x>0.综上可得:04a41.故答案为：0,1.【试题评价】本题主要考查利用分段函数图像确定函数最小值是分界点的讨论，属于较难题目.15.(5分)已知数列&｝的各项均为正数，其前〃项和S,,满足a“・S“=9(〃=l,2,…).给出下列四个结论：①｛4｝的第2项小于3；②｛4｝为等比数列；③仅“｝为递减数列；④｛4｝中存在小于的项.其中所有正确结论的序号是 .【思路分析】对于①，求出外即可得出结论；对于②，假设｛““｝为等比数列，推出矛盾即可得出结论；对于③，容易推得q<a.T；对于④，假设所有项均大于等于击，推出矛盾即可判断.【解析】对于①〃=1时，可得q=3,当〃=2时，由/S2=9,可得%+生)=9,可得%=3(曰-1)<3，故①正确；对于②，当〃-2时，由s“=2得s“t=2，于是可得=2-2，即&=三上,an an-\ an% % 9若他〃｝为等比数列，则〃・.2时，啧=。…即从第二项起为常数，可检验〃=3不成立,故②错误；对于③，因为q=9,an>0,q=3,当几.2时，5Z1=—,凡所以&=ss.t=2——>o,4%RCPI9 9 1 1所以一> =>—> =>an<an_x,anan-\ an所以｛4｝为递减数列，故③正确；对于④，假设所有项均大于等于」-,取〃>90000,则4…一>900,则45a>9与已100 100知矛盾，故④正确；故答案为：①③④.【试题评价】本题考查命题的真假判断，考查数列的递推关系，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于较难题目.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.(13分)在AABC中,sin2C=>/3sinC.(I)求NC；(II)若6=6,且AA8C的面积为,求AABC的周长.【思路分析】(I)根据二倍角公式化简可得cosC,进一步计算可得角C；(H)根据三角形面积求得〃，再根据余弦定理求得c,相加可得三角形的周长.【解析】(I),.,sin2C=\/3sinC,2sinCcosC=>/3sinC,又sinCxO,2cosC=>/3,出COSC=——，*：0<C<7T,2:.C=-；6(II)・.・AABC的面积为,/.—absinC=6\/3,2又b=6tC=—)6—x6tx6x—=6a/3.2 2a=45/3,d-a2+b2-c2乂cosC= 2ab.5/3_(4^)2+62-c:一2- 2x4x/3x6c=25/3,

：.a+b+c=6+6\/5,AABC的周长为6+6百.【试题评价】本题考查了三角形面积公式和余弦定理的应用，属于中档题.17.（14分）如图，在三棱柱A8C-A4G中，侧面8CG与为正方形，平面8CC百，平面A明A,AB=BC=2,M,N分别为,AC的中点.（I）求证：MN〃平面BCC4；（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求直线AB与平面刎所成角的正弦值.条件①：ABJ.MN；条彳4@：BM=MN.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【思路分析】（1）通过证面面平证线面平行；（2）通过证明BC,BA,BB,两两垂直，从而建立以8为坐标原点,BC,BA,BB、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.【解析】（/）证明一：取转中点K,连接NK,MK,

为4端的中点. ，且B]M"BK,..四边形BKMB、是平行四边形，板MK3BB\,MKC平面8CC4；84U平面BCCM,.^.MK//平面8CGB1,•.•K是AB中点，N是AC的点，：.NKHBC,•.•林仁平面BCC/i；BCu平面BCG4,.•.NK//平面BCR旦，又NK0|MK=K,二平面NMK〃平面8CC4,又MNu平面NMK，:.MN//平面BCC]B、；证明二：（补解）：取AB的中点为K,连接MK,NK,由三棱柱ABC-AgG可得四边形ABB/为平行四边形，而与M=MA，8K=KA,（校对）耳时=”8也〃加4则BiA4而MK.平面CBB£,BB]u平面CBB£,故MK//平面BiA4CBB©,而CN=NA,BK=KA，则NKHBC,同理可得NK//平面CBB©,而NKCMK=K,NK,MKu平面MKN,故平面MKN//平面CBBg,而MNu平面MKN,故MN//平面CBB©,(校对)取BC的中点为D，连接&D,ND,;N为AC的中点.：.DNHAB,S.:.DN=~AB,2•••A/为A4的中点.六4河〃48,且，:.DN=B\M,：.DN”B,M.，四边形是平行四边形，故,MN仁平面BCG4；BQu平面BCG4,.•.MV〃平面8CG4,(//)•••侧面BCCtB,为正方形，平面BCC.B,_L平面A%A,平面BCQB、C平面ABB^=BB-.♦.CBJ•平面4网A,.-.CB1AB,又NKUBC,：.ABLNK,若选①：AB工MN:又MNnNK=N,.•.AB_L平面MAK,又MKu平面MNK,：.ABLMK,又MKIIBB、，：.AB±BBt,;.BC,BA,BB、两两垂直,若选②：平面A84A，NK11BC,，NK_L平面ABB|A,KWu平面AB4A,：.MKLNK,又BM=MN,NK=-BC,BK=-AB,2 2ABKM=ANKM,:.ZBKM=ZMKM=9QP,：.ABA.MK,又MK//BB、，；.ABLBB、，BC,BA,BBt两两垂直，以B为坐标原点，BC,BA,网为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0),/V(l,1,0),A/(0,1,2),4(0,2,0),bM=(0,1,2),bM=(1,1,0),..平面3仞V的T法向量为”=(2,-2,1),又=(0,2,O),设直线AB与平面9V所成角为〃,Q,一।In-BA| 4 2..sine=|cos<n,BA>|= =-=. ==—.|万|“BA|74+4+1x23二直线AB与平面BMN所成角的正弦值为三.3【试题评价】本题考查线面平行的证明，线面角的求法，属中档题.18.(13分)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50,〃以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：M：甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；丙：9.85,9.65,9.20,9.16.假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.(I)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(n)设x是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计x的数学期望EX；(Ill)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)【思路分析】(I)用频率估计概率，即可求出甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率.(II)分别求出甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，X的所有可能取值为0,1,2,3，结合独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，再利用期望公式即可求出EX.(III)根据三位同学以往成绩的平均值可知，甲获得冠军的概率估计值最大.【解析】(1)甲以往的10次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率3=2.105(n)用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为3=1,丙在校运62动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为2=1,42X的所有可能取值为0,1,2,3,TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 7贝!|P(X=0)=±x_x_=—,52220…八211311311 8 2P(X=1)=—x—x—+—x—x—4--x-x—=—=—.522522522205小211211311 7P(X=2)=—x—x—+—x—x—4--x—x—=——,52252252220p(X=3)=-xlxl=—=—,52 2 20 103 R 7 7 7,-.£X=0x—+lx—+2x—+3x—=-.20 20 20 20 5(HI)甲成绩的平均值为9.479,乙成绩的平均值为9.46,丙成绩的平均值为9.465,

故甲获得冠军的概率估计值最大.【试题评价】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题.2 219.（15分）已知椭圆E:鼻+方=1（。>。>0）的一个顶点为A（0,l）,焦距为2G.（I）求椭圆E的方程；（II）过点P（-2,1）作斜率为A的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线钻,AC分别与x轴交于点M,N.当|MN|=2时，求*的值.【思路分析】（I）利用已知和"，b，。的关系，可得“，h,进而得到椭圆方程.（II）联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理求出药+%,中天，再表示出|MN|,化简即可.【解析】（I）由题意得，伍=1 , [-<I—,.\h=lIc=v3,a=2,2c=2V3椭圆E的方程为＜+V=i.4(II)【解法一]：设过点P(-2,1)的直线为y-l=A(x+2),B(m,yt),C(x2,y2),fy-l=^(x+2)联立得2 ,即(1+4公)/+(16二+我比+16公+16女=0,—+—=114 1163+16A・・•直线与椭圆相交，.・・△=[(16公+8女)『_4(1+4公)(16炉+16口＞0163+16A由韦达定理得X+Z=_隼署,x,x2=-kab=-_"，,直线•为y=^~-x+1,急…（六，。），同理N忌，。）,:]MN|=|%:]MN|=|%x2||f 八2 |i(工2 X1-y,l-y2-攵(+2)--Mq+2)%占+2一.+2)1=|1 2(x?-xj|=| 2小(一+々)2-4).।k(x2+2)(X]+2)k(x(x2+2(x,+x2)+416/+以、216/+以、2<一厂）一1+4公4(16仁16攵)

1+41116/+16Z2(16〃+8%)TOC\o"1-5"\h\z2y/-Mk.. _[• , I—2,.J I— ik4 k2：.k=^.【解法二】：（补解）因为点用，N在x轴上，不妨设点M位于点N的左边，设M（f,0）,N（r+2,0）贝11心8=%,=一； =一士，所以--；=2t t+2kABkAC

设直线AB：y=kx+\,y=fcv+1由，得(1+4公)/+8依=0,彳+'=设%2设%2，%)狷卜=1：%代入期⑻k得丫霹，B8k1-4公1+4公，1+4公,可得,16&2-82 1-4&],可得,8k2-4%+1，8k°-4%+J'YK24K2-YK24K2-4K+1kpc= 9 ic16K2-8K+1由kpB=kpc得A:=0(舍去)，％=g把k=T代入kPB,得%=-4,即氏=-4【试题评价】本题考直直线和椭圆的位置关系，考查联立法和韦达定理、方程思想和运算能力，是一道综合题.20.(15分)已知函数/(x)=e，7〃(l+x).(I)求曲线y=/(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(II)®g(x)=/Xx)，讨论函数g(x)在［0,+oo)上的单调性;(III)证明:对任意的s,re(0,+oo),有/(s+r)>/(s)+/(r).【思路分析】(1)对函数求导，将x=0代入原函数及导函数得到纵坐标和斜率即可；(n)对g(x)求导，并研究g(x)导函数的正负即可.(川)构造函数以x)=/(x+r)-/(x),利用以x)单调性判断/(6+，)-/(S)与/«)-/(0)大小关系即可.【解析】(I)对函数求导可得：八x)=e'［/〃(x+l)+—!-］,JC+1将x=0代入原函数可得/(0)=0,将x=0代入导函数可得：r(0)=l,故在x=0处切线斜率为1,故.v-0=心-0),化简得：y=x；(II)【解法一】：由(I)有:g(x)=r(x)=e'［/〃(x+l)+」一］,x+l2 1g，(x)=e"〃(x+l)+0一小前，2 1令h(x2 1令h(x)=ln(x+1)+——---——-X+1(X+1)7 1设m(k)=Ink+1-p,m'(k)=—,令x+l=A(A..1),k3>0恒成立,故〃(x)在［0,+oo)单调递增,又因为力(0)=1,故〃(x)>0在［0,+00)恒成立,故Mx)>0,故g(x)在［0,+00)单调递增；【解法二】：(补解)由(I)有：g。)—叱+D+占，TOC\o"1-5"\h\zg，(x)=e'[ln[x+1)+—?—]+eJ[—- 1 ]X+1X+1(x+1)~=d[/H(X+1)H 1 r]x+1x+1(x+l)~2r+l=ex[ln(x+\)+ -j](x+l>or+1因为xe[0,+8)，所以/〃(x+l)20 ——7>0.(x+l>+1(校对)/n(x+l)>0. ；>0er>0(x+1)-故g，(x)>0在[0,”)恒成立，故g(x)在[0,+oo)单调递增；(in)证明一:由(n)有g⑶在[o,+oo)单调递增,又g(o)=i,故g(x)>0在[0,田)恒成立，故/(x)在[0,+oo)单调递增，设w(x)=J(x+f)_/(x),M(x)=/'(x+r)-/'(x),由(II)有g(x)在[0,+8)单调递增,又因为x+f>x,所以f'(x+t)>尸(X),故Mx)单调递增，又因为S>0,故w(s)>以0),即：/(5+o-/(s)>/w-/(o),又因为函数/(o)=o,故f(S+f)>/($)+/⑴，得证.证明二：(补解)由(II)有g(x)=f3在[0，y)单调递增,又因为t>0,所以在r(x+r)>r(x),即/(x+f)-r(x)=[/(x+r)-〃x)]>0所以“x+r)-f(x)在[0,+oo)单调递增，因为s>0，则/(s+t)-/(s)>f(s+O)-f(O),而，"0)=0,故/(s+r)>f(s)+/⑺，得证.证明三：(补解)设〃(s)=f(s+f)-f(s)-f(t)，其中s>0,t>0."(s)=r(s+r)-f'(s)由(H)有g(x)=f\x)在[0,+oo)单调递增,又因为t>0,所以在f'(s+r)>f'(s),即，(s)=f'(s+r)-/'")>o所以/7卜)=/($+.)-/")-/(1)在[0,+«)单调递增，因为S>0,则〃(s)>/7(0),而，A(O)=/(O)=O,故/(s+f)>/(s)+/(f),得证.【试题评价】本题