研究生入学考试同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件

线性代数复习计算行列式.

定义.

定理.

线性代数复习计算行列式.定义.定理.1性质1.

(上三角行列式)(下三角行列式)性质1.(上三角行列式)(下三角行列式)2性质2.

性质3.

性质4.

性质5

性质6

行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.

性质7.|AT||A|

性质8.|A|n|A|其中n为矩阵A的阶数

性质9.设A,B都是n阶矩阵,则|AB||A||B|性质10.性质2.性质3.性质4.性质5性质6行列式中有两行3例1:计算解:例1:计算解:4[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件5[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件6例2.

解:例2.解:7例3.

解:例3.解:8例4:计算解:例4:计算解:9[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件10伴随矩阵的性质.1.设A为n阶方阵，其中Aij是|A|的(i,j)元的代数余子式.则AA*A*A|A|E

称为矩阵A的伴随矩阵伴随矩阵的性质.1.设A为n阶方阵，其中Aij是|A|的11例6.

解:例5.

解例6.解:例5.解12性质.

性质.13例8.

解.例8.解.14例9.

解:例9.解:15性质.例9.

解:性质.例9.解:16把矩阵A通过若干次初等行变换化简成阶梯形矩阵和最简形矩阵.二.求解方程组.(重点)把矩阵A通过若干次初等行变换化简成阶梯形矩阵和最简形矩阵.17

定义.若在矩阵A中有一个r阶子式D非零且所有r1阶子式(如果存在的话)都为零则称D为矩阵A的一个最高阶非零子式称数r为矩阵A的秩记作R(A)规定零矩阵的秩等于0

求矩阵的秩.定义.若在矩阵A中有一个r阶子式D非零且所有r118矩阵秩的基本性质0R(Amn)min{m

n}

R(AT)R(A)

3.若A~B则R(A)R(B)4.若P,Q可逆则R(PAQ)R(A)6.max{R(A)

R(B)}R(A

B)R(A)R(B)

特别地当Bβ为列向量时有R(A)R(A

β)R(A)1矩阵秩的基本性质0R(Amn)min{mn}619(一).线性方程组Am×nXn×1=βm×1的求解.定理.1.不含参数的线性方程组的求解.(一).线性方程组Am×nXn×1=βm×1的求解.定理.202.含参数的线性方程组的求解.(因为含参数的矩阵不太好化简成最简形矩阵,一般只能把它化简成阶梯形矩阵.)克拉默法则:2.含参数的线性方程组的求解.(因为含参数的矩阵不太好化简成21例1.

(3学分)例1.(3学分)22[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件23[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件24例2.

(3学分)例2.(3学分)25[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件26[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件27[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件28例3.(109页,习题28)解.例3.(109页,习题28)解.29[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件30例4(2学分)解：例4(2学分)解：31[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件32性质.

(2)方程组的解的结构定理性质.(2)方程组的解的结构定理33[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件34[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件35例5.

解例5.解36例6.

解:例6.解:37例7.

解:例7.解:38(二).求解矩阵方程Am×nXn×l=Bm×l.所以矩阵方程的求解实际上是若干个线性方程组的求解.(二).求解矩阵方程Am×nXn×l=Bm×l.所以矩阵39例8.(3学分)例8.(3学分)40[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件41[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件42

定理.

存在可逆矩阵P，Q使PAQB

(3)矩阵A等价于B(1)矩阵A行等价于B存在可逆矩阵P使PAB存在可逆矩阵Q使AQB(2)矩阵A列等价于B引理.例9.

定理.存在可逆矩阵P，Q使PAQB(3)矩阵A43例10.(56页,Ex18)

解例10.(56页,Ex18)解44例11

解:例11解:45性质.

性质.46三.讨论向量组的线性相关性.定理.

特别的,三.讨论向量组的线性相关性.定理.特别的,47例1.

解例1.解48[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件49例2.

(3学分)解例2.(3学分)解50[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件51例3.(108页Ex17)证:例3.(108页Ex17)证:52四.求向量组的最大无关组.(重点)定理(最大无关组的等价定义).

注意:

一般来说,最大无关组不唯一.实际上,设向量组A的秩为r,则向量组A的任意r个线性无关的向量都是向量组A的最大无关组.

定理.

矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.定义四.求向量组的最大无关组.(重点)定理(最大无关组的等价53求m维列向量组α1,α2,…,αn的最大无关组,并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.求m维列向量组α1,α2,…,αn的最大无关组,并把不54例1.

解例1.解55性质.

例2.

解:性质.例2.解:56五.矩阵的对角化.1.讨论一般矩阵的对角化问题.性质.

定理1.

矩阵可对角化的判别准则:

定理2.

若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值,则A可对角化.五.矩阵的对角化.性质.定理1.矩阵可对角化的判别准则57例1.

解:例1.解:58[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件59例2.(3学分)

解:例2.(3学分)解:60注意上面的对角矩阵中的主对角线上的特征值的排列次序和可逆矩阵P中列向量的排列是对应的.性质.注意上面的对角矩阵中的主对角线性质.61例3.

解:例3.解:62[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件63[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件64[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件65例4.(3学分)(参考Ex24)证:(1)(2)(3)例4.(3学分)(参考Ex24)证:(1)(2)(66(4)(4)67[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件68[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件692.用正交矩阵把对称矩阵化成对角矩阵,或者利用正交变换把二次型化简成标准形.(重点)施密特正交化定理.2.用正交矩阵把对称矩阵化成对角矩阵,或者利用正交变换施70注意上面的对角矩阵中的主对角线上的特征值的排列次序和正交矩阵P中列向量的排列是对应的.注意上面的对角矩阵中的主对角线71例5.

解:例5.解:72[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件73[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件74[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件75例6.(135页Ex20)解:例6.(135页Ex20)解:76例7.(2学分)

设3阶实对称阵A的各行元素之和均为3，向量是线性方程组AX=0的两个解，（1）求A的特征值与特征向量解:例7.(2学分)设3阶实对称阵A的各行元素之和均为3，向量77[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件78定义.

注意:

利用正交变换把二次型化简为标准形(重点)

:

定义.注意:利用正交变换把二次型化简为标准形(重点):79例10.

解:例10.解:80七.计算矩阵的k次幂.

性质.

七.计算矩阵的k次幂.性质.81例1.

解:例1.解:82例2.

解:例2.解:83例3.

解:

例3.解:84八.讨论二次型的正定性.

定理.

例.

解:八.讨论二次型的正定性.定理.例.解:85九.计算线性变换的矩阵(重点).定义.

定义.

注意:

九.计算线性变换的矩阵(重点).定义.定义.注意:86性质1.

性质2.性质1.性质2.87例1.(3学分)解:例1.(3学分)解:88[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件89例2.(3学分)证:例2.(3学分)证:90(2)(2)91(3)(3)92例3.(3学分)

解:(1)例3.(3学分)解:(1)93(3)(2)(3)(2)94(4)(4)95线性代数复习计算行列式.

定义.

定理.

线性代数复习计算行列式.定义.定理.96性质1.

(上三角行列式)(下三角行列式)性质1.(上三角行列式)(下三角行列式)97性质2.

性质3.

性质4.

性质5

性质6

行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.

性质7.|AT||A|

性质8.|A|n|A|其中n为矩阵A的阶数

性质9.设A,B都是n阶矩阵,则|AB||A||B|性质10.性质2.性质3.性质4.性质5性质6行列式中有两行98例1:计算解:例1:计算解:99[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件100[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件101例2.

解:例2.解:102例3.

解:例3.解:103例4:计算解:例4:计算解:104[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件105伴随矩阵的性质.1.设A为n阶方阵，其中Aij是|A|的(i,j)元的代数余子式.则AA*A*A|A|E

称为矩阵A的伴随矩阵伴随矩阵的性质.1.设A为n阶方阵，其中Aij是|A|的106例6.

解:例5.

解例6.解:例5.解107性质.

性质.108例8.

解.例8.解.109例9.

解:例9.解:110性质.例9.

解:性质.例9.解:111把矩阵A通过若干次初等行变换化简成阶梯形矩阵和最简形矩阵.二.求解方程组.(重点)把矩阵A通过若干次初等行变换化简成阶梯形矩阵和最简形矩阵.112

定义.若在矩阵A中有一个r阶子式D非零且所有r1阶子式(如果存在的话)都为零则称D为矩阵A的一个最高阶非零子式称数r为矩阵A的秩记作R(A)规定零矩阵的秩等于0

求矩阵的秩.定义.若在矩阵A中有一个r阶子式D非零且所有r1113矩阵秩的基本性质0R(Amn)min{m

n}

R(AT)R(A)

3.若A~B则R(A)R(B)4.若P,Q可逆则R(PAQ)R(A)6.max{R(A)

R(B)}R(A

B)R(A)R(B)

特别地当Bβ为列向量时有R(A)R(A

β)R(A)1矩阵秩的基本性质0R(Amn)min{mn}6114(一).线性方程组Am×nXn×1=βm×1的求解.定理.1.不含参数的线性方程组的求解.(一).线性方程组Am×nXn×1=βm×1的求解.定理.1152.含参数的线性方程组的求解.(因为含参数的矩阵不太好化简成最简形矩阵,一般只能把它化简成阶梯形矩阵.)克拉默法则:2.含参数的线性方程组的求解.(因为含参数的矩阵不太好化简成116例1.

(3学分)例1.(3学分)117[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件118[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件119例2.

(3学分)例2.(3学分)120[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件121[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件122[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件123例3.(109页,习题28)解.例3.(109页,习题28)解.124[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件125例4(2学分)解：例4(2学分)解：126[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件127性质.

(2)方程组的解的结构定理性质.(2)方程组的解的结构定理128[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件129[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件130例5.

解例5.解131例6.

解:例6.解:132例7.

解:例7.解:133(二).求解矩阵方程Am×nXn×l=Bm×l.所以矩阵方程的求解实际上是若干个线性方程组的求解.(二).求解矩阵方程Am×nXn×l=Bm×l.所以矩阵134例8.(3学分)例8.(3学分)135[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件136[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件137

定理.

存在可逆矩阵P，Q使PAQB

(3)矩阵A等价于B(1)矩阵A行等价于B存在可逆矩阵P使PAB存在可逆矩阵Q使AQB(2)矩阵A列等价于B引理.例9.

定理.存在可逆矩阵P，Q使PAQB(3)矩阵A138例10.(56页,Ex18)

解例10.(56页,Ex18)解139例11

解:例11解:140性质.

性质.141三.讨论向量组的线性相关性.定理.

特别的,三.讨论向量组的线性相关性.定理.特别的,142例1.

解例1.解143[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件144例2.

(3学分)解例2.(3学分)解145[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件146例3.(108页Ex17)证:例3.(108页Ex17)证:147四.求向量组的最大无关组.(重点)定理(最大无关组的等价定义).

注意:

一般来说,最大无关组不唯一.实际上,设向量组A的秩为r,则向量组A的任意r个线性无关的向量都是向量组A的最大无关组.

定理.

矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩.定义四.求向量组的最大无关组.(重点)定理(最大无关组的等价148求m维列向量组α1,α2,…,αn的最大无关组,并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.求m维列向量组α1,α2,…,αn的最大无关组,并把不149例1.

解例1.解150性质.

例2.

解:性质.例2.解:151五.矩阵的对角化.1.讨论一般矩阵的对角化问题.性质.

定理1.

矩阵可对角化的判别准则:

定理2.

若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值,则A可对角化.五.矩阵的对角化.性质.定理1.矩阵可对角化的判别准则152例1.

解:例1.解:153[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件154例2.(3学分)

解:例2.(3学分)解:155注意上面的对角矩阵中的主对角线上的特征值的排列次序和可逆矩阵P中列向量的排列是对应的.性质.注意上面的对角矩阵中的主对角线性质.156例3.

解:例3.解:157[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件158[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件159[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件160例4.(3学分)(参考Ex24)证:(1)(2)(3)例4.(3学分)(参考Ex24)证:(1)(2)(161(4)(4)162[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件163[研究生入学考试]同济第五版线性代数线性代数复习3学分课件1642.用正交矩阵把对称矩阵化成对角矩阵,或者利用正交变换把二次型化简成标准形.(重点)施密特正交化定理.2.用正交矩阵把对称矩阵化成对角矩阵,或者利用正交变换施165注意上面的对