2022-2023学年江苏高二上学期数学教材同步教学讲义-苏教版必修第一册

2.1圆的方程【知识点梳理】知识点一：圆的标准方程(x-a)户为半径.2知识点诠释：由方程V++Dr++,+尸=0户为半径.2知识点诠释：由方程V++Dr++,+尸=0得(x+£J+1+ 尸(1)当》+炉一4尸=0时，方程只有实数解x=-2y=-3它表示一个点(一?,一与.• 2 2 2(2)当。2+£_4尸<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.(3)当。2+£：2一4斤>0时，可以看出方程表示以1-2,-g］为圆心，，〃>2+炉-42为半径的圆.12 2) 2知识点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时a=0,8=0,圆的方程就是f+V=’.有关图形特征与方程的转化:如：圆心在x轴上：6=0；圆与y轴相切时：|a|=r；圆与x轴相切时：|b|=r；与坐标轴相切时：|a|=|b|=r；过原点：a2+b2=r2(2)圆的标准方程(工一。)2+3-。)2=/0圆心为(〃，b),半径为r,它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要小氏/•这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.知识点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=/,圆心为C(a,%),半径为r,则有(1)若点在圆上o|CM|=r<=>(j^-a)-+(%-6)2=/(2)若点M5,%)在圆外o|CM|>ro-a)2+(%-4>/(3)若点 在圆内UCM|<r=(%-a)2+(%—b)2</知识点三：圆的一般方程当£>2+片2-4尸>0时，方程产+丫2+6+4+/=0叫做圆的一般方程.(一日,__|)为圆心，知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程.（2）根据已知条件，建立关于a、b、r或。、E、尸的方程组.（3）解方程组，求出a、6、r或E、下的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.知识点五：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程..当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）..求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等..求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用（x,y）表示轨迹（曲线）上任一点M的坐标；（2）列出关于x,y的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答.【题型归纳目录】题型一：圆的标准方程题型二：圆的一般方程题型三：点与圆的位置关系题型四：轨迹问题题型五：二元二次曲线与圆的关系题型六：圆过定点题型七：与圆有关的对称问题【典型例题】题型一：圆的标准方程例1.（2022•贵州•高二学业考试）圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是B.x2+y2B.x2+y2=4C.(x+1)-+(y+l]=3 D.(x+1)-+(y+l)~=6例2.(2022•重庆南开中学高一期末)与直线y=切于点A(V5,3),且经过点5(30,1)的圆的方程为()A.(x+3)2+(y->/3)2=24 B.(x->/3)2+(y+l)2=16C.(x+6)2+(y-l)2=16 D.(x-2>/3)2+(y-2)2=4例3.(2022・全国・高二专题练习)过点4(1,1),3(-3,5),且圆心在直线2x+y+2=0上的圆的方程为例4.(2022•河北唐山•高二期中)圆心在直线左一3丫-1=0上的圆与工轴交于4(1,0)、B(3,0)两点，则圆的方程为.例5.(2022•江苏•高二单元测试)求满足下列条件的圆的标准方程.(1)圆心在x轴上，半径为5,且过点A(2,—3)；(2)经过点A(-1,-5)、B(6,-l),且以线段A8为直径；(3)圆心在直线产-2x上，且与直线产1-x相切于点(2-1)：(4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点A(2,—3),例6.(2022•全国•高二课时练习)求圆x2+y2+2x-2ay-4=O(aeR)的半径的最小值.【方法技巧与总结】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于4、A/•的方程组，求0、氏/•或直接求出圆心(人力和半径r,一般步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=，；(2)根据已知条件，建立关于。、氏r的方程组；(3)解方程组，求出〃、氏r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.题型二：圆的一般方程例7.(2022•安徽•南陵中学高二阶段练习)已知圆w经过点A(2,—2),8(-4,6),C(4,2).求圆M的方程；例8.(2022•全国•高二课时练习)已知一个等腰三角形底边上的高等于5,底边两端点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),求它的外接圆的方程.例9.(2022•福建•厦门大学附属科技中学高二期中)已知aABC的三个顶点分别为A(T,0),S(0,2),C(2,-2),求：.边中线所在的直线方程aABC的外接圆的方程例10.(2022•北京十五中高二期中)已知圆C：x2+y2-4y=O,则圆C的坐标为,圆C的半径为例11.(2022•江苏•高二)圆x2+y2+2x-4y-6=O的圆心和半径分别是( )A.(-1.-2),11B.(-1,2),11C.(-1.-2), D.(-1,2),例12.(2022•全国•高考真题(文〉)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为例13.(2022•广东•汕头市潮阳区河溪中学高二期中)(1)求过点A(2,5),且在坐标轴上截距互为相反数的直线/的方程.(2)已知圆C：x2+y2+Dx+Ey-6=Q,圆心在直线x+y—2=0上，且圆心在第二象限，半径长为4,求圆的一般方程.【方法技巧与总结】一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件.题型三：点与圆的位置关系例14.(2022•河南•温县第一高级中学高二阶段练习(文))若坐标原点在圆*2+/+20«+2做+2。2+。-1=0内，则"的取值范围是.例15.(2022•河南•油田一中高二阶段练习(文))已知点(。,2)在圆/+丫2-2④：-3丫+。2+。=0的外部，则。的取值范围是( )例16.(2022•安徽省亳州市第一中学高二阶段练习)已知点A(2,l)在圆C：x2+y2-2x+my+2=O的外部，则实数机的取值范围为()4.(-3,-2)U(2,+oo) B.(—2,2)U(3,f)C.(—2,+oo) D.(—3,+ao)例17.(多选题)(2022•河北•衡水市第十四中学高二阶段练习)过点尸(3,0)可作两条直线与圆c：x2+y2-2x+4y+/n=0相切，则实数z可能取值为()A.0 B.1 C.-3 D.4【方法技巧与总结】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O,半径为r,则点尸在圆内UPQ|<r；点尸在圆上o|PQ|=r；点P在圆外o|PQ|>r.从数的角度来看，设圆的标准方程为(x-a)?+(y-b)2=产，圆心为A(a,6),半径为r,则点M(^,y0)在圆上=(为一a)2+(%-娟=，；点M在圆外<=>(x0-a)2+(%-b)?>/；点 在圆内u>«-a)2+(%-b)-<r2.题型四：轨迹问题例18.(2022-山东•德州市教育科学研究院三模)古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数A/>0，kHl)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系宜勿中，4-4,0),8(2,0),点根满足喘=2,则点初的轨迹方程为( )|MB|A.(x+4)2+y2=16B.(x-4)2+y2=16C.x2+(y+4)2=16 D.x2+(y-4)2=16例19.(2022•安徽滁州•二模(文))已知A,B为圆C:/+y2-2x-4y+3=0上的两个动点，P为弦AB的中点，若4CB=90°,则点P的轨迹方程为()4.(x-l)2+(y-2)2=- B.(x-l)2+(y-2)2=l4C.(x++(y+2)2」 D.(x+l)2+(y+2)2=14例20.(多选题)(2022•江苏•高二专题练习)方程+y2-2x)+Mf+y2_2y)=o(人4不全为零)，下列说法中正确的是()A.当川=0时为圆B.当"W0时不可能为直线C.当方程为圆时，L4满足/1+MX。d.当方程为直线时，直线方程y=x例21.(2022•吉林•希望高中高二期末)若两定点A,8的距离为3,动点“满足|M4|=2M用，则M点的轨迹围成区域的面积为例22.(2022•四川•南部县第二中学高二阶段练习(文))已知圆C的圆心在直线/：2x-7y+8=0上，

且过4（6,0）和8（1,5）两点.（1）求圆c的标准方程；（2）过点P（0,l）的直线/与圆c交于两点，求弦MV中点Q的轨迹方程.例23.（2022•四川省资阳市雁江区伍隍中学高二开学考试（理））如图所示，等腰梯形ABC。的底边AB在x轴上，顶点4与顶点B关于原点O对称，且底边48和CO的长分别为6和2#，高为3.（1）求等腰梯形（1）求等腰梯形48。的外接圆E的方程;（2）若点N的坐标为（5,2）,点M在圆E上运动，求线段的中点P的轨迹方程.例24.（2022•江苏•高二）已知圆C过三个点M（L0）,M3,2）,R（5,0）.（1）求圆C的方程；（2）过原点o的动直线/与圆c相交于不同的AB两点，求线段的中点M的轨迹.例25.（2022•全国•高二课时练习）已知A（2,l）,8（-4,9）,动点尸满足44依=90。，求动点P的轨迹.例26.（2022•全国•高二课时练习）已知圆C经过（-1,3）,（5,3）,（2,0）三点.（1）求圆C的方程；（2）设点A在圆C上运动，点8（8,孩），且点M满足R彳=2砺，求点M的轨迹方程.【方法技巧与总结】用直接法求曲线方程的步骤如下：（1）建立适当的直角坐标系，用（x,y）表示轨迹（曲线）上任一点M的坐标；（2）列出关于x,y的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答.题型五：二元二次曲线与圆的关系例27.（2022•江苏•高二单元测试）若方程、2+寸+2履+4y+34+8=0表示一个圆，则实数人的取值范围是.例28.(2022•广东•高二期中)已知加eR,方程(3m—l)x[+(mT+l)y2+8x—4y+5/n=0表小圆，则圆心坐标是.例29.(2022•江苏•高二单元测试)若曲线C：x2+y2+2ar-4ay-10a=0表示圆，则实数。的取值范围为()A.(-2,0) B.(-00,-2)50，+°°)C.[-2,0] D.(yo,-2]U[0,p)例30.(2022•全国•高三专题练习)设甲：实数a<3;乙：方程Y+y2-x+3y+a=0是圆，则甲是乙的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件例31.(多选题)(2022•江苏无锡•模拟预测)关于曲线C:丁+/=2国+23，下列说法正确的是()4.曲线C围成图形的面积为4%+8B.曲线C所表示的图形有且仅有2条对称轴C.曲线C所表示的图形是中心对称图形D曲线C是以(1,1)为圆心，2为半径的圆例32.(2022•全国•高一)画出方程= 表示的曲线.例33.(2022•四川巴中•高二期中)已知方程x2+y2-2costzx-4sina-y+4sin2a-sina+l= e[0,2^)j表示圆.(1)求。的取值范围.(2)求该圆半径的最大值.【方法技巧与总结】方程^+：/+6+£丫+尸=()表示圆的充要条件是£)2+£2-4尸>0,故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆心为半径 炉-4尸{2 2) 2题型六：圆过定点例34.(2022•全国•高三专题练习)判别方程x?+y2+2履+(4A+10)y+10A+20=0(及为参数，kH-1)表示何种曲线?找出通过定点的坐标.例35.（2022•全国•高三专题练习）求证：对任意实数〃工-2,动圆（。+2）/+3+2万2-4%-2。=0恒过两定点.例36.（2022•全国•高二专题练习）已知点气-2,-3）和以0为圆心的圆（》一加+1）2+。_3加）2=4.（1）求证：圆心Q在过点p的定直线上，（2）当，“为何值时，以P、。为直径的圆过原点.例37.（2022•浙江省东阳市第二高级中学高二期中）点尸（x~）是直线2x+y-5=0上任意一点，0是坐标原点，则以0P为直径的圆经过定点（ ）A.（0,0）和（1,1）B.（0,0）和（2,2） C.（0.0）和（1,2） D.（0,0）和（2J）【方法技巧与总结】合并参数题型七：与圆有关的对称问题例38.（2022•全国•高二专题练习）已知圆x?+V+办+如+1=。关于直线x+y=l对称的圆的方程为x2+y2=\,则a+b--.例39.（2022•江苏•高二课时练习）已知圆C：、2+丫2+6+£>-12=0关于直线乂+2>-4=0对称，且圆心在y轴上，求圆C的标准方程.例40.（2022•上海市第三女子中学高二期末）圆（x+2y+（y-l）2=5关于直线*-丫=0对称的圆的方程为.例41.（2022•河北唐山•高二期中）点、M,N是圆/+y2+"+2y-4=0上的不同两点，且点M,N关于直线x—y+l=0对称，则该圆的半径等于（）A.2近 B.& C.3 D.9例42.（2022•全国•高三专题练习）圆x2+y2-2x+4y-4=0关于直线x+y-l=0对称的圆的方程是（）A.（x-3）2+/=16 B.Y+（y-3）2=9C.x2+（>>-3）2=16 D.（x-3）2+y2=9例43.（2022•陕西渭南•高一期末）若圆Y-2x+y2=。与圆c关于直线x+y=0对称，则圆C的方程为（）A.x2+2x+y2=0B.x2+y2-2y=0 C.x2+y2+2y=0 D.x2—2x+y2=0例44.（2022•全国•高三专题练习）已知圆（x+l）：+（y+2）2=4关于直线以+圾+1=0（a>0,b>0）12对称，则—1■丁的最小值为（）ab

B.9B.9C.4D.8TOC\o"1-5"\h\z例45.(2022•北京•高考真题)若直线2x+y-l=0是圆(x-a)2+y2=i的一条对称轴，则叫( )A.: B.— C.1 D.—12 2【方法技巧与总结】(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称(2)圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点(3)圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线【同步练习】一、单选题1.(2022•安徽省宣城中学高二期末)已知直线or+勿-1=0(必>0)过圆(x-l)2+(y-l)2=2022的圆心,则/+〃的最小值为()TOC\o"1-5"\h\z4.工 B.1 C.— D.22 2(2022•北京十五中高二期中)经过三个点A(0,0),8(26,0),C(0,-2)的圆的方程为( )可+(y+l『=2 B.(x->/3)'+(y-l)2=2C.(x-G)+(y+1)'=4 D. +(y-l)2=4(2022•江苏•高二单元测试)己知从点(-5,3)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：(x-l)2+(y-l)2=5的圆周，则反射光线所在的直线方程为()A.2x-3y+l=0 B.2x-3y-l=0C.3x-2y+l=0 D.3x-2y-\=0(2022•全国•高二课时练习)由曲线y=|R与x?+y2=4所围成的较小区域的图形面积是( )(2022•江苏•高二单元测试)曲线f+9=2凶+4M围成的图形的面积为( )48+10%B.16+10万 C.57r D.5(2022•河北保定•高二期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值2(2>0,且2")的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xQy中，A(T,0),8(2,0),点P满足言=2,则点p的rD轨迹的圆心坐标为()4.(4,0) B.(0,4) C.(-4,0) D.(2,0)(2022•全国•高三专题练习)圆(x-l)?+(y+2)2=2关于直线/：x+y-2=0对称的圆的方程为()A.(x-4)2+(y-l)2=2 B.(x+4)2+(y+l)2=2C.(x-4)2+(y+l)2=2 D.(x+4)2+(y-l)2=2(2022•浙江金华•模拟预测)实数a,b满足a-2折-4>/^工+1=0,则下列说法正确的是( )A.石石+2 B.9-4石4a49+4石C.2-s/3<b<2+y/i D.9-4石4b49+46二、多选题(2022•江苏•高二单元测试)设圆的方程是(*-4)2+。+。)2="+从，其中0>0,b>0,下列说法中正确的是()A.该圆的圆心为(a,%) B.该圆过原点C.该圆与x轴相交于两个不同点 D.该圆的半径为(2022•全国•高二)设有一组圆C*：(x-k)2+(y-k)2=4(keR),下列命题正确的是( )4.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B.所有圆C«均不经过点(3,0)C.经过点(2,2)的圆C*有且只有一个D.所有圆的面积均为4(2022•全国•高二课时练习)［多选题］若原点0(0,0)在圆/+>2+2奴+“2-2。+1=0外，则a的取i 7值可以是()A.5 B.— C.ID.2(2022•全国•高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A,8的距离之比为定值4(2^1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”・在平面直角坐标系xOy中，A(-2,PA\i0),B(4,0),点P满足焉=3.设点尸的轨迹为C,则下列结论正确的是( )rnXnA.轨迹C的方程为(x+4)2+f=9PD.B.在x轴上存在异于4,8的两点O,E使得,=+PE2C.当A,B,P三点不共线时，射线P。是NAP8的平分线D.在C上存在点M,使得|MO|=2|M4|三、填空题(2022•全国•高二专题练习)在圆(x-2)?+(y+3)2=2上与点(0,-5)距离最大的点的坐标是(2022•甘肃•高台县第一中学高二阶段练习(文))过三点(0,0),(4,0),(T1)的圆的方程是(2022•江苏•高二)已知半径为3的圆的圆心到y轴的距离等于半径，圆心在直线x-3y=0上，则此圆的方程为.(2022•江苏•高二专题练习)曼哈顿距离是由19世纪著名的德国数学家赫尔曼-闵可夫斯基所创的词汇，用来标明两个点在标准坐标系中的绝对轴距总和.例如在平面直角坐标系中，点A(l,3),8(2,5)的曼哈顿距离为卜2|+|3-5|=3.已知动点N在圆x?+y2=9上，点河(3,4),则两点的曼哈顿距离的最大值为.四、解答题(2022•湖北•黄石市有色第一中学高二阶段练习)已知aABC的三个顶点分别为4-3,0),8(2,1),C(-2,3),求:BC边上中线AO所在直线的方程；BC边的垂直平分线OE的方程；aABC的外接圆方程.

（2022•湖南•株洲市五雅中学高二期中）已知圆C的半径为1,圆心既在直线y=2x-4上又在直线y=x-i上.求圆C的标准方程；（2022•全国•高二）直线/过点A（l,2）且与直线2x-y+l=O平行.（1）求直线/的方程；（2）求圆心在直线/上且过点。（0,0）、8（2,0）的圆的方程.（2022•全国•高三专题练习（文））已知点*2,2）,圆Cd+丁-8y=0,过点尸的动直线/与圆C交于AB两点，线段A8的中点为。为坐标原点.（1）求M的轨迹方程;（2）当IOPROMI时，求/的方程及aPOM的面积已知8,C为圆/+山=4上两点，点A22.（2022已知8,C为圆/+山=4上两点，点A（1,1）,且A8_LAC,求线段8C的长的取值范围.2.1圆的方程【知识点梳理】知识点一：圆的标准方程(x-a)户为半径.2知识点诠释：由方程V++Dr++,+尸=0户为半径.2知识点诠释：由方程V++Dr++,+尸=0得(x+£J+1+ 尸(1)当。+1一4产=0时，方程只有实数解x=-S,y=—它表示一个点(一2,一g).• 2 2 2(2)当。2+£_4尸<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.(3)当。2+£：2一4斤>0时，可以看出方程表示以1-2,-g］为圆心，，〃>2+炉-42为半径的圆.12 2) 2知识点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时a=0,8=0,圆的方程就是f+V=’.有关图形特征与方程的转化:如：圆心在x轴上：6=0；圆与y轴相切时：|a|=r；圆与x轴相切时：|b|=r；与坐标轴相切时：|a|=|b|=r；过原点：a2+b2=r2(2)圆的标准方程(工一。)2+3-⑨2=/0圆心为(4b),半径为r,它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要小氏/•这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.知识点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=/,圆心为C(a,%),半径为r,则有(1)若点在圆上o|CM|=r<=>(j^-a)-+(%-6)2=/(2)若点M5,%)在圆外o|CM|>ro-a)2+(%-4>/(3)若点 在圆内UCM|<r=(%-a)2+(%—b)2</知识点三：圆的一般方程当£>2+片2-4尸>0时，方程产+丫2+6+4+/=0叫做圆的一般方程.(一日,__|)为圆心，知识点四：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：（1）根据题意，选择标准方程或一般方程.（2）根据已知条件，建立关于a、b、r或。、E、尸的方程组.（3）解方程组，求出a、6、r或E、下的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.知识点五：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程..当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）..求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等..求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用（x,y）表示轨迹（曲线）上任一点M的坐标；（2）列出关于x,y的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答.【题型归纳目录】题型一：圆的标准方程题型二：圆的一般方程题型三：点与圆的位置关系题型四：轨迹问题题型五：二元二次曲线与圆的关系题型六：圆过定点题型七：与圆有关的对称问题【典型例题】题型一：圆的标准方程例1.（2022•贵州•高二学业考试）圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程是

B.x2+y2B.x2+y2=4C.(x+1)-+(y+l]=3 D.(x+1)-+(y+lj=6【答案】B【解析】圆心在坐标原点，半径为2的圆的标准方程为Y+y?=4.故选：B例2.(2022•重庆南开中学高一期末)与直线y=J£切于点4(6,3),且经过点3(30,1)的圆的方程为()A.(x+3)2+(y->/3)2=24 B.(x-石-+(y+1尸=16C.(x+6)2+(y-l)2=16 D.(x-2>/3)2+(y-2)2=4【答案】D【解析】设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=『2,根据题意可得｛3石_42+(1-6)2=/，fe-3__1_、”后一x/3a=2y/3解得,b=2 ,r2=4所以该圆的方程为(x-2>/5)2+(y-2)2=4.故选：D.例3.(2022•全国•高二专题练习)过点A(l,l),B(-3,5),且圆心在直线2x+y+2=0上的圆的方程为【答案】(x+2)2+(y-2>=10【解析】设圆的标准方程为(x-a)z+(y-b)2=产，因为圆过点4(1,1),伙-3,5),且圆心在直线2x+y+2=0上，(l-a)：+(1-6)2=r2则有,(-3-。)2+(5-6『=/，解得。=-2,6=2,r= 所以所求圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=10.2a+6+2=0故答案为：(x+2)-+(y—2厂=10.例4.(2022•河北唐山•高二期中)圆心在直线2x-3y-l=0上的圆与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点，则圆的方程为.【答案】(x-2/+(y-l)2=2【解析】由题意得：圆心在直线x=2匕又圆心在直线2x-3y—1=0上，令x=2,得y=l.・圆心A/的坐标为(2,1),又4L0),半径I4W|=J(2-l)2+(1-0)2=75,则圆的方程为。-2)2+(y-l)2=2.故答案为：(x-2)2+(y-l)2=2例5.(2022•江苏•高二单元测试)求满足下列条件的圆的标准方程.(1)圆心在x轴上，半径为5,且过点A(2,-3)；(2)经过点做工-5)、3(61),且以线段A8为直径；(3)圆心在直线产-2%上，且与直线产1-x相切于点(2»T)；(4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点A(2,-3),B(-2,-5).【解析】(1)设圆的标准方程为(x-4+y2=25.因为点A(2,-3)在圆上，所以(2-。丫+(-3)2=25,解得。=-2或a=6,所以所求圆的标准方程为(x+2)?+y2=25或(x-6)，y2=25.(2)设圆的标准方程为(无一"+3-6)-=，卜〉0),由题意得4==X=1,/>=-y-=-3;又因为点(6,-1)在圆上，所以，=(6-1)2+(-1+3)2=29.所以所求圆的标准方程为(x-iy+(y+3)2=29.(3)设圆心为(a,—勿).因为圆与直线y=l-x相切于点(NT),所以%=J(a-2『+(-2a+l)2,解得a=L所以所求圆的圆心为。，-2),半径r=J(l-2p+(-2+1囚=应.所以所求圆的方程为(1)2+(>+2)2=2.(4)设点C为圆心，因为点C在直线x-2y-3=0上，故可设点C的坐标为伽+3,力.又该圆经过A、8两点，所以|6|=|C1司.所以J(2a+3-21+(a+3)2=J(2a+3+2p+(a+5)2,解得a=-2,所以圆心坐标为。(-1,一2),半径r=故所求圆的标准方程为(x+4+(y+2)2=10.例6.(2022•全国•高二课时练习)求圆—+V+2x-2ay-4=0(aeR)的半径的最小值.【解析】由题意，X2+y2+2x-2ay-4=0(aeR)<=>(x+1)2+(y-a)2-a2+5故圆的半彳仝r=yja2+5>y/5当且仅当a=0时等号成立故圆X?+y2+2x-lay-4=O(aeR)的半径的最小值为行【方法技巧与总结】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于。、0、/■的方程组，求。、氏r或直接求出圆心Q,力和半径r,一般步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-力2=/；(2)根据已知条件，建立关于a、氏r的方程组；(3)解方程组，求出a、氏，的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.题型二：圆的一般方程例7.(2022•安徽•南陵中学高二阶段练习)已知圆M经过点A(2,-2),8(T,6),C(4,2).求圆W的方程：【解析】设圆的一般方程为/+丫2+土+/+。=0,把三个点代入得‘4+4+2A-2B+C=0 [A=2<16+36-4A+6B+C=0,得(8=-416+4+4A+2B+C=0[c=-20所以圆的方程为f+y2+2x-4y-20=0即(x+l)2+(y-2)2=25.例8.(2022•全国•高二课时练习)已知一个等腰三角形底边上的高等于5,底边两端点的坐标分别是(T，。)、(4,0),求它的外接圆的方程.

【解析】由题意得，等腰三角形顶点的坐标为(0,5)或(0,-5).当顶点坐标为(0,5)时，设：角形外接圆的方程为V+y2+6++尸=0,0=0,25+5E+尸=0,则＜16-4。+尸=0,解得，QE=_"16+4£>+/=0,JF=-16.所以圆的方程为f+y2-声-哈。.9'T顶点坐标是(0,-5)时，同理可得圆的方程为V+9+|y-16=0.综上，它的外接圆的方程为f+y-Ny—16=0或x2+y2+‘y-]6=0.例9.(2022•福建•厦门大学附属科技中学高二期中)已知“ABC的三个顶点分别为4(T,0),B(0,2),C(2,-2),求：(1)Afi边中线所在的直线方程(2)aABC的外接圆的方程【解析】(1)设Afi的中点为。(-2,1)，则CD所在直线的斜率为_之，4则CD边所在直线的方程为y-l=-Z(x+2),即3x+4y+2=0.4(2)设aABC的外接圆的方程为/+，2+6+6+产=0,。二2解之可得，E=2尸=-8。二2解之可得，E=2尸=-8由<2E+尸+4=02O-2E+尸+8=0故aABC的外接圆的方程为x2+V+2x+2y-8=O.例10.(2022•北京十五中高二期中)已知圆C：x2+y2-4y=0,则圆C的坐标为一，圆C的半径为【答案】(0,2) 2【解析】因为圆C：x2+y2-4y=0,即圆C：x2+(y-2)2=4,所以圆C的圆心为(0,2),半径为2.故答案为：(0,2),2.例II.(2022•江苏•高二)圆/+/+2、-4丫-6=0的圆心和半径分别是()A.(-1,-2),11B.(-1,2),11C.(-1,-2),VT1D.(-1,2),后【答案】D【解析】先化为标准方程可得(x+l『+(y-2)2=ll,故圆心为(T2),半径为JTT.故选：D.例12.(2022•全国•高考真题(文))过四点(0,0),(4,0),(T,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为【答案】(》-2)2+(k3)2=13或(》-2)2+3-1)2=5或1_普+卜_夕=1或【解析】依题意设圆的方程为/-若过(0,0),(4,0),(-1.1),则所以圆的方程为x、y2-4x-6y=若过(O，。)，(4,0),(4,2),则所以圆的方程为/+y2-4x-2y=若过(0,0),(4,2),(-1,1),则所以圆的方程为V+F-；》-：3 3若过(-1,1),(4,0),(4,2),则2,216 . 16„....fx+y x-2y =0,b[Jx卜丁+6+或+尸=0,F=0 [F=016+40+尸=0 ,解得D=-4,1+1-O+E+尸=0 [E=-6o,B|J(x-2)2+(y-3)2=13；F=0 [F=016+4。+尸=0 ,解得.D=-4,16+4+4。+2七+尸=0 [E=-20,BP(x-2)2+(y-l)2=5：[F=0 k=oQl+l-D+E+F=0 ,解得。二一一，16+4+4O+2E+F=0 r「 14E= 13y=0,即(*司+"()=家L16r= 1+1-D+E+F=O16+4。+尸=0 ,解得,。=-9，所以圆的方程为16+4+4。+2七+尸=0 匚；E=-28丫/ 1\21695)v7 25故答案为：(尸2)2+(k3)2=]3或(x-2)，(y_l)2=5或(x_gJ+(y_*X或例13.(2022•广东•汕头市潮阳区河溪中学高二期中)(1)求过点4(2,5),且在坐标轴上截距互为相反数的直线/的方程.(2)已知圆Cx2+y2+Dx-\-Ey—6=0,圆心在直线x+y—2=0上，且圆心在第二象限，半径长为4,求圆的一般方程.【解析】(1)解法1：①当直线/在坐标轴上的截距均为。时，方程为y=gx,即5x-2y=0；②当直线/在坐标轴上的截距不为。时，可设方程为2+上=1,即x—y="，a一。又•.,/过点A(2,5),・・.2—5=ma=—3,工/的方程为x—y+3=0,综上所述，直线/的方程是5x—2y=0或x—y+3=0.解法2：由题意知直线的斜率一定存在.设直线的点斜式方程为丁一5=女(x—2),当x=0时，y=5~2k,当y=0时，x=2--.k根据题意得5—2太=一(2--),解方程得&=』或无=1.k 2当左■时，直线方程为y—5=g(x—2),即5x—2y=0；当％=1时，直线方程为y-5=lx(x-2),即x-y+3=0.综上所述，直线/的方程是5x-2y=O或x-y+3=0.nE DE(2)圆心C(一万，-彳)，因为圆心在直线x+y-2=0上，所以一万一彳-2=0,即£＞+E=-4.①又因为半径长r=m+E124=%所以。+£2=40.②2由®®可得；或又因为圆心在第二象限，所以-?＜。，即。＞0.则］：：：故圆的一般方程为(+炉+入-6)—6=0.【方法技巧与总结】一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件.题型三：点与圆的位置关系例14.(2022•河南•温县第一高级中学高二阶段练习(文))若坐标原点在圆“2+V+2办+2ay+2a2+0-1=0内,则。的取值范围是・【答案】卜,;)【解析】依题意可知4/+4/_4(2/+。-1)>0,Bpa-l<0,a<l.由于(0,0)在圆x2+y2+2ar+2ay+2a2+a-l=O内，所以2a2+a—1<0,(2«—l)(a+1)<0,解得一l<a<一.2所以“的取值范围是(-L；)故答案为：(T，；)例15.(2022•河南•油田一中高二阶段练习(文))已知点(〃,2)在圆Y+y2—2ar-3y+/+a=o的外部，则。的取值范围是( )A.(V)B.(2)C.123) Q.佬)【答案】D【解析】由点在圆外知"+2、-2a,a-3x2+a「+以>0,即〃-2>0,解得。>2,又+y2—2ar—3y+/+a=0为圆，则(—2〃)+(—3)—4(/+〃)>(),, 9 9解得。<——，故2<。<一.4 4故选：D.例16.(2022•安徽省亳州市第一中学高二阶段练习)已知点4(2,1)在圆。：V+y2—2升刀+2=0的外部，则实数机的取值范围为()A.(—3,-2)U(2,9) B.(-2,2)U(3,f)C.(-2,-foo) D.(-3,+oo)【答案】4【解析】由题意，得(?)+'〃--8>° ,解得_3(加<_2,或小>2.22+12-2x2+w+2>0故选：A.例17.(多选题)(2022•河北•衡水市第十四中学高二阶段练习)过点尸(3,0)可作两条直线与圆C:x2+y2-2x+4y+m=0相切，则实数可能取值为()A.0 B.1 C.-3 D.4【答案】ABD【解析】由题意，过点尸(3,0)可作两条直线与圆C相切，可得点尸在圆C外,又由圆C：X?+ -2x+4y+〃z=。，则满足32+02-2*3+4*0+〃?>0且(1一1)-+(>+2)~=5-加>0,解得一3<“<5.结合选项，可得48。符合题意.故选：ABD.【方法技巧与总结】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O,半径为r,则点P在圆内o|PQ|<r；点P在圆上0)221=〃；点尸在圆外UP。A”从数的角度来看，设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=/,圆心为A[a,b),半径为r,则点河(为,％)在圆上-4+(%-。)?=/；点M(x0,y0)在圆外<=>(x0-a)2+(%-人了>r2；点、M(x0,y0)在圆内%-a)2+(%-好<r~.题型四：轨迹问题例18.(2022•山东•德州市教育科学研究院三模)古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数©k>0«wl)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中，4-4,0),8(2,0),点例满足雷=2,则点”的轨迹方程为()A.(x+4)2+y2=16B.(x-4)2+y2=16C.x2+(y+4)2=16D.x2+(y-4)2=16【答案】B【解析】：需=2,即|M4|=2|MB|设M(x,y),则J(x+4)，+y2=2&-2『+丫2,整理得(x-4『+/=16故选：B.例19.(2022•安徽滁州•二模(文))已知A,8为圆C:x2+y2-2x-4y+3=0上的两个动点，P为弦AB的中点，若NAC6=90°,则点P的轨迹方程为()A.(x-l)2+(y-2)2=- B.(x-l)2+(y-2)2=l4C.(x+l)2+(y+2)2=-D.(x+»+(y+2)2=l【答案】8【解析】圆C即(x-l)2+(y—2)2=2,半径r=&因为C41CB，所以48=应『=2又P是A8的中点，所以CP=；AB=1所以点〃的轨迹方程为(x-l)2+(y-2)2=1

故选：B例20.（多选题）（2022•江苏•高二专题练习）方程故选：BA（x2+y2-2x）+//（x2+y2-2y）=0（九4不全为零），下列说法中正确的是（）A.当川=0时为圆B.当"力0时不可能为直线C.当方程为圆时，4满足/1+MXOd.当方程为直线时，直线方程y=%【答案】ACD【解析】对于A,由题可得二、或二、，代入得丁+丫2一2尸0或/+丫2-2、=0,都是圆，故A对；对于8,当2=1,〃=一1时，化简得y=X是H线，故B错；对于C,原式可化为（A+/i）x2+（A+p）y2-2Ax-2^y=O,要表示圆，则必有义+4工0,故C对；对于。，只有入+〃=0时，方程表示宜线＞=%,故。对.故选：ACD.例21.（2022•吉林•希望高中高二期末）若两定点A,8的距离为3,动点M满足|M4|=2|用回，则M点的轨迹围成区域的面积为【答案】47【解析】以点A为坐标原点，射线A8为x轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点由《X2+9=2j(x-3)2+丁,化简并整理得：(x-4)2+y2=4.于是得点M的轨迹是以点(4,0)为圆心，2为半径的圆，其面积为4］，所以M点的轨迹围成区域的面积为4万.故答案为：4万例22.(2022•四川•南部县第二中学高二阶段练习(文))已知圆C的圆心在直线/:2x-7y+8=0上，且过A(6,0)和8(1,5)两点.(1)求圆c的标准方程；(2)过点尸(0,1)的直线/与圆C交于两点，求弦MN中点Q的轨迹方程.【解析】(D设圆心则|4。=忸4=/，即/-6『+宁［羊"J，解得:一，：.r=g又圆心C(3,2),.•.圆C的标准方程为(x-3y+(y-2)2=13；(2)为弦W中点，.•.CQ_LKV,即CQ_LPQ.设。(&y),则C4=(x-3,y-2)，而=(x,y-l>CQ-PQ=x(x-3)+(y-l)(y-2)=x2+y2-3x-3y+2=0-即点。的轨迹方程为：jc2+/-3x-3y+2=0-例23.(2022•四川省资阳市雁江区伍隍中学高二开学考试(理))如图所示，等腰梯形ABCD的底边AB在x轴上，顶点A与顶点B关于原点。对称，且底边AB和CD的长分别为6和2n，高为(1)求等腰梯形ABC。的外接圆£的方程；(2)若点N的坐标为(5,2),点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程.【解析】(1)设E(0,»，由已知可得:4(—3,0),B(3,0),C(跖3),£)(-跖3)，由IEBREQ得：(3-0)2+(0-6『=(而-of+(3-4=匕=1，.•.圆E的圆心为E(0,l),半径为「=而，...圆E的方程为：x2+(j--l)2=10.⑵设尸(x,y),M(%,%),5+x0•••「为线段MN的中点，， 2二卜小？)一，2+%_v l%=2)，-2［丁7代入点M所在圆的方程得：(2x—5)'+(2y-3/-10n(x——)2+(_y--^-)2=—，•••点p的轨迹方程为(x-1)2+(y-|)2=|.例24.(2022•江苏•高二)已知圆C过三个点M(l,0),N(3,2),R(5,0)•(1)求圆C的方程；(2)过原点O的动直线/与圆C相交于不同的两点，求线段钻的中点时的轨迹.【解析】(1)设圆。的方程为丁+>2+m+砂+/=0(£>2+£2一4/>0)，+D+F=0因为圆C过三个点M(l,0),N(3,2),R(5,0)，可得，9+4+3D+2E+尸=0，解得D=-6,E=0,尸=5，25+5D+F=O所以圆C的方程为X2+y2-6x+5=0-即(x-3)z+y?=4.(2)因为m为线段"的中点，且所以Af在以OC为直彳仝的圆上,以OC为直径的圆的方程为(x—|尸+丁=:,(尤-3『+y2=4 x=- x=-联立方程组，3丫9,解得3L或3K2)-4 口=一亍户亍所以点M的轨迹方程为(x-与+丫?=2,(2v%£3).43例25.(2022•全国♦高二课时练习)已知A(2,1),8(-4,9),动点P满足/”8=90。，求动点P的轨迹.【解析】由题意，点A(2,l),8«9),动点p满足NAP8=90。，所以点尸落在以他为直径的圆上，其中圆心坐标为(-1,5)，半径为r=』A8|=5*所以点尸的轨迹方程为(x+l『+(y-5/=25，其中xw2且所以点尸的轨迹为以(-1,5)为圆心，半径为5的圆，且除去点A(2,l)和B(T,9).例26.(2022•全国•高二课时练习)已知圆C经过(-1,3),(5,3),(2,0)三点.(1)求圆C的方程；(2)设点A在圆C上运动，点且点M满足病=2标，求点M的轨迹方程.[解析】(1)设圆C的方程为/+V+Dr+4+尸=0(-l)2+32-D+3E+F=O [D=-4则有■52+32+5。+3£+尸=0，解之得,E=-622+02+2D+F=0 F=4则圆C的方程为f+y2_4x_6y+4=0(2)设M(x,y),A(xA,yA)>则有而■=(x-XA，y-yA)，MB=(8-x,^--y)-2MB=(16-2x,15-2y)illAM=2MB,可得卜f=16-2,解之得卜-6+3x[>一力=15-2y [yA=-15+3y由点A在圆C上，得(_i6+3xy+(-15+3y)2-4(-16+3x)-6(-15+3y)+4=OWx2+y2-12x-12y+71=O故点河的轨迹方程为/+/_12*-]2丫+71=0.【方法技巧与总结】用直接法求曲线方程的步骤如下：(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点w的坐标；(2)列出关于x,y的方程；(3)把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答.题型五：二元二次曲线与圆的关系例27.（2022•江苏•高二单元测试）若方程/+/+2公:+4丫+34+8=。表示一个圆，则实数&的取值范围是.【答案】（y，-i）j（4,y）【解析】因为方程/+V+2辰+4y+3&+8=0表示一个圆所以，4内+16-4（3A+8）>0,[ipk2-3it-4>0>解得k>4或女<-l.所以，实数k的取值范围是（r°，T）=（4.+<»）故答案为：（-oo,-1）=（4,+oo）例28.（2022•广东•高二期中）已知加eR,方程（3加-1）/+（加2+]b2+W-4丫+5m=0表示圆，则圆心坐标是.【答案】（-21）【解析】由题意得4+1=3/n-l，解得加=1或2.当机=1时，方程为x2+y2+4x-2y+]=0,即（》+2）一+（y-l）-=｝圆心为（-21）；当?”=2时，方程为5/+5/+8x-4y+10=0,即（x+g） y--|^=-^.不表示圆.故答案为：（-2,1）例29.（2022•江苏•高二单元测试）若曲线C：x2+y2+2or_4ay_10a=0表示圆，则实数。的取值范围为（）A.（-2.0） B.（yTM。，也）C.[-2,0] D.（yo,-2]U[。"）【答案】B【解析】由x2+y2+2ar-4ay-10a=。，得（x+a）2+（y-2a）2=5a，+10a，由该曲线表示圆，可知5a2+10a>0，解得4>0或"-2,故选：B.例30.（2022•全国•高三专题练习）设甲：实数a<3;乙：方程V+y2-x+3y+a=0是圆，则甲是乙的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程x2+y2-x+3y+a=O表示圆，Ijiij(-1)2+32-4a=10-4t7>0,解得：a<-；•：a<3ia<|,a<g=a<3,,.•.甲是乙的必要不充分条件.故选：B.例31.(多选题)(2022•江苏无锡•模拟预测)关于曲线C：^+/=2区+2区，下列说法正确的是()A.曲线C围成图形的面积为4%+8B.曲线C所表示的图形有且仅有2条对称轴C.曲线C所表示的图形是中心对称图形D.曲线C是以(i,i)为圆心，2为半径的圆【答案】AC5y-3对于A：图形在各个象限的面积相等，在第•象限中的图形，是以(口)为圆心，&为半径的圆的一半加■个直角上角形所得，S,=-^x(V2)J+-x2x2=^-+2,所以曲线C围成图形的面积为S=4£=4;r+8,故A正确：对于8,由图可知，曲线c所表示的图形对称轴有x轴，y轴，直线y=x,直线y=-x四条，故8错误：对于C,由图可知，曲线C所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C正确；对于力，曲线c的图形不是一个圆，故。错误.故选：AC

例32.（2022•全国•高一）画出方程》-1=正了表示的曲线.【解析】由题意得：x21,-l<y<l,方程两边平方得：（x-l）：+y=1,如图所示：实线为所求(2)由(1)知0<a<g•或2<a<兀，圆的半径1=(2)由(1)知0<a<g•或2<a<兀，圆的半径1=5〃(-sin2a+sina)=【解析】将原方程整理得(x+A)2+及+(2k+5)/-5(4+1)2=0,即(x+k尸+[y+(2*+5)]2=[>/5(.k+1)]2,二方程表示圆心在(一人,一2k-5),半径为61%+1|的圆，将原方程整理为关于k的方程：*2+/+10y+20+伙2x+4y+10)=0,一[x2+y2+10y+20=0,ctlJ[2x+4y+10=0即圆过定点例(1,一3).例35.(2022•全国•高三专题练习)求证：对任意实数QH-2,动圆(。+2)/+(a+2)V-41-20=0恒过两定点.【解析】证明：圆系方程可化为12+/2-2”+2/+2/2-以=0.设/3)=俨+/-2)。+2/+2/一4尤.；/(。)=0对aeR(〃h-2)恒成立，.尸+户2=0 (x=\..vJx=l■<,~2,z解的।或I,•2x+2y-4x=0 lv=l1'=一】因此，圆系过定点(1,1)和(LT).例36.(2022•全国•高二专题练习)已知点P(-2,-3)和以Q为圆心的圆(x-m+iy+(y-3m)2=4.(1)求证：圆心Q在过点「的定直线上，(2)当m为何值时，以P、Q为直径的圆过原点.【解析】(1)由题可知圆心。的坐标为(阳-1，3«),Ir■ |令,消去m，得y=3x+3.'：直线y=3x+3过点p(-2,-3)....圆心Q在过点P的定直线y=3x+3h.•；以P、Q为直径的圆过原点，C.OPLOQ.,33m・・ 二-1,2m-\2即当m='时，以P、。为直径的圆过原点.例37.（2022•浙江省东阳市第二高级中学高二期中）点P（x,y）是直线2x+y-5=0上任意一点，0是坐标原点，则以0P为直径的圆经过定点（ ）4.（0,0）和（1,1） B.（0,0）和（2,2） C.（0,0）和（1,2）D.（0,0）和（2,1）【答案】D【解析】设点P0,5-2）则线段op的中点为M惇宏｝圆的的半径为\OM\=『+（；-"『=•一片+25,所以，以0P为直径为圆的方程为6-；）+''一1"）="-？125,即■+、-比+⑵一5）乃°，即8+y2-5y）+t（2y-x）=0,由｛，:二；…,解得]；二:或忆:，因此，以0P为直径的圆经过定点坐标为（0.0）、（2.1）.故选：D.【方法技巧与总结】合并参数题型七：与圆有关的对称问题例38.（2022•全国•高二专题练习）已知圆/+丫2+立+如+1=。关于直线x+y=i对称的圆的方程为x2+y2=\,则q+6=.【答案】-4【解析】圆/+V=1的圆心是坐标原点（0,0）,半径为1，设（。，0）关于直线x+y=l的对称点为（如〃），mn.—I—=1 ,22 , 16二1则｛,解得t,m [n=l=1n所以点（0，。）关于直线x+y=I对称的点的坐标为（1，1）,因为圆//+ar+by+l=0关于直线X+y=l对称的圆的方程为X?+V=1,所以圆x2+y2=l关于直线x+y=l对称的圆的方程为(x-l/+(y-l)2=l,HPX2+r-2x-2y+1=0.所以a=b=-2,即a+b=Y.故答案为：-4.例39.(2022•江苏•高二课时练习)已知圆C：/+/+瓜+4-12=0关于直线x+2y-4=0对称，且圆心在y轴上，求圆C的标准方程.【解析】由题意知：圆心C(-2,—△)在直线x+2y—4=0上，即一2—E—4=0.又圆心C在y轴上，所以一々=0.由以上两式得：D=0,E=-4,则/+丫2-4丫-12=0,故圆C的标准方程为/+(丫_2)2=16.例40.(2022•上海市第三女子中学高二期末)圆(x+2y+(y-l)2=5关于直线x-y=0对称的圆的方程为.【答案】(x-lY+(y+2)2=5【解析】圆(x+2y+(y-l)2=5的圆心为(-21),半径为。；圆心(-2,1)关于直线x-y=O对称的点为(1,-2),所以所求圆的方程为(x-l)2+(>+2)2=5.故答案为:(x-l)2+(y+2)2=5.例41.(2022•河北唐山•高二期中)点、M,N是圆/+丫2+奴+2、-4=0上的不同两点，且点M,N关于直线x—y+1=0对称，则该圆的半径等于()A.20 B.72 C.3 D.9【答案】C【解析】圆/+尺+辰+2尸4=0的标准方程为(x+g)2+(y+i)2=5+^,则圆心坐标为(-L-1),半径为r=15+£2 V4因为点M,N在圆/+y2+收+2y-4=0上，且点M,N关于直线/：兀一y+l=0对称，所以直线/：x—y+l=0经过圆心，k所以 F1+1=0,k=4.2所以圆的方程为：x2+y2+4x+2y-4=0,圆的半径.=、5乃=3.故选：C.例42.(2022•全国•高三专题练习)圆x2+y2—2x+4y-4=0关于直线x+y-l=0对称的圆的方程是(x-3)2(x-3)2+y2=\6C./+(y-3)2=l6x2+(j-3)2=9D.(x-3)、y2=9【答案】D【解析】圆一+丫2-2»4丫-4=0的圆心坐标为(1,一2),半径为3设点(1,-2)关于直线x+y-1=0的对称点为(九ri),〃+212 2则圆/+y2-2x+4v-4=0关卜“线x+ =0对称的圆的圆心坐标为(3,0)则该圆的方程为(x-3)2+/=9,故选：D.例43.(2022•陕西渭南•高一期末)若圆x2-2x+y2=O与圆C关于直线x+y=O对称，则圆C的方程为()A.x2+2x+y2=0B.x2+y2-2y=OC.x2+y2+2y=OD.x2-2x+y2=0【答案】C【解析】圆——2x+y2=o的标准方程为(x-l)2+y2=i,其圆心为(1,0),半径为r=l因为(1,0)关于直线x+y=0对称的点为(0,-1),所以圆C的方程为V+(y+l)2=l即x2+y2+2y=0故选：C例44.(2022•全国•高三专题练习)已知圆(x+iy+(y+2)2=4关于直线以+切+1=0(a>0,b>0)2对称，则一■的最小值为()ab5A•- B.9 C.4 D.8【答案】B【解析】圆(x+iy+(y+2)2=4的圆心为(一1，一2),依题意，点(T-2)在直线or+6y+l=。上,因此_q_2/?+l=0,即a+2b=1(°>0,力>0),.12f12Y…0乃 .12b2an・・—I-=|-4—a+2力）=5h F—25+2J—,—=9,abyab）x7ab\ab当且仅当”==,即a=b=!时取“=”，ab 32所以2•+：的最小值为9.ab故选：B.TOC\o"1-5"\h\z例45.（2022•北京•高考真题）若直线2x+y-l=0是圆（x-a『+y2=l的一条对称轴，则。=（ ）IA.- B.— C.1 D.-12【答案】A【解析】由题可知圆心为（&O）,因为有线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a+0-1=0,解得1a=—.2故选：A.【方法技巧与总结】（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称（2）圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点（3）圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线【同步练习】一、单选题（2022•安徽省宣城中学高二期末）已知直线"+加-1=0（a。＞0）过圆（x-l）2+（y-l）2=2O22的圆心,TOC\o"1-5"\h\z则/+〃的最小值为（ ）A.g B.1 C.— D.22 2【答案】A【解析】由题意得圆心为（1,I）,因为直线ar+勿-1=0（成＞0）过圆心，所以。+力=1,即〃=1一b,所以4+从=（l-b）2+〃=2h2-2b+i=2U+g,所以当6时，/+〃的最小值为故选：A(2022•北京十五中高二期中)经过三个点A(0,0),B(2石,0),C(0,-2)的圆的方程为( )A.卜-可+(y+l『=2 B.1-可+(y_l/=2C.(x-VJ)+(y+l)'=4 D.(x-G)+(y-l)2=4【答案】C【解析】由己知得,A(0,0),B(2b,0),C(0,-2)分别在原点、x轴、y轴上，•••AB1AC,J.经过三点圆的半径为r=lBC|=lJ(26-0”(0+2)2=2,(A.r\八O)圆心坐标为8c的中点差一，亍，BP(>/3,-l),k2 27•••圆的标准方程为(x-6)2+(y+l『=4.故选：C.(2022•江苏•高二单元测试)已知从点(-5,3)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：(x-iy+(y-l)2=5的圆周，则反射光线所在的直线方程为()A.2x-3y+l=0 B.2x-3y-l=0C.3x-2y+l=0 D.3x-2y-l=0【答案】A【解析】设点A的坐标为(-5,3),圆苗一1)2+&-1)2=5的圆心坐标为8(1,1),设C(x，0)是X轴上一点，因为反射光线恰好平分圆(x-l)2+(y-l)2=5的圆周，所以反射光线经过点8(1,1)，TOC\o"1-5"\h\z3-01-0 1由反射的性质可知：kAC+^bc=0=>-+;=0=>x=-—,-5-x\-x 21-0 2于是的=丁丁所以反射光线所在的直线方程为：］一(一/)2 1y=—(x+—)2x-3y+1=0,故选：A（2022•全国•高二课时练习）由曲线y=|乂与/+尸=4所围成的较小区域的图形面积是（B.兀D.B.兀D.【答案】Bx,x>0-x,x<0在同一坐标系中作111Illi线.v=N与『+y2=4的图象（如图所示）,两者所围成的较小区域（扇形）是圆的,，4其面积为S=-7tr2=-7tx4=71.4 4故选：B.（2022•江苏•高二单元测试）曲线x2+9=2国+4M围成的图形的面积为（）A.8+10兀 B.16+10江 C.57r D.5【答案】B【解析】当xZ0，yZ0时，曲线方程为J+y2-2x-4y=0,(x—lj+(y-2『=(君丫.由于(x,y),(-x,y),(x,-y),(-兑-y)在曲线上，所以曲线关于x轴、y轴、原点对称,由此画出曲线的图象如下图所示:故曲线围成的图形的面积为4x?2x故曲线围成的图形的面积为4x?2x4+M=16+1071.（2022•河北保定•高二期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值2（A>0,且的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A（T,0）,8（2,0）,点p满足了万=2,则点p的轨迹的圆心坐标为（）A.（4,0） B.（0,4） C.（TO） D.（2,0）【答案】4【解析】令尸（x,y）.则&+4），+丁=2加-2）2+尸,两边平方并整理得：（》-4）2+丁=16,二圆心为（4,0）.故选:A.（2022•全国•高三专题练习）圆（x-l）2+（>2）2=2关于直线/：x+y-2=0对称的圆的方程为4.(x-4)2+(y-l)2=2(x+4)2+(y+l)4.(x-4)2+(y-l)2=2DD.(x+4)2+(y-l)2=2【答案】A【解析】圆（x-iy+（y+2）2=2的圆心为（1,一2）,半径「=&,设圆心（1,一2）关于直线/:x+y-2=。对称的点的坐标为（。力），b+2/、，解得]，即圆（x-1『+（y+2），解得]，即圆（x-1『+（y+2）2=2关于直线/：x+y-2=0对称的圆的圆心为J\+a_b-2.亍+工（4,1）,半径厂=加,所以对称圆的方程为（x-4）2+（y_ly=2；故选：A（2022•浙江金华•模拟预测）实数a,b满足a-2M-4后工+1=0,则下列说法正确的是（ ）A.>/5-2<a<x/5+2 B.9-4石4a49+4石C.2-y[3<b<2+y/3 D.9-4石4649+46【答案】B【解析】由题知a-2〃-4ja-6+l=0,即a-b-4ja-0+4+b-2斯+1=4,B|J（-7a—h—2）2+（-Jh—I）2=4,则“a—b—2尸+（\/^-if=4表示在x=Ja—b，y=的坐标系卜，圆心坐标为（2,1）,半径为2的圆，a=（心^尸+（振尸表示的几何意义为圆上一点到原点的距离的平方，所以a=（V^b）2+（扬>e]（右一2尸,（6+2尸]=[9-4后,9+4石]同理b=（G）2e[O,9].故选：B.二、多选题（2022•江苏•高二单元测试）设圆的方程是（》-°）2+（丫+。）2=/+/，其中0>0,b>0,下列说法中正确的是（）A.该圆的圆心为（a,b） B.该圆过原点C.该圆与x轴相交于两个不同点D.该圆的半径为【答案】8c【解析】由圆的标准方程可知：该圆的圆心坐标为-3，半径为《a2+从,所以选项A、。不正确；因为(O-a)2+(0+6)2=/+从，所以该圆过原点，因此选项b正确；在圆的方程(x-ay+(y+by=/+从中，令y=o,有(x-a)2+b2=a2+b2=>(x-a)2=a2=>x=2a,或x=0,因为a>0,所以该圆与x轴相交于两个不同点，因此选项C正确，故选：BC(2022•全国•高二)设有一组圆G：(x-A)2+(y-&)2=4(AwR),下列命题正确的是( )A.不论％如何变化，圆心C始终在一条直线上B.所有圆G均不经过点(3,0)C.经过点(2,2)的圆G有且只有一个D.所有圆的面积均为4【答案】ABD【解析】A选项，圆心为住从)，一定在直线y=x上，4正确；8选项，将(3,0)代入得：2K-64+5=0,其中A=Y<。,方程无解,即所有圆G均不经过点(3,0),B正确；C选项，将(2,2)代入得：k2-4k+2=0,其中△=16-8=8>0,故经过点(2,2)的圆C,.有两个，故。错、口庆；所有圆的半径为2,面积为4.故选：ABDTOC\o"1-5"\h\z(2022•全国•高二课时练习)［多选题］若原点0(0,0)在圆/+/+2妆+0!一24+1=0外，则a的取值可以是( )। 2A.； B.- C.1 D.22 3【答案】BD【解析】由题意，圆的方程x2+y2+2ar+〃2-2〃+l=。可化为(x+a『+y2=%-1,由2。一1>0,解得，又由原点在圆/+丫2+20¥+°2-2〃+1=0外，可得〃2_2a+i>0,解得。工1,所以实数〃的取值范围是：；<。<1或a>l.故选：BD.(2022•全国•高三专题练习)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点4,8的距离之比为定值/(^1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系x分中，A(-2,\PAi0),B(4,0),点P满足匕•=£.设点尸的轨迹为C,则下列结论正确的是( )\rDZA.轨迹C的方程为(x+4)2+y2=9\PDiB.在x轴上存在异于A,B的两点O,E使得掠=5C.当A,B,P三点不共线时，射线尸。是NAPB的平分线D.在C上存在点使得|MO|=2|M4|【答案】BCPA1【解析】在平面直角坐标系X0Y中，A(-2.0),B(4,0),点P满足,二彳，设P(X,「)，则CD2化简得(x+4)2+/=16,所以A错误；7(x-4)2+y22PD1假设在x轴上存在异于A,B的两点C,E使得寸=彳，设£>(/”，0),E(n,0),则PE2y](x-n)2+y2=2yl(x-m)2+y2»化简得3r+3炉一(8zn-2w)x+4/n2—n2=0,由轨迹。的方程为N+y+8x=0,可得8m—2〃=-24,4/n2—n2=0,PD1解得〃z=—6,〃=—12或m=—2,〃=4(舍去)，即在x轴上存在异于A,8的两点。，E使：有=[，PE2所以8正确；0Al1\PA\当4,B,。三点不共线时，万万=5=固，可得射线PO是N4P8的平分线，所以C正确；若在C上存在点使得|MO|二2|M4|,可设M(my),则有jY+y?=2j(x+2)?+y2,化简得《+尸+/+?=0,与/+/+趺=0联立，方程组无解，故不存在点所