2023天津版数学高考第二轮复习-6数列的综合问题

2023天津版数学高考第二轮复习§6.3数列的综合问题三年模拟一、选择题.(2022云南二模,9)设等差数列｛an｝的前n项和为Sn若a3=8,S6=57,则数歹(J｛七｝的前n项和是()A_2_B_2_c n_T!_*2n+3 ,3n+2 6n+4 6n+4答案B设等差数列的公差为d,因为a3=8,S6=57,所以a%解得d=3,ai=2,所以(OQ］十JL3Q—3/,an=3n-lr所以即科+1-(3n-l)(3n+2)-3(sn-l-3n+2)所以数列｛就｝的前n项和为|x(代)+*(聂)+“后岛-福)=(L_L2)=」_3\23n+2/3n+2'故选B..(2022西南四省名校大联考(三),8)已知首项为g的数列面｝,对任意的nGN*,都有a/n+kl厕a2+a4+a6+…+a2022=( )A.OB.-l011C.lOilD.2022答案D：ar)an+i=l①,an+ian+2=1②,an#O,由导-1,即an=an+2,又2道2=1,且3anaia2=2,a2=a4=",•=S2022=2,；.a2+a4+a6+…+a2022=2022.故选D..(2022湖南岳阳二模,6)德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称,在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋,10岁时，他在进行1+2+3+…+100的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.已知某数列通项为an=袈|M，则ai+a2+-+aioo=()Zn-lUlA.98 B.99 C.100 D.101林安C_2n-100gr-pi _2n-100 2(101-n)-100_2n-100 102-2n_4n-202_?u菜 3”-2几・101'所以3n+ai01-n-2n1Q1+2(101_n)_101-2n-101+101-2n-2n-101-'贝Uai+aioo=a2+a99=a3+a98=an+aioi-n=2,所以ai+a2+---+aioo=50x2=100.故选c..(2022昆明第一中学西山学校月考,7)已知数列｛an｝的首项为10,且满足2an+i+an=6,其前n项和为Sn,则满足不等式阳211-即<焉的n的最小正整数值为()A.9 B.10C.llD.12答案C由2an+i+an=6,即an+i=-；an+3彳导an+i-2=-；(a「2),而ai-2=8,则数列同-2｝是以8为首项K为公比的等比数列厕an-2=8•(1)“",an=8• +2,于是得5户"嘉।+2n=2n+ •G)”，由％2n普—击得搂，(T)1<展，即日,O<展，整理得2n>1024=21。刀6心所以门211,所以n的最小正整数值为11.故选C..(2022江西二模,12)记数列｛3巾1｝中不超过正整数n的项的个数为an,设数列面｝的前n项的和为Sn,则S3k(kGN*)=()A.(k-i)»3k+2k B.(k-i)•3k+k+|U(啕•3k+7k-| D.(fc-1).34答案Bai=l,a2=l,a3=2,a4=2,•••,as=2,ag=3,当ne[3kl,3k)B^,an=k,a3k=k+1,所以S3k=lx2+2x6+3xl8+-+k(3k-3ki)+k+l=2x30+4x31+6x32+…+2k•3kl+k+l,iETk=2x30+4x31+6x32+-+2k•3kl,3Tk=2x31+4X32+6x33+-+2(k-l)•3kl+2k-3k,两式相减得-2Tk=2x30+2x31+2x32+…+2X31-2k-3k=2xg-2k-3,化简得丁女=(得)•3k+j,所以S3k=(@)•3k+k+：.故选B..(2022丰台一模,10)对任意meN*,若递增数列｛an｝中不大于2m的项的个数恰为m,且ai+a2+・“+an=100,则n的最小值为()A.8 B.9CIOD.11答案c由递增数列｛an｝中不大于2m的项的个数为m可知an<2n,又ai+a2+“・+an=100,故2+4+6+…+22100,即(2+27•与100,解得nW号匹或29箸，又nGN*,故n的最小值为10..(2022平谷零模,8)已知公差不为零的等差数列⑶｝,首项ai=-5,若a2,a%a5成等比数列，记Tn=aia2…an(n=12…)则数列｛%｝()A.有最小项，无最大项 B.有最大项，无最小项C.无最大项，无最小项 D.有最大项，有最小项答案D设｛aj的公差为d,则(-5+d)(-5+4d)=(-5+3d)2,解得d=l,.,.an=-5+(n-l)xl=n-6,.-.Tn=(-5)X(-4)x(-3)x(-2)x(-1)x0x1x…，当n=5时，有最小值，当n=4时有最大值.故选D..(2022山西模拟,7)已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且ai=l,an+i+an=3n+ljySioi=()A.7701 B.7449 C.15401 D.14897答案A由题意知Sioi=a1+a2+•••+aloi=a1+(a2+33)+(34+as)+,••+(a100+a101)=1+(3x2+1)+(3x4+1)+,,,+(3x100+1)=1+(7+301)X50=7701龌a.9.(2022郑州二模,12)已知数列｛an｝满足a2=2,a2n=a2n-i+2n(nGN*),a2n+i=a2n+(-l)n(neN*)测数列俑｝的第2022项为()A.21oi2-2 B.21oi2-3C.21on-2 D.21ou-1答案A•.,数列｛an｝满足a2=2,a2n=a2n-l+2n(nGN*),a2n+i=a2n+(-l)n(nGN*),*'•a2n=a2n-l+2n=a2(n-l)+(_l)nl+2n,*e•a2n-a2(n-l)=(-l)n-1+2nr/.a4-a2=(-l)]+22,a6-a4=(-l)2+23as-a6=(-l)3+24r32022-32020=(~l)1010+21011,o1010、将上述各式两边分别相加彳导a2022y2=-1+1-1+1+・“+1+22+23+…+21。11=红备」=21。匕41—Za2022=32+21012-4=21012-2,故选A.二、填空题10.(2022银J11一模,14)若数列俑｝满足an==上厂,则数列｛aj前15项的和Si5=答案3解析因为an=2 =迎+1—亚所以Si5=ai+a2+,-+ai5=(V2-Vl)+(V3-V2)+--+(V16-VM+1+VHVT5)=VT6-1=3.11.(2022江西赣州一模,16)数列⑸｝满足an+an+i=n2•sin修)(nGN)若数列3｝的前n项和为Sn厕S40=•答案-800解析an+an+i=n2•sin修)卜2.Sin得)由为奇数为偶数，贝！JS4o=ai+a3+a5+--+a39=1_2xsin/+32xsin与+52xsin苧+…+392xsin-^—=12-32+52-72+…+372-392=(1-3)(1+3)+(5-7)(5+7)+-+(37-39)(37+39)=-2x(l+3+5+7+…+37+39)=-2x等X2O=-8OO.(21+an,n为奇数，12.(2022河南天一联考(五),15)已知数列｛aj(n3*)满足ai=l,an+J 则见区的最(1+1咤2%m为偶数，anan+1大值为.答案解析若n为奇数，则an+i=2i+an,an+2=l+log2an+i=2+an,所以｛an｝的奇数项构成公差为2的等差数列，所以当n为奇数时,an=n.若n为偶数则an+i=l+log2an,an+2=21+an-«=22+1。&心=422所以&｝的偶数项构成公比为4的等比数列,又因为a2=4,所以当n为偶数时,an=2,当n为奇数时，马母=-1与tV当n为偶数时，竽=4I.所以言位的最大值为71,2 4 (九+1.)*2 3 3三、解答题13.(2022安徽安庆二模,17)已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足Sn=(n+l)2ar3,nWN*.Q)求｛aj的通项公式;

(2)若bn=(2n+3)(-l)nan,求｛bn｝的前n项和Tn.解析⑴n=l时,ai=4a「3,解得aj.=L当n^2,neN*aj-,Sn-i=n2an-i-3,故an=Sn-Sn-l=(n+l)2an-n2an-l,所以&~an.in+2故an=&•% 也•里.ai=_2_. 3.2.1=————又ai=l符合上式取小限an.2 a2由1n+2n+1 54 (n+l)(n+2).乂6ITn-LiV,故｛an｝的通项公式为a‘=,4：+7产口(n-rl)(n-rZ)(2)结合⑴得bn=(2n+3)(-l)nan=6(-l)n(.++),所以Tn=bl+bz+…+bnG+9+6G+9+6G+3+…+6(-i)保++)=-6仁+；=-3+总例14.（2022四川达州二模,17）已知数列同｝满足ai=l,an+i=an+2,Sn为面｝的前n项和.（1）求｛an｝的通项公式;(2)设bn=(-1)0,求数列｛bn｝的前100项和T100.解析（1）因为an+i=an+2,所以an+i-an=2,又ai=l,所以数列面｝是首项为L公差为2的等差数列，所以an=l+(n-l)x2=2n-l.(2)由(1)知5仔2^11^=~,因为bn=(-l)nSn=(-l)nn2,所以Tioo=-12+22-32+42+--992+100^=(2-1)(1+2)+(4-3)(3+4)+-+(100-99)(99+100)=1+2+3+4+…+100=i°°x(，°+i)=5050.15.(2022陕西榆林二模,18)已知了+22+…+n2=!n(n+l)(2n+l),数歹U｛an｝满足an+i-Oan=n2+2n+l,ai=l.Q)求｛an｝的通项公式；(2)设6=磊,求数列｛J的前n项和Sn.

解析⑴因为a»i-an=n2+2n+l=(n+l)2,所以a2-ai=22,a3-a2=32, ,an-an-i=n2(n^2),以上各式相加得an-ai=22+32+・“+n2(n22),又ai=l,所以an=l2+22+--+n2=^n(n+l)(2n+l).当n=l时,ai=lWxlx(l+：L)x(2xl+l),故｛aj的通项公式为an=^n(n+l)(2n+l).(2)由(1)知,6=磊=9但+1),则(=就用=6(；-击)，故Sn=6X(1T+衿+•“+；-高)=翁16.(2022成都二诊,17)设数列⑸｝的前n项和为Sn,且满足3a「2Sn=2(nwN*),｛bn｝是公差不为0的等差数列,也=1力4是b2与b8的等比中项.(1)求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式；(anin为偶数,(2)对任意的正整数n,设Cn= 求数列｛Cn｝的前2n项和T2n.(bn+2，n为奇数，解析(1)当n=l时,3a「2sl=a1=2.当n22时面2Sn=3ar2可得2Sn-i=3an-i-2,得2an=3an-3an-i,贝!Jan=3an-i,所以数列｛an｝是首项为2,公比为3的等比数列，故an=2X3n-l.设等差数列｛bn｝的公差为d,则dwo,因为必=b2b8,所以(l+3d)2=(l+d)(l+7d),解得d=l,因此,bn=bi+(n-l)d=n.(2)由已知可得Cn=2x3"i,n为偶数,(2)由已知可得Cn=所以T2n=(3+2x3】)+(5+2x33)+…+(2n+l+2x32n；)=[3+5+-+(2n+l)]+(2x31+2x33+-+2x32nl)(3+2n+l)n,6(l-9n) _,_ ,3(9n-l)=-2-+T^-=n2+2n+-1―•17.(2022八省八校联考二,19)设数列｛an｝的前n项和为Sn,且2Sn+l=3an(neN*).⑴求Sn；⑵证明:当n22时,2Sn+329.an解析Q)当n=l时,2Si+l=2ai+l=3ai,解得a尸Si=l.当n22时,2Sn+l=3an=3(Sn$.i),Sn=3Sn.i+l*即Sn+；3(sn4+3,又S1+1=#0,[sn+那是以|为首项,3为公比的等比数列,Sn+T=|x3n-.3nc3n.i1=y,Sn=(2)证明:由Sn=半狷an=智=3F则2Sn+~*=3n—1+器令t=3n,n22,贝t29.•••f(t)=t-l+%[9,+8)上单调递增，.•.f(t)》f(9)=9,即3仁1+±29,当且仅当n=2时取等，原不等式得证.(2n-l,n为奇数，18.(2022湖北九师联盟3月质检18)在数列同｝中,an=(2n,n为偶数.(1)求ai,a2,a3；(2)求数列&｝的前n项和Sn.(2n-l,n为奇数，解析⑴因为an=(2",n为偶数，所以ai=2xl-l=l,a2=22=4,a3=2x3-l=5.2n-l,n为奇数，(2)因为an= 所以ai,a3,as,…是以1为首项,4为公差的等差数列,匕九刀为偶数，a2,a4,a&…是以4为首项,4为公比的等比数列，

当n为奇数时，数列｛an｝的前n项中有等个奇数项，有等个偶数项,所以Sn=ai+a2+a3+*,，+3n=(31+83+，＜，+3n-2+9n)+(92+34+，＜，+3n-3+3n-l)n+1 .4(1-4^)n2+n2n+1-4=_x1+^A^x4+A__2=^+__;当n为偶数时，数列｛an｝的前n项中有］个奇数项，有］个偶数项，n4与)所以Sn=ai+a2+a3+-+an=(ai+a3+―+an-3+an-i)+(a2+a4+―+an-2+an)=2x1+x4+n4(1-42)_n2-n,2n+z-41-4-I~-3~•所以Sn=所以Sn=争+学,n为奇数,

学+学,n为偶数.19.(2022山东潍坊二模,19)已知正项数列同｝的前n项和为Sn,且碎+2an=4Sn,数列｛6｝满足bn=(-Q)求数列｛bn｝的前n项和Bn,并证明Bn+l,Bn,列*2是等差数列;(2)设Cn=(-l)nan+bn,求数列｛Cn｝的前n项和Tn.解析(1)成+2an=4Sn,当n=l时，居+2ai=4ai,所以ai=2或ai=0(舍)，当n22时，碌i+2an-i=4Sn-i,两式相减得磷—a„4+2an-2an-i=4Sn-4Sn-i=4an,所以(an-an-l)(an+an-l)=2(an+an-l).又因为数列｛an｝的各项均为正，所以an-az=2(n》2),故｛an｝是以2为首项,2为公差的等差数列，所以an=2n,则bn=(-2)n4 ?n+3_?n+2因为Bn+2+Bn+l=--+(―l)n [2 7n+1l4+(-1)3]=2Bn,所以Bn+l,Bn,Bn+2成等差数列.⑵由⑴得a=(-2)n+2(-l)n・n,当n为偶数时，Tn=Ci+C2+…+Cn=(-2)i+(-2)2+…+(-2"+2[-1+2-3+4 (n-l)+n]=|•2n+n-|.当n为奇数时，Tn=Ci+C2++Cn=(-2)^-+(-2)2+,•,+(-2)n+2[-1+2-3+(n-l)-n]=--•2n-n_—.(l-2n+n-l，n为偶数，综上，可知3*2n-n--,n为奇数.一年创新.（20225•3创新题）已知一对兔子每个月可以生一对兔子,而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子的对数依次为1,123,5,8,13,21,34,55,89,144,…,这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是2『22+2储（门23m邺*）,其中向=1a=1若从该数列的前120项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为（）AgB.| C.1 D.|答案B由斐波那契数列1,1,2,358,13,2L34,55,89,144,…可得每三个数中有2个奇数所以从该数列的前120项中随机地抽取一个数,则这个数是奇数的概率为粽=[.故选B..（20225•3 p,q,m,nsN*,^5Z,“p”的q分割”如下:pn=man+（q-m）bn,0<m<q,且an=bn+l,an,bnGN,Bn是满足条件的6的最大值，则以下说法不正确的是（）A.当p=2,q=3时,a4=6B.当p=3,q=4时,b5=60C当p=4,m=l时,B2=5答案D对于A:24=lx6+2x5,a4=6,A中说法正确;对于B:35=m(b5+l)+(4-m)bU#4b5=35-m,m可取123,因为bs为整数，所以m=3,b5=60,B中说法正确;对于C:当p=4时,小=>+1+01）环得&=萼,q的最小值为3得B2=^=5,C中说法正确;对于D:当p=5时,5仁用+1+回1）>得6=誓4的最小值为Z得B2=与i=12,D中说法不正确.故选D.3.（2022湖北八市联考,16）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长,围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程:从一个正三角形开始才巴每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向乍正三角形,再去掉底边，重复进行这一过程，若第1个图中的三角形的周长为L则第n个图形的周长为;若第1个图中的三角形的面积为L则第n个图形的面积为.解析分析每条边长度的变化可知，每次变化的边长都是原来的招，故周长也变成原来的相，故第n个图形的周长为(3”；Si=l,S2=l+3xl=1+1S3=l+3x1+12xQ)2=1+1+1xJS4=l+3xl+12x(l)2+48x(l)3=l+l+lxi+lxg)2,……MZ 11,1 4,1 /4\2 1 /4\n-2 4,1 1-G) 8 3 /4\n4^n^2^,Sn=l+-+-x-+-x(-)+-+3x(-) =l+5x-^=---x(-).19当n=l时,Si=l也满足该式.故Sn=1-1x甯"二4.(2022四川遂宁三模,15)德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子,19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对1+2+3+-+100的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数£仅)=捻，设数列｛an｝满足an=f(0)+fQ)+fQ+“・+f(4)+f(l)(nGN*),若存在nGN*使不等式n2+4n-2kan+27《0成立，则k的取值范围是.答案解析因为f(x)=各，所以f(x)+f(l-x)=-^=+忐=各+万石=系+品=L由an=f(0)+fQ)+f(；)+…+f(W)+f(l),an=f(l)+f(?)+f(争+",+，(；)+f(0)，所以2an=n+l,所以 所以由n2+4n-2kan+27W0,得n2+4n-2k-等+27<0,即n2+4n+27Wk(n+l),所以心勺手=牛;+D+2"=(n+1)+含+2,令g(x)=(x+l)+磊(xgN)则当xe(0,2通-1)时,g(x)递减，当xg(2«-1,+8)时,g(x)递增，因为g(4)=5+g=弓,g(3)=4+F=10,所以g(x)min=g(4)卷所以k^y+2=弓，即k的取值范围是样,+8).5.(2022海淀二模,15)在现实世界彳艮多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列0｝,｛>｝分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型:an+l=2an+bn,bn+l=a