《应用数学基础》教案2.2树形图辅助概率计算

长沙民政职业技术学院教案长沙民政职业技术学院教案数学应用基础课题树形图辅助概率计算授课课时2课型新授课教案编号2-2教学目标（知识、技能、素质）：1、知识目标：掌握树形图辅助乘积事件概率、全概率问题的计算及树形图辅助贝叶斯推断2、技能目标：分析解决问题的能力和严谨的逻辑思维能力3、素质目标：培养学生理性的思维方式和数学应用意识教学重点：树形图辅助乘积事件概率、全概率问题的计算教学难点：树形图辅助贝叶斯推断主要教学方法：启发引导式、讲授法教学环节与内容一、问题引入在概率的计算过程中，我们可以将随机试验发生的不同结果按发生的先后顺序用树形图来表示，第一层节点代表试验的不同结果，第二层节点代表在第一层节点已发生的条件下，会出现的不同试验结果，，依次类推，直到表示完试验的整个过程和结果。二、新课讲授（1）树形图辅助乘积事件概率的计算案例1在美国，参加驾驶员考试的路考通常只有三次机会，有些人认为应该只给两次机会，而有些人则感到对于那些第三次才通过的人而言，这样的规定过于苛刻。从历史的纪录来看，60%的人第一次路考就能通过，在第二次路考中有75%的人通过，而在第三次路考中只有30%的人通过。求（1）第二次才通过的概率?（2）第三次才通过的概率?解设{第i次才通过路考考试}()，则容易画出图2-1所示的树形图。图2-13次路考通过与否情形的树形图(1)第二次才通过路考考试，意味着第一次未通过、第二次通过，故可用图2-1中的分支表示。显然，第一次未通过的概率为，第一次未通过的条件下，第二次通过的概率为。根据乘法公式，第二次才通过的概率为.即事件A2的概率等于分支各段上对应概率的乘积。进一步，计算出所有分支的概率，并标注在图2-1上。(2)第三次才通过，意味着第一次、第二次都未通过且第三次通过，其对应于树形图中的分支为，所以计算结果表明，到了第三次路考才通过的概率仅仅是0.03，所以减少路考的限制次数不会对参考者产生多大的影响。案例2为响应国家号召，某大学生参加村委会主任应聘考核，考核依次分为笔试、面试、试用共三轮，规定只有通过前一轮考核才能进入下一轮考核，否则被淘汰，三轮考核都通过才能正式录用。设该大学生通过三轮考核的概率分别为0.5,0.75,0.8，且各轮考核通过与否相互独立，求该大学毕业生未进入第三轮考核的概率？解设Ai={该大学生通过第i轮考核}()，画出图2-2所示树形图，并标出各分支的概率。图2-2大学生村官通过考核状态树形图根据图2-2，该大学生未进入第三轮考核有两种可能，第一轮未通过考核或第一轮通过但第二轮未通过考核，即包含了两个分支和，它们的概率分别为，.所以，该大学生未进入第三轮考核的概率为（2）树形图辅助全概率问题的计算案例3仓库有甲、乙两厂生产的同类产品，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品中合格品占95%，乙厂产品中合格品占90%，现从仓库中任取一件产品，求取得合格品的概率。解设A={取得甲厂产品}，B={取得合格品}，画出树形图，并标出各分支的概率，如图2-3所示。图2-3任取一件产品的树形图显然，事件B可分解为两个事件的和，即，事件表示取出的产品由甲厂生产且为合格品，事件表示取出的产品由乙厂生产且为合格品。根据树形图得所以，取得合格品的概率为0.935。案例4某保险公司认为，开车的人可以分为两类：一类是容易出事故的，另一类则比较谨慎。统计表明：一个容易出事故的人在一年内出一次事故的概率是0.4，而对于比较谨慎的人来说这个概率是0.2。经验表明，第一类人约占30%，求一位新保险客户在他购买保险后一年内出一次事故的概率是多少？解设A={容易出事故的人}，B={一年内出一次事故}，画出树形图，并标出各分支的概率，如图2-4所示。图2-4开车出事故的树形图事件B满足，事件表示一位新客户属于容易出事故的人且一年内出一次事故，事件表示一位新客户属于比较谨慎的人且一年内出一次事。根据树形图得所以，一位新保险客户在他购买保险后一年内出一次事故的概率是0.26。（3）树形图辅助贝叶斯推断案例51981年3月30号，美国一所大学的退学学生JohnW.Hinckley企图对里根总统行刺，他打伤了里根、里根的新闻秘书以及两名保镖。在1982年审判时，Hinckley以他患有精神病为理由对自己进行无罪辩护，辩护律师也试图拿他的CAT扫描作为证据，辩护人争辩说因为Hinckley的CAT扫描显示了脑萎缩，因而Hinckley患有精神分裂症的可能性更大些。在美国精神分裂症的发病率大约为1.5%，下面从概率的角度对Hinckley是否患有精神分裂症进行可能性分析。以往的临床资料表明，精神分裂症患者扫描结果为脑萎缩的概率约为30%，而健康人扫描结果为脑萎缩的概率约为2%。解令A={精神分裂症患者}，B={扫描结果为脑萎缩}，画出树形图，并标出各分支的概率，如图2-5所示。图2-5脑萎缩扫描的树形图从概率的角度分析Hinckley是否患有精神分裂症，就是求在扫描结果为脑萎缩的条件下，Hinckley患有精神分裂症的概率大小，即求。根据图2-5，随机的一个人，其扫描结果为脑萎缩的概率，