2022-2023学年浙江七年级上学期数学重难题型全归纳及技巧提升专项（浙教版）专题03有理数的运算重难点题型(含详解)

专题03有理数的运算重难点题型题型1有理数加减法乘除再认识解题技巧：该类题型的实质是有理数加减乘除法的计算，通过理解题干条件，利用有理数加减乘除法运算规律逐一判别即可。（2022•浙江杭州市•七年级期末）在数轴上，四个不同的点4,B,C,。分别表示有理数a,h,c,d,TOC\o"1-5"\h\z且a+b=c+d,则这四个点在数轴上的大致位置表示不正确的是（ ） • • ・ • A • ・ • ・ >A. A C D B B. C A B D • • • • ► • • • ・ ►C. B D A C D- D B A C（2022•长沙市开福区七年级月考）在数轴上有a、b两个有理数的对应点，则下列结论中，正确的是（ ）a b ci ***—1--—J——'z_AA.a+b>0 B.ab>0C.a-b<0D.—>0-3-2-10 1 23 b（2021•北京二中七年级期末）有理数a、6在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（ ） q ►A.a+b>0 B.ab>0C.b-a>0D.网-时>0（2022•吉林白城市•七年级期末）已知数在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）J q~~j aa. a+b>0 B. a—b〉0 C. /?+1<0 D. t/><0（2022•广东省初一期中）己知帆=2,|〃|=5，且\m-r\=n-m，则m+n的值是（）A.7 B.3 C.—3或一7 D.3或7（2022•广东省初一月考）如果a、力是有理数，则下列各式子成立的是（ ）A.如果a<0、b<0,那么a+b>0B.如果a<0、b>0,那么a+b>0C.若a>0、b<0,则a+〃<0D.若a<0、b>0,且同>网，则a+6<0题型2有理数加、减法运算的实际应用解题技巧：与利用正负数求平均数方法类似。（1）选择合适的标准数，超过标准数的记为正数，不足的记为负数；（2）对处理后的正负数进行加法运算；（3）最后还需要将处理后的正负数还原为实际数。（4）根据题意列出算式；（5）进行有理数加减法运算，可利用运算律进行简算：（6）比较结果，得出结论。（2022•浙江杭州市•七年级期末）记运入仓库的大米吨数为正，则（+3.5）+（-2.5）表示（

A.先运入大米3.5吨，后运入大米2.5吨B.先运出大米3.5吨，后运入大米2.5吨C.先运入大米3.5吨，后运出大米2.5吨D.先运出大米3.5吨，后运出大米2.5吨（2022•浙江绍兴市•七年级期中）为解决村庄灌溉问题，政府投资由水库向A,B,C,D,E这五个村庄铺设管道，现已知这五个村庄与水库以及村与村之间的距离（单位：km）如图所示，则把水库的水输送到这五个村庄铺设管道的总长度最短应是（ ）圆模型，现将送到这五个村庄铺设管道的总长度最短应是（ ）圆模型，现将-1，2,-3,4,-5,6,-7,8分别填入圆圈内，使横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等，则。+力的值是4.（2021•浙江金华市•九年级二模）如图，两支温度计的读数分别是某一时刻小明家阳台与室内的气温，那么这一刻阳台的气温比室内气温低（ ）A.5A.5-CB.12-CC.TCD.-12℃5.（2022•浙江宁波市•七年级期末）两个小朋友玩阳台室内跳棋游戏，游戏的规则是：先画一根数轴，棋子落在数轴上K。点，第一步从K。点向左跳1个单位到K1,第二步从向右跳2个单位到K2,第三步从K2向左跳3个单位到K»第四步从向右跳4个单位到K& 如此跳20步，棋子落在数轴的K20点，若K20表示的数是16,则K2019的值为6.（2022•河北省初一期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达8地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+14,-9,+8,-7,+13,-6,+12,-5.（1）请你帮忙确定8地位于A地的什么方向，距离4地多少千米？（2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，邮箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？题型3.有理数的乘除法在实际问题中的应用解题技巧：（1）根据题意列出算式；（2）进行有理数乘除法运算，可利用运算律进行简算；（3）比较结果，得出结论。对原本无数量关系的问题巧妙的赋某些特定值，将其转化成数量问题，然后通过对整数的正负号进行讨论，使问题得到解决。用赋值法解决此类问题时，关键是对操作过程中的某一个量进行赋值（通常为±1）,通过对操作过程的量化，讨论理数正负号变化规律，最终求解出具体问题。（2022•四川成都•七年级期末）元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠.小明的妈妈两次购物分别付款192元和384元，如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约 元.（2021.浙江初一期中）如图，桌上有9张卡片，每张卡片的一面写数字1,另一面写数字-1.每次翻动任意2张（包括已翻过的牌）。改变其向上的面，然后计算能看到的所有牌面数字的积请问，当翻了2019次时牌面数字的积为（）A.1B.-1C.2019D.-20193.（2022•山西七年级期中）24点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取4张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或-24.例如：抽到的数字为“4,4,10,10”，则可列式并计算为：（10x10-4）+4=24.如果▼、♦表示正，品爱表示负（如“♦5”为“+5”,“，4”为"T”）,请对下面两组扑克牌按要求进行记数，并按“24点''游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为24或-24.①列式计算： ②

依次记为:列式计算:依次记为:列式计算:（2022•四川•石室中学七年级期中）居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20立方米及以内的为第一级基数，按一级用气价格收取；超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级气量基数，按一级用气价格的1.5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍收取.为节约用气量，小明记录了1-7月份他家每月1号的气表读数.1月2月3月4月5月6月7月气表读数（立方米）433450468485500514535（1）直接写出小明家1月份的用气量 立方米及1―6月平均每月用气量为 立方米.（2）已知小明家2月份的气费为36元，试求他家6月份需交气费多少元？7月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加,比6月份多用气12立方米，试求小明家7月份需交纳气费多少元？（2021•浙江杭州市•七年级期中）小王和小李两人在进行100米跑训练，小王说：“我跑到终点时，你离终点还有20米”，小李说：“我跑到终点时，你才比我快了2.5秒”.（1）求小王和小李的速度.（2）若小李从起点先跑2秒后小王再开始跑，求小王起跑后几秒追上小李.（3）若小李从起点起跑，小王在起点后20米同时起跑，小王在起跑时不慎摔了一跤，爬起来后继续按原速度跑，在跑的过程中发现某一时刻两人相距只有2米，求小王摔倒最多耽搁几秒时间？（2021•浙江台州市•中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升输液开始时，药液流速为75滴/分钟.小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160亳升.（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量：（2）求小华从输液开始到结束所需的时间.题型4新定义运算解题技巧：该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则，将题干写成有理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。（2022•广东广州市•七年级期中）若定义一种新的运算“*”,规定有理数a*b=3ab,如2*（-4）=3x2x（-4）=-24.贝I]'*（-2*5）=.6（2021•湖北省初一期中）在快速计算法中，法国的“小九九''从， 得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面"六到九''的运算就改用手势了.如计算8x9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7,未伸出手指数的积为2,则8x9=10x7+2=72.那么在计算6x7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（）A.1,2 B.1,3 C.4,2 D.4,3（2022.北京十二中初一期中）设区表示不超过X的最大整数，计算[5.8]+[-1.5]=.（2022•广西百色市•七年级期中）1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想:对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能够得到1.这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想“，又称"奇偶归一猜想虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5,最少经过下面5步运算可得1,即：5*3”>16—，如果正整数加最少经过6步运算可得到1,则机的值为（）A.10 B.32 C.64 D.10或643x9 5x4x3 Ax5x4x3（2022.浙江金华市•七年级开学考试）已知：C；=——=3,C：= =10,C：= =15，…，1x2 1x2x3 Ix2x3x4观察上面的计算过程，寻找规律并计算：C；=_.（2022•北京海淀区•七年级期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1,则这个正整数属于A类，例如1,4,7等；如果一个正整数被3除余数为2,则这个正整数属于B类，例如2,5,8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3,6,9等.（1）2020属于类（填A,B或C）；（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于类（填A,B或C）；②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于类（填A,B或C）；（3）从A类数中任意取出，〃个数，从B类数中任意取出〃个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C

类，则下列关于，小〃的叙述中正确的是（填序号）.①》i+2〃属于C类；②kn-川属于8类；③/n属于A类，〃属于C类；④/«,”属于同一类.题型5有理数的简算解题技巧：（1）有理数的简便运算一般运用加法（乘法）的运算律或减法（除法）的性质，达到简便运算的目的。（2）利用乘方的运算性质（oh）n,将可以凑整的部分先放在一起简化运算，再求凑整后部分的乘方运算。（2021•江苏苏州市•七年级月考）计算（-0.25严7x（-4严8等于（ ）.A.-1 B.1 C.-4 D.4（2022•江苏无锡市•七年级月考）阅读第（1）小题的计算方法，再用这种方法计算第（2）小题.（1）计算：一京+'91'）+17,+卜3；（解析）原式==[(-5)+(-9)原式==[(-5)+(-9)+17+(-3)]+4上面这种解题方法叫做拆项法.（2）计算:‘2000胃+（一1999g）+4000：+（一19（2022•浙江七年级期中）先计算，再阅读材料，解决问题：⑴计算:《-泊卜⑵（2）认真阅读材料，解决问题：计算：+分析：利用通分计算+ 的结果很麻烦,可以采用以下方法进行计30\3IOojJ 31065舁：

解：原式的倒数是:(21 12} + (31065)21121 2 1 1 2 + x3O=-x3O——解：原式的倒数是:(21 12} + (31065)21121 2 1 1 2 + x3O=-x3O——x3O+-x3O——x30=20-3+5-12=10.31065j 3 10 6 5请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算:（2022•四川省内江市第六中学七年级期中）观察下面算式的演算过程:1x3+11x34 22, 1 - 1T x31x3 2x42x4+l_9_32111_3x5+l_16_422x4-2^4-2^4+而―3x5一诟一诟1 4x6+1 251+ = = 4x6 4x6 4x6524^6（1）根据上面的规律，直接写出下面结果:6x82〃x(2〃+2)（"为正整数）（2）根据规律计算:(1+—)x(1+—!—)x(1+—!-)x(l+—!—)x...x(l+―i—)x(1+―1—).

1x3 2x4 3x5 4x6 98x100 99x101（2021•温州市第十二中学七年级月考）——26122030 的值42567290（2022•浙江衢州市•七年级期中）阅读下面解题过程:计算：（-15）千25解：原式=(-15)+(——)x6(第①步)

625, xo6（第②步）=（-15）+（-25）（第③步）="-（第④步）（1）上面解题过程中有错误的步骤是 .（填序号）（2）请写出正确的解题过程.题型6乘方的应用解题技巧：（1）末尾数字问题：此类题型通常乘方运算种的事比较大，且无简单计算方法，直接计算几乎无法进行。但此类题型也并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数的末尾数字。因此，在解这类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找出末尾数字的变化规律。最后依旧变化规律，分析出最终结果。（2）此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型：最后根据题干要求计算结果。（2021•湖北武汉初三二模）观察下列等式：7=7，72=49.73=343-74=2401.7（2022（2022•浙江七年级开学考试）我们平时用的是十进制数，例如，204958=2xl05+0xl04+4xl03+9xl（）2+5xl0+8xl,表示十进制数要用10个数字：0,1，2，…，9.在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：0,1.例如：在二进制中，1101=lx23+lx22+0x2l+lxl^+j4$mi3,110011=1x25+1x24+0x23+0x22+1X2+1X1,7等于十进制的51.请你计算一下:=117649.…，那么7+7?+73+…+7238的末位数字是（）人.9B.7C.等于十进制的51.请你计算一下:（2022•江苏相城初一月考）数3239•72。2。•132⑼的个位数是（）A.1 B.3 C.7 D.9（2021.河南省初一期中）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到OA】的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA?的中点A3处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为.P."•［：・・、/ 4. （2021•福建省初一期中）我国古代TOC\o"1-5"\h\z。AjA>A: Ai A 、《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果个数为（ ）•• • <><• • •A.3123B.3214 C.3258D.3236

(1)二进制中的数110101等于十进制的数多少？(2)仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数1507等于十进制的数多少？6.(2021.浙江温州市.七年级期中)如图所示的计算流程图中，输入的x值为整数，若要使输出结果最小,则应输入x的值为.题型7新定义运算(乘方)【解题技巧】正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算式进行计算.(2021•江苏省初一期中)己知，论2,n>2,且n〃均为正整数，如果将初进行如图所示的“分解”,那么下列四个叙述中正确的有()2；＜3y□□□□2；＜3y□□□□①在25的“分解”结果是15和17两个数.②在42的“分解”结果中最大的数是9.③若，疗的“分解”结果中最小的数是23,则m=5.④若3"的"分解”结果中最小的数是79,则〃=5.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个(2022•涟水金城外国语学校初一期中)规定两数a,匕之间的一种运算，记作(a,加：如果/=/,，那么(a,6)=c.例如：因为2'=8，所以(2,8)=3.(1)根据上述规定，填空：(5,125)=,(-24)=,(-2,-8)=；(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：(3",4")=(3,4),小明给出了如下的证明:设(3",4")=x,则(3")，=4",即(3*)"=4",所以3*=4,即(3,4)=x,所以(3",4")=(3,4),请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：(3,4)+(3,5)=(3,20)(2021•全国七年级)请认真阅读下面材料，并解答下列问题.如果a(a>0,arl)的b次累等于N,即指数式ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数，时数式记作：logaN=b.例如：①因为指数式22=4,所以以2为底4的对数是2,对数式记作：log24=2；②因为指数式42=16,所以以4为底16的对数是2,时数式记作：k)g416=2.(1)请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：①62=36：②43=64：(2)将下列对数式改为指数式：①log525=2；②log327=3；(3)计算：log232(2021•山东临沂市•九年级一模)定义运算：若d"=b，则log〃b=m(a＞。)，例如2?=8，贝Ulog28=3.运用以上定义，计算：Iog5125-log381=.(2022•银川市第三中学初一期中)阅读理解与计算：(1)用“㊉”定义新运算：对于任意有理数都有a㊉b=Z/+i.例如：7㊉4=42+1=17.则①填空：5㊉3=；②当加为有理数时，求“㊉(“㊉2)的值：(2)己知见〃互为相反数，乂丁互为倒数，|a|=l,试求m+〃［12+(_孙)2。12的值.(2022•浙江七年级期末)(阅读理解)求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如：5+5+5,(-8)+(-8)+(-8)+(-8)等,类比有理数的乘方,我们把5+5+5记作5③，读作“5的圈3次方”，(一8)+(-8)+(-8)+(-8)记作(-8)®,读作“-8的圈4次方”一般的把竺史二记作a。，读作n个〃的圈〃次方(1)直接写出计算结果：(-6)©=；［类比探究］有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试：将下列运算结果直接写成基的形式：(2)(-)® ；(-)®= .(〃..2且〃为正整数)；［实践应用］(3)计算①(一上)7 a 4®x(-4)®-(-)3②J)②+J)®+J)叫(1)®+……+(-)®(其中“=2021)5 5 5 5 5题型8科学记数法【解题技巧】科学记数法的表示形式为axlOn的形式，其中10a|VlO,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.1.(2022•四川广安•二模)2022年北京冬奥会取得圆满成功，中国代表团以9金4银2铜的骄人成绩位居世界第三！它不仅为各国体育健儿提供了展示自我的竞技场所，而且也为促进世界和平、增进相互了解、实现文化交融、传递文明友谊搭建了最好的学习交流平台.它将“带动3亿人参与冰雪运动”成为北京冬奥会最TOC\o"1-5"\h\z大遗产成果.数字3亿用科学记数法表示正确的是（ ）A.3xlO10 B.3x109 c.3x108 D.30x107（2022河北唐山市•九年级二模）一个整数81550…0用科学记数法表示为&155xl0"＞，则原数中“0”的个数为（ ）A.4 B.6 C.7 D.10（2021•河南洛阳市•九年级二模）2021年2月19日9：00时，我国首枚火星探测器“天问一号''距离地球2.05亿千米，其中2.05亿千米用科学计数法表示为（ ）A.2.05X10'米B.2.05x10”米C.20.5xl0"＞米D.20.5x10”米（2021,湖北荆州市•九年级三模）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展.据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中数字632400000000用科学记数法表示为（）A.6.324x10"B.6.324x10'°C.632.4x109 D.0.6324x10,3（2021•广州大学附属中学九年级二模）整数68100…0用科学记数法表示为6.81x103则原数中“0”的个数为（ ）A.6个B.7个C.8个D.10个6.（2021•浙江杭州市.九年级二模）今年“五一”小长假期间，杭州市各景区景点共接待市民游客大约9210000人次，与去年同期相比增长85%.数据9210000用科学记数法表示为（ ）A.92.1x10s B.921X104 C.9.21X106 D.9.21X107题型9近似数【解题技巧】近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字.近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示.一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法.（2021•河北唐山市•九年级一模）用科学记数法表示数字160531（精确到千位）是（ ）A.1.61X106 B.0.161X106 C.1.61xl05 D.16.1xl04（2021•河北九年级二模）近似数3.20精确的数位是（ ）A.十分位 B.百分位 C.千分位 D.十位（2021•河北唐山市•九年级学业考试）我国第十四个五年规划和2035年远景目标纲要中阐释了“坚持农业农村优先发展，全面推进乡村振兴”的具体目标：坚持最严格的耕地保护制度，实施高标准农田建设工程,建成10.75亿亩集中连片高标准农田，下列关于10.75亿的说法正确的是（）A.10.75亿是精确到亿位 B.10.75亿是精确到十亿位10.75亿用科学记数法表示为ax10",贝ija=1.075,〃=910.75亿用科学记数法表示为ax10",则。=10.75,〃=8（2021•潍坊市寒亭区教学研究室九年级一模）新冠疫情在我国得到了很好地控制，可至今仍在海外肆虐，截止2021年3月底,海外累计确诊128924229人，128924229用科学记数法可表示为（精确到千万位）（ ）A.0.13xl09B.1.3xl08C.1.29xl08D.12.9x107（2021•江西省大吉山中学初一期中）当使用计算器的团4键，将*的结果切换成小数格式19.16666667,则对应这个结果19.16666667,以下说法错误的是（ ）A.它不是准确值B,它是一个估算结果 C.它是四舍五入得到的 D.它是一个近似数（2021♦广西壮族自治区初一期中）用四舍五入法按要求对0.0603分别取近似值，其中里送的是（）A.0.1（精确到0.1） B.0.060（精确至IJ0.001）C.0.06（精确到百分位） D.0.06（精确到十分位）专题03有理数的运算重难点题型题型1有理数加减法乘除再认识解题技巧：该类题型的实质是有理数加减乘除法的计算，通过理解题干条件，利用有理数加减乘除法运算规律逐一判别即可。（2022•浙江杭州市•七年级期末）在数轴上，四个不同的点4,B,C,。分别表示有理数a,h,c,d,TOC\o"1-5"\h\z且a+b=c+d,则这四个点在数轴上的大致位置表示不正确的是（ ） • • ・ • A • ・ • ・ >A. A C D B B. C A B D • • • • ► • • • ・ ►C. B D A C D- D B A C【答案】C【分析】从选项数轴上找出“、b、c、d的关系，再根据a+公c+d,逐项判断.【详解】解：•.•数轴上A、B、C、。四点所代表的数分别是〃、b、c、d,且a+b=c+d,4、a<c<d<b,可以满足。+斤c+d,故不符合：B、c<a<b<d,可以满足a+6=c+d,故不符合；C、b<d<a<c,满足a+b<c+d,故符合：D、d<b<a<c,可以满足故不符合：故选C.【点睛】本题主要考查数轴，有理数的加法运算，解题的关键是根据数轴上的位置得到"、氏c、d的关系.（2022•长沙市开福区七年级月考）在数轴上有a、b两个有理数的对应点，则下列结论中，正确的是（ ） ■-2-1-1-1~——1-AA.a+b>0B.ab>oC.a-b<0D.->0-3-2-10 1 23 b【答案】c【分析】根据数轴上的位置判断人两个有理数的正负和绝对值大小即可.【详解】解：根据数轴可知，«<0,b>0,\a\>\b\,Aa+b<0,ab<0,-<0,a-b<0,:.A、B、D错误，C正确;故选：C.b【点睛】本题考查了数轴上表示数和有理数的运算，解题关键是通过数轴确定两个有理数的正负和绝对值大小.（2021•北京二中七年级期末）有理数°、8在数轴上的位置如图所示，则下列说法正确的是（ ） 1 i 1 ►b 0 aA.a+b>0B.ah>0 C.h-a>0D.|/?|-|a|>0【答案】D

【分析】根据数轴上点的位置可得力<0<a，IL|b|>|a|,然后利用有理数的加减法及乘法计算法则进行判断求解.【详解】解：由题意uJ'得：b<O<a，目例>同a+b<0，收选项A不符合题意；ab<0,故选项B不符合题意；b-a<0,故选项C不符合题意： 同一时>0,正确故选：D.【点睛】本题考查利用数轴比较数的大小及有理数的加减法及乘法运算，利用数形结合思想解题是关键.（2022•吉林白城市•七年级期末）己知数a/在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）Fq-*■A.a+b>0B.a-b>0C.Z?+l<0D.ab<0【答案】D【分析】根据数轴得出aVOV6|。|>网，再根据有理数的加法、减法、乘法法则进行判断即可.【详解】解：从数轴可知:a<O<b,|a|>|/?|,A、a+b<0>故此选项不符合；B、。一/?<0，故此选项不符合；C、不能确定。+1与0的大小关系，故此选项不符合；D、ab<0<故此选项符合；故选：D.【点睛】本题考查了数轴，有理数的大小比较，有理数的加法、减法、乘法法则的应用，主要考查学生对法则的理解能力，难度不是很大.（2022•广东省初一期中）已知帆=2,|n|=5，且|加一〃|=〃一加，则m+n的值是（）A.7 B.3 C.—3或一7 D.3或7【答案】D【分析】首先根据绝对值的性质可得m=±2,n=±5,再根据|m-n|=n-m,可得n>m,进而确定出m、n的值，再计算出答案.【解析】,:同=2,.*.m=±2,V|/z|=5,n=±5,V|w-n|=n—m,/.m<n,...当m=2,n=5,则m+n=2+5=1,当m=-2,n=5,则m+n=-2+5=3,故选：D.【点睛】此题主要考查了有理数的加法和绝对值，关键是掌握绝对值的性质，互为相反数的两个数绝对值相等.（2022•广东省初一月考）如果以人是有理数，则下列各式子成立的是（ ）A.如果a<0、b<0,那么a+力>0B.如果a<0、b>0,那么。+力>0

C.若C.若。>0、b<0,则a+A<0D.若a<0、b>Q,且同>网，则a+力<0【答案】D【分析】利用有理数的加法法则判断即可得到结果.【解析】A、如果。<0、6<0,那么。+力<0,故A错误；B、如果。<0/>0,那么不能判断。+方的符号，故B错误；C、若。>0、。<0,不能判断。+力的符号，故C错误：D、若a<0,b>0,且|a|>|b|,那么a+b<0,正确；故选：D.【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.题型2有理数加、减法运算的实际应用解题技巧：与利用正负数求平均数方法类似。（1）选择合适的标准数，超过标准数的记为正数，不足的记为负数；（2）对处理后的正负数进行加法运算；（3）最后还需要将处理后的正负数还原为实际数。（4）根据题意列出算式；（5）进行有理数加减法运算，可利用运算律进行简算；（6）比较结果，得出结论。（2022•浙江杭州市•七年级期末）记运入仓库的大米吨数为正，则（+3.5）+（-2.5）表示（ ）A.先运入大米3.5吨，后运入大米2.5吨B.先运出大米3.5吨，后运入大米2.5吨C.先运入大米3.5吨，后运出大米2.5吨D.先运出大米3.5吨，后运出大米2.5吨【答案】C【分析】先理解“正"和“负''的相对性，得到运入和运出分别记作正和负，从而得到算式的意义.【详解】解：；运入仓库的大米吨数为正，则运出仓库的大米吨数为负，.•.（+3.5）+（—2.5）表示：先运入大米3.5吨，后运出大米2.5吨，故选：C.【点睛】此题考查正数和负数问题，解题关键是理解"正''和"负''的相对性，确定一对具有相反意义的量.（2022•浙江绍兴市•七年级期中）为解决村庄灌溉问题，政府投资由水库向A,B,C,D，E这五个村庄铺设管道，现已知这五个村庄与水库以及村与村之间的距离（单位：km）如图所示，则把水库的水输送到这五个村庄铺设管道的总长度最短应是（）水库19km20km21kmD.2水库19km20km21kmD.22km【答案】A【分析】尽量选择数据较小的路线，到达5个村庄即可.【详解】解：如图，要使水管最短，一定要挑选最短的路程，最短总长度应该是：水库到A,再从4到E、B,同时从8到C,从E到£）,总长度为：4+3+4+4+4=19km,故选A.【点睛】本题考查了最短路径问题，找到最短路线是解决本题的关键.（2021•浙江杭州市•七年级期末）如图是一个二阶幻圆模型，现将-1,2,-3,4,-5,6,-7,8分别填入圆圈内，使横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等，则。+力的值是.【答案】7【答案】7或-6【分析】由八个数的和为4及横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等可得，两个圈的和为2,横、竖的和也是2,从而可设出两空白圈的数，列等式求解即可【详解】解：设小圈上的数为c,大圈上的数为dV-1+2-3+4-5+6-7+8=4且横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等，两个圈的和为2；横、竖的和也为2；.-7+4+b+6=2,2+4+c+b=2,a+c+2+d=2/.b=-l,c=-3,a+d=3当a=8时，d=-5,则a+力=8-1=7当a=-5时，d=8,则a+b=—5—1=—6故答案为：7或-6【点睛】本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是依据八个数的和与横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等得到：两个圈的和为2；横、竖的和也为2（2021•浙江金华市•九年级二模）如图，两支温度计的读数分别是某一时刻小明家阳台与室内的气温，那么这一刻阳台的气温比室内气温低（ ）

【答案】BB【答案】BB.12℃ C.7℃D.-12℃【分析】根据温差=最高气温-最低气温计算即可.【详解】•••最高气温是7C,最低气温是-5C,...温差为：7-（-5）=12（℃）,故选民【点睛】本题考查了有理数的减法，理解温差的定义，并准确列式是解题的关键.（2022•浙江宁波市•七年级期末）两个小朋友玩跳棋游戏，游戏的规则是：先画一根数轴，棋子落在数轴上K。点，第一步从K。点向左跳1个单位到K，第二步从向右跳2个单位到K?,第三步从K?向左跳3个单位到83,第四步从K,,向右跳4个单位到X,，…，如此跳20步，棋子落在数轴的K?o点，若长2。表示的数是16,则K,。"的值为.【答案】-1004【分析】根据向左减向右加可知每两步跳动向右1个单位，根据K20表示的数是16,得K。，然后先得出长2018的值，进而得出长2019的值.【详解】解：由题意得，第一步、第二步后向右跳动1个单位，跳20步后向右20+2=10个单位，则Ko的值是16-10=6,因为2019+2=100%.」,所以跳2018步时，所对应的数是1009+6=1015,跳2019步时，所对应的数是1015-2019=1004,故答案为：-1004.【点睛】本题考查数轴上动点问题，有理数的减法的应用.解决此题的关键是理解可知每两步跳动向右1个单位.（2022•河北省初一期中）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+14,-9,+8,

-7,+13,-6,+12,-5.（1）请你帮忙确定5地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？（2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，邮箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？【答案】（1）8地在A地的东边20千米；（2）冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油；【分析】（1）根据有理数的加法，可得和，再根据向东为正，和的符号，可判定方向；（2）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据耗油量与已有的油量，可得答案；（3）根据有理数的加法，可得每次的距离，再根据有理数的大小比较，可得最远.【解析】（1）,/14-9+8-7+13-6+12-5=20,答：8地在A地的东边20千米；（2）这一天走的总路程为：14+卜9|+8+|-7|+13+卜6|+12|+|-5|=74千米，应耗油74x0.5=37（升），故还需补充的油量为：37-28=9（升），答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油；【点睛】考查了正数与负数，掌握有理数的加法运算是解题的关键.题型3.有理数的乘除法在实际问题中的应用解题技巧：（1）根据题意列出算式；（2）进行有理数乘除法运算，可利用运算律进行简算；（3）比较结果，得出结论。对原本无数量关系的问题巧妙的赋某些特定值，将其转化成数量问题，然后通过对整数的正负号进行讨论，使问题得到解决。用赋值法解决此类问题时，关键是对操作过程中的某一个量进行赋值（通常为±1）,通过对操作过程的量化，讨论理数正负号变化规律，最终求解出具体问题。（2022•四川成都•七年级期末）元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200元，则不予折扣：若一次购物超过20。元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠.小明的妈妈两次购物分别付款192元和384元，如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约 元.【答案】55.6或22##22或55.6【分析】根据题意分类讨论，分别求得两次购物标价，进而根据优惠方案求解叩可.【详解】解：付款192的商品如果按规定：每一次购物不超过200元，则不予折扣付款，则商品的标价为192元；付款192的商品如果按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予八折优惠付款,则标价为192X）.8=240元；11J500x0.8=400,所以付款384的商品没有超过500元，则按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予八折优惠付款，则商品的标价为384X）.8=480元，所以某人两次购物分别付款192元和384元的商品的总标价为192+480=672（元）或240+480=720（元），当他合起来一次购买同样的商品时，可按规定：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠之外，

超过500元部分给予七折优惠进行付款.总标价为672元应实际付款数=500x0.8+（672-500）x0.7=520.4（元），则他可节约（192+384）-520.4=55.6（元）；总标价为720元应实际付款数=500x0.8+（720-500）x0.7=554（元），则他可节约（192+384）-554=22（元）.故答案为：55.6或22.【点睛】本题考查了有理数运算的应用，分别求得两次购物标价是解题的关键.（2021•浙江初一期中）如图，桌上有9张卡片，每张卡片的一面写数字1,另一面写数字-1.每次翻动任意2张（包括已翻过的牌）。改变其向上的面，然后计算能看到的所有牌面数字的积请问，当翻了2019次时牌面数字的积为（）A.1B.-1 C.2019 D.-2019（00（1）00【答案】A【分析】依照题述翻牌，发现翻牌时」的个数总保持偶数，故2019次翻牌乘积仍为1.【解析】第一次翻牌时有两张变成-1,其它都为1,故乘积为I：;第二次翻牌时，有三种可能：①翻到的两张都为未翻到的牌，则有四张-1,其它都为1,乘积为1;②翻到的两张都为翻到的牌，则有。张-1,其它都为1,乘积为1;③翻到的两张一张为翻过的牌，一张为未翻过的牌，则-1有两张，其它都为1,乘积为1.依次类推，从第二次开始每次翻牌都有三种可能，-1的个数比原来增加2,-1的个数保持不变，-1的个数减少2,总之-1的个数为偶数，其余全是1,故乘积为1.所以当翻了2019次时牌面数字的积为：1.故选:A.【点睛】本次考查探索与表达规律，多个有理数相乘.解决本题的关键是能找到题中-1个数的变化规律，并根据多个有理数相乘，当负数的个数为偶数时结果为正，当负数的个数为奇数时结果为负，再把绝对值相乘进行计算.（2022•山西七年级期中）24点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取4张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或-24.例如：抽到的数字为“4,4,10,10”,则可列式并计算为：（10x10-4）^4=24.如果九♦表示正，戴余表示负（如“♦5”为“+5”,Q4”为“-4”），请对下面两组扑克牌按要求进行记数,并按“24点''游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为24或-24.

①列式计算： 依次记为： 【答案】①+4，44.-10,-10；[(-10)x(-10)-4]h-4①列式计算： 依次记为： 【答案】①+4，44.-10,②-4，+4,+10,-10；[(-10)xl0+4]+(T)=24.(答案不唯一，正确即可)【分析】根据，♦表示正，♦、今表示负结合牌的点数即可表示，出各张牌表示的数，根据“24点”游戏规则结合有理数的混合运算法则列式即可.【详解】解：①四张牌依次记为+4，M，-10,-10；列式计算得：[(—10)x(-10)-4]+4=24(答案不唯一，正确即可)；②四张牌依次记为-4，M，+10,-10；列式计算得：KTO)xlO+4]+(-4)=24(答案不唯一，正确即可).【点睛】本题考杳了新定义问题和有理数的混合运算，理解"24点''游戏规则并熟练掌握有理数运算法则是解题关键.(2022•四川・石室中学七年级期中)居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20立方米及以内的为第一级基数，按一级用气价格收取；超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级气量基数，按一级用气价格的1.5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍收取.为节约用气量，小明记录了1-7月份他家每月1号的气表读数.1月2月3月4月5JJ6月7月气表读数(立方米)433450468485500514535（1）直接写出小明家1月份的用气量 立方米及1―6月平均每月用气量为立方米.（2）已知小明家2月份的气费为36元，试求他家6月份需交气费多少元？（3）7月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加，比6月份多用气12立方米，试求小明家7月份需交纳气费多少元？【答案】（1）17；17；（2）43元；（3）80.8元【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得出小明家1月份的用气量和1-6月份平均每月的用气量（2）根据小明家2月份的气费为36兀，可以计算出一级用气价格，再根据小明家6月份的用气量超过20立方米且不超过30立方米，超过20立方米的部分按第：级气量基数，结合题意，从而即可计算（3）根据题意，可计算出小明家7月的用气量，再结合题意，即可计算【详解】（1）由表格数据可得：小明家1J1份的用气量为450-433=17立方米；1-6月份平均每月的用气量为：（535-433）+6=17立方米故答案为：17；17•.•小明家2月份的气费为36元，2月份的气费量为：468—450=18<20二一级用气价格为：36+18=2（元/立方米）6月份的用气量为535-514=21立方米，气量超过20工方米”.不超过30立方米的部分按第二级气量基数，超出部分按一级用气价格的1.5倍收取6月份小明家需交气费为：20x2+1x2x1.5=43元♦.・小明家6月份的用气量为：21立方米,7月份的用气量比6月份的多12立方米二7月份的用气量为：21+12=33立方米・••代晶超过20M方米且不超过30M方米的部分为第二级气量基数，超出部分按一级用气价格的1.5倍收取，用气量超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍收取费用，7月份小明家需交气费为：20x2+10x2x1.5+3x2x1.8=80.8元【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是明确题意，求出相应的收费标准.5.（2021•浙江杭州市♦七年级期中）小王和小李两人在进行100米跑训练，小王说：“我跑到终点时，你离终点还有20米”，小李说：“我跑到终点时，你才比我快了2.5秒”.（1）求小王和小李的速度.（2）若小李从起点先跑2秒后小王再开始跑，求小王起跑后几秒追上小李.（3）若小李从起点起跑，小王在起点后20米同时起跑，小王在起跑时不慎摔了一跤，爬起来后继续按原速度跑，在跑的过程中发现某一时刻两人相距只有2米，求小王摔倒最多耽搁几秒时间？【答案】（1）小李的速度为8米/秒，小王的速度为10米/秒；（2）8秒；（3）3秒

【分析】（1）利用20+2.5可得小李的速度，从而得到小王的时间，再利用路程除以该时间可得小王的速度；（2）利用路程一速度差=追上小李的时间可列式计算；（3）根据题意可得该时间的路程差，再除以速度差可得时间，从而计算耽搁的时间.［详解】解：（1）20+2.5=8米/秒，.•.小李的速度为8米/秒，100+8=12.5秒，100+（12.5-2.5）=10米/秒，...小王的速度为：10米/秒；8x2+（10-8）=8秒，二小王起跑后8秒追上小李；（20-2）+（10-8）=9秒，12070-9=3秒，.•.最多耽搁3秒.【点睛】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是读懂题意，掌握行程问题的计算公式的应用.6.（2021•浙江台州市•中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升输液开始时，药液流速为75滴/分钟.小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间.【答案】（1）输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟.【分析】（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解；（2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解.【详解】⑴解:75+15=5（毫升/分钟），250-5x10=200（毫升），答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）（200-160）+10=4（毫升/分钟），160+4+20=6。（分钟），答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟.【点睛】本题主要考查有理数运算的实际应用，明确时间，流速，输液量三者之间的数量关系，是解题的关键.题型4新定义运算解题技巧：该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则，将题干写成有理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。1.(2022•广东广州市•七年级期中)若定义一种新的运算规定有理数a*b=3ab,如2*(-4)=3x2x(-4)=-24.则』*(-2*5)=.6【答案】-15【分析】根据a*b=3ab,可以求得所求式子的值.【详解】解：,.,a*b=3ab,/.-*(-2*5)=-*［3x(-2)x5］=-*(-30)=3x』x(-30)=-15,故答案为：-15.6 6 6 6【点睛】本题考查有理数的混合运算、新运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法.2.(2021•湖北省初一期中)在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了.如计算8x9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7,未伸出手指数的积为2,则8x9=10x7+2=72.那么在计算6x7时，左、右手伸出的手指数应该分别为()A.1,2 B.1,3 C.4,2 D.4,3【答案】A分析：通过猜想得出数据，再代入看看是否符合即可.【解析】一只手伸出1,未伸出4,另一只手伸出2,未伸出3,伸出的和为3x10=30,30+4x3=42,故选A.点评：此题是定义新运算题型.通过阅读规则，得出一般结论.解题关键是对号入座不要找错对应关系.(2022.北京十二中初一期中)设区表示不超过X的最大整数，计算［5.8］+［-1.5］=.【答案】3【分析】根据题目所给的信息，分别计算［5.8］、［-1.5］的值，然后求解.【解析】由题意得，［5.8］=5,卜1.5］=-2,则［5.8］+卜1.5］=5-2=3.故答案为：3.【点睛】本题考查有理数的大小比较，解答本题的关键是读懂题目所给的信息，分别计算［2.7］、hk5］的值.(2022•广西百色市•七年级期中)1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想:对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能够得到1.这一猜想后来成为著名的''考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想虽然这个结论在数学上还没有

得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5,最少经过下面5步运算可得1,即:々■f2々■f1，如果正整数“最少经过6步运算可得到I,则m的值为（）A.10 B.32 C.64 D.10或64【答案】D【分析】利用第六步为1出发，按照规则，逆向逐项即可求出m的所有可能的取值.【详解】如果正整数m按照上述规则施行变换后的第六步为1,则变换中的第五步一定是2,变换中的第四步一定是4；变换中的第三步一定是8；变换中的第二步一定是16,变换中的第一步可能是5或32则团的值为10或64,故选择：D.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，利用变换规则，进行逆向验证是解决本题的关键，考查学生的推理能力.（2022•浙江金华市•七年级开学考试）已知：C；=--=3,C；= -=10,C：= -=15，…，1x2 1x2x3 Ix2x3x4观察上面的计算过程，寻找规律并计算：C：=—.【答案】4【分析】根据计算可得.加•（6一1）•（6一2）・・・・•（6一〃+【分析】根据计算可得.〃•（〃一 2）・・・・・1a4x3x2【详解】解：C= =4'故答案为：4.53x2x1【点睛】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是根据已知等式得出计算公式.（2022•北京海淀区•七年级期中）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1,则这个正整数属于A类，例如1,4,7等；如果一个正整数被3除余数为2,则这个正整数属于8类，例如2,5,8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3,6,9等.（1）2020属于类（填A,8或C）；（2）①从A类数中任取两个数，则它们的和属于类（填4,8或C）；②从4类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于类（填4,B或C）；（3）从A类数中任意取出小个数，从B类数中任意取出〃个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C类，则下列关于"，〃的叙述中正确的是（填序号）.①m+2〃属于C类；②川属于8类；③机属于A类，〃属于C类；④m,〃属于同一类.【答案】（I）A；（2）①8；②8；（3）①④【分析】（1）计算2020+3,根据计算结果即可求解：（2）①从A类数中任取两个数进行计算，即可求解；②从4类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，再除以3,根据余数判断即可求解；（3）根据/«,〃的余数之和，举例，观察即可判断.【详解】解：（1）2020-3=673...1,所以2020被3除余数为1,属于A类：故答案为：A：（2）①从A类数中任取两个数，如：（1+4）+3=1…2,（4+7）+3=3…2,被3除余数为2,则它们的和属于8类；②从A类数中任意取出15个数，从8类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，得（15x1+16x2+17x0）=47+3=15…2,.•.余数为2,属于B类;故答案为：①B；②B；（3）从A类数中任意取出加个数，从B类数中任意取出"个数，余数之和为：mxl+”x2="?+2",•..最后的结果属于C类，.•.,”+2〃能被3整除，即5+2〃属于C类，①正确；②若，"=1,n=\,贝!]|,"-川=0,不属于B类,②错误；③若帆=1,〃=1,③错误；④观察可发现若山+2"属于C类，m,”必须是同一类，④正确；综上，①④正确.故答案为：①④.【点睛】本题考查了新定义的应用和有理数的除法，解题的关犍是熟练掌握新定义进行解答.题型5有理数的简算解题技巧：（1）有理数的简便运算一般运用加法（乘法）的运算律或减法（除法）的性质，达到简便运算的目的。（2）利用乘方的运算性质0^"=（ab）",将可以凑整的部分先放在一起简化运算，再求凑整后部分的乘方运算。（2021•江苏苏州市•七年级月考）计算（-0.25严7x（-4严8等于（ ）.A.-1 B.1 C.-4 D.4【答案】C【分析】原式利用同底数幕的乘法，以及积的乘方逆运算法则变形，计算即可得到结果.【详解】解：原式=（0.25x4）2<»7x（⑷=-4.故选C.【点睛】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键.（2022•江苏无锡市•七年级月考）阅读第（1）小题的计算方法，再用这种方法计算第（2）小题.

342(1)计算：_5,+卜弓卜］7》卜33=[(-5)+(-9)+17+(-3)]34342(1)计算：_5,+卜弓卜］7》卜33=[(-5)+(-9)+17+(-3)]3414上面这种解题方法叫做拆项法.(2)计算:-2000-1+(-1999-1+4000-4-(-1-【答案】【分析】先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得.-1999)+4000+【详解】原式==[(-2000)+(-1999)+4000+(-1)]2+—+3=。+，【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.(2022•浙江七年级期中)先计算，再阅读材料，解决问题:(1)计算:(2)(2)认真阅读材料,解决问题:io+652112分析：利用通分计算3-白+ 的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算:31()65解：原式的倒数是:

2_J_\__23-106-5302_J_1__23-1062_J_\__23-106-5302_J_1__23-106-52 112 ...x3O=-x3O-—x3O+-x3O--x3O=20-3+5-12=10.故原3 10 6 5请你根据对所提供材料的理解，选择合适的方法计算:52426+2i3【答案】（1）8；(2)---47【分析】（1）根据乘法分配律计算即可：（2）根据题目中所给的方法计算即可:【详解】（1）计算:-+-|xl2=-xl2--xl2+-xl2=4-2+6=8：（2）原式的倒数是:35 124-26+2-13x(-52)3 5 12=-x(-52) x(—52)4—x(—52) x(—52)=-39+10-264-8=—47,4 26 2 13收原式=—47【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，准确计算是解题的关键.（2022•四川省内江市第六中学七年级期中）观察下面算式的演算过程:1x3+1 422=1x3+1 422= =__1+1x3 1x31x31 2x4+1 92x4 2x4 2x42x4 3x5 3x5 3x53x51+ 6x81+ 6x81+ 2nx(2n+2).（〃为正整数）, 1 4x6+1 25 52।_| _ — — 4x6 4x6 4x64x6（1）根据上面的规律，直接写出下面结果:1+—=—5x7（2）根据规律计算:(1+白x(l+2x4)x(1+(1+白x(l+2x4)x(1+ )x(1+ )x---x(l+ )x(1+3x5 4x6 98x10099x101z.2【答案】（1）—725x7 6x82nx(2n+2)200；(2) 101【分析】（1）根据已知算式的演算过程即可得：（2）根据（1）的结论，先将各括号进行转化，再计算有理数的乘法即可得.【详解】（【详解】（1）1+——5x75x7+1 36 625x7 5x75x7449_726x86x8, 1 6x8+114- = 6x8 6x81 _2〃x(2〃+2)+l (2〃+1)22hx(2/7+2) 2〃x(2〃+2)Inx(2/74-2)fl故答案为：—T(2〃+1)25x76x82〃x(2〃+2)223242 52 992 1002(2)原式=——X X X X・・・X X 1x32x43x54x6 98x10099x10122x32x42x52x---x992x1002(1x2x3x4x...x98x99)x(3x4x5x6x...x100x101)22x32x42x52x...x992x10021x2x100x101x32x42x...x982x99222x10()2

1x2x100x101200To?【点睛】本题考查了有理数乘方、乘法、加法的规律型问题，根据演算过程，正确发现规律是解题关犍.（2021•温州市第十二中学七年级月考）计算 的值.2612203042567290【答案喘【分析】由题意，先把每个分数进行拆项，变成差的形式，再进行计算即可.【详解】解：根据题意，则1_1_111J 1 11-J-L-2612-20-30-425672—=U)~90 22334111,1111=1--+—223~344 89910.【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行拆项，从而进行解题.

（2022•浙江衢州市•七年级期中）阅读下面解题过程:1-2-3X63225解：原式=(-15)+(-?)x6(第①步)6=(一15=(一15)+一"x6

6（第②步）=（-15）+（-25）（第③步）3=--（第④步）（1）上面解题过程中有错误的步骤是.（填序号）（2）请写出正确的解题过程.【答案】（1）②④：（2）见解析【分析】（1）根据有理数的乘除法混合运算法则，分步查找错误即可；（2）根据有理数的乘除法混合运算法则进行计算即可得出结果.【详解】解：（1）②乘法和除法的混合运算，要依次计算，计算步骤不能颠倒，④负数和负数相除结果为正数，因此②④错误，故填：②④；⑵原式-15)+)x6=(—15)x(一假')x6=-5^x6=为【点睛】本题考查有理数的乘除法混合运算，熟练掌握运算法则是关键.题型6乘方的应用解题技巧：（1）末尾数字问题：此类题型通常乘方运算种的幕比较大，且无简单计算方法，直接计算几乎无法进行。但此类题型也并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数的末尾数字。因此，在解这类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找出末尾数字的变化规律。最后依旧变化规律，分析出最终结果。（2）此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。（2021•湖北武汉初三二模）观察下列等式：7'=7.7?=49，73=343.74=2401.75=16807.76=117649.…，那么7+72+73+…+720Hl的末位数字是（）A.9BA.9B.7C.6D.0【答案】C【分析】先根据已知算式算出其个位数据，进而得出规律，再求出即可.【解析】解：：71=7,7?=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649,77=823543,…，20184-4=504-2,/.504X（7+9+3+1）+7+9=10096,.•.71+72+73+…+7刈8的末位数字是6,故选：C.【点睛】本题考查了尾数特征和数字变化类，找出规律后转化为周期问题，本题能根据已知算式得出规律是解题的关键.（2022•江苏相城初一月考）数3239•72。2。•132⑼的个位数是（）A.1 B.3 C.7 D.9【答案】A【分析】首先根据规律依次分析出3239、72。2。、於2。21的个位数，然后由此进一步结合题意求出答案即叽【解析】v31=3，32=9,33=27,34=81.3=243…观察可得计算结果个位数是3,9,7,1,四次一循环，：2019=5（Mx4+3,.••3239的个位数为7,同理，通过观察可得7202。，132°21的个位数分别为1,3,•••7x1x3=21，321n9x7202°xl3202i的个位数字为1,故选：A.【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算的规律探讨，根据题意找出正确的规律是解题关犍.（2021•河南省初一期中）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到OA】的中点A?处，第三次从A2点跳动到OA?的中点A3处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为.【分析】根据题意分析可得：每次跳动后，到原点。的距离为跳动前的一半.【解析】依题意可知，第n次跳动后，该质点到原点0的距离为2"第5次跳动后，该质点到原点O的距高为—.故答案为—.【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的.（2021•福建省初一期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即''结绳记数如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果个数为（ ）

【点睛】本题考查的是有理数的乘方，解题的关键在于阅读材料，明确十进制与二进制的转化.6.（2021•浙江温州市•七年级期中）如图所示的计算流程图中，输入的x值为整数，若要使输出结果最小,则应输入x的值为.开始输Ax求M+x+l大于开始输Ax求M+x+l大于loo

的值 ,输出

结果结束【答案】-6TOC\o"1-5"\h\z【分析】先将3x?+x+l配方得原式=3（x+1）斗工•，再根据非负数的性质求得要使输出结果最小，应输入6 12x的值.【详解】解：3『+x+l=3（x+7）'+—<•••输入的x值为整数，要使输出结果最小，6 12.- 1,11 „„I,1189..3（X"i—）>100,BP（x+—） =33—>6 12 6 36 36二应输入x的值为-6.故答案为：-6.【点睛】本题主要考查了平方的非负性，利用配方法将式子转化为平方的形式，然后利用平方的非负性的到式子的最小值，进一步判断x的取值.题型7新定义运算（乘方）【解题技巧】正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算式进行计算.（2021•江苏省初一期中）已知所22,n>2,且加、〃均为正整数，如果将，十进行如图所示的“分解”,那么下列四个叙述中正确的有（□□□□那么下列四个叙述中正确的有（□□□□①在25的“分解”结果是15和17两个数.②在42的“分解”结果中最大的数是9.③若小的“分解”结果中最小的数是23,则m=5.④若3"的“分解”结果中最小的数是79,则n=5.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【分析】根据所给的例子的分解方法中找出分解的规律，其中最小的数是6"=加小-+从而可判断出②④正确.【解析】①在25的“分解”中最大的数是25T+1=17,所以这个叙述正确：②在43的“分解”中最小的数是43T-4+1=13；所以这个正确;③若53的“分解”中最小的数是21,所以这个叙述是错误的；④若3”的“分解”中最小的数是3"T-2=79,解得n=5,故这个是正确的.综上所述，共有两个正确的结论.故选C【点睛】本题考查了有理数的乘方运算和规律总结，仔细观察发现其中的规律是解题的关键.(2022・涟水金城外国语学校初一期中)规定两数a,b之间的一种运算，记作(a,加：如果/=/,，那么(a,b)=c.例如：因为2:8,所以(2,8)=3.(1)根据上述规定，填空：(5,125)=,(-2,4)=,(-2,-8)=；(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：(3",4")=(3,4),小明给出了如下的证明：设(3",4")=x,则(3")"=4",即(3")"=4",所以3、=4，即(3,4)=x,所以(3",4")=(3,4),请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：(3,4)+(3,5)=(3,20)【答案】(1)3；2；3；(2)见解析【分析】(1)分别计算左边与右边式子，即可做出判断；(2)设(3,4)=x,(3,5)=y,根据同底数幕的乘法法则即可求解.【解析】解：⑴53=125,(5,125)=3, (-2)2=4,(-2,4)=2,(-2尸=-8,(-2,-8)=3,故答案为：3：2；3：(2)设(3,4)=x,(3,5)=y,则3*=4,3丫=5,：.3^=3^3>=20,：.(3,20)=x+y,/.(3,4)+(3,5)=(3,20).【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键.(2021•全国七年级)请认真阅读下面材料，并解答下列问题.如果a(a>0,a4l)的b次幕等于N,即指数式ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：bgaN=b.例如：①因为指数式22=4,所以以2为底4的对数是2,对数式记作：logz4=2；②因为指数式42=16,所以以4为底16的对数是2,对数式记作：log416=2.(1)请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：①62=36；②43=64；(2)将下列对数式改为指数式：①logs25=2；②log327=3；(3)计算：log232【答案】（1）@log636=2；②log464=3：（2）①5?=25；②3?=27；（3）5【分析】（1）根据题意可以把指数式写成对数式；（2）根据题意可以把对数式写成指数式；（3）根据题目中提供的信息可以计算出式子的结果.【详解】解：（1）①62=36：对数式记作：bg636=2；②43=54；对数式记作：log464=3；（2）①k）gs25=2：指数式为52=25,@log327=3；指数式为33=27；（3）V25=32,log：32=5.【点睛】本题考查了对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系.（2021•山东临沂市•九年级一模）定义运算：若""=6，则108“人=机（。＞0）,例如23=8,则log28=3.运用以上定义，计算：1唱125-1吗81=.【答案】-1【分析】根据题意可以计算出所求式子的值.【详解】解：由题意可得，logs125-log381=3-4=-1,故答案为：-1.【点睛】本题考查了新定义运算，解答本题的关键是明确新定义运算的计算方法.（2022•银川市第三中学初一期中）阅读理解与计算：（1）用“㊉”定义新运算：对于任意有理数都有a㊉6=