2022-2023学年江苏高二上学期数学教材同步教学讲义-（苏教版必修第一册）

1.3两条直线的平行与垂直【知识点梳理】知识点一：两条直线相交、平行与重合.代数方法判断两条直线4:A^+4y+C1=012：4%+用丁+。2=0的位置关系，可以用方程组'+幻,+£=。的解进行判断(如下表所示)[A)x+ +C2=0方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点-A,Bt=0 而 8|G-C|82Ho 或-AG*0或4=旦片6(4鸟。2wo)242B、有唯一解相交有一个交点wo或今耳*0)有无数个解重合无数个交点A=丸4,B]= ,C)=AC2(A*0)或?=[= 2c2*0)^>2 ^^22.几何方法判断(1)若两直线的斜率均不存在，则两条直线平行.(2)若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：设4:y=kxx+b，：y= +b2>4与4相交w&；=右且4Hb2；4与4重合=4=与且〃=打.简记表：类型斜率存在斜率不存在

条件=。209。Of1—c(2=90对应关系/1///2Qk}=ko/,///2o两直线斜率都不存在图示fl:知识点二：两条直线的垂直1.两条直线垂直的几何方法判断对应关系（与《的斜率都存在，分别为匕,内，则4_L4=K•&=T6与。中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，贝以与4的位置关系是4IV,y\h1图示c*•O\~\^0 112.两条直线垂直的代数方法判断已知直线4，/2的方程分别是4：4》+与丫+4=0（4与不同时为0），/^Ax+与y+Gn。（4,g不同时为0)(1)若a&+46=o<=>/1-L(（2）f<>»।//（2）AG-4GxoJ1 2【题型归纳目录】题型一：由斜率可以判断两条直线是否平行题型二：两条直线相交、平行、重合的判定题型三：两条直线垂直的判定题型四：直线平行与垂直的综合应用题型五：两直线的夹角题型六：已知直线平行求参数题型七：已知直线垂直求参数【典型例题】

题型一：由斜率可以判断两条直线是否平行例1.(2022.全国•高二课时练习)“直线4与4平行''是"直线4与4的斜率相等'’的()条件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要例2.(2022•全国•高二课时练习)判断下列各组直线是否平行，并说明理由：(1)/,:y=3x+2,4：y=3x+l；⑵4:x+2y-l=0,/,:x+2y=0；(3)4：x+2=O,12:2x=\.例3.(2022•江苏•高二课时练习)判断下列各组直线是否平行，并说明理由：⑴4：y=-x+l,l2:y=-x+3-(2)Z):3x-2y-l=0,l2:6x-4y-l=0；(3)/)：2x—5y—7-0,/2:5x—2y—1=0；(4)/)：y-2=0,/2:y+l=0.例4.(2022•江苏•高二课时练习)分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线A8与CO是否平行:(1)A(3,-1),B(-l,l),C(-3,5),0(5,1)；⑵A(2,T),B(-V3,-4),C(0,l),D(4,l)；(3)4(2,3),8(2,-1),C(-l,4),D(-l,l)；(4)A(-1,-2),8(2,1),C(3,4),£>(-1,-1).【技巧总结】判断两条不重合直线是否平行的步骤题型二：两条直线相交、平行、重合的判定题型二：两条直线相交、平行、重合的判定例5.(2022•全国•高二课时练习)直线or-2y-l=0和直线2y-3x+6=0平行，则直线y=or+6和直线y=3x+i的位置关系是（ ）A.重合 B.平行 C.平行或重合 D.相交例6.（2022・湖北•监利市教学研究室高二期末）直线的斜率是方程f-x-2=（）的两根，贝I"与〃的位置关系是（）A.平行 B.重合C.相交但不垂直 D.垂直例7.（2022•全国•高二课时练习）下列各组直线中，两直线相交的为（）y=x+2和y=lx-y+1=0和y=x+5x+my-\=0和x+2y-l=02x+3y+l=0和4x+6y-l=0例8.（2022・全国•高二专题练习）已知直线（〃z+2）x+（〃z+3）y—5=0和4：6x+（2〃z—l）y—5=0,问实数机为何值时，分别有：（1）4与4相交？（2）I川2?（3）4与4重合？【技巧总结】/（:y=k}x+h}J2:y=k2x+h2,4与6相交。K。玲；4/〃2OK=%2且”1工62；4与，2重合。4=%且4=打.题型三：两条直线垂直的判定例9.（2022•江苏・高二）已知A（5,-l）,8（U）,C（2,3）三点，则△ABC为三角形.例10.（2022•吉林油田高级中学高二期中）下列方程所表示的直线中，一定相互垂直的一对是（）A.or+2y-l=0与2x+oy+2=0 B.6x-4y-3=0与10x+15y+c=0C.2x+3y-7=0与4x-6y+5=0 D.3x-4y+力=0与3x+4y=0例IL（2022•全国•高二课时练习）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：（1）/|-y=3x+2,/2 =——x+1•（2）4：x+2y—1=0,I]:2x—y=0；(3)/j:x+2=0,/2:2y=1.例12.(2022・江苏•高二课时练习)判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：(1)4:y=-2x+l,/2:y=-x+3；(2)4:3x—y—1=0,I2：2%+6y—1—0•(3)l1:2x-5y-7=0,l2:5x-2y-l=0；(4)/j：y-2=0,l2:jc+1=0.例13.(2022•江苏•高二专题练习)三条直线3*+2丫+6=0,2乂-3012丫+18=0和211^—3丫+12=0围成直角三角形，求实数m的值.【技巧总结】使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步.(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式.(3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论.总之，与4一个斜率为0,另一个斜率不存在时，/,1/2;4与4斜率都存在时，满足/为=-L题型四：直线平行与垂直的综合应用例14.(2022•浙江•台州市书生中学高二阶段练习)已知直线人,乙4的斜率分别为小七人，其中且船网是方程2/-3x-2=0的两根.(1)试判断44的位置关系：(2)求勺+&2+&3的值.例15.(2022.全国•高二课前预习)已知4(<3),8(2,5),C(6,3),。(-3,0)四点，若顺次连接A5CD四点，试判断图形A8CD的形状.例16.(2022•全国•高二课时练习)(拓广探索)在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为5Q0),P(1J),Q(l-2r,2+f),/?(-〃,2),其中r>0.则四边形OPQR的形状为.例17.(多选题)(2022•全国•高三专题练习)(多选)设点尸(42),0(6,-4),&(12,6),5(2,12),则有( )A.PQ//SR B.PQA.PSC.PS//QS D.PRA.QS例18.(2022•全国•高二课时练习)判断下列各对直线平行还是垂直：(1)经过两点A(2,3),B(-1,0)的直线//,与经过点P(1,0)且斜率为1的直线〃；(2)经过两点C(3,1),0(-2,0)的直线上与经过点M(l,-4)且斜率为-5的直线例19.(2022•全国•高二课时练习)已知在W1BC。中,4(1,2),8(5,0),C(3,4).(1)求点全的坐标；(2)试判定□A8C。是否为菱形？例20.(2022•全国•高二专题练习)已知41,3),8(5,1),C(3,7),A,B,C,。四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.例21.(2022•全国•高二课时练习)在平面直角坐标系中，四边形OP。/?的顶点按逆时针顺序依次是。(0,0),P(l，0,Q(l—2/,2+r),R(-2t,2),其中re(o,y),试判断四边形OPQR的形状，并给出证明.例22.(2022・安徽宣城•高二期中)已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点，求点D,使直线CD_LAB,且CB〃AD.【技巧总结】已知直线4，/2的方程分别是4：4工+4>+。1=0(A，耳不同时为0)，litA.x+B.y+C^O(^，区不同时为0)(1)若AA+8也=0<=>/)112O'(2)O'题型五：两直线的夹角例23.(2022•全国•高二课时练习)已知等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线方程为3x-5y+4=0,则斜边AB所在直线的斜率为()A.或2B.-g或3C.或4 D.-g或5例24.(2022・上海虹口•高二期末)直线2x—3y+l=O与x+5y—10=0的夹角为.例25.(2022•上海市控江中学高二期中)直线4：2x+y+6=0与4：x-y+l=0夹角的余弦值是.例26.(2022・上海・华东师范大学附属东昌中学高二期中)直线4：3x+y-l=O与4：2x-y+7=O的夹角的大小,例2小2。22.全国.高二课时练习〉若直线…一】与直线-阳+2=。的夹角为?求实数，”的值.【技巧总结】夹角公式tan(a-p)tana-tan夹角公式tan(a-p)1+tana•tan0题型六：已知直线平行求参数例28.(2022•湖南•炎陵县第一中学高二阶段练习)已知直线/八x+my—2m—2=0,直线tnx+y-\—m=0,当4〃4时，m=.例29.（多选题）（2022•广东•佛山市南海区里水高级中学（待删除学校不要竞拍）高二阶段练习）（多选）TOC\o"1-5"\h\z若三条直线2x+y-4=0,x-y+l=。与ar-y+2=0共有两个交点，则实数a的值为（ ）.A.1 B.2 C.-2 D.-1例30.（2022•全国♦高三专题练习）已知《：3x+2ay-5=0,/2:（3a-l）x-ay-2=O,则满足4〃4的”的值是（）A.-- B.0 C.」或0 D.1或。6 6 6例31.（2022・天津红桥•高二学业考试）若直线心x-y+l=0与直线上工+切=0互相平行，则〃?的值为（）A.-1 B.1 C.-2 D.2例32.（2022•江苏•高二）设"为实数，若直线x+ay+2a=。与直线ar+y+a+l=。平行，则。值为（ ）—1 B.1 C.±1 D.2例33.（2022•江苏・高二）设aeR,若直线ar+y-1=0与直线x+ay+1=0平行，则。的值是（ ）A.11,-1 C.0 D.0,1例34.（2022・重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知直线以+2y+6=。与直线x+（a-l）y+a2-i=o互相平行，则实数。的值为（）A.-2 B.2或-1 C.2 D.-1题型七：已知直线垂直求参数例35.（2022・上海中学东校高二期末）若直线乙：3x-/ny+l=0与4：y=2x+l互相垂直，则实数团=例36.（2022糊北十堰•高二阶段练习）关于直线〃四+2y-5=0,l2：x+（m+l）y+2=O,若4U，则m=.例37.（2022•全国•高二课时练习）若直线4：ar-（a+l）y+l=0与直线4：2x-ay-l=O垂直，则实数a=例38.（2022•江苏•高二）“小=-2”是“直线（2-m）x+缈+3=0与直线x-叼-3=0垂直”的（A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

例39.（2022・江苏•高二）已知直线，：x+（a-l）y+2=0,1216bx+y=。,且口匕则a?+及的最小值为A.- B.y C.— D.三4 2 2 16【同步练习】一、单选题（2022・江苏•高二）已知aABC的三个顶点43,0）,8（-l,2）,C（l,-3）,则aABC的高CO所在的直线方程是（ ）A.x+5y—5=0 B.x+2y+5=0C.2x+y-5=0 D.2x—y-5=0TOC\o"1-5"\h\z（2022•辽宁•二模）己知直线/：ar+y+a=0,直线m:x+ay+a=0,贝i"〃m的充要条件是（ ）A.a=-1 B.a=1C.a=±1 D.a=0（2022•河南•灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知直线入（a-2）x+4+2=0,l2：x+（a-2）y+a=0,则U上夕是“。=一「’的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件（2022•浙江浙江♦高一期中）已知直线4：x+ay-2=O与直线/2：ax+y-a-l=0平行，则。的值为（ ）A.-1 B.1 C.±1 D.05.（2022・江苏・高二）将直线3x-百y=0绕着原点顺时针旋转90,得到新直线的斜率是（ ）A. B.3 C.变 D._克3 3 2 2（2022•安徽滁州•高二阶段练习）已知直角三角形ABC的顶点8（-2,-4）,C（2,-6）,且NBAC=90,点A在直线2x+y+5=0上，则点A的坐标为（）.A.（1,-7） B.（T-3）或（1,-7）C.（2,-9） D,（-2,-1）或（2,-9）（2022・湖南・长沙一中高三阶段练习）已知a>0,b>0,直线（a-l）x+2y+3=0与直线x+by-l=0垂直，则：的最小值是（）abA.2+A.2+>/2B.4c.3+2V2D.6二、多选题（2022・重庆•高二期末）下列说法中，正确的是（ ）A.直线2x+y+3=0在〉轴上的截距是3B.直线x+y+l=0的倾斜角为135。C.4L4）,8（2,7）,C（-3,-8）三点共线D.直线3x+4y+l=O与4x+3y+2=0垂直9.（2022•福建泉州•高二期中）下列说法正确的是（ ）A.直线丫=以-2。+4（06/?）必过定点（2,4）B.直线y+l=3x在＞轴上的截距为1C.直线x+百y+l=0的倾斜角为120。D.过点（-2,3）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y+l=0（2022・江苏♦高二）已知直线《：x+ay-a=0和直线乙：办-（2a-3）y+a-2=O,则（ ）12A.4始终过定点q,：） B.若4在x轴和y轴上的截距相等，则。=1C.若3?,贝l]a=0或2 D.若〃〃2，则。=1或-3（2022•江苏•高二）已知直线《：x-y-l=0,动直线上（k+l）x+ky+k^0（keR）,则下列结论正确的是（）A.存在左，使得4的倾斜角为90： B.对任意的34与4都有公共点C.对任意的34与4都不重合 D.对任意的3乙与6都不垂直三、填空题（2022・全国•高二课时练习）直线6：y=-2x+3与4：x+2=0的夹角的大小为.（2022•上海市虹口高级中学高二期末）过点尸（1,0）且与直线x-2y+6=0平行的直线方程是.（2022•江苏•高二）若直线与&的斜率公出是关于k的方程-2二-4A=b的两根，若hLh,则b=.（2022•全国•高二单元测试）过点（3,5）的所有直线中，与原点距离最大的直线方程为.（2022•全国•高二课时练习）已知集合4={（兑刈2》-（。+1）k1=0},8={（x,y）|ar-y+1=0},且AQB=0,则实数a的值为.四、解答题（2022•北京市十一学校高一阶段练习）已知直线4：ar+by+6=O和直线4：（a-l）x+y+2=O,求分别满足下列条件的。，方的值.⑴直线4过点(-3,0),且直线乙和4垂直;(2)若直线4和平行，且直线4在y轴上的截距为-3；(3)若直线乙和〃重合.(2022•全国•高二课时练习)已知集合A=[(x,y)三|=a+l),B={(x,y)|(a2-l)x+(a-l)y-15=0),是否存在实数a,使408=0?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.(2022•江苏•高二)已知一平行四边形的三个顶点坐标分别为(-1,-2)、(3,0)、(5,6),求该平行四边形的第四个顶点坐标.(2022・江苏•高二)已知直线4：6x+3y+l=。，l2:x+(a-2)y+a=0.请从以下三个条件中选出两个求实数a,b的值.⑴b=3a；(2)4-L4;(2022•上海市宝山中学高二期中)求解下列问题：(1)已知4-2,3)、8(-3,0)两点，求线段AB的中垂线所在直线方程;(2)已知直线4与直线，2：3x+4y-5=0平行，直线4与两坐标轴所构成的三角形的面积为12,求直线4的方程.(2022•安徽•淮北市树人高级中学高二阶段练习(文))如图直线/过点(3,4),与x轴、y轴的正半轴分别交于A、8两点，aAOB的面积为24.点尸为线段AB上一动点，且尸。〃交OA于点。.(1)(1)求直线A3斜率的大小;(2)若aAPQ的面积5“也与四边形OQPB的面积满足：00rt，时，请你确定尸点在A8上的位置，并求出线段PQ的长;(3)在旷轴上是否存在点使aMPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由.1.3两条直线的平行与垂直【知识点梳理】知识点一：两条直线相交、平行与重合.代数方法判断两条直线4:A^+4y+C1=012：4%+用丁+。2=0的位置关系，可以用方程组'+幻,+£=。的解进行判断(如下表所示)[A)x+ +C2=0方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点-A,Bt=0 而 8|G-C|82Ho 或-AG*0或4=旦片6(4鸟。2wo)242B、有唯一解相交有一个交点wo或今耳*0)有无数个解重合无数个交点A=丸4,B]= ,C)=AC2(A*0)或?=[= 2c2*0)^>2 ^^22.几何方法判断(1)若两直线的斜率均不存在，则两条直线平行.(2)若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：设4:y=kxx+b，：y= +b2>4与4相交w&；=右且4Hb2；4与4重合=4=与且〃=打.简记表：类型斜率存在斜率不存在

条件=。209。Of1—c(2=90对应关系/1///2Qk}=ko/,///2o两直线斜率都不存在图示fl:知识点二：两条直线的垂直1.两条直线垂直的几何方法判断对应关系（与《的斜率都存在，分别为匕,内，则4_L4=K•&=T6与。中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，贝以与4的位置关系是4IV,y\h1图示c*•O\~\^0 112.两条直线垂直的代数方法判断已知直线4，/2的方程分别是4：4》+与丫+4=0（4与不同时为0），/^Ax+与y+Gn。（4,g不同时为0)(1)若a&+46=o<=>/1-L(（2）f<>»।//（2）AG-4GxoJ1 2【题型归纳目录】题型一：由斜率可以判断两条直线是否平行题型二：两条直线相交、平行、重合的判定题型三：两条直线垂直的判定题型四：直线平行与垂直的综合应用题型五：两直线的夹角题型六：已知直线平行求参数题型七：已知直线垂直求参数【典型例题】题型一：由斜率可以判断两条直线是否平行例1.(2022.全国•高二课时练习)“直线4与4平行''是"直线4与4的斜率相等'’的()条件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要【答案】B【解析】充分性：直线1与4平行，但是人和4都没有斜率，即当4和4都垂直于*轴时，4与4仍然平行，但是，此时不满足直线4与I的斜率相等，故充分性不成立；必要性：直线'与4的斜率相等，则必有直线乙与4平行，故必要性成立；综上，“直线4与平行''是"直线4与的斜率相等”的必要非充分条件.故选：B例2.(2022•全国•高二课时练习)判断下列各组直线是否平行，并说明理由：(1)/):y=3x+2,l2:y=3x+];4：x+2y—1=0,/2:x+2,y=0；/1:x+2=0,/2:lx=1.【解析】(1)解：设两条直线4、4的斜率分别为尤、k2,在y轴上的截距分别为耳、b2,则由4、，2的方程可知尢=他=3,且4工打，所以I川2.(2)解：设两条直线《、4的斜率分别为占、右，在y轴上的截距分别为4、%.因为4、4的方程分别可化为4：y=-gx+g，4：y=-1x,所以&=&=-；,且6尸打，所以4〃4.Q)解：由4、4的方程可知，4，》轴，/2，工轴，且两条宜线A、4在x轴上的截距不相同，所以“/儿例3.(2022•江苏•高二课时练习)判断下列各组直线是否平行，并说明理由：(l)/j:y=-x+l,l2:y=-x+3；(2)4•3x—2y-1=0,/2：6x—4y—1==0；(3)(:2x—5y-7=0,l2:5x-2y-l=0；(4)/,:y-2=0,/2:y+1=0.【解析】(1)由题意得，两直线斜率用=&=-1,所以两直线平行，又两直线在y轴上截距分别为1和3,所以两宜线不重合，所以直线4,4平行.3 1一一 3 1(2)直线4变形可得y=：x-7，直线4变形可得丫=色-卜3所以两直线斜率占=&=5,所以两直线平行，又两直线在y轴上截距分别为和所以两直线不看合，所以直线《4平行.(3)直线4变形可得y=：x-(,宜线4变形可得丫='!'-]，两直线斜率1w],所以两直线不平行.(4)直线乙变形可得y=2,为横线，斜率4=0,直线4变形可得y=T,为横线，斜率左2=0,所以两直线平行，因为2X-1,所以不重合，所以直线/”4平行.例4.(2022•江苏•高二课时练习)分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CO是否平行：⑴A(3,-l),3(-1』)，C(-3,5),D(5,l)；⑵A(2,T),fi(-73,-4),C(0,l),£>(4,1)；(3)4(23),8(2,-1),C(-l,4),(4)A(-l,-2),8(2,1),C(3,4), (1)^B = ,%=?=-：=L，^c=-5~1-=-2,A,8,C不共线，因此AB与CD平行•-J-(-I)(2)3"=0,kCD=0,又两直线不重合，直线AB与CO平行，(3)直线A8,CD的斜率都不存在，且不重合，因此平行：-2-1 -1-45(4)怎"=[r=',kcD=[a=：#kAB，直线A8与CD不平行，—1-L -1—34【技巧总结】判断两条不重合直线是否平行的步骤

题型二：两条直线相交、平行、重合的判定题型二：两条直线相交、平行、重合的判定例5.（2022・全国•高二课时练习）直线公-2y-l=0和直线2y-3x+0=0平行，则直线y=or+b和直线y=3x+l的位置关系是（ ）A.重合 B.平行 C.平行或重合 D.相交【答案】B【解析】因为直线ar-2y-l=O和直线2y-3x+b=O平行，所以。=3,匕工1,故宜线丫=以+人为，=3x+b,与直线y=3x+l平行故选：B例6.（2022・湖北•监利市教学研究室高二期末）直线/的斜率是方程/_工-2=0的两根，贝也与4的位置关系是（）A.平行 B.重合C.相交但不垂直 D.垂直【答案】C【解析】设方程x2-x-2=O的两根为4、x2,则xr=-2..•.直线4、4的斜率40=-2,故4与4相交但不垂直.故选：C.例7.（2022•全国•高二课时练习）下列各组直线中，两直线相交的为（ ）y=x+2和y=lx-y+l=O和y=x+5x+/ny-l=0和x+2y-l=02x+3y+1=0和4x+6y—1=0【答案】A【解析】对于A中，直线y=x+2和y=l,显然两直线相交，所以A正确；对于B中，H线和y=x+5,可存两H线的斜率都为《=1,所以两此线平行，所以B错误；对于C中，直线x+/ny-l=O和x+2y-l=0,当他=2时，两直线重合；当机工2时，两直线相交，所以C错误；对于D中，直线2x+3y+l=0和4x+6y-l=0,可得两直线的斜率都是&=-；,所以两直线平行，所以D错误.故选：A.例8.（2022・全国•高二专题练习）已知直线4：（机+2）x+（机+3）y-5=0和《：6x+（2m-l）y-5=0,问实数根为何值时，分别有：（1）乙与4相交？（2）“4?（3）4与6重合？【解析】（D直线4：（m+2）x+（m+3）y-5=0和小6x+（2m-l）y-5=0,当倾斜角相等时:（/n+2）（2m-l）-6（m+3）=0,整理得：（2w+5）（w-4）=0,解得m-j或m=4,所以当md-8,-£|u（-|,4）U（4,+8M，两条直线相交；（2）由（1）当机=4时，直线乙：6x+7y-5=0和46x+7y-5=0重合，（舍去），机=-之时，宜线R_；x+gy-5=0和4：6x_6y_5=O平行，所以“=-3；（3）由（2）得m=4时，直线4：6x+7y-5=0和4：6x+7y-5=0重合，所以"7=4.【技巧总结】设《：y=&x+412：y=&工+年，4与4相交oK工总；4〃/2。勺=&且白工优；

/1与4重合＜=＞匕=右且4=4.题型三：两条直线垂直的判定例9.(2022•江苏•高二)已知45,-1),8(1,1),(7(2,3)三点，则△ABC为三角形.【答案】直角【解析】如图，猜想A8_L8C,aA8C是宜角三角形，由题可得边AB所在直线的斜率=-g，边8C所在也线的斜率即c=2,由心/bc=T，得A8J.8C,即NA8C=90,所以aABC是直角三角形.故答案为：直角.例10.(2022•吉林油田高级中学高二期中)下列方程所表示的直线中，一定相互垂直的一A.or+2y-l=0与2x+oyA.or+2y-l=0与2x+oy+2=0B.6x-4y—3=0与10x+15y+c=0C.2x+3y-7=0与4x—6y+5=0D.3x-4y+/?=0-^3x+4y=0【答案】B【解析】A：a=0时，两H线分别为：y=[x=-l,此时它们垂直；当回时，它们斜率之积为一?(二]=i,则它们不垂直；故两条直线不一定垂直；b：两直线斜率之积为：= 故两直线垂直；TOC\o"1-5"\h\z24 4C:两直线斜率之积为：乂二=-入，-1，故两直线不垂直；36 93/3、 9D：两直线斜率之积为：卜-/工-1,故两条宜线不垂宜；4I4J16故选：B.例IL(2022・全国•高二课时练习)判断下列各组直线是否垂直，并说明理由:⑴4⑴4：y=3x+2,l2:y=——x+1；3(2)4：x+2y—1=0,/2-2K—y=0；(3)4：x+2=0,/2:2y=1.【解析】⑴解：设两条直线4，，2的斜率分别为占，k”则用=3,&=-；，因为"2=3x，j=T，所以/J4；(2)设两条直线4，4的斜率分别为《，k2,则匕=-g,k2=2,因为匕玲=(-g)x2=-l,所以/1_L4；(3)解：由两个方程，可知/"/y轴，，2〃x轴，所以《J./2.例12.(2022•江苏・高二课时练习)判断下列各组直线是否垂直，并说明理由：(1)/,:y=-2x+\,l2：y=-x+3；(2)4•3x-y-1=0,/):2x+6y—1—0；(3)/]:2x-5y-7=0,l2:5x-2y-l=0；(4)Z,：y-2=0,/2:x+l=0.【解析】(l)-2xg=-l,两直线垂直.(2)3x2+(-1)x6=0,两直线垂直；(3)2x5+(-5)x(-2)=20h0,不垂直；(4乂斜率为0,4斜率不存在，两直线垂直.例13.(2022•江苏•高二专题练习)三条直线3*+2丫+6=0,2*—31112丫+18=0和20«—3丫+12=0围成直角三角形，求实数m的值.【解析】(1)当直线3x+2y+6=0与直线2x-3m2y+18=0垂直时，有6-6m2=0,，m=1或m=-l.若m=l,直线2mx-3y+12=O也与直线3x+2y+6=0垂直，因而不能构成三角形，故m=l应舍去.m=-1.⑵当直线3x+2y+6=0与直线2mx—3y+12=0垂直时，有6m—6=0,m=l(舍).(3)当直线2x-3m?y+18=0与直线2mx-3y+12=0垂直时，有4m+9m2=0.. 4.•・m=0或m=—,9经检验，这两种情形均满足题意.4综上所述，m=—1或m=0或m=一§.【技巧总结】使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步.(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式.(3)求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论.总之，人与4一个斜率为0，另一个斜率不存在时，/,1/2;乙与4斜率都存在时，满足匕生=-1.题型四：直线平行与垂直的综合应用例14.(2022•浙江•台州市书生中学高二阶段练习)已知直线444的斜率分别为KKK，其中且％，占是方程2Y-3x-2=0的两根.(I)试判断44的位置关系；(2)求占+求+%的值.【解析】(1)•••&,与是方程2--3》-2=0的两根,又(2x+l)(x-2)=0=_1 N=2解方程得｛5或1,/.kxky=-1,・"U.又"4,：.i2-L4.即乙4的位置关系为m(2)•：I川2,・•・％=r.2k、=2由(1)知，%=_],或，k->=2女3=2、 27仁+&+&=1或4+攵2+*3=—.例15.(2022.全国•高二课前预习)已知A(T3),8(2,5),C(6,3),。(-3,0)四点，若顺次连接A3CO四

点，试判断图形ABCD的形状., 5-3 1 0-3 1 , 0-3 . 3-5 1【解析】由斜率公式，得怎5=嚏而=3, = &犯=诉4=-3,怎c=K=—；3-3所以原8=%8，乂因为/c=a（八=0工左二，说明A8与不重合，0—（—4）所以AB〃CD.因为心。*&相，所以A£＞与BC不平行.又因为&ab，%＞=]X（—司=—।，所以AB-LAD.故四边形ABC。为直角梯形.例16.（2022•全国•高二课时练习）（拓广探索）在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为a。，。），P（1J）,Q（l-2t,2+t）,R（-2t,2）,其中，＞0.则四边形OPQR的形状为.【答案】矩形【解析】由斜率公式得%【解析】由斜率公式得%,=g1—0=2-(2+f)JRQ--2r-(l-2r)--l, 2-0OK~-2t-02+t-t 2_1\-2t-\~^2t~1所以&”=即°，kQR=kpQ,从而OP//RQ,OR//PQ.所以四边形OPQR为平行四边形.又G%=-1,所以OP_LOR,故四边形。尸。/?为矩形.故答案为：矩形.例17.（多选题）（2022•全国•高三专题练习）（多选）设点P（-4,TOC\o"1-5"\h\z2),0(6,-4),/?(12,6),5(2,12),则有( )A.PQ//SR B.PQ±PSC.PS//QS D.PRLQS【答案】ABD-4-2 3 12-6 3【解析】依题意，直线PQ，SR,PS,QS,刊?的斜率分别为：ksR=^~^=r6+4 5 2—12 5, 12-25, 12+4 ,, 6-21k— — b- —A〃一 —, 内一2+4-3'3-2-6一”-12+4-4'由即得PQ〃SR，由原。•心=T得PQLPS，由&.%=T得PRLQS,而怎得”与QS不平行，即选项ABD正确，选项C不正确.故选：ABD例18.(2022•全国•高二课时练习)判断下列各对直线平行还是垂直：(1)经过两点A(2,3),8(-1,0)的直线。，与经过点尸(1,0)且斜率为1的直线〃；(2)经过两点C(3,1),0(-2,0)的直线入，与经过点-4)且斜率为-5的直线0.【解析】⑴由题意和斜率公式可得//的斜率&/=壮=1,/2斜率e=1,ki=k2,又直线//"?不电合，所以两直线平行；1-0 1(2)由题意和斜率公式可得"的斜率公=］石分=§,/2斜率后=-5,krk2=-1,故两直线垂直.例19.(2022•全国•高二课时练习)已知在办88中，4(1,2),8(5,0),C(3,4).(1)求点D的坐标；(2)试判定%8C。是否为菱形？【解析】(1)解：设点。坐标为(a,b),因为四边形ABCD为平行四边形，所以乂8=4C£>,kAD=kBC,0-2b-4所以5T〃-3，b-24-0解根所以£>(—1,6).TOC\o"1-5"\h\z4-2 6-0(2)因为乂C= =1,kBD=- =-1,3-1 —1—5所以4cA:8£>=—1,所以ACLBZ),所以。48co为菱形.例20.(2022・全国•高二专题练习)已知4L3),B(5,l),C(3,7),A,B,C,。四点构成的四边形是平行四边形，求点。的坐标.【解析】由题,A(1,3),8(5,1),C(3,7),所以MC=2,kAB=~,kBC=~3,设。的坐标为(x,y),分以下三种情况：①当8c为对角线时，有kCD=kAB,kBD=kAC,得47,尸5,即。(7,5)②当AC为对角线时，有kCD=kAB,kAD^kBC,所以，原》=^~4=-3,%8=^~^=一:X—1 x-3 2得户一1,产%即ZX-L9)③当A8为对角线时，有kBD=kAC,kAD=kBC所以砥。=匕==_3，X—5 X—1得x=3,y=-3,即53,-3)所以。的坐标为(7,5)或(-1,9)或(3,-3).例21.(2022•全国•高二课时练习)在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是。(0,0),P(U),0(1-2/,2+r),/?(-〃,2),其中f«0,y),试判断四边形OPQR的形状，并给出证明.【解析】四边形OPQR是矩形.证明如F：OP边所在直线的斜率&。尸=f,. 2+1—2QR边所在直线的斜率kQR= =t，OR边所在直线的斜率无氏=-；,段边所在直线的斜率即°所以"op=Aqr»k°R=kPQ,所以°PHQR,OR//PQ,所以四边形OPQH是平行四边形.所以所以四边形。尸。我是矩形.T71 2+， . z—2乂。内内令kgkpR=-l,即答=无解,l-2r1+21所以。。与依不垂直，故四边形OPQR是矩形.例22.（2022•安徽宣城•高二期中）已知A（1,-1）,B（2,2）,C（3,0）三点，求点D,使直线CD,AB,且CB〃AD.TOC\o"1-5"\h\z【解析】设。（x,y）,则％原8=3，28=—2, ，x—3 x-} x3=1八r_3 x=0.・・{； .\{ 3.。（0,1）包=_2 y=ikCD-kAB=-\,kCB=kAD _v-l ［技巧总结］已知直线4，/2的方程分别是/1：4》+4），+6=0（a，用不同时为o）,4：Ax+82y+C2=o（4，与不同时为0）.. A.B-,—A^B.=01（1）若A4+b向=oo4U⑵若'-;' «/,///22tz?--- a'T~UI题型五：两直线的夹角例23.（2022♦全国•高二课时练习）已知等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线方程为3x-5y+4=0,则斜边A3所在直线的斜率为（）TOC\o"1-5"\h\zA.」或2 B.」或3 C.」或4 D.」或53 4 5【答案】C【解析】解：因为等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线方程为3x-5y+4=0,所以AC所在宜线的斜3率为g,即吊=g，3设直线AC的倾斜角为则tana=g,因为斜边与直角边的倾斜角相差45。，则斜边的倾斜角为。+45。或a-45。，1■所以tan（a+45o）=3na+=j_^_=4,1-tanai3-53.1tan-1tan(a-45°)tan-1tan(a-45°)=1+tanal+? 45所以斜边所在直线的斜率为或4.4故选：C.TOC\o"1-5"\h\z例24.（2022・上海虹口•高二期末）直线2x-3y+l=0与x+5y—10=0的夹角为_ .71 2 2【答案】?【解析】直线2犬-3产1=0的斜率吊=：,即倾斜角。满足1血。=：,直线x+5y-10=0的斜率&=一：，即倾斜角。满足tan/=一（，_1_2所以tan（??-a）=3"-tana= /I?=川以（°）l+ta”tana ，3所以夕一。=一1，4TT TT又两直线夹角的范围为0,y,所以两宜线夹角为故答案为：4例25.（2022•上海市控江中学高二期中）直线4：2x+y+6=0与4：x-y+l=。夹角的余弦值是.【答案】叵10【解析】设412的倾斜角为。，力，/112的夹角为e，则tana=・2,tan夕=1,故tan0=|tan（a—^）1=--/、~-=3,故4,6夹角的余弦值cos0=/ =>—=~~1 1l+（-2）xl Vl2+32W10故答案为：叵10例26.（2022・上海・华东师范大学附属东昌中学高二期中）直线4：3x+y-l=O与4：2x-y+7=O的夹角的大小.【答案】t4【解析】直线4：3x+y-l=O与4：2x-y+7=O的斜率分别为：匕=-3,玲=2设宜线4：3x+y-l=O与/2：2》一丫+7=0的夹角为。则tan6=^^=^^=l,又。J。,』，则l+Z/21-3x2 |_2J 4故答案为：—4例27.（2022・全国•高二课时练习）若直线y=x-l与直线工-切+2=0的夹角为J,求实数〃z的值.4TT【解析】直线y=x-i的斜率为1,则直线y=x-i的倾斜角为丁4n tt直线x-my+2=。与直线y=x-l的夹角为一，所以直线工-阳+2=0的倾斜角为0或7当直线x-zny+2=0的倾斜角为0时，实数m不存在，当直线x-叼+2=0的倾斜角为|■时，实数m=0故机=0.【技巧总结】夹角公式tan（a-0=3a-tanp1+tana-tanp题型六：已知直线平行求参数例28.（2022・湖南•炎陵县第一中学高二阶段练习）已知直线//：x+my-2m-2^0,直线〃：mx+y-1-m=0,当《〃4时，m=【答案】1【解析】因为4〃％且4斜率…定存在，所以用=&，，即--=-m,m=±\m又因为《，4为两条不同的直线，所以，〃工-1,所以，”=1故答案为：1例29.（多选题）（2022•广东・佛山市南海区里水高级中学（待删除学校不要竞拍）高二阶段练习）（多选）若三条直线2x+y—4=0,x—y+l=。与ar-y+2=。共有两个交点，则实数。的值为（）.A.1 B.2 C.-2 D.-1【答案】AC【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行....直线*_y+l=0和直线2x+y—4=0不平行，直线x-y+l=0和直线以一丫+2=0平行或直线2x+y-4=0和直线ar-y+2=0平行.•.•x-y+l=0的斜率为1,2x+y-4=0的斜率为-2,ar-y+2=0的斜率为0,二。=1或a=-2时，两直线分别平行且不用合，符合题意故选：AC例30.（2022•全国•高三专题练习）已知4：3x+2ay-5=O,/2:（3a-l）x-ay-2=0,则满足《〃乙的。的值是（）A.-- B.0 C.」或。 D.［或06 6 6【答案】C【解析】由可得3-（F）_（3a_l>2a=O,得a=0或a=_3,当a=0时，/1：3x-5=O,l2:-x-2=0,符合题意；当°=-，时，/1：3x-^y-5=O,/2:3x-^-y+4=0,符合题意；6 3 3故满足4〃，2的。的值为。或-5.故选：c.6例31.（2022・天津红桥•高二学业考试）若直线（：x-y+l=。与直线3工+冲=0互相平行，则加的值为（）A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】A【解析】解：若直线hx-y+i=o与直线LX+冲二。互相平行m0.--=一*一,-11解得，〃=-1故选：A.例32.（2022•江苏•高二）设〃为实数，若直线工+做+2。=0与直线ox+y+a+l=。平行，则。值为（ ）A.—1 B.1 C.±1 D.2【答案】A【解析】由题意1-/=0,。=±1,。=1时，2a=a+l=2,两直线重合，舍去，。=一1时，2a=-2.a+1=0.满足两宜线平行.所以a=T.故选：A.例33.（2022•江苏•高二）设aeR,若直线以+丫-1=0与直线犬+0+1=0平行，则。的值是（ ）A.1 B.1,-1 C.0 D.0,1【答案】A【解析】。=0时，两直线为y-i=o、直线x+i=o,显然不平行；所以a*0,两直线为y=-⑪+1,y=--（x+l）,a所以一。=—,且—工1,aa解得a=l.故选：A.例34.(2022・重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知直线or+2y+6=0与直线x+(a-l)y+/-l=O互相平行，则实数。的值为()A.-2B.2或-1C.2D.-1【答案】D【解析】直线ar+2y+6=0斜率必存在，故两直线平行，则-(=一±，即〃-。-2=0,解得a=2或一1,当a=2时，两直线重合，=故选：D.题型七：已知直线垂直求参数例35.(2022・上海中学东校高二期末)若直线4：3x-/ny+l=0与6：y=2x+l互相垂直，则实数【答案】-6［解析］由L：y=2x+1,即2x-y+［=0,乂直线4与直线，2互相垂直，故3x2+(—m)x(—l)=O,解得m=-6,故答案为：-6.例36.(2022・湖北十堰•高二阶段练习)关于直线如+2y-5=0,6：x+(/zi+l)y+2=0,若14，则tn=.2【答案】【解析】若《，(，则帆+2(m+1)=0,解得m=-；.2故答案为：例37.(2022•全国•高二课时练习)若直线4：ar-(a+l)y+l=0与直线4：2x-ay-l=O垂直，则实数a=【答案】。或-3【解析】因为直线4：ar-(a+l)y+l=0与直线/2：2》---1=0垂直，所以有2。一(。+1)(-4)=0=4=0或。=一3,故答案为：。或-3例38.(2022•江苏福二)“m=-2”是“直线(2-m)x+冲+3=0与直线x-阳-3=0垂直”的(A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线(2-m)x+my+3=0与直线x-四，-3=0垂直，则2-旭-病=0，即机2+w—2=0,解得加=—2或1,因为{-2} {-2,1},所以，“m=-2”是“直线(2-m)x+/ny+3=0与直线*-冲-3=0垂直”的充分非必要条件.故选：A.例39.(2022・江苏•高二)已知直线/：x+(a-l)y+2=0,%：昌x+y=Q, 则的最小值为()TOC\o"1-5"\h\zA.- B.； C.— D.最4 2 2 16【答案】A【解析】解：A-L41则版+a-l=0，:，a=l-6b,所以。2+62=(1-扬y+%2=4匕2-2亚+1,二次函数的抛物线的对称轴为匕=-2巨=也，2x4 4当人=立时，1+从取最小值J.4 4故选：A.【同步练习】一、单选题(2022•江苏•高二)己知aABC的三个顶点43,0),3(-1,2),。(1,-3),则△回(7的高CO所在的直线方程是()A.x+5y-5=0 B.x+2y+5=0C.2x+y-5=0 D.2x—y—5=0【答案】D, 0-2 1 , 1c【解析】由题意知：砥P=黑石司=-5，则心。=-%一=2,故8所在的直线方程为y+3=2(x-l),即2x-y-5=0.故选：D.（2022・辽宁•二模）己知直线/：ar+y+a=0,直线m:x+ay+a=0,则/〃m的充要条件是（ ）A.a=-1 B.a=lC.a=±lD.a=0【答案】A【解析】因为直线/：ar+y+a=0,直线m：x+ay+a=0,易知a=0时，两直线垂直，所以/〃机的充要条件是f=1工q，即a=-l.1aa故选：A.（2022・河南・灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知直线4：（。一2卜+帆+2=0,/2：x+（a-2）y+«=0,则“4JJ?”是“。=-「’的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B［解析］当a=_］时，4：y=-3x+2,4：y=gx_g,k「&=-3xg=-l,所以/1J./?；当/K时，可得（a-2）xl+a（a-2）=（a-2）（a+l）=。，解得〃=-1或a=2,所以是“a=-1”的必要不充分条件.故选：B.（2022•浙江浙江•高一期中）已知直线4：x+ay-2=O与直线/2：ax+y-a-l=0平行，则。的值为（ ）A.-1 B.1 C.±1 D.0【答案】AIxl-axa=0【解析】因为“4,所以卜«a_iH-2a）H0'解得。一.故选：A.（2022・江苏•高二）将直线3x-&y=0绕着原点顺时针旋转90,得到新直线的斜率是（ ）A.一3 B.近 C.也 D.一立3 3 2 2【答案】A【解析】直线3x-Gy=0的斜率为百由题意可知新直线与直线3x-Gy=0互相垂直，则新直线的斜率为-乎故选：A（2022•安徽滁州•高二阶段练习）已知直角三角形A8C的顶点8（—2,Y）,C（2,-6）,且NBAC=90,点A在直线2x+y+5=0上，则点A的坐标为（ ）.A.（1,-7） B.（-L-3）或（1,一7）C.（2,-9） D.（一2,—1）或（2,-9）【答案】B【解析】设A（x,—2x—5）,则AB=（―2—x,2x+1）,AC=（2—x,2x—1）,•.ZBAC=90.BPABLAC,.-.ABAC=（-2-x）（2-x）+（2x+l）（2x-l）=0,解得：x=+l；.•.4（1,一7）或4（一1,—3）.故选：B.（2022•湖南•长沙一中高三阶段练习）已知a>0,b>0,直线（a—l）x+2y+3=0与直线x+by-l=0垂直，则 H7的最小值是（）abTOC\o"1-5"\h\zA.2+V2 B.4 C.3+20 D.6【答案】C【解析】因为直线（a-Dx+2y+3=0与直线x+切一1=0垂直，所以（a-l）xl+2b=0,即a+力=1,所以1+1=（'+,］（4+26）=3+%+且23+2、隹?=3+2应（当且仅当”=夜-1，6=土史时，等号ab\ab） ab\ab 2成立）.故选：C.二、多选题（2022・重庆•高二期末）下列说法中，正确的是（ ）A.直线2x+y+3=0在V轴上的截距是3B.直线x+y+l=0的倾斜角为135。C.A（l,4）,B（2,7）,C（-3,-8）三点共线D.直线3x+4y+l=0与4x+3y+2=O垂直【答案】BC

【解析】A.直线2x+y+3=0在y轴上的截距是-3,A错:B.直线x+y+l=O的斜率为一1,倾斜角为135。，B正确；TOC\o"1-5"\h\z7-4 -R-4C.由A(l,4),B(2,7),C(-3.-8)得心"===3,kAC=——=3=kAH,所以A,B,C三点共线，C正确；2—1 —3—13 4一D.直线3x+4y+l=0与4x+3y+2=0的斜率分别为,乘积为1,不垂直，D错误.故选：BC.(2022•福建泉州•高二期中)下列说法正确的是( )A.直线尸以-勿+4(。€用必过定点(2,4)B.直线y+l=3x在y轴上的截距为1C.直线x+by+l=0的倾斜角为120。D.过点(-2,3)且垂直于直线x-2y+3=。的直线方程为2x+y+l=。【答案】AD【解析】对于A,直线y=or—2«+4(aeA),即y=a(x—2)+4,恒过点(2,4),A正确；对于B,直线y+l=3x,即y=3x-l,在y轴上的截距为7,B不正确：对于C,直线x+&y+l=0的斜率2=-且，其倾斜角为150,C不正确；3对于D,直线x-2y+3=0的斜率为，则垂直于直线x-2y+3=0的直线斜率为-2,直线方程为：y-3=-2(x+2),即2x+y+l=0,D正确.故选：ADTOC\o"1-5"\h\z(2022•江苏♦高二)已知直线《：x+ay-a=0和直线上orT*T^+a-ZMO,则( )2 -A.4始终过定点(§,§) B.若乙在x轴和)，轴上的截距相等，则”=1C.若口4,贝以=0或2 D.若〃4，贝lja=l或一3【答案】AC【解析]]:or-(2a-3)y+a-2=0化为a(x-2y+l)+3y-2=°,1 2 12由x-2y+l=0且3y-2=0解得x= =即直线4恒过定点(；,令，故A正确；若4在x轴和y轴上截距相等，则4过原点或其斜率为-1，则a=2或-_(2：_3)=Tn"l'故B错误;若小公则lxa+ax(3-2a)=0解得。=0或2,故C正确:

若I川2，则先由lx（3-2o）=axa解得°=1或-3,再检验当。=1时44重合，故D错误.故选：AC（2022•江苏•高二）已知直线4：x-y-l=0,动直线上（女+1卜+母+%=0（&R）,则下列结论正确的是（）A.存在左,使得4的倾斜角为90 B.对任意的女,乙与4都有公共点C.对任意的34与4都不重合 D.对任意的34与4都不垂直【答案】ABD【解析】对于A：当左=0时，宜线4：x=0,此时宜线4的倾斜角为90，故选项A正确；对于B,直线4与4均过点（O，T），所以对任意的k，4与4都有公共点，故选项B正确;对于C,当％=-；时，直线4为L），-；=0,即x-y-l=0与4重合，故选项C错误;解D,直线4的斜率为1,若4的斜率存在，则斜率为―—―I,所以4与，2不可能垂直，所以对任意的kk,乙与4都不垂直，故选项D不正确;故选：ABD.三、填空题（2022•全国•高二课时练习）直线4：y=-2x+3与4：x+2=0的夹角的大小为.【答案】y-arctan2jr【解析】由小方程知其倾斜角为；r-arctan2；由4方程知其倾斜角为1，冗1与4的夹角为万-arctan2.故答案为：y-arctan2.（2022•上海市虹口高级中学高二期末）过点尸（1,0）且与直线x-2y+6=0平行的直线方程是.【答案】x-2y-l=0【解析】因为所求直线与直线x-2y+6=0平行，所以设所求直线方程为x-2y+，〃=0（，〃*6）由题可得1—0+帆=0，即/M=—1,所以所求直线方程为x-2y-l=0.故答案为：x-2y-l=0(2022•江苏・高二)若直线//与b的斜率公、公是关于k的方程-2二-4%=。的两根，若I山2,则b=.【答案】-2【解析】因为斜率A、公是关于上的方程-2K-4Z=b的两根，所以£&=|，b因为〃_L〃，所以2/=]=T,即6=-2,故答案为：-2(2022•全国•高二单元测试)过点(3,5)的所有直线中，与原点距离最大的直线方程为.【答案】3x+5y-34=0【解析】设43,5),由几何关系知，当直线与。4垂直时，原点到直线的距离最大，5 3 3期\,故直线斜率为-直线方程为y-5=-#-3),整理得：3x+5y-34=0故答案为：3x+5y-34=0(2022.全国.高二课时练习)已知集合A={(x,y)|2x—(a+l)y-l=。},8={(x,y)|or-y+l=0},且AQB=0,则实数a的值为.【答案】1【解析】•.・集合A={(x,y)|2x-(a+l)y—1=0},B={(x,y)|ar-y+l=。},且AAB=0，直线2x-(a+l)y-l=0与直线ar-y+l=0平行，即-2=-a(a+l),且2w-a,解得a=l.故答案为：1.四、解答题(2022•北京市十一学校高一阶段练习)己知直线4：如+力+6=0和直线4：(a-l)x+y+2=O,求分别满足下列条件的a1的值.⑴直线4过点(-3,0),且直线4和4垂直；(2)若直线4和i2平行，且直线/,在y轴上的截距为-3；⑶若直线《和4重合.【解析】(1)由于直线乙和4垂直，故心(。-1)+力1=0,又直线4过点(一3,0),故-3a+6=0,联立两式，解得。=2,b=