2021年福建省大梦杯初中数学竞赛试题含参考答案

“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参照答案考试时间3月13日9:00-11:00满分150分一、选取题(共5小题，每小题7分，共35分)。每道小题均给出了代号为A，B，C，D四个选项，其中有且只有一种选项是对的。请将对的选项代号填入题后括号里，不填、多填或错填都得0分)1.在平面直角坐标系xOy中，已知点B(0,2)，点A在x轴正半轴上且ZBAO二30。。将△OAB沿直线AB折叠得ACAB,则点C坐标为()A.(1,3)B.(朽,3)C.(3，问D.(运,1)【答案】BR<1\__.【解答】如图，设CD丄x轴于点D。0DAx依题意，CA二OA二2<3,ZCAO二2ZBAO=60。。因此，CD二3,AD=J3,OD=爲。因而，点C坐标为怎,3)。2.若实数a,b满足a2+3a=2,b2+3b=2，且a丰b，贝U(1+a2)(1+b2)=()A．18B．12C．9D．6【答案】A【解答】依题意，a,b为方程x2+3x-2=0两个不同实根。因而，由韦达定理得，a+b=—3,ab=—2。(1+a2)(1+b2)=(1+2—3a)(1+2—3b)=9(1—a)(1—b)=911—(a+b)+ab]=9(1+3—2)=18。

或解：(1+a2)(1+b2)=1+a2+b2+a2b2=1+(a+b)2一2ab+a2b2=1+9+4+4=18。3.若关于x方程出+口+4x+a=0只有一种实数根，则符合条件所有实数a值总和x一2x+2x2一4为()A.一6B.一30C.一32D.一38【答案】D【解答】方程出+口+竺型=0化为2x2+4x+a+8=0①x一2x+2x2一4若方程①有两个相等实根，则△=16-8(a+8)=0，a=-6。a=-6时，方程①根x=x=-1，符合规定。12若x二2是方程①根，则8+8+a+8二0，a=-24，此时，方程①另一种根为x=—4，符合规定。若x=-2是方程①根，则8-8+a+8=0，a=-8，此时，方程①另一种根为x=0，符合规定。因此，符合条件a有-6，-24，-8，其总和为-38。4.如图，在△ABC中，AB=6，BC=3，CA=7，I为AABC内心，连接CI并延长交AB于点AB于点D。记ACAI面积为m，△DAI面积为n，则m=()nA.IC.答案】【解答】A.IC.答案】【解答】依题意，-_ICn~lD(第4题)由I为△ABC内心知，IC_AC_BC0IDADBD因此，由等比定理知，mICACBCAC+BC7+35nIDADBDAD+DB63°5.已知x,y为实数，且满足x2-xy+4y2=4，记u=x2+xy+4y2最大值为M，最小值为m，则M+m二()B.641515DB.641515D.31解答】答案】C解答】由x2一xy+4y2=4，得x2+4y2=xy+4,u=x2+xy+4y2=2xy+4。5xy=4xy+(x2+4y2一4)=(x+2y)2一4>-4，当且仅当x=-2y，即x=一空丄2,10y10y—5或x二厶50，y=-斗°时等号成立。41212xy最小值为一5，u=x2+xy+4y2=2xy+4最小值为丁，即m=—26*.*3xy=4xy-(x2+4y2-4)=4-(x一2y)2<4，当且仅当x=2y，即x=3-x一羊，y=一¥时等号成立。TOC\o"1-5"\h\z42020・・・卩最大值为_,u二x2+xy+4y2二2xy+4最大值为亍即M=丁M+m=20+匚=咿3515设xy=t，若x=0，贝V卩=4；x丰0时，x=—，将y=—代入x2-xy+4y2=4,或解：由x2-xy+设xy=t，若x=0，贝V卩=4；x丰0时，x=—，将y=—代入x2-xy+4y2=4,tx4t2得x2-1+一=4，艮卩x4-(t+4)x2+4t2=0，①x244*△二(t+4)2-16t2=0'解得-5〜t〜3将将将将=3代入方程①，解得5代入方程①，解得x2=533xy最大值为-，最小值为--因而，812因而，812m=一一+4=-,5513615二、填空题(共5小题，每小题7分，共35分)6.在平面直角坐标系内有两点A(1,1),B(2,3),若一次函数y=kx+2图像与线段AB有TOC\o"1-5"\h\z公共点，则k取值范畴为。【答案】-1<k<12【解答】易得直线AB相应一次函数解析式为y=2x-1。由；了，得(k-2)x=-3①[y=kx+2依题意，方程①有1<x<2解。-311・•・k-2<0,且1<<2，解得-1<k<。故k取值范畴为-1<k<k-222或通过作图求解。7.如图，在△ABC中，D为BC边上一点，E为线段AD上一点，延长BE交AC于点F。(第7题)若BD=I，尊=2，则H(第7题)答案】【解答】如图，过点C作CG〃BF交AD延长线于点G,AF=AE!C_7G

又由CG〃BE，知△DGCs\deboDGDC3==oDEDB237AG=AD+DG=2DE+—DE=—DE。22AFAEDE_2———oC8．设x，1x，x，23x是n个互不相似正整数，且x+C8．设x，1x，x，23x是n个互不相似正整数，且x+x+x+

n123+x—2017，则n最n大值是答案】63【解答】依题意，x>11x>2，x>3，…，x>n。23n2017—x+x+x+123n(n+1)+x>1+2+3++n—n2于是，2017>巴n<63o又当x—1,1x+x+x+123x—2，x又当x—1,1x+x+x+12323626363x64+x+x-1+2+3++62+64-+1-2017。62632・・・所求n最大值为63o••••••9•如图，AB是。O直径，AC是。O切线，BC交。O于E点，若°A-]5,则CEAE则—o则AB-【答案】斗【解答】由AB为。O直径知，AE丄BC。设CE—mOA—£5m,AB—2、5m。由条件易得由条件易得AACEs\bae,(第9题)CEAE——=——,AE2=CE-EB，即AE2=mEB。AEBE结合AB2=AE2+EB2，得(2{5m)2二mEB+EB2。(或由射影定理得BA2=BE-BC，即(2J5m)2二BE•(BE+m))EB2+mEB-20m2=0，解得EB二4m或EB=-5m(舍去)。人已=2m，IB二急手。10.若正整数x，y，z满足方程组］x一“一◎二3xyz，则xyz最大值为Ix2=7(y+z)答案】84解答】由x3一y3一z3=3xyz，得x3一y3-z3-3xyz=2(x-y-z)[(X+y)2+(X+z)2+(z-y)2]结合x，y，z为正整数得，(x+y)2+(x+z)2+(z一y)2>0，于是x-y-结合x，y，x2=7x，x二7，y+z=7。当x=7，y=3，z=4或x=7，y=4，z=3时，xyz有最大值84。三、解答题(共4题，每小题20分，共80分)11.若关于x方程x2-(a-3)x+a-2=0有两个不相等整数根，求a值。【解答】设x,x是方程两个不相等整数根，则x+x=a-3,xx=a-2。121212TOC\o"1-5"\h\z・•・a-3,a-2均为整数。因而，a为整数。5分・•・△二(a-3)2-4(a-2)二a2-10a+17二(a-5)2-8为完全平方数。设(a-5)2-8二12(t为整数，且t>0)。贝U(a-5)2-12二8。于是，(a-5-1)(a-5+1)=8。10分由于a—5—t,a—5+1偶性相似，^!a—5—tWa—5+1。fa—5—t=—4pFa—5—t=2・•・q或q。[a—5+1=—2[a—5+1=4解得]a二2或]a二8。15分[t二1[t二1经检查a=2,a=8符合规定。2020分5分5分10分另解：设m,n(m<n)是方程两个不相等整数根。Im2一(a一3)m+a一2=0①则｝°n2—(a-3)n+a-2=0两式相减，得(m-n)(m+n)-(a一3)(m-n)=0°由m<n，得m+n=a—3,a=m+n+3°将a=m+n+3代入①，得mn一m一n一1=0°(m一1)(n一1)=2°由于m,n为整数，且m<n,因而，m一1=-2n一1=-1m=一1亠fm=2n=0或］n=315分fm=一1当仁=o时，a=m+n+3=2；a=2或a=8°m=2时，n=3a=m+n+3=8°20分12•如图，H为AABC垂心，圆O为△ABC外接圆。点E、F为觉得C圆心、CH长为半径圆与圆O交点，D为线段EF垂直平分线与圆O交点。求证：(1)AC垂直平分线段HE；(2)DE=AB。【解答】（1）解法一：如图，连结AH，AE，EC。由H为“ABC垂心知，ZAHC+ZABC二180。。（第12题）由A、B、C、E四点共圆，得ZAEC+ZABC二180。（第12题）・•・ZAEC=ZAHC。5分又CH二CE,ZCEH=ZCHE,:.ZAEH=ZAHE,AE二AH。・AC垂直平分线段HE。10分解法二：作点H关于直线AC对称点G。连结AH，AG，GC。则CG=CH，点G在觉得C圆心、CH长为半径圆上。……5分又ZAGC=ZAHC，H为△ABC垂心，ZAGC=ZAHC=180o-ZABC，A、G、C、B四点共圆。因而，点G也在圆O上。E、G两点重叠。因而，E、H关于直线AC对称，即AC垂直平分线段HE。10分(2)连结CF，BH依题意有CE=CH=CF结合D为线段EF垂直平分线与圆O交点，知CD为圆O直径。・•・DA丄AC。又由(1),以及H为△ABC垂心知，HE丄AC,BH丄AC。因而，B、H、E三点共线。BE丄AC。……15分・•・ZDCE二90。-/CDE=90。-/CBE二ZACB。DAE二ADB。:.DE=AB。20分或：通过ADAE竺厶ADB，证明DE=AB。或通过证明四边形ADBE等腰梯形，证明DE=AB。13.对于整数n>3，用申(n)表达所有不大于n素数乘积。求满足条件申(n)=22n-32所有正整数n。【解答】解法一：若n>11，则11整除申(n)，但11不能整除22n-32。因而，n>11不符合规定。故，n511。10分若7<n<11，贝V申(n)=2x3x5x7=210，由210二22n-32，得n二11。15分若5<6<7，则申(n)=2x3x5=30，由30二22n-32，得正整数n不存在。若3<n<5，贝V申(n)=2x3=6，由6二22n-32，得正整数n不存在。若n二3，则申(n)=2，由2二22n-32，得正整数n不存在。・•・・•・满足条件正整数n只有1个，n=11。20分5分10分155分10分15分・•・满足条件正整数n只有1个，n=11。20分解法二：由申(n)=22n-32，得申(n)-1024=22(n-48)。由于申(n)是偶数，但不是4倍数，因而，n-48是奇数。若n-48>3，则n-48具有奇数素数因子p，即p为奇素数，且p整除n-48由n-48<n知，p整除申(n)。由此p整除1024，矛盾。故,n-48<3，即n<49，且n为奇数。•/n<49时，22n-32<22x49-32二1046，申(n)<1046。又2x3x5x7二210，2x3x5x7x11二210x11〉1046。・•・n<11。即n二3，5，7，9，11。将n二3，5，7，9，11分别代入申(n)=22n-32验证，n二3时，申⑶=2，22n-32二34，不符合规定。n二5时，申(5)=2x3=6，22n-32二78，不符合规定。n二7时，申(7)=2x3x5=30，22n-32二122，不符合规定。n二9时，申(9)=2x3x5x7=210，22n-32二166，不符合规定。n二11时，申(11)=2x3x5x7=210，22n-32二210，符合规定。14.在一种mxn(m行，n列，m>1)表格每个方格内填上恰当正整数，使得:每一列所填数都是1，2,3,…，m一种排列；(即在每一列中，1，2,3,…，m这m个数浮现且仅浮现1次)每一行n个数和都是34。当上述填数方式存在时，求(m,n)所有也许取值。【解答】依题意，每列m个数和为1+2+3++m二m(m+1)，共n列。又每行m个数和2为34。…因此，m(m+xn二34m,(m+1)n二68二22x17。5分2又m>1。因此，(m,n)二(67,1),(33,2),(16,4),(3,17)。当(m,n)二(67,1)时，每一行1个数和互不相似，与(2)矛盾，即符合条件填数方式不存在。舍去。记a为第i行，第j列所填写数。ij当(m,n)=(33,2)时，令a=i,a=34一i。i1i2即当第1列自上而下各行所填数依次为1,2,3,…，33；第2列自上而下各行所填数依次为33依次为33,32,31,…，1时，符合规定。10分当(m,n)