有限元法与ANSYS技术-3-2第3章有限元法的直接刚度法-2杆单元课件

3.2平面刚架的有限元分析平面刚架所有杆的轴线都在同一平面内，且各杆之间均为刚性连接，用截面法可以求出平面刚架横截面上的内力。

图2.8平面刚架图2.9平面刚架横截面上的受力3.2平面刚架的有限元分析平面刚架所1例如，求图2.8所示1-1横截面的内力。用截面法，如图2.9所示，列平衡方程，得（2-48）图2.10刚架单元的受力

由式（2-48）可知，平面刚架横截面上的内力有3个：轴力、剪力、弯矩，是拉压与弯曲的组合变形。所以平面刚架单元每个节点有3个节点力：轴力、剪力、弯矩，如图2.10所示，每个节点有3个节点位移：轴向位移、横向挠度、截面的转角。例如，求图2.8所示1-1横截面的内力。23.2平面刚架的有限元分析3.2.1划分单元

对单元和节点进行编号:6个单元和4个节点。

具有个4x3=12

自由度，所以结构的整体刚度矩阵是一个12x12的矩阵3.2平面刚架的有限元分析3.2.1划分单元对单元和33.2.2单元分析，局部坐标系下的单元刚度矩阵图2.12刚架单元的节点位移和节点力

任取一个平面刚架单元，设单元号为e，两个节点分别为i、j，建立单元局部坐标系x’o’y’，3.2.2单元分析，局部坐标系下的单元刚度矩阵任取一个平面4在局部坐标系下，两个节点、的节点位移、见式（2-49），节点力、见式（2-50）。

（2-49）（2-50）

所以，局部坐标系下平面刚架单元的节点位移和节点力见式（2-51）、（2-52）。（2-51） （2-52）规定：剪力与轴正向一致为正；弯矩逆时针方向为正；轴力与轴正向一致为正。

在局部坐标系下，两个节点、5分析思路分析思路6有限元法与ANSYS技术-3-2第3章有限元法的直接刚度法-2杆单元课件7求元素、的值，如图2.13所示，，。因为，所以。根据平衡，得

，时，同理可求得，

。所以得到轴向节点位移、与轴向节点力、之间的关系，见式（2-54）。

（2-54）图2.13轴向拉压图求元素、的值，如图2.13所示，82.弯曲分析平面刚架单元弯曲变形的挠度、截面转角与剪力、弯矩之间的关系完全等同于直梁单元的关系，见式（2-22），即有（2-55）

2.弯曲分析93.局部坐标系下的单元刚度矩阵综合上述轴向拉压分析和弯曲分析，得到局部坐标系下，平面刚架单元的节点力和节点位移之间的关系——单元刚度矩阵。（2-56）

单元刚度矩阵3.局部坐标系下的单元刚度矩阵单元刚度矩阵10

式（2-56）写成分块形式为： （2-57）或简写为 （2-58）

所以得出，局部坐标系下，平面刚架单元的单元刚度矩的通用公式为：

（2-60）将局部坐标系下平面刚架单元的单元刚度矩阵的通用公式应用于每一个单元，即把每一个单元的参数、、、代入式（2-59），即得到该单元的局部坐标系下的单元刚度矩阵。

式（2-56）写成分块形式为：113.2.3单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换是把平面刚架的所有单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵变换到一个统一的坐标系下，这个统一的坐标系称为整体坐标系，如图2.14所示。以单元为例：设节点变形后的位置为，节点在局部坐标系下的位移和在整体坐标系下的位移，见式（2-61）。

（2-61）

图2.14整体坐标图3.2.3单元刚度矩阵的坐标变换图2.14整体坐标图12设轴与轴之间的夹角为。节点对应的转角，在局部坐标系和整体坐标系下是一样的。则节点在局部坐标系下的位移和在整体坐标系下的位移具有如下关系：

（2-62）上式写成矩阵形式为 （2-63）

图2.15坐标变换

设轴与轴之间的夹13同理可得节点在局部坐标系下的位移和在整体坐标系下的位移具有如下关系：（2-64）对整个单元，局部坐标系和整体坐标系下节点位移有如下关系：

（2-65）

同理可得节点在局部坐标系14上式写成分块形式为 （2-66）或简写为 （2-67）其中：——单元的坐标变换矩阵，描述局部坐标系和整体坐标系下节点位移分量之间的变换关系。对于不同的单元，单元坐标变换矩阵具有相同的形式，见式（2-68），只是角不同。（2-68）

上式写成分块形式为 15例1：如图2.16所示，求单元1的坐标变换矩阵。

图2.16单元1的坐标变换解：单元1的局部坐标系的轴与整体坐标系的轴之间的夹角，代入单元坐标变换矩阵公式（2-68），可得单元1的坐标变换矩阵。

（2-69）。例1：如图2.16所示，求单元1的坐标变换矩阵。16

则单元1在局部坐标系下和整体坐标系下的节点位移有如下关系： （2-70）

则单元1在局部坐标系下和整体坐标系下的节点位移有17在前面的推导中，若把节点位移都换成节点力，同理可得节点力的坐标变换矩阵，其与节点位移的坐标变换矩阵具有完全相同的形式，见式（2-68）。单元在局部坐标系下的节点力列阵和在整体坐标系下的节点力列阵，见式（2-75）。（2-75）则单元在局部坐标系下和整体坐标系下的节点力具有如下关系： （2-76）

在局部坐标系下，平面刚架单元的节点力和节点位移之间的关系见式（2-58），即，其中是单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵。在前面的推导中，若把节点位移都换成节18

平面刚架单元的节点力在局部坐标系下和整体坐标系下的变换关系见式（2-76），单元的节点位移在局部坐标系下和整体坐标系下的变换关系见式（2-67），即

将式（2-76）和式（2-67）分别代入式（2-58）的左端和右端，得 （2-77）将上式两端分别左乘以的逆矩阵，得 （2-78）因为，所以有 （2-79）上式简写为 （2-80）平面刚架单元的节点力在局部坐标系下和整体坐标系19其中：——平面刚架单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵。由式（2-79）和（2-80）可得。又因为可以证明，所以平面刚架单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵和在局部坐标系下的单元刚度矩阵之间的变换关系为式（2-81）。通过单元刚度矩阵的坐标变换式，可以求出平面刚架的所有单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵。

（2-81）

其中：——平面刚架单元在203.2.4形成整体刚度矩阵因为本例中（图2.14）共划分有4个节点，结构共有12个自由度，若采用上一节中讲到的形成整体刚度矩阵的第一种方法，即对整个结构的每个节点进行受力分析，通过建立节点平衡方程式得到有限元基本方程和整体刚度矩阵，则共需列出12个方程，非常复杂，所以这里采用形成整体刚度矩阵的第二种方法，即采用叠加法形成整体刚度矩阵。

1）将单元刚度矩阵写成分块形式 （2-82）其中：——单元号；、——单元的两节点的编号；——单元在节点的节点力向量；——节点的节点位移向量；——单元上，节点单位位移在节点引起的节点力向量。3.2.4形成整体刚度矩阵213.2平面刚架的有限元分析例如，图2.14所示平面刚架的8号单元和9号单元分别见式（2-83）和（2-84）。(a)1号单元： （2-83）(b)2号单元： （2-84）

2）将整体刚度矩阵写成分块形式（分块矩阵的阶数等于结构的节点数）3）叠加形成整体刚度矩阵（2-85）

3.2平面刚架的有限元分析例如，图2.14所示平面刚架的8223.2平面刚架的有限元分析则得到平面刚架的有限元基本方程 （2-86）其中：——整体坐标系下整个结构的节点载荷列阵；——整体坐标系下整个结构的节点位移列阵；——整体刚度矩阵。

3.2平面刚架的有限元分析则得到233.2.5求解有限元基本方程分析图2.14所示平面刚架结构的边界约束条件，可以得出结构的位移边界条件和载荷边界条件为：

3.2.5求解有限元基本方程24有限元法与ANSYS技术-3-2第3章有限元法的直接刚度法-2杆单元课件252.2平面刚架的有限元分析-例题解：建立局部坐标系，如图2.20所示。

图2.19平面杆单元图2.20整体坐标和局部坐标2.2平面刚架的有限元分析-例题解：建立局部坐标系263.2平面刚架的有限元分析-例题因为平面桁架结构中的任一杆均为二力杆，所以在局部坐标系下，平面桁架单元的每一个节点的节点位移只有一个轴向位移，对应的节点力也只有一个轴向力，根据材料力学知识，可得在局部坐标系下单元节点力与节点位移的关系，见式（2-87）。

（2-87）所以，平面桁架单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵为： （2-88）3.2平面刚架的有限元分析-例题因为273.2平面刚架的有限元分析-例题在整体坐标系下，平面桁架单元的每一个节点的节点位移有2个分量：、，节点力也有2个分量：、。则在整体坐标下单元节点力与节点位移的关系，见式（2-89）。

（2-89）

所以，平面桁架单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵是一个4阶方阵，见式（2-90）。

（2-90）3.2平面刚架的有限元分析-例题283.2平面刚架的有限元分析-例题平面桁架单元可以看作是平面刚架单元的特殊情况，为了求出平面桁架单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵，将式（2-87）扩阶写为 （2-91），由前面学习已知，单元的节点位移的坐标变换式为（2-92），单元的坐标变换矩阵，见式（2-93）。 （2-92）

3.2平面刚架的有限元分析-例题平面桁293.2平面刚架的有限元分析-例题

（2-93）根据平面刚架单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵和在局部坐标系下的单元刚度矩阵之间的变换关系式（2-81），则得到整体坐标系下的单元刚度矩阵为：3.2平面刚架的有限元分析-例题303.2平面刚架的有限元分析-例题

（2-94）3.2平面刚架的有限元分析-例题313.2平面刚架的有限元分析-例题3.2平面刚架的有限元分析-例题323.2平面刚架的有限元分析-例题3.2平面刚架的有限元分析-例题333.2平面刚架的有限元分析-例题3.2平面刚架的有限元分析-例题343.2平面刚架的有限元分析-例题3.2平面刚架的有限元分析-例题353.2平面刚架的有限元分析-例题3.2平面刚架的有限元分析-例题363.2平面刚架的有限元分析-例题3.2平面刚架的有限元分析-例题373.2平面刚架的有限元分析-例题3.2平面刚架的有限元分析-例题383.2平面刚架的有限元分析-例题3.2平面刚架的有限元分析-例题393.2平面刚架的有限元分析-例题3.2平面刚架的有限元分析-例题403.2平面刚架的有限元分析-例题3.2平面刚架的有限元分析-例题413.2平面刚架的有限元分析-例题3.2平面刚架的有限元分析-例题423.2平面刚架的有限元分析-例题3.2平面刚架的有限元分析-例题433.2平面刚架的有限元分析-例题3.2平面刚架的有限元分析-例题443.2平面刚架的有限元分析平面刚架所有杆的轴线都在同一平面内，且各杆之间均为刚性连接，用截面法可以求出平面刚架横截面上的内力。

图2.8平面刚架图2.9平面刚架横截面上的受力3.2平面刚架的有限元分析平面刚架所45例如，求图2.8所示1-1横截面的内力。用截面法，如图2.9所示，列平衡方程，得（2-48）图2.10刚架单元的受力

由式（2-48）可知，平面刚架横截面上的内力有3个：轴力、剪力、弯矩，是拉压与弯曲的组合变形。所以平面刚架单元每个节点有3个节点力：轴力、剪力、弯矩，如图2.10所示，每个节点有3个节点位移：轴向位移、横向挠度、截面的转角。例如，求图2.8所示1-1横截面的内力。463.2平面刚架的有限元分析3.2.1划分单元

对单元和节点进行编号:6个单元和4个节点。

具有个4x3=12

自由度，所以结构的整体刚度矩阵是一个12x12的矩阵3.2平面刚架的有限元分析3.2.1划分单元对单元和473.2.2单元分析，局部坐标系下的单元刚度矩阵图2.12刚架单元的节点位移和节点力

任取一个平面刚架单元，设单元号为e，两个节点分别为i、j，建立单元局部坐标系x’o’y’，3.2.2单元分析，局部坐标系下的单元刚度矩阵任取一个平面48在局部坐标系下，两个节点、的节点位移、见式（2-49），节点力、见式（2-50）。

（2-49）（2-50）

所以，局部坐标系下平面刚架单元的节点位移和节点力见式（2-51）、（2-52）。（2-51） （2-52）规定：剪力与轴正向一致为正；弯矩逆时针方向为正；轴力与轴正向一致为正。

在局部坐标系下，两个节点、49分析思路分析思路50有限元法与ANSYS技术-3-2第3章有限元法的直接刚度法-2杆单元课件51求元素、的值，如图2.13所示，，。因为，所以。根据平衡，得

，时，同理可求得，

。所以得到轴向节点位移、与轴向节点力、之间的关系，见式（2-54）。

（2-54）图2.13轴向拉压图求元素、的值，如图2.13所示，522.弯曲分析平面刚架单元弯曲变形的挠度、截面转角与剪力、弯矩之间的关系完全等同于直梁单元的关系，见式（2-22），即有（2-55）

2.弯曲分析533.局部坐标系下的单元刚度矩阵综合上述轴向拉压分析和弯曲分析，得到局部坐标系下，平面刚架单元的节点力和节点位移之间的关系——单元刚度矩阵。（2-56）

单元刚度矩阵3.局部坐标系下的单元刚度矩阵单元刚度矩阵54

式（2-56）写成分块形式为： （2-57）或简写为 （2-58）

所以得出，局部坐标系下，平面刚架单元的单元刚度矩的通用公式为：

（2-60）将局部坐标系下平面刚架单元的单元刚度矩阵的通用公式应用于每一个单元，即把每一个单元的参数、、、代入式（2-59），即得到该单元的局部坐标系下的单元刚度矩阵。

式（2-56）写成分块形式为：553.2.3单元刚度矩阵的坐标变换单元刚度矩阵的坐标变换是把平面刚架的所有单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵变换到一个统一的坐标系下，这个统一的坐标系称为整体坐标系，如图2.14所示。以单元为例：设节点变形后的位置为，节点在局部坐标系下的位移和在整体坐标系下的位移，见式（2-61）。

（2-61）

图2.14整体坐标图3.2.3单元刚度矩阵的坐标变换图2.14整体坐标图56设轴与轴之间的夹角为。节点对应的转角，在局部坐标系和整体坐标系下是一样的。则节点在局部坐标系下的位移和在整体坐标系下的位移具有如下关系：

（2-62）上式写成矩阵形式为 （2-63）

图2.15坐标变换

设轴与轴之间的夹57同理可得节点在局部坐标系下的位移和在整体坐标系下的位移具有如下关系：（2-64）对整个单元，局部坐标系和整体坐标系下节点位移有如下关系：

（2-65）

同理可得节点在局部坐标系58上式写成分块形式为 （2-66）或简写为 （2-67）其中：——单元的坐标变换矩阵，描述局部坐标系和整体坐标系下节点位移分量之间的变换关系。对于不同的单元，单元坐标变换矩阵具有相同的形式，见式（2-68），只是角不同。（2-68）

上式写成分块形式为 59例1：如图2.16所示，求单元1的坐标变换矩阵。

图2.16单元1的坐标变换解：单元1的局部坐标系的轴与整体坐标系的轴之间的夹角，代入单元坐标变换矩阵公式（2-68），可得单元1的坐标变换矩阵。

（2-69）。例1：如图2.16所示，求单元1的坐标变换矩阵。60

则单元1在局部坐标系下和整体坐标系下的节点位移有如下关系： （2-70）

则单元1在局部坐标系下和整体坐标系下的节点位移有61在前面的推导中，若把节点位移都换成节点力，同理可得节点力的坐标变换矩阵，其与节点位移的坐标变换矩阵具有完全相同的形式，见式（2-68）。单元在局部坐标系下的节点力列阵和在整体坐标系下的节点力列阵，见式（2-75）。（2-75）则单元在局部坐标系下和整体坐标系下的节点力具有如下关系： （2-76）

在局部坐标系下，平面刚架单元的节点力和节点位移之间的关系见式（2-58），即，其中是单元在局部坐标系下的单元刚度矩阵。在前面的推导中，若把节点位移都换成节62

平面刚架单元的节点力在局部坐标系下和整体坐标系下的变换关系见式（2-76），单元的节点位移在局部坐标系下和整体坐标系下的变换关系见式（2-67），即

将式（2-76）和式（2-67）分别代入式（2-58）的左端和右端，得 （2-77）将上式两端分别左乘以的逆矩阵，得 （2-78）因为，所以有 （2-79）上式简写为 （2-80）平面刚架单元的节点力在局部坐标系下和整体坐标系63其中：——平面刚架单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵。由式（2-79）和（2-80）可得。又因为可以证明，所以平面刚架单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵和在局部坐标系下的单元刚度矩阵之间的变换关系为式（2-81）。通过单元刚度矩阵的坐标变换式，可以求出平面刚架的所有单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵。

（2-81）

其中：——平面刚架单元在643.2.4形成整体刚度矩阵因为本例中（图2.14）共划分有4个节点，结构共有12个自由度，若采用上一节中讲到的形成整体刚度矩阵的第一种方法，即对整个结构的每个节点进行受力分析，通过建立节点平衡方程式得到有限元基本方程和整体刚度矩阵，则共需列出12个方程，非常复杂，所以这里采用形成整体刚度矩阵的第二种方法，即采用叠加法形成整体刚度矩阵。

1）将单元刚度矩阵写成分块形式 （2-82）其中：——单元号；、——单元的两节点的编号；——单元在节点的节点力向量；——节点的节点位移向量；——单元上，节点单位位移在节点引起的节点力向量。3.2.4形成整体刚度矩阵653.2平面刚架的有限元分析例如，图2.14所示平面刚架的8号单元和9号单元分别见式（2-83）和（2-84）。(a)1号单元： （2-83）(b)2号单元： （2-84）

2）将整体刚度矩阵写成分块形式（分块矩阵的阶数等于结构的节点数）3）叠加形成整体刚度矩阵（2-85）

3.2平面刚架的有限元分析例如，图2.14所示平面刚架的8663.2平面刚架的有限元分析则得到平面刚架的有限元基本方程 （2-86）其中：——整体坐标系下整个结构的节点载荷列阵；——整体坐标系下整个结构的节点位移列阵；——整体刚度矩阵。

3.2平面刚架的有限元分析则得到673.2.5求解有限元基本方程分析图2.14所示平面刚架结构的边界约束条件，可以得出结构的位移边界条件和载荷边界条件为：

3.2.5求解有限元基本方程68有限元法与ANSYS技术-3-2第3章有限元法的直接刚度法-2杆单元课件692.2平面刚架的有限元分析-例题解：建立局部坐标系，如图2.20所示。

图2.19平面杆单元图2.20整体坐标和局部坐标2.2平面刚架的有限元分析-例题解：建立局部坐标系703.2平面刚架的有限元分析-例题因为平面桁架结构中的任一杆均为二力杆，所以在局部坐标系下，平面桁架单元的每一个节点的节点位移只有一个轴向位移，对应的节点力也只有一个轴向力，根据材料力学知识，可得在局部坐标系下单元节点力与节点位移的关系，见式（2-87）。

（2-87）所以，平面桁架单元在局部坐标系