2023课标版数学高考第二轮复习-6数列求和、数列的综合应用

2023课标版数学高考第二轮复习6.4数列求和、数列的综合应用三年模拟一、选择题（2022云南二模,9）设等差数列｛*的前n项和为S„,若a.8,S-57,则数列｛.｝的前n项和是2n+3 3n+2 6n+4 6n+4答案B设等差数列的公差为d,因为as=8,S6=57,所以，**42fz& 解得d=3）a-2）所以a=3n-l,（64+15a=57,所以~~~二cda上』、=|-aI）anan+i（3n-l）（3n+2） 3\3n-l3n+2/所以数列｛高;｝的前n项和为：x（达）+：xG4）+…+：岛-盛）=2fl1A,n3\23n+2J 3n+2'故选B.（2022西南四省名校大联考（三），8）已知首项为g的数列｛a,,｝,对任意的n£N*,都有anan+i=l,则国+44+小+,••+22022=（ ）A.0 B.-lonC.1011 D.2022答案DVananM=l®,/.anHan^l®,.'.an^O,由f得勺坦=1,即an=an+2,又•:ala2=1,且al=

①an2，,a2=2,六a2二a】二…二a2022=2,工a2+a.i+a+…+a?022=2022.故选D.（2022昆明第一中学西山学校月考,7）已知数列E｝的首项为10,且满足2aM时6,其前n项和为Sn,则满足不等式卜n-2n-与|＜展的n的最小正整数值为（）A.9B.10 C.11 D.12答案C由2a„+I+an=6,即an+i=~~an+3,得an+1—2=-g（an-2）,而a「2=8,则数列｛ar2｝是以8为首项,4为公比的等比数列，则a„-2=8•（彳a产8• +2,于是得Sn=¥^+2n=2n+*｝（-『由卜武2叫（圭，得与•㈢卜高，即竽•（丁〈击整理得2->1024=2'°,nGN•，所以n211,所以n的最小正整数值为11.故选C.（2022江西二模,12）记数列｛3-1｝中不超过正整数n的项的个数为a„设数列｛a„｝的前n项的和为S„,则S3k(kG2)=()A.(fc-1)-3k+2k -3k+k+|C.(k-1)-3k+7k-| D,(/c-1)-3k+^案B3i=1,az=l,a3=2,a4=2, a«=2,a§=3,当nG[3k3k)时,an=k,a3k=k+l,所以S3k=1X2+2X6+3X18+…+k(3k-3k')+k+l=2X3°+4X3'+6X32+-+2k•3kl+k+l,£Tk=2X3°+4X3'+6X32+—+2k•3k3Tk=2X3'+4X32+6X33+-+2(k-1)•3k'+2k•3k,两式相减得-2Tk=2X3°+2X3'+2X32+“・+2X3kT-2k•3k=2义普一2k•3k,化简得Tk=(/c-^)-3k4-1,所以S3k=(k-g),3k+k+1.故选B.(2022丰台一模,10)对任意mGN\若递增数列⑶｝中不大于2m的项的个数恰为m,且a,+a2+-+a„=100,则n的最小值为()A.8 B.9C.10 D.11答案C由递增数列｛aj中不大于2m的项的个数为m可知a“〈2n,又&+a2+“・+a”=100,故2+4+6+…+2n2100,即(2+2；)f>100,解得n<当匹或n>智匹,又nGN*,故n的最小值为10.（2022平谷零模,8）已知公差不为零的等差数列区｝,首项&=-5,若a?,a„a；成等比数列,记T„=a1a2-a„(n=l,2,…)，则数列｛T』()A.有最小项,无最大项 B.有最大项,无最小项C.无最大项,无最小项 D.有最大项,有最小项答案D设⑸｝的公差为d,则(-5+d)(-5+4d)=(-5+3d)；解得d=l,.*.a„=-5+(n-l)Xl=n-6,/.T„=(-5)X(-4)X(-3)X(-2)X(-1)X0X1X-,当n=5时,有最小值,当n=4时有最大值.故选D.(2022湖南衡阳八中开学考,4)定义:在数列｛a,J中，若满足产-乎=d(neN*,d为常数)，称｛an｝an+lan为“等差比数列“，已知在"等差比数列”｛an｝中,al=a2=1,a3=3,则如1等于()a2019A.4X2017-1 B.4X2018-1C.4X2019-1 D.4X2020-1答案C由题意得幺=3,幺=1,则至-佻=2,根据“等差比数列”的定义可知数列作耳是首项为L&a】 a，2a1 Idn)公差为2的等差数列，则皿=1+(n-1)x2=2n-1,所以皿1=2x2020-1=2x2019+an a20201,也密2X2019-1,a2019所以皿£=也21、皿里(2X2019+1)X(2X2019-1)=4X20192T，故选C.a2019 a2020a2019(2022黑龙江哈尔滨三中二模,7)已知数列a｝的前n项和为St„满足吁1,断3,2房=区二+JSn-i(n22),则&022=()A.4043 B.4042C.4041 D.4040答案A由2J3=y/Sn+i+J>2)知为等差数列，又=yfa[=1,/欧=7al+a?=2,则公差d=1,所以同、n,故Sn=n2,贝!J5自二(11-1)2(1122),可得an=Sn-Sn-i=n2-(n-1)2=2n-1,而ai=l也满足，所以an=2n—l,n£N*,贝(Ja2022=2X2022-1=4043.故选A.(2022湖南邵阳一模,8)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设xGR,用[x]表示不超过x的最大整数,则f(x)=[x]称为高斯函数.已知数列｛aJ满足a?=2,且(n+l)an+i-na“=2n+l,若b„=[lgaj,数列｛bj的前n项和为T“，则T2021=()A.4950B.4953C.4956D.4959答案C由(n+l)a„H-na,.=2n+l,a2=2可得a.=l,根据累加法得na„=na„-(n-l)a„-i+(n-1)a„-(n-2)a„-2+--+2a2-ai+ai=n2,所以a„=n,故b„=[lgn],当lWnW9时,b„=0;当10WnW99时，b.=l;当100WnW999时，b”=2;当1000WnW2021时，b“=3,因此4ozi=90+900X2+l022X3=4956.故选C.二、填空题(2022银川一模,14)若数列｛aj满足旷屋房,则数列区｝前15项的和S,5=vn+l+vn 答案3解析因为 /—=—7=—yjvt+1—Si,所以S15-al+a2+…+315—(V2—Vl)+(V3—V2)+Vn+l+vn…+(V16—VT5)=\/16-l=3.(2022江西赣州一模,16)数列瓜｝满足尸r?•sin(号)(n£N*),若数歹()｛a｝的前n项和为S”则S4O=.答案-800解析 a+a"尸n。•sin管)(n2•sin偿),n为奇数[o,n为偶数则Sio=ai+a3+a5+・・,+a39=1°Xsin]+32xsiny+52xsinyH 1-392xsin等=l2-32+52-72+―+37-392=(1-3)(l+3)+(5-7)(5+7)+-+(37-39)(37+39)=-2X(1+3+5+7+-+37+39)=-2X-^X20=-800.(2022重庆巴蜀中学3月适应性月考(八)，16)设x£R,[x]表示不超过x的最大整数.设正项数列⑸｝满足8Sn=W+4an(neN*),设数列｛bn｝的前n项和为Tn,且bn=/=,则[T35]=.答案5解析由8S”二q"4必知8Sn-i=a^1+4a„-1,n22,两式相减得吗一。"一4an-4an-1=0,即(an4-an-l)(an—an—1—4)=0,因为an>0,所以an—an—1=4,nN2,令n=1,得al=4,所以{an}是首项为4,公差为4的等差数歹！L故an=4n,bn=^,Vm-VH=高布<泰<而常Vn-故国-1<T35<V35,故仃351二5.(2022辽宁葫芦岛一模，15)已知数列｛an｝,ai=l,对于任意正整数m,n,都满足a..n=a.+an+nin,则十4-—I-…+ a2 a2021解析 令m=l,得aniFai+an+n=l+an+n,所以a«「an=n+1,则④--a«-an2=nT, ,a3-a2=3,a2-aF2,所以当n22日寸,an=ai+(a2-ai)+(a3-a2)+,•,+(an-ani)=l+2+3+・・・+n=""：i)又a.=l满足上式,所以ad啜,nGN*,-2 23 2021所以工则工+工ann(n+l)-2 23 2021三、解答题(2022安徽安庆二模,⑺已知数列｛a„｝的前n项和为Sn)且满足S„=(n+l)2a„-3,nGN*.⑴求瓜｝的通项公式；(2)若b“=(2n+3)(-l)-a”,求｛b„｝的前n项和T„.解析⑴n=l时,ai=4a「3,解得ai=l.当n22,nGN*时,S„-i=n2an-i_3,故a„=S„-Sn-i=(n+l)2a,-n2a„-b所以区=三，Qn-i 〃+2±^Tan.gna..%.殁.al=」_.旦..3.2.1= 又ai=l符合上式故5｝的通项公式为a,.-(n+1^+2),nGN*.(2)结合(1)得b.=(2n+3)(-1)”a.=6(T)"(高++)，所以Tn=bl+b2+…+bn=碎+§+6G+》+…+6(-l)n岛+焉)=-3+A(-D".n+2(2022山东潍坊二模,19)已知正项数列｛a.,｝的前n项和为S„,且碎+2a=48,数列｛bj满足b„=(-2)T.⑴求数列b｝的前n项和B”并证明B„.„B”B“”是等差数列;⑵设c„=(-l)na„+b„,求数列｛c„｝的前n项和T„.解析(1)磷+2a0=4S„,当n=l时，居+2ai=4ai,所以a】=2或ai=0(舍)，当n22时,成一廿2alii=4S„i,两式相减得+2an—2ani—4Sn~4Sni—4an,所以(an—an-i)(an+an-i)=2(an+an-i)・又因为数列｛an｝的各项均为正，所以an-flni~2(n22),故｛a“｝是以2为首项2 公差的等差数列,所以an~2n,则bn~2),则即^^=一#(一1川争._1r 4 2n+3-2n+2因为Bn+2+Bn+l=~-4~l)n =2居+(廿?=2&,所以&“,B”B成等差数列.(2)由(1)得『=(-2)"+2(-1)”•n,当n为偶数时，T“=ci+cz+…+c产(-2)'+(-2)2+-+(-2)"+2[-1+2-3+4 (n-l)+n]=|-2n+n-1.当n为奇数时，T„=d+c2+-+c„=(-2)'+(-2)%…+(-2)n+2[-1+2-3+4—•+(n-l)-n]=-|-2n-n-… “信，2n+n1,n为偶数,综上，可知：(-3,2n-n--,n为奇数.(2022河西一模，19)已知数列｛a„｝的前n项和为S„,a.=4,2s产a““+2n-4(nGN*).⑴求数列｛4｝的通项公式；n(2)求M]Sk的值；⑶设b产卜+-J J1用，数列一0的前n项和为Tn.证明:?<TWn+l.\[Iog3(an-l)]zUog3(Qn+iT)]/ 2解析(D因为2Sn=an>i+2n-4(neN*),所以2Sni=an+2n-6(n^2),两式相减得an+i=3an-2,即a+1-1=3(&厂1)(n22).当n-1时,2sl=@2+2-4,因为Si=ai=4,所以az=10,满足o.2~1=3(a「1),所以｛a.-l)是以a-l=3为首项,3为公比的等比数列，所以a„-l=3X31",故an=3n+l(nGNt).⑵由2Sn=an+i+2r1-4及an=3n+1,TOC\o"1-5"\h\zo7l+l Q可得Sn=-—Fn-n i on on+2 n2 q所以XSk=：(32+33+…+3n+1)+(1+2+・・•+n)-芋=一+?-n-1k=l 2、 2 4 2 4⑶证明：由⑴知a0=3"+l,所以b"=Jl+*+/n2(n+l)2+(n+l)2+n2_1[n(n+l)+币_n(n+l)+L_1 1 所以b"=Jl+*+y/n2(n+l)2 -y/n2(n+l)2-n(n+l)-n〃+l'所以1；二(1+1-0+(1+ +…+(1+：-=n+1-从而Tn<n+l,又b)0,所以比｝为递增数列，则T3T号综上可得|WT<n+L

（2022红桥一模,19）已知区｝是等差数列，其前n项和为S”｛bj是等比数列，目ai=bi=3,S3=3,bj=b,i+bi.⑴求数列⑶｝、｛b』的通项公式;⑵求Ek=lbk+i解析⑴设｛&｝的公差为d,｛b„｝的公比为q,由a,=b,=3,S3=3,与%+"可得3ai+3d=3,(biq) 12n2 y.2-Bn=—+—4-..•+/一,(4) 22T23T-r2n+1 12n2 y.2-Bn=—+—4-..•+/一,(4) 22T23T-r2n+1，O解得d=-2,q=2,.•.a„=5-2n,b„=3•2n1.⑵由⑴得S“=n(4-n),.V3Sfc-V4k-d_弋(4kk2\34k3k2,,k=i福；B '^7k=i^"k=i天n4knk2设后松第B,赭温TOC\o"1-5"\h\zrnilA4x1 4x2 4n1八 4x14x2 4n2 22 23 2n+1①-②得,?An=2+4(卷+或+…+—一荔,，A产8-需.*«2o2 y,2③-④得,|Bn=1+A+A2九・1_③-④得,|Bn=1+A+A2九・1_n22n 2n+1'贝%Cn=/+亮+算+…+瑞■，⑥⑤-⑥得,*n=：+2传+染+q+…+专)-黯整理得C产3-竽n2+4n+6......2丝=An_Bn=2+k=lbk+i(2022天津十二区县重点学校一模,⑼设数列区｝的前n项和为S„,且满足3a„-2S„=l(n£N*).(1)求数列｛aj的通项公式；｛/%1”、，n为奇数， Q 八(■)() 数列｛bn｝的前2n项和为T2n,若不等式(-l)n入<72n+野•(：9,n为偶数 32'9an+l岛对一切nWN*恒成立，求X的取值范围.解析⑴由3a„-2S„=I(nGN*),得当n22时,3an-1-2Sn.Fl,两式相减得3a„-3a„-2a„=0,即a„=3a„..当n=l时,3ai-2ai=l,/.ai=l,,数列⑸｝是首项为I,公比为3的等比数列，二―⑵由⑴得，当n为偶数时,b.W，当n为奇数时,鼎岛-焉)，设数列｛bj的前2n项中奇数项的和为A,„贝必“=b+b：,+…+b“M(1V+沁+…+专一焉)=岛,设数列｛&｝的前2n项中偶数项的和为B.„HyBn=2xg)2+4xg)4+...+2nxg)2n,折2*04义首+2><(9"两式相减得,《Bn=2x(专+=+…+W)-2nX(y,整理得B总-甯.苏故T2n=An+Bn^T+卷一赞•(丁•T.,+也.rnn__.rnn32\9/4n+l32 32k97，不等式（T）“X<T2„+g*一士对一切n6N*恒成立，即不等式（一1）0<葛一》（丁对一切nGN*恒成立，：f（X）吟一》G）“在R上是增函数，••・当n为偶数时，喝-/（丁/；当n为奇数时,-入〈（,故人>•••X的取值范围为（1搐）.（2022塘沽一中二模,19）已知数列瓜｝是等比数列，公比大于0,其前n项和为Sn）Hi_1,@3=az+2,数列n.｛bn（满足£"T-bn-l-1,且bl=l.i=lI⑴求数列区｝和限｝的通项公式；n（2）求£a2kcosk冗；k=l⑶设C，，含，数列｛cn｝的前n项和为Tn,求证:Tn<*解析 （1）设等比数列｛4｝的公比为q,q>0,由a尸1,23二&+2,得q2=q+2,解得q=2（舍负），则an=aiqnl=2nl.由题知bi=l,且bi+y+粤T 卜—bn+i-l（nEN*）,当n=l时,bi=b2-l,即b2=2,当n22时,bi+-+・・•+:.—=bnH-l-（bn-l）,n所以用累乘法得bn=n,当n=l时也成立，所以bri=n,nEN*.(2)a2ncosnn=(-l)n-22n21 I 1_41_4V+】 _4/4V+i£a2kcoskir——[(-4)1+(-4)2+(-4)3+ +(-4)n]——• ————.(3)证明:c.鼎士为二孤，3-1 4X，' ，'设kn=l・白+2•白+3・白+…+(n-1)・-^7+n,—^r,—, 30 31 3? 、 ‘3"2贝%kn=1•号+2•京+3•焉+…+(n-1)•贵+n•表,两式相减得|kn=专+±+专+以+…+击一"联,整理得|kn=?_n$=|一(|+n)$,.._9 3/3.\1 92n+3••kq-gG+M•我=彳一^^，则TWk<g.4(2022天津一中月考四,19)已知｛a“｝为等差数列，前n项和为S0(nGN*),瓜｝是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=ai-2ai,Su=llbi.⑴求瓜｝和｛bj的通项公式;⑵若数列k｝满足:c„=~%,求数列｛cJ的前n项和Tn;an*Q/i+1•bnTOC\o"1-5"\h\z⑶若数列｛&｝满足:5=含+器,证明：£d《2n+l.%+1 1=1解析 ⑴设⑸｝的公差为d,瓜｝的公比为q(q>0),由bz+b3=12,得b](q+q2)=12,又b尸2,・・・q2+q-6=0,解得q二2,Ab„=2n.由b3=ai-2ai,可得3d-ai=8®,由Si^llbt,可得出+5d=16②,联立@(§),解得ai=l,d=3,.'.a„=3n-2./rt\_ 3n+4 ] ]I)Cn(3n-2)•(3n+l)•2n-(3n-2)•2nl.(3n+l)・2n.・T_ii|i 3_..... I 1_1i•・n1•20 4-21 4•21 7•22 (3n-2)・2n.i(3n+l)・2n(3n+l)•2n.zoxx-rno2n,2n2x4nQ, 2⑶证明:d“w7T+—=—=2+—由真分数性质得,&=2+总<2+奈七氨<2…卜(J+()+一(扪=2n+3X4[7-J-2n+l-Q)<2n+l.1-彳-1-

故不等式得证.21.（2022滨海新区二模，19）已知数列｛4｝中,a.=l,a2=2,a„,2-a„=4（n「N*）,数列｛a„｝的前n项和为Sn.⑴求区｝的通项公式;⑵已知b，%，cn=⑵已知b，%，cn=如+1⑴求数列低｝前n项和T”;（ii）证明:当n22时,6群喧疯＜8-舞解析 （1）由题意可知,数列｛^｝的奇数项构成的数列是首项为1,公差为4的等差数列,偶数项构成的数列是首项为2,公差为4的等差数列.:.当n为奇数时,a„=(an-an-2)+⑸厂&-。+…+(a3-ai)+ai=-^-X4+ai=2n-l;当n为偶数时,an=(a,-an-2)+(an-2-an-4)+•,,+(ai-a2)+a2=^yX4+a2=2n-2..J2n・l,n为奇数(2n-2,n为偶数.(2)(i)Sz^Cai+aj+---+azni)+(a2+a.i+---+a2„)-(ai+°2nl)n+如(黄电=4*11,4n(n+l).•.Tn=bi+b2+….•.Tn=bi+b2+…+1)弓(l-g+TW+…+9击)=乂1-击)=(ii)证明：Vcn(ii)证明：Vcn=%+i

4日/%+2‘%+1_-5+3)，则喏Wen＜陪工米工〈鬻（n=l时等号成立）,, 」nk+1-/—nk+2...当心2时.券倔麻卷券,设S'=E竺^t,=y史1以0占2砂1n后121，・B々k+2 3141 ,n+2••s"=/1声=，+5+“'+声，・1・1。八 3,4•-2Sn=2+^n+2~2^~t，_3k+l_3/c+2-1_q>_尚1_0 九+4 1-/1晨/近左1在7「左1声=8一殖-可"鬻-2(1$)=6一累综上,当此2时,6-翳喧疯<8-繇一年创新(2022辽宁名校联盟二轮复习联考(一)，8)某社团专门研究密码问题.社团活动室用的也是一把密码锁,且定期更换密码，但密码的编写方式不变,都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的,密码均为写的小数点后的前6位数字.编码方式如下;①x为某社员的首拼声母对应的英文字母在26个英文字母中的位置;②若x为偶数，则在正偶数数列中依次插入数值为3n的项得到新数列｛既｝,即3,4,6,8,3：10,12,14,16,…;若x为奇数.则在正奇数数列中依次插入数值为2"的项得到新数列｛aj,即1,2,3,22,5,7,23,9,11,13,③N为数列｛a,,｝的前x项和.如当值社员姓康，则K在26个英文字母中排第11位所以x=第前11项中有2,2；2s,所以有8个奇数.故N=l+3+…+15+2+2”=78,所以密码为282051,若今天当值社员姓徐，则当日密码为()A.125786 B.199600 C.200400 D.370370答案B X在26个英文字母中排第24位所以x=24,前24项中有3,32,3;，,所以有21个偶数.故N=2+4+“・+42+3+3?+330等久+39=501,黑的小数点后的前6位数字为199600.故选B.(2022湖南新高考教学教研联盟第一次联考,5)如图,连接4ABC的各边中点得到一个新的△ABG,又连接△ABG各边中点得到一个新的△A’BQ,如此无限继续下去,得到一系列三角形:ZiABC,△ABC,△AB&…，这一系列所有三角形的面积和趋向于一个常数.已知A(0,0),B(5,0),C(1,3),则这个常数是()A.y B.5C.10 D.15答案C依题意可得AABC,AA.B.C.,Z^AzB2c2,…的面积依次构成一个无穷等比数列,首项为4ABC的面积果公比为:，前n个三角形的面积和为K*)1=10[1-(i)n).当n趋向于无穷大时,前n个三角形的面积和趋向于常数10•故选C.(2022四川遂宁三模,15)德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子,19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对1+2+3+…+100的求和运算中,提出了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此此方法也称为高斯算法.现有函数f(x)二片,设数列｛an｝满足an=f(0)+fQ)+fg)+-+f盘)+f(1)(nGN*),若存在nGN使不等式n2+4n-2ka„+27^0成立，则k的取值范围是.答案[t-+°°)7X 7x 7l-x 7X 7 7X解析因为f(X)=西&,所以f(x)+f(l-x)=再&+2i“+o=再&+2+0.2X=再&+-A_=12*+々由4=f(0)+f(3+fg)+-+f盘)+f⑴，a.=f⑴+f墨)+f(嗯+…+f(；)+f(0),所以2a“=n+l,所以 所以由n2+4n-2kan+27<0,得n2+4n-2k•等+27<0,即n24-4n+27<k(n+1),所以k> =(n+i)z+?;+i)+24=(n+ +2£+2)n+1 n+1 ' n+1令g(x)=(x+l)+^(xeN*),则当xe(0,2遍一1)时,g(x)递减，当xe(2死一1,+8)时,g(x)递增，因为g(4)=5+y=y,g(3)=4+告10,所以83汨产8(4)=:^,所以k?£+2=V即k的取值范围是恪,+8).(2022海淀二模,15)在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列｛aj,｛b.｝分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型㈤“=2an+b”b„.,=an+2b„(n=l,2,…)描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足a,>b1,则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：①VneN*,an>bn;②V anH>an,bnH>bn;③mkGN",使得当n>k时,总有肾l|<10'°；@3kGN*,使得当n>k时，总有|管i-2kl0'".其中,所有正确结论的序号是.答案①②③解析因为an+i=2an+bn,bn+i=an+2b„(n=l,2,…)，两式作差得为+】也+尸故｛a「bj为常数列,即an-bn=a-bi>0,故an>bn,①正确；因为an+i-a«=an+bn,因-bn=an+bn,又｛an｝,｛bn｝为正实数数列,故an+bn>0,故a„H>an,bn+i>bn,②正确；肾1|=|若卜|*|.因为al-bl为常数,｛bn｝为单增数列，故当n-+8时，管-0,又10-10>0,故业eN*，使得当n>k时,总有肾1|<10-10,③正确;恃1回=产啜|=圈，又an-bn=al-bl阈蜉臼=图=产(；：7=，管|.因为al-bl为常数,｛an)为递增数列，故当