2022届重庆市高三全真模拟（一）数学试题（解析版）

2022届重庆市西南大学附属中学校高三全真模拟（一）数学试题一、单选题1.已知集合4={幻奴-1=0},B={xgN*|1<jt<4},且=则实数a的所有值构成的集合是（）【答案】D【分析】根据Au8=8,对。进行分类讨论，由此求得。的所有值构成的集合.【详解】8={1,2,3},当々=0时，A=0,满足A<j8=8,只有D选项符合.当awO时，A={x[x=：},要使AuB=8,则」=1或，=2或，=3,即a=l或或a=1,aaa 2 3所以实数a的所有值构成的集合是故选：D2 2 f—.直线/:丫=依+月与椭圆C:±+±=1相交于4,8两点，设O为坐标原点，则“《=今”是“aQ钻的面积为6”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由题知直线/过椭圆的上顶点网0,6）,进而得当直线/:y=H+石过点（2,0）或（-2,0）时，的面积为G，此时k=-3或k=中，再根据充分条件与必要条件的概念判断即可.【详解】解：由椭圆方程C:5+/=l得其顶点坐标为（±2,0）,（0,±@,由直线/:丫=履+右方程知直线/过点网0,6）,所以当点A（2,0）或A（—2,0）时，aOAB的面积为6,此时&=一/或后=坐，所以'"=孚"是"^OAB的面积为右”的充分不必要条件，

故选：A.欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“建+1=0”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式其中，欧拉恒等式是欧拉公式：d'=cose+isine的一种特殊情况.根据TOC\o"1-5"\h\z£. 5£.A&

2【答案】C欧拉公式，e3'+e6A&

2【答案】Cc.V2 D.G【分析】化简复数/,+e今，利用复数的模长公式可求得结果•了出麻八71..71 5乃..571—1+J5.［讦解】e'+e"=cos—F1sin—+cos Hsin—= 1 1,3 3 6 6 2 2因此,因此,故选：C..已知一直角梯形纸片上、下底边边长分别为2、4,高为3,该纸片绕着下底边所在直线旋转120,则该纸片扫过的区域形成的几何体的体积为（）A.6万 B.8万 C.16万 D.24%【答案】B【分析】根据旋转体特点可知旋转一周后得到一个圆柱和两个圆锥，根据圆柱和圆锥体积公式计算可得旋转一周所得组合体体积v,则所求体积为;心【详解】该纸片绕着下底边所在直线旋转一周所得几何体是一个底面半径为3,高为2的圆柱和两个底面半径为3,高为1的圆锥构成的组合体，则旋转一周所得组合体的体积V=9;rx2+gx9Txlx2=24;r,・•・若旋转120,得到几何体体积为=8故选：B..北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦厚、健康、活泼、可爱;北京冬残奥会吉祥物"雪容融'’以灯笼为原型进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念.两者一经发布，深受大家喜爱.某校为了加强学生对体育的热情，委派小刘、小陈、小赵、小孙、小王、小航6人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有（）利1A.20 B.28 C.32 D.40【答案】B【分析】先分类成两种情况：四人一组和两人一组以及三人一组和三人一组，然后根据计数原理求解即可.【详解】由题意可以分为两种情况：第一种：四人一组和两人一组，共有用=16；第二种：三人一组和三人一组，共有或e=12;所以不同的方案一共有：用+C：用=28.故选：B..函数/(x)满足/(x)+/(-x)=2,/(l+x)-/(l-x)=0,当xe[0,l]时,/(x)=x+l,则关于x的方程f(x)=M，在xe[0,2022]上的解的个数是()A.1010 B.1011 C.1012 D.1013【答案】B【分析】根据题意，函数f(x)关于点(0」)对称，直线x=l对称，进而作出函数图像，易得/(力为周期函数，周期为7=4,再结合指数函数图像与周期函数性质，数形结合求解即可.【详解】解：因为函数满足/(x)+/(-x)=2,所以函数/(x)关于点(0,1)对称，因为/(l+x)-/(l-x)=0,即/(1+*)=/(1-幻，所以函数“X)关于直线x=l对称，因为当xw[0,l]时,/(x)=x+l,所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：由图可知，函数/(X)为周期函数，周期为7=4,由于函数xw［2,6］一个周期内，y=/(x)与丫=七7有2个交点，在xe［0,2］上，y=/(x)与丫=与，有1个交点，1 7070所以根据函数周期性可知，当xe［0,2022］时，y=/(可与y:女会有2x^+1=1011个交点.所以关于x的方程在xw［°，2°22］上的解的个数是1011个.故选：B.设a=ln0,力=孚，「=马，则。，b,c的大小关系是()3e-A.c<a<b B.a<b<cC.b<c<a D.h<a<c【答案】A【分析】由题知。=111&=孚=学，。=2=喉，b=孚，进而构造函数2 4e-e~3g(x)=(,x>0,研究函数单调性，利用单调性比较大小.【详解】解：因为"始忘=野=竽，0=义=好，b考，2 4ee*3所以，令g(x)=平,x>。，g(力=1］丁,所以当xw(e,+oo)时，g(x)<0,函数g(x)= x>0单调减，因为3<4</,所以6=蚓>吧=。>岭=，，即c<a<b.3 4e故选：A8.已知匕，鸟分别为椭圆C:与+£=l(a>6>0)的左、右焦点，点P在第一象限内,ab~归闾=4,G为△WE重心，且满足函l•E?=G瓦-ME，线段PF?交椭圆C于点M,若碉=4赤，则椭圆C的离心率为()Y B.丹6 7【答案】B【分析】由函k•而=G瓦质和G为△巴谯重心判断出仍用=恒用=2°,再利用砌=4标求出|M段，借助椭圆定义求出|M用，最后勾股定理建立等式解出离心率即可.如图，连接EG并延长交「鸟于Q,连接由砒.用=函.耳耳得西.（科福）=0,即斯•哥=0,所以G6_L5尸，又G为△尸片鸟重心，所以耳巴是等腰三角形，|尸周=山闻=2,由询=4标得=尸6|=：4,|MQ|=pWK|_|Q6|=Ba_：a=^a,又由椭圆定J J J J 1VZ义|M用=2"四图=\°.网-河心喇=恒闾2_皿『，即（豹［（Q：=（2c）2_&j,化简得C2=|«2,故离心率为叵.5 5故选：B.二、多选题9.一组互不相同的样本数据冷、2,…,x”的平均数为同1x%/=1,2,…,〃），若在这组样本数据中增加一个新的数据t得到一组新的样本数据，则（）A.两组样本数据的平均数相同B.两组样本数据的方差相同C.两组样本数据的极差相同D.两组样本数据的中位数相同【答案】AC【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用方差公式可判断B选项；利用极差的定义可判断C选项：利用中位数的定义可判断D选项.【详解】由己知可得 Fxn=nx.对于A选项，新数据的平均数为去(〃="，与原数据的平均数相等，A对;对于C选项，不妨设为<刍<…<x"，则故新数据的极差仍为瑞-菁，C对.对于D选项，不妨设X|<》2<…<x“，当〃为奇数时，则原数据的中位数为X明，2若X<&,则中位数为[max]X,x“J+xntl<xn+l,2 2lI-JTjT若x>x〃则中位数为〈xn+l+min|x,x„+3l>xn+l,2 ~TI'T\)V当〃为偶数时，则原数据的中位数为;(xo+x.)若x,+x”，，则中位数为x“＜；X.+X”21--十i — /1- -+1若嚏则中位数为X四〉D错；故选：AC.10.正方体表面正方形的对角线中存在异面直线.如果其中两条异面直线的距离为1,那么正方体的体积可能是()A.1 B.272 C.3亚 D.班【答案】AD【分析】当两条异面直线位于正方体相对面时，知两异面直线间距离即为正方体棱长，由此可得正方体体积；当两条异面直线位于正方体相邻面时，利用体积桥可构造方程取得正方体棱长，由此可得正方体体积.

①若两条异面直线位于正方体相对面上，如图中与BG，则两异面直线之间的距离即为正方体的棱长，，正方体的棱长为1,，正方体的体积为1；②若两条异面直线位于正方体相邻面上，如图中与耳。，,:B\D#BD,BOu平面AB。，用口平面ABO,，〃平面4目。,则异面直线A。与BQ之间距离即为R到平面ABD的距离;TOC\o"1-5"\h\z设正方体的棱长为。，则巨.“='x = >2 2 2 2-y=v•yB-AtDDfyDt-\BD，—x—a2xa=-x^-a2xl,解得：a=-y=v•yB-AtDDfyDt-\BD，正方体的体积为/=36i综上所述：正方体的体积为1或3百.故选：AD.11.己知a,p,yw(0,5，且a+/7+y=],则( )A.若sina+cosa=0，则tana=1B.若tana=2,则sin(夕+y)=tana,tan/可能是方程f—6x+7=0的两根tanatanp+tanptany+tanptana=1【答案】ABD【分析】A.利用平方关系求解判断；B.利用诱导公式求解判断；C.利用角的范围判断；D.利用两角和的正切公式求解判断.【详解】A.由sina+cosa=0，sin2a+cos2a=1,且所以sina=—,cosa=—,所以tana=l故正确；2 2B.因为tana=2,且正，且。+/+7=',所以

sin(y3+/)=sin(y-a)=cosa=-^-,故正确；C.若tana,tan/7可能是方程f-6x+7=0的两根，贝！]tana+tan夕=6,tanatan£=7,tan(a+>g)=tan^+tan^=-l,1—tanatanp因为a,Pe[(),]]所以0<a+力<it,所以a+〃=?,又a+[+y=],故错误；D.tanatanP+tanatany+tanptany,=tanatan夕+tan/(tana+tan/?),=tanatanp+tan!y-a-/71(tan=tanatan/+=tanatan/+tana+tan/tana+tan/1-tana-tanp=tanatan+1-tana-tan/?=1,故正确;故选：ABD12.已知fn(a,b)=(6a+b)(nsN*,a,bwR),则下列结论正确的是( )A.若£(l,l)=a,,+饱,，an,bneZ,则为-4=12B.4(1,1)+力(1,-1)与力(1,1)一人(1,一1)都是正整数C.人小(LT)是以1T(U)的小数部分D.设，(LT)=c.+&4，c.&eZ,则c：+(T)z=M【答案】ACD【分析】利用(&+1)'展开式得到生和4，则知A正确；通过验证〃=2的情况知B错误；由/i0-i。，1)-启-i(11)=('^'+1)(夜+1)-(丘-1)(壶-1)，结合展开式进行化简整理证得人“T(1,1)-以1T(1，T)为正整数，从而可得C正确；分别在"为奇数和"为偶数的情况下得到C“和a4,从而配凑出〃为偶数时c.-现=(五+,〃为奇数时,显"-却=(五+1)”,利用平方差公式计算可知D正确.【详解】对于A,力(1,1)=(&+1)-=4+02，当〃=5时，（&+1『展开式通项为&=（司C+（n/2）'C；+辰:=29应，a5=C；+（可C；+C；=41,.•.%-4=41-29=12,A正确；对于B,£（1,1）-工（1,-1）=（四+1）”-（四-1）”,不妨令〃=2,则人。』）-人（LT）=（应+1）2-（夜-1丫=2&x2=4x5,不是正整数,B错误;对于C,（夜一1）（&一亡=（忘+1）（（力广+*（&广+七（可一+…+1卜（夜-1）（（&广_*（&广+七（应广一…+1）=2（（&广+*（&广+*（3广+•••+2）+2回*（④广+上（&r+…+明（匈,••・2回*（3广+C：（可"+…+明㈣）=2（*（0广+或（同~+…+明㈣）为正整数,2（（0广+C-（正广+G-（0广+…+2，正整数，又以T（1,1）=（a+1广'>1，0<%T（1,-1）=（&-if-'<1.，&i（l，T）是八的小数部分，C正确；对于D,£（l,-l）=（&-l）”=q,+0d“，（a-1）”展开式通项为C：（板厂（-1）'；当”为偶数时，c,=《（应）"+C；（&广+C：（立厂+…+禺（四,&=-[&（a）”'+C（&厂+C：㈣"T+…+C,；T⑼।,•・/一&4Y（a）"+c：（可…（何）=（应+1）",&+扁）&_&.）;[（V2+1）（72-1）J=1,即c：-2d；=1,*+"=时；当〃为奇数时，％=-卜（0广+C；（正广+C（&『+…+C；（0j[,&d“y（&）"+C：（甸"一+C：（闾）…+QT（旬,

...岳,_c“=d（可+C（&广+C：（qI+...+C：（司=（拒+1）",（C„+&4）（曰“-G）=［（4+=1,即2d：Y=1,*+"=此;综上所述：c：+（7）""=〃；成立，D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理相关知识的求解，验证C选项的关键是能够对于人1（1，1）一人小（1，-1）的展开式进行配凑变形，从而证得人小（1，1）-以1T（LT）为正数，再结合两个部分的范围得到结论：验证D选项的关键是能够分别在〃为奇数和偶数时，得到q,,&”的形式，从而利用平方差公式来进行证明.三、填空题.函数/(x)=x3+G：2+fer+a2在工=］处取得极值10,贝ij〃+b=.【答案】-7/、 1^=4 （a=—3【分析】由在x=l处取得极值10,求得解得八一或八,，再结合函数的p=-l1\b=3极值的概念进行检验，即可求解.【详解】由题意，函数/(x)=x3+ar2+hr+a2,可得/'(x)=3V+2ar+b,因为/（x）在x=l处取得极值10,可得/'⑴=3+2a+b=因为/（x）在x=l处取得极值10,可得解得。=4解得。=4方=-11或a=-3b=3检验知，当。=-3。=3时，可得f'(x)=3x2-6x+3=3(x-l)2N0,此时函数/（力单调递增，函数为极值点，不符合题意，（舍去）:当a=4,b=-ll时，nj^/，(x)=3x2+8x-ll=(3x+ll)(x-l),当或X>1时，r（x）>0,f（x）单调递增;当一?<x<i时，r（x）<o,“X）单调递减，当X=1时，函数/（力取得极小值，符合题意.

所以a+6=-7.故答案为：-7.【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值..设向量a，B满足忖=2,W=且〈a,征〉=60。.若向量2加a+7弓与a+的夹角为钝角，则实数机的取值范围是.【答案】V14」~'~2【答案】【分析】根据向量2m。+7石与a+的夹角为钝角可以得到这两个向量的数量积为负,以及2/4a+7另与a+,届不反向共线,可求出结果.【详解】由题设可得：a&=2xlxcos60=1.因为向量2,点+7行与£+，”的夹角为钝角，所以（2痴+74（£+麻）<0且2而+7区与£+/不反向共线，可得：2ma+（2m2+l）ab+lmb<0>所以2帆2+15%+7<0,解得一7<根<-彳，2若向量2m〃+7万与a+痴反向共线时，存在实数k<0,使得2m々+7〃=左（。+痴）成立,[ V14可得、,，解得： 2（正解舍），[女=_J14所以2/n£+7B与£ 不反向共线，机w——,2综上所述，mgf-7,—故答案为:“4故答案为:2~'~2.用1,2,3,4,5排成一个没有重复数字的五位数，使得任意两个相邻数字之差的绝对值至少是2.则这样的五位数有个.【答案】14【分析】根据题意，考虑按中间一数〃的取值分类求解即可.

【详解】考虑| | |a| |按中间一数。分类：(1)若a=1,则2与4在a同侧,3与5在。同侧，有4种排列：24135,24153,35142,53142；(2)若a=2,则1与4在。同侧，3与5在。同侧，有2种排列：14253,35241；(3)若a=3,则1与4在。同侧，2与5在。同侧，有2种排列：25314,41352；(4)据对称性，a=5与(1)相同，有4种排列；a=4与(2)相同，有2种排列.因此，这样的五位数总共有14个.故答案为：14..两个半径都是1的球。和球。2相切，且它们均与60。的二面角力的两个半平面相切.另有一个更大的球。和该二面角的两个半平面也都相切，同时与球a和球。2相外切.那么，球。的半径/?=［答案］在姮3【详解】【详解】如图，易知三个球的球心。、ora均在二面角〃的平分面上.设球。与面a、力分别切于点A、B,球。与面a、/分别切于点。、E.作ACJJ于点C,。尸_U于点尸.则BC，/,EFLl,N℃A=NOFD=30°.从而，O,C=2,OF=2R.联结。02交。产于点“，则”为球。|与球。2的切点，且OH上Ot()2,OH=2R-2,O、H=1,OC\=R+1.在RtAOUQ中，O"2+a"2=o。：，即(2/e-2)2+1=(/?+1)2・解得/?=也叵.3因为R>1,所以，R=±叵.四、解答题.数列｛〃“｝满足：4+2%+3/+…+ =2+(〃-1)・2"",neN*.(1)求数列｛q｝的通项公式;(2)设2=(a二口),4为数列｛〃,｝的前〃项和’若(<*-3恒成立'求实数m的取值范围.【答案】(l)q=2"，〃wN”(2)W-2或622【分析】(1)根据递推关系得4=2〃(〃之2),再验证〃=1满足条件即可求得答案；(2)由(1)知，再结合裂项求和与数列的单调性得病一321,2.-12—1再解不等式即可.【详解】(1)解：当"22,q+24+3%+L=2+(〃—1)2'",①q+2%+…+(〃-1)《1T=2+("―2)・2〃，n>29②①一②得〃6=小2"=>〃"=2"(〃22)()在①中令〃=1,得q=2,也满足()，所以q=2”，,T(2)解：由(1)知，bn=于是，7；</n2-3«>l-^4-T</N2-3因为1-不/一;随〃的增大而增大，所以苏-321,解得“14-2或622所以实数机的取值范围是加4-2或〃此2.18.2009年6月28日，由上海唐人电影制作有限公司出品，根据国产单机游戏改编的同名古装玄幻电视剧《仙剑奇侠传三》在台州三套公共财富频道全国首播，那个暑假，景天、雪见、紫萱、徐长卿、重楼等主角深深刻在大家的脑海中.剧中的紫萱是女婿后人，本体为蛇.追求她的徐长卿和重楼本为两种药材名，都对治疗蛇毒有奇效，只是徐长卿的效果更好.某药材批发商欲购进徐长卿与重楼两种药材，已知该药材批发商每年只购进其中一种，购买徐长卿和重楼的概率分别为0.6和0.4,购买两种药材之间相互独立.(1)求该药材批发商从2019年至2022年中至少有两年购进徐长卿的概率；(2)近年来，随着重楼的药用潜力被不断开发，野生的重楼资源已经满足不了市场的需求,越来越多的人开始“家种”重楼，某单位统计了近几年家种重楼年产量y(单位：吨)，统计结果如图所示.根据表中的统计数据，求出y关于x的线性回归方程；年份2014201520162017201820192020年份代码X1234567年产量y/吨130180320390460550630(3)根据(2)中所求方程，预测2022年家种重楼的产量.附：回归方程？=晟+6中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为^x^-nxy~z3-—LT-【答案】⑴0.8208(2)y=85x+40(3)805吨【分析】(1)由独立重复试验的概率公式直接计算可得；(2)根据最小二乘法相关公式，由表格数据直接计算可得；(3)将2022年的年份代码代入回归方程可得.【详解】(1)2019至2022年共4年，设至少有两年购进徐长卿为事件A,则P(4)=C：0.62x0.42+C：0.63x0.4+C：0.64=0.8208.-1(2)由表格数据，得x=,(l+2+3+4+5+6+7)=4,-1„^=-(130+180+320+390+460+550+630)=380,7=1x130+2x180+3x320+4x390+5x460+6x550+7x630=13020f=l7=1+4+9+16+25+36+49=140,r=lnl£13020-7x4x3802380oc则b= = =85,140-7x16 28所以4=7-加=380-85x4=40.所以y关于X的线性回归方程为3=85x+4O.(3)由题可知，2022年的年份代码为9,即x=9,将x=9代入回归方程，得》=85x9+40=805,所以预测2022年家种重楼的年产量为805吨.在aABC中，角A,B,C对边分别为。，b,c,已知空心=咨月，且。=2.2cose⑴求角C；(2)若。为中点，求|C4的最大值.【答案】(1)C=?⑵叽【分析】(1)将式子化成(2a-b)cosC=ccos8,再用正弦定理边化角得至(1(2sinA-sinB)cosC=sinCcos8,化简整理即可求解：(2)先得到2而=无+而，再转化成4|CO/=(西+而)2,然后代入边长利用基本不等式求最值即可.【详解】⑴因为竺心即(2a-6)cosC=2cos8,2cosC又因为c=2,故(2a-b)cosC=2cosB=ccos8,由正弦定理，有(2sinA-sinB)cosC=sinCcosB即2sinAcosC=sin8cosc+sinCcos3=sin(6+C)=sinA,因为sinA/O,所以2cosc=lncosC=-，2因为Cw(O,;r),故C=?.(2)因为。为AB中点，所以2函=CX+而，于是41c£>『=©+画2=<?+/+况>,又因为4=c?=a2+b2—ah=>a2-\-h2=4+ah>2ah,所以44.Hl4\CD\1=a2+b2+ab=4+2ah<\2,当且仅当a=/?=2时成立，故|CC区6，所以叽=6.已知函数/(x)=(x-l)e*-ax々aeR).(1)当。=1时，求f(x)的单调区间：(2)若x=0是“X)的极大值点，求。的取值范围.【答案】⑴"X)在SO)和(In2,+oo)上单调递增，在(0,In2)上单调递减；⑵(；,+oo).【分析】(1)将。=1代入，求出函数解析式，进而利用导数法，可求出函数的单调区间;(2)求导后对a讨论，判定单调性结合x=0是/(x)的极大值点，可得a的取值范围.【详解】(1)当a=l时，/(x)=(x-l)er-x2,r(x)=x(/—2),/(x)>0得x<0或x>ln2,/(x)<00<x<In2,・・・/(x)在(f,0)和(In2,+a))上单调递增，在(OJn2)上单调递减；(2)尸(x)=x(e"-2a),当aKO时，e，-2〃>0,故小)>0=工>0,.・./(同在(-如0)上单减，在上(0,y)单增，x=0为极小值点，不合题意；当〃>0时，由/'(力=0得X=0或刀=111勿，,.,x=0是极大值点，.1.ln2a>0>即a>5,故a《(；,4<»).【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调区间，利用导数研究函数极大值,掌握利用导函数研究函数的性质是解题的关键，考查学生的分析问题解决问题的能力,是中档题.21.如图，在三棱柱ABC-A4G中，B1A=BIC, =13,AB=8,BC=6,AB1BC,(1)求证：BC1B,D:(2)线段B©上是否存在一点E,使得AE与面8CC声的夹角的正弦值为口叵？若存在,185求出E点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，E为线段8c上靠近q的三等分点【分析】(1)通过线面垂直证明线线垂直，可证瓦。J.平面ABC.(2)假设存在，建系后由空间向量列方程求解

【详解】(1)因为用A=4C,且。为AC中点，所以八AC.5 12又因为1曲/84。=W，所以85/期。=值.132+BD2-5212由余弦定理，COSZBB,D= - 4人解得4/- 4人解得4/或；1=-;(舍)综上，E为线段8c上靠近用的三等分点.22.在平面直角坐标系中，一条动直线/与双曲线八：/-丫2=1的左支、右支分别交于2x