热力学统计物理第八章

第八章波色统计和费米统计§8.1热力学量的统计表达式对于M-B系统，有：已知Z可求：§8.1热力学量的统计表达式非简并条件：满足该条件的气体可以用波尔兹曼分布来处理。不满足该条件的气体，称为简并气体，需要分别用波色分布或费米分布来处理。波色子：（自旋量子数为整数）费米子：（自旋量子数为半整数，如电子，质子），如光子孤立系统开系粒子源，热源N,E一定系统达到平衡状态后，有开系的热力学平衡条件：采用平均分布。系统不是孤立系，而是与源（粒子源和热源）接触可以交换粒子和能量达到平衡的开系。导出的分布是近独立粒子在其能级上的平均分布。第六章的推导是针对孤立系统本章引入巨配分函数：1，平均粒子数：2，内能：3，广义力：波色系统：一，特例：4，熵是的积分因子。对于开系：，存在积分因子比较可知：因此：积分得与对比：得：是的函数,即：的函数。二，费米系统巨配分函数：对数：巨热力势：三，巨热力势前面由波色系统得到热力学量的统计表达式完全适用由：又：得：小结：波色和费米系统，“-”波色系统，“+”费米系统。§8.2弱简并理想波色气体和费米气体这里的简并与以前提到的简并度不同。简并度指一个能级上所有可能的量子态数。这里的简并指处理方法。非简并弱简并简并完全简并经典情况经典基础上加修正量子统计量子统计温度T从高温低温0K二，弱简并波色和费米气体的能量只考虑平动：在能量范围内，自由粒子的可能的状态数：是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度系统的总分子数：引入变量：将上述两式改写为：是小量。（是小量）利用：利用积分公式：令两式相除，得：代入得：由微观粒子全同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能。费米气体的附加内能为正，波色气体的附加内能为负。量子统计关联使费米粒子之间出现等效的排斥作用使波色粒子之间出现等效的吸引作用20世纪头20年，物理学界正在萌发量子力学的新兴学科。在黑体辐射和光电效应的研究中诞生了量子的概念，光的量子被称为光子。德国物理学家普朗克找到了一个经验公式，很好地符合了黑体辐射观测得到的曲线，但是他当时不能解释这一经验公式的物理含义。时光推到1924年，当时年仅30岁的玻色，接受了黑体辐射是光子理想气体的观点，他研究了“光子在各能级上的分布”问题，采用计数光子系统所有可能的各种微观状态统计方法，以不同于普朗克的方式推导出普朗克黑体辐射公式，证明了普朗克公式可以从爱因斯坦气体模型导出。兴奋之余，他写了一篇题为《普朗克准则和光量子假设》的文章投到英国的《哲学杂志》，但被拒绝了。不得已，他把那篇只有六页的论文寄给了爱因斯坦，期望爱因斯坦能理解他的发现。爱因斯坦立即意识到玻色工作的重要性，他亲自将文章翻译成了德文，帮助在《德国物理学报》发表了。之后，爱因斯坦把波色统计方法推广到静止质量不为零、粒子数不变的系统上，建立了量子统计学中波色—爱因斯坦统计。爱因斯坦将玻色的理论用于原子气体中，于1924和1925年发表了两篇文章，他推测到，在正常温度下，原子可以处于任何一个能级，但在非常低的温度下，大部分原子会突然跌落到最低的能级上，原来不同状态的原子突然“凝聚”到同一状态。后来物理界将这种现象称为玻色－爱因斯坦凝聚§8.3波色-爱因斯坦凝聚Bose-Einsteincondensation(BEC）考虑N个全同近独立的波色子组成的系统。温度为T，体积为V，有：取最低能级为能量的零点化学势由公式确定为温度T及粒子数密度的函数。温度越低，的值越高。将求和用积分代替：当温度降到某一临界温度时，将趋于-0,临界温度由下式定出：令，由积分公式：因此对于给定的粒子数密度，临界温度为：温度低于时，由，左方将小于n与n=N/V为给定的条件矛盾。原因在于：当用积分代替求和时，的项被忽略掉了。但是在以下，趋于-0时，处在能级的粒子数是很大的数值，不能忽略。可将积分式改为：温度为T是处在能级的粒子数密度。处在激发态的粒子数密度第二项：T=0K时，全部粒子占据的态，随着温度的上升，部分粒子激发到的态上。当温度上升到时，全部粒子都被激发。相当于一种转变温度，当温度下降到时，粒子开始向的态上凝聚。-----------------波色-爱因斯坦凝聚。凝聚温度。以下的波色系统可以看做由两部分组成：凝聚相：较高能级的粒子零动量的粒子正常相熵为0，能量为0系统的全部热力学性质由正常相承担，而凝聚相只作为对正常相提供粒子的源。时，理想波色气体的内能；低温下()达到极大值：高温下，趋于经典值：BEC的实现1,1925年，爱因斯坦从理论上预言理想波色气体在足够低的温度下回发生凝聚。2，1938年，彼得·卡皮查、约翰·艾伦和冬·麦色纳发现液氦（4He).在降温到2.2K时会成为一种叫做超流体的新的液体状态。超流的氦有许多非常不寻常的特征，比如它的黏度为零，很快人们就认识到超液体的原因是玻色-爱因斯坦凝聚。超流液体，及流动时没有阻力的流体。因没有摩擦力，它能以零阻力通过微管，而且会沿着容器壁向上流，甚至在表面形成一层液体薄膜。4，1995年9月，德国科学家克特在纳原子气体中实现了BEC。3，1995年6月，两名美国科学家康奈尔、维曼在铷原子气体中首先观察到BEC，其，并在观察到2000个铷原子凝聚在原子的基态上。20世纪90年代以年来,由于大家所熟知的三位物理学家（Chu（朱棣文）,Cohen,Phillips)的杰出工作，激光冷却与囚禁中性原子技术得到了极大发展，为玻色-爱因斯坦凝聚奇迹的实现提供了条件。这三位科学家也因此而获2001年度诺贝尔物理学奖。图中的颜色显示多少原子处于这个速度上。红色的最少铷原子速度的分布纳原子速度的分布§8.4，光子气体一，研究历史回顾。二，由波色分布导出普朗克公式热辐射：一切物体是以电磁波的形式向外辐射能量，辐射的能量与温度有关，称之为热辐射。热平衡：辐射和吸收的能量相等。此时温度恒定不变。一，研究历史回顾。1，斯忒藩(Stefan)-玻耳兹曼定律2，维恩位移定律实验发现：当绝对黑体的温度升高时，单色辐出度最大值m

向短波方向移动。1700k1500k1300k(40)Ts=TM黑体辐射的实验研究结果黑体辐射的理论研究1，维恩的半经验公式：在短波部分与实验曲线符合的很好。在长波部分与实验曲线相差很大。2，瑞利-金斯:用经典电动力学和统计物理得出：短波方面与实验差别较大，在λ0

，M∞，即：所谓的“紫外灾难”。1900，1905年由经典理论导出的公式都与实验结果不符合！物理学晴朗天空中的一朵乌云!3、Planck假设（1900）

1900年，M.Planck(Germany,1858–1947)它在全波段范围都与实验相符。而且当时,低频（R-J公式）（见右图）当时,高频（Wien公式）Planck公式普朗克能量量子化假设其中称作一个能量子。由此得到Planck公式与腔内电磁场交换能量时，谐振子的能量的变化是的整数倍。若振子的频率为，则其能量能量是h=6.62610-34焦耳

1900.12.14，在德国的世界物理年会上，Planck提出了谱的能量分布，并发表在“Annder

Physik”上(4,553（1901）)，并获得1918年诺贝尔物理学奖。

Planck量子理论的重大意义：首次提出了微观体系能量不连续的概念--量子理论诞生的标志。1924年，当时年仅30岁的玻色，接受了黑体辐射是光子理想气体的观点，他研究了“光子在各能级上的分布”问题，采用计数光子系统所有可能的各种微观状态统计方法，以不同于普朗克的方式推导出普朗克黑体辐射公式，证明了普朗克公式可以从爱因斯坦气体模型导出。兴奋之余，他写了一篇题为《普朗克准则和光量子假设》的文章投到英国的《哲学杂志》，但被拒绝了。不得已，他把那篇只有六页的论文寄给了爱因斯坦，期望爱因斯坦能理解他的发现。爱因斯坦立即意识到玻色工作的重要性，他亲自将文章翻译成了德文，帮助在《德国物理学报》发表了。之后，爱因斯坦把波色统计方法推广到静止质量不为零、粒子数不变的系统上，建立了量子统计学中波色—爱因斯坦统计。在的圆频率范围内，光子的量子态数：光子是波色子，自旋为1，有两种偏振态。从激发光子的角度出发来研究黑体辐射。辐射场的振动模式的变化可以看成是不断的吸收和发散光子的过程。由于光子可以自由的被产生和吸收，我们研究光子气体时，不再有光子数守恒的条件。只需引入一个拉格朗日乘子，对应能量守恒。即没有：的条件，对应即光子：又有：在体积为V的窖内，在的动量范围内，光子的量子态数有：1，辐射内能密度二，由波色分布导出普朗克公式平均光子数为：辐射场的内能为：（普朗克公式）讨论：1）低频范围：此即瑞利-金斯公式讨论：1）低频范围：2）高频范围：Wien公式在温度为T的平衡辐射中，的高频光子几乎是不存在的。平衡辐射的内能：令：利用积分公式：辐射场的内能密度随圆频率有一极大值，由下式定出：可用图解法或数值方法解出：此即维恩位移定律。2，利用巨配分函数求热力学量的统计表达式。令右边第一项为０.因此：比较得：§8.5，金属中的自由电子气体非简并条件：或强简并条件或金属中的自由电子气体：使金属具有高的电导率和热导率。根据经典理论，每个电子对热容量有的贡献。但实验发现，在极低温度下金属中的自由电子气体对热容量的贡献与离子振动的热容量相比可以忽略。以铜为例：密度为原子量为63：电子的质量：金属中的电子形成强简并的费米气体。由费米分布，温度为T时，能量为的一个量子态上的平均粒子数为：即使对为非负。可从正负，无限制。又：，费米系统的特征，每个量子态上最多有一个粒子。讨论：1，

当时，当时，10f是0K时电子的最大能量，也称为费米能级。一，金属中自由电子的分布计算费米能级：在体积V内，在能量范围内，电子的可能的状态数：平均电子数为：时，当时，当时，费米能级：令：得：为费米动量。费米速率：根据前面的数据，可计算得到铜的定义费米温度：得铜的0K时电子气体的内能：可得0K时，铜的电子气体的压强是称为电子气体的简并压。2，时，金属中自由电子的分布。只有