高二数学重点知识串讲-(16)课件

2.4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程2.4抛物线高二数学重点知识串讲-(16)课件【自我预习】1.抛物线的定义(1)定义:平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)_________的点的轨迹.距离相等【自我预习】距离相等(2)焦点:定点F.(3)准线:定直线l.(2)焦点:定点F.微提醒对抛物线定义的两点说明(1)定直线l不经过定点F.(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.微提醒对抛物线定义的两点说明2.抛物线标准方程的几种形式y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)2.抛物线标准方程的几种形式y2=2px(p>0)y2=-2x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)微提醒抛物线标准方程的特点(1)是关于x,y的二元二次方程.(2)p的几何意义是焦点到准线的距离.微提醒抛物线标准方程的特点微课堂·微思考【思考1】定义中为什么要求直线l不经过点F?提示:当直线l经过点F时,点的轨迹是过点F且垂直于直线l的一条直线,而不是抛物线.微课堂·微思考【思考2】二次函数的图象也是抛物线,与本节所学抛物线相同吗?提示:不完全相同.当抛物线的开口向上或向下时可以看作是二次函数的图象,当开口向左或向右时不能看作二次函数的图象.【思考2】二次函数的图象也是抛物线,与本节所学抛【自我总结】四种位置的抛物线的标准方程的对比(1)共同点:①原点在抛物线上;②焦点在坐标轴上;③焦点的非零坐标都是一次项系数的.【自我总结】(2)不同点:①焦点在x轴上时,方程的右端为±2px,左端为y2;焦点在y轴上时,方程的右端为±2py,左端为x2.(2)不同点:②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)正半轴上,方程右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)负半轴上,方程右端取负号.②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)【自我检测】1.抛物线y=-x2的准线方程是 (

)A.x=

B.y=2C.y= D.y=-2【自我检测】【解析】选B.化抛物线方程y=-x2为标准方程x2=-8y,因此抛物线y=-x2的准线方程为y=2.【解析】选B.化抛物线方程y=-x2为标准方程2.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为 (

)A. B.- C.8 D.-82.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为 ()【解析】选B.抛物线y=ax2的标准方程是x2=y,则其准线方程为y=-=2,所以a=-.【解析】选B.抛物线y=ax2的标准方程是x2=y,则其3.抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为6的点到焦点的距离是10,则焦点到准线的距离是 (

)A.4

B.8

C.16

D.323.抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为6的点到焦点的距离【解析】选B.因为横坐标为6的点到焦点的距离是10,所以该点到准线的距离为10,抛物线的准线方程为x=-,所以6+=10,所以p=8.【解析】选B.因为横坐标为6的点到焦点的距离是10,类型一求抛物线的标准方程【典例】求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点M(-6,6).(2)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上.类型一求抛物线的标准方程【思路导引】(1)根据点M的位置,确定_________,设出抛物线方程求解.开口方向【思路导引】(1)根据点M的位置,确定_________,设(2)利用焦点位置确定抛物线的______________,写出方程.【解析】(1)由于点M(-6,6)在第二象限,所以过M的抛物线开口向左或开口向上.若抛物线开口向左,则焦点在x轴上,设其方程为y2=-2p1x(p1>0),对称轴和参数p(2)利用焦点位置确定抛物线的______________,将点M(-6,6)代入,可得36=-2p1×(-6),所以p1=3.所以抛物线的方程为y2=-6x.若抛物线开口向上,则焦点在y轴上,设其方程为x2=2p2y(p2>0),将点M(-6,6)代入,可得36=-2p1×(-6),所以p将点M(-6,6)代入可得,36=2p2×6,所以p2=3,所以抛物线的方程为x2=6y.综上所述,抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y.将点M(-6,6)代入可得,36=2p2×6,所以p2=3,(2)①因为直线l与x轴的交点为(2,0),所以抛物线的焦点是F(2,0),所以=2,所以p=4,所以抛物线的标准方程是y2=8x.(2)①因为直线l与x轴的交点为(2,0),所以抛物线的焦②因为直线l与y轴的交点为(0,-3),即抛物线的焦点是F(0,-3),所以=3,所以p=6,所以抛物线的标准方程是x2=-12y.综上,抛物线的标准方程是y2=8x或x2=-12y.②因为直线l与y轴的交点为(0,-3),即抛物线的焦点【解题流程】(1)确定开口→设方程→求解.(2)求焦点→确定对称轴及p→写方程.【解题流程】【方法技巧】求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键:确定焦点在哪条坐标轴上,进而求方程的有关参数.【方法技巧】(2)方法:①定义法,根据定义求p,最后写标准方程.②待定系数法,设标准方程,列有关的方程组求系数.③直接法,建立恰当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出对应方程,化简方程.提醒:当抛物线的焦点位置不确定时,应分类讨论,也可以设y2=ax或x2=ay(a≠0)的形式,以简化讨论过程.(2)方法:①定义法,根据定义求p,最后写标准方程.【变式训练】已知双曲线C1:(a>0,b>0)的离心率为3,若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为 (

)A.x2=y

B.x2=4yC.x2=12y D.x2=24y【变式训练】【解析】选D.由题意可得双曲线C1:(a>0,b>0)的渐近线为y=±x,化为一般式可得bx±ay=0,离心率e==3,解得b=2a,c=3a,又抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点为,【解析】选D.由题意可得双曲线C1:(a>0故焦点到bx±ay=0的距离d=所以p==12,所以抛物线C2的方程为x2=24y.故焦点到bx±ay=0的距离d=类型二抛物线的定义及应用【典例】若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程. 类型二抛物线的定义及应用【思路导引】位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大说明动点M到F的距离与它到直线______的距离相等,符合抛物线的定义.x=-【思路导引】位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到x=-【解析】由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大,所以动点M到F的距离与它到直线l:x=-的距离相等.由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线(不包含原点),其方程应为y2=2px(p>0)的形式,而,所以p=1,2p=2,故点M的轨迹方程为y2=2x(x≠0).【解析】由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它【延伸探究】1.若本例中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2,求点N的坐标.【延伸探究】【解析】设点N的坐标为(x0,y0),则|NF|=2,即

①,又由典例的解析知点M的轨迹方程为y2=2x(x≠0),故=2x0②,由①②可得故点N的坐标为【解析】设点N的坐标为(x0,y0),则|NF|=2,即2.若本例中增加一点A(3,2),其他条件不变,求|MA|+|MF|的最小值,并求出点M的坐标.2.若本例中增加一点A(3,2),其他条件不变,求|MA|+【解析】如图,由于点M在抛物线上,所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|,于是|MA|+|MF|=|MA|+|MN|≥|AN|=3+=.当A,M,N三点共线时,|MA|+|MN|取最小值,亦即|MA|+|MF|取最小值,这时M的纵坐标为2,可设M(x0,2),代入抛物线方程得x0=2,即M(2,2).【解析】如图,由于点M在抛物线上,【方法技巧】抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.【方法技巧】(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的类型三抛物线的实际应用【典例】某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,已知上部呈抛物线型,跨度为20米,拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超过18米,目前吃水线上部中央船体高5米,宽16米,且该类型三抛物线的实际应用货船在现有状况下还可多装1000吨货物,但每多装150吨货物,船体吃水线就要上升0.04米.若不考虑水下深度,问:该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔?为什么? 货船在现有状况下还可多装1000吨货物,但每多装150吨货【解题探究】如何建立坐标系可以使建立的方程更简洁?提示:以拱顶为原点,过拱顶的水平直线为x轴建系.【解题探究】如何建立坐标系可以使建立的方程更简洁?【解析】如图所示,以拱顶为原点,过拱顶的水平直线为x轴,竖直直线为y轴,建立直角坐标系.【解析】如图所示,以拱顶为原点,过拱顶的水平直线为x轴,竖直因为拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米,所以A(10,-2).设桥孔上部抛物线方程是x2=-2py(p>0),则102=-2p×(-2),所以p=25,所以抛物线方程为x2=-50y,即y=-x2.因为拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米,若货船沿正中央航行,船宽16米,而当x=8时,y=-×82=-1.28,即船体在x=±8之间通过,B(8,-1.28),此时B点距水面6+(-1.28)=4.72(米).而船体高为5米,所以无法通行.若货船沿正中央航行,船宽16米,而当x=8时,又因为5-4.72=0.28(米),0.28÷0.04=7,150×7=1050(吨),所以若船通过增加货物通过桥孔,则要增加1050吨,而船最多还能装1000吨货物,所以货船在现在状况下不能通过桥孔.又因为5-4.72=0.28(米),0.28÷0.04=7,【方法技巧】求抛物线实际应用的五个步骤(1)建系:建立适当的坐标系.(2)假设:设出合适的抛物线标准方程.(3)计算:通过计算求出抛物线的标准方程.(4)求解:求出需要求出的量.(5)还原:还原到实际问题中,从而解决实际问题.【方法技巧】【变式训练】(2018·西安高二检测)已知灯的反光镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,已知灯口直径是60cm,灯深40cm,则光源到反光镜顶点的距离是(

)

A.11.25cm B.5.625cmC.20cm D.10cm【变式训练】【解析】选B.设抛物线的方程为y2=2px(p>0),抛物线过点(40,30),则302=2p×40,光源到反光镜顶点的距离是=5.625.【解析】选B.设抛物线的方程为y2=2px(p>0),抛物线【补偿训练】一种卫星接收天线的轴截面如图所示,卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为0.5m,试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标.【补偿训练】【解析】在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使接收天线的顶点与原点重合.设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),由已知条件可得,点A的坐标是(0.5,2.4),代入方程,得2.42=2p×0.5,所以p=5.76.【解析】在接收天线的轴截面所在所以所求抛物线的标准方程是y2=11.52x,焦点坐标是(2.88,0).(答案不唯一)所以所求抛物线的标准方程是y2=11.52x,【核心素养培优区】易错误区案例求抛物线的标准方程

【典例】若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,求抛物线方程和M点的坐标.【核心素养培优区】【错解案例】由抛物线定义,得焦点为F,准线为x=,由题意设M到准线的距离为|MN|,则|MN|=|MF|=10,即-(-9)=10,所以p=2.【错解案例】由抛物线定义,得焦点为F,故抛物线方程为y2=-4x,将M(-9,y0)代入y2=-4x,解得y0=6,所以M(-9,6).故抛物线方程为y2=-4x,【正解】由抛物线定义,得焦点为F,准线为x=,由题意设M到准线的距离为|MN|,则|MN|=|MF|=10,即-(-9)=10,【正解】由抛物线定义,得焦点为F,所以p=2,故抛物线方程为y2=-4x,将M(-9,y0)代入y2=-4x,解得y0=±6,所以M(-9,6)或M(-9,-6).所以p=2,【即时应用】已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,且焦点到准线的距离为1,则抛物线的标准方程为__.

【解析】抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,且焦点到准线的距离为1,可得p=1,所求抛物线方程为y2=2x或y2=-2x.答案:y2=2x或y2=-2x【即时应用】已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,2.4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程2.4抛物线高二数学重点知识串讲-(16)课件【自我预习】1.抛物线的定义(1)定义:平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)_________的点的轨迹.距离相等【自我预习】距离相等(2)焦点:定点F.(3)准线:定直线l.(2)焦点:定点F.微提醒对抛物线定义的两点说明(1)定直线l不经过定点F.(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.微提醒对抛物线定义的两点说明2.抛物线标准方程的几种形式y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)2.抛物线标准方程的几种形式y2=2px(p>0)y2=-2x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)微提醒抛物线标准方程的特点(1)是关于x,y的二元二次方程.(2)p的几何意义是焦点到准线的距离.微提醒抛物线标准方程的特点微课堂·微思考【思考1】定义中为什么要求直线l不经过点F?提示:当直线l经过点F时,点的轨迹是过点F且垂直于直线l的一条直线,而不是抛物线.微课堂·微思考【思考2】二次函数的图象也是抛物线,与本节所学抛物线相同吗?提示:不完全相同.当抛物线的开口向上或向下时可以看作是二次函数的图象,当开口向左或向右时不能看作二次函数的图象.【思考2】二次函数的图象也是抛物线,与本节所学抛【自我总结】四种位置的抛物线的标准方程的对比(1)共同点:①原点在抛物线上;②焦点在坐标轴上;③焦点的非零坐标都是一次项系数的.【自我总结】(2)不同点:①焦点在x轴上时,方程的右端为±2px,左端为y2;焦点在y轴上时,方程的右端为±2py,左端为x2.(2)不同点:②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)正半轴上,方程右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)负半轴上,方程右端取负号.②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)【自我检测】1.抛物线y=-x2的准线方程是 (

)A.x=

B.y=2C.y= D.y=-2【自我检测】【解析】选B.化抛物线方程y=-x2为标准方程x2=-8y,因此抛物线y=-x2的准线方程为y=2.【解析】选B.化抛物线方程y=-x2为标准方程2.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为 (

)A. B.- C.8 D.-82.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为 ()【解析】选B.抛物线y=ax2的标准方程是x2=y,则其准线方程为y=-=2,所以a=-.【解析】选B.抛物线y=ax2的标准方程是x2=y,则其3.抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为6的点到焦点的距离是10,则焦点到准线的距离是 (

)A.4

B.8

C.16

D.323.抛物线y2=2px(p>0)上横坐标为6的点到焦点的距离【解析】选B.因为横坐标为6的点到焦点的距离是10,所以该点到准线的距离为10,抛物线的准线方程为x=-,所以6+=10,所以p=8.【解析】选B.因为横坐标为6的点到焦点的距离是10,类型一求抛物线的标准方程【典例】求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点M(-6,6).(2)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上.类型一求抛物线的标准方程【思路导引】(1)根据点M的位置,确定_________,设出抛物线方程求解.开口方向【思路导引】(1)根据点M的位置,确定_________,设(2)利用焦点位置确定抛物线的______________,写出方程.【解析】(1)由于点M(-6,6)在第二象限,所以过M的抛物线开口向左或开口向上.若抛物线开口向左,则焦点在x轴上,设其方程为y2=-2p1x(p1>0),对称轴和参数p(2)利用焦点位置确定抛物线的______________,将点M(-6,6)代入,可得36=-2p1×(-6),所以p1=3.所以抛物线的方程为y2=-6x.若抛物线开口向上,则焦点在y轴上,设其方程为x2=2p2y(p2>0),将点M(-6,6)代入,可得36=-2p1×(-6),所以p将点M(-6,6)代入可得,36=2p2×6,所以p2=3,所以抛物线的方程为x2=6y.综上所述,抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y.将点M(-6,6)代入可得,36=2p2×6,所以p2=3,(2)①因为直线l与x轴的交点为(2,0),所以抛物线的焦点是F(2,0),所以=2,所以p=4,所以抛物线的标准方程是y2=8x.(2)①因为直线l与x轴的交点为(2,0),所以抛物线的焦②因为直线l与y轴的交点为(0,-3),即抛物线的焦点是F(0,-3),所以=3,所以p=6,所以抛物线的标准方程是x2=-12y.综上,抛物线的标准方程是y2=8x或x2=-12y.②因为直线l与y轴的交点为(0,-3),即抛物线的焦点【解题流程】(1)确定开口→设方程→求解.(2)求焦点→确定对称轴及p→写方程.【解题流程】【方法技巧】求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键:确定焦点在哪条坐标轴上,进而求方程的有关参数.【方法技巧】(2)方法:①定义法,根据定义求p,最后写标准方程.②待定系数法,设标准方程,列有关的方程组求系数.③直接法,建立恰当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出对应方程,化简方程.提醒:当抛物线的焦点位置不确定时,应分类讨论,也可以设y2=ax或x2=ay(a≠0)的形式,以简化讨论过程.(2)方法:①定义法,根据定义求p,最后写标准方程.【变式训练】已知双曲线C1:(a>0,b>0)的离心率为3,若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为 (

)A.x2=y

B.x2=4yC.x2=12y D.x2=24y【变式训练】【解析】选D.由题意可得双曲线C1:(a>0,b>0)的渐近线为y=±x,化为一般式可得bx±ay=0,离心率e==3,解得b=2a,c=3a,又抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点为,【解析】选D.由题意可得双曲线C1:(a>0故焦点到bx±ay=0的距离d=所以p==12,所以抛物线C2的方程为x2=24y.故焦点到bx±ay=0的距离d=类型二抛物线的定义及应用【典例】若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程. 类型二抛物线的定义及应用【思路导引】位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大说明动点M到F的距离与它到直线______的距离相等,符合抛物线的定义.x=-【思路导引】位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到x=-【解析】由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大,所以动点M到F的距离与它到直线l:x=-的距离相等.由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线(不包含原点),其方程应为y2=2px(p>0)的形式,而,所以p=1,2p=2,故点M的轨迹方程为y2=2x(x≠0).【解析】由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它【延伸探究】1.若本例中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2,求点N的坐标.【延伸探究】【解析】设点N的坐标为(x0,y0),则|NF|=2,即

①,又由典例的解析知点M的轨迹方程为y2=2x(x≠0),故=2x0②,由①②可得故点N的坐标为【解析】设点N的坐标为(x0,y0),则|NF|=2,即2.若本例中增加一点A(3,2),其他条件不变,求|MA|+|MF|的最小值,并求出点M的坐标.2.若本例中增加一点A(3,2),其他条件不变,求|MA|+【解析】如图,由于点M在抛物线上,所以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|,于是|MA|+|MF|=|MA|+|MN|≥|AN|=3+=.当A,M,N三点共线时,|MA|+|MN|取最小值,亦即|MA|+|MF|取最小值,这时M的纵坐标为2,可设M(x0,2),代入抛物线方程得x0=2,即M(2,2).【解析】如图,由于点M在抛物线上,【方法技巧】抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.【方法技巧】(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的类型三抛物线的实际应用【典例】某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,已知上部呈抛物线型,跨度为20米,拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超过18米,目前吃水线上部中央船体高5米,宽16米,且该类型三抛物线的实际应用货船在现有状况下还可多装1000吨货物,但每多装150吨货物,船体吃水线就要上升0.04米.若不考虑水下深度,问:该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔?为什么? 货船在现有状况下还可多装1000吨货物,但每多装150吨货【解题探究】如何建立坐标系可以使建立的方程更简洁?提示:以拱顶为原点,过拱顶的水平直线为x轴建系.【解题探究】如何建立坐标系可以使建立的方程更简洁?【解析】如图所示,以拱顶为原点,过拱顶的水平直线为x轴,竖直直线为y轴,建立直角坐标系.【解析】如图所示,以拱顶为原点,过拱顶的水平直线为x轴,竖直因为拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米,所以A(10,-2).设桥孔上部抛物线方程是x2=-2py(p>0),则102=-2p×(-2),所以p=25,所以抛物线方程为x2=-50y,即y=-x2.因为拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米,若货船沿正中央航行,船宽16米,而当x=8时,y=-×82=-1.28,即船体在x=±8之间通过,B(8,-1.28),此时B点距水面6+(-1.28)=4.72(米).而船体高为5米,所以无法通行.若货船沿正中央航行,船宽16米,而当x=8时,又因为5-4.72=0.28(米),0.28÷0.04=7,150×7=1050(吨),所以若船通过增加货物通过桥孔,则要增加1050吨,而船最多还能装1000吨货物,所以货船在现在状况下不能通过桥孔.又因为5-4.72=0.28(米),0.28÷0.04=7,【方法技巧】求抛物线实际应用的五个步骤(1)建系:建立适当的坐标系.(2)假设:设出合适的抛物线标准方程.(3)计算:通过计算求出抛物线的标准方程.(4)求解:求出需要求出的量.(5)还原:还原到实际问题中,从而解决实际问