偏微分课程课件10-椭圆型方程的有限差分方法(II)

1求解代数方程组Hu=g的方法直接方法:高斯消去法,三角分解,追赶法,QR分解等迭代方法:基本迭代法,预处理迭代法,多重网格法等Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法超松弛迭代法其它迭代法1求解代数方程组Hu=g的方法直接方法:高斯消去法,三角Jacobi迭代法求解代数方程Au=f将A分解Jacobi迭代法求解代数方程Au=f将A分解3Jacobi迭代法求解代数方程Au=fA为n阶矩阵,分解为3Jacobi迭代法求解代数方程Au=fA为n阶矩阵,分解4Jacobi迭代法求解代数方程Au=fA为n阶矩阵,分解为4Jacobi迭代法求解代数方程Au=fA为n阶矩阵,分解5Jacobi迭代法求解代数方程Au=fA为n阶矩阵,分解为5Jacobi迭代法求解代数方程Au=fA为n阶矩阵,分解6Jacobi迭代法求解代数方程Au=f将A分解Jacobi迭代法6Jacobi迭代法求解代数方程Au=f将A分解Jacobi分量形式分量形式8Guass-Seidel迭代法求解代数方程Au=f将A分解G-S迭代法A为T矩阵矩阵时,G-S迭代法收敛速度是Jacobi法两倍G-S迭代法矩阵形式8Guass-Seidel迭代法求解代数方程Au=f将A分解分量迭代法计算公式为分量迭代法计算公式为10超松弛迭代法求解代数方程Au=fA大型稀疏矩阵将A分解Guass-Seidel迭代法解10超松弛迭代法求解代数方程Au=fA大型稀疏矩阵将A分解G超松弛迭代法求解代数方程Au=f超松弛迭代法求解代数方程Au=f12逐次超松弛迭代法(SOD)SuccessiveOverRelaxationMethodSOD迭代的矩阵形式SOD迭代的分量形式12逐次超松弛迭代法(SOD)SuccessiveOver13例：解线性方程组解:SOR迭代格式13例：解线性方程组解:SOR迭代格式14对于矩形区域possion方程第一边值问题差分格式14对于矩形区域possion方程第一边值问题差分格式（二）五点差分格式的性质

微分方程差分格式真解u=u(x,y)真解u=un实用性分析

相容性收敛性

稳定性椭圆型方程收敛性分析对于双曲与抛物方程：极值原理（二）五点差分格式的性质微分方程差分格式真解u=u(x,y1.存在唯一性1.存在唯一性只需证明齐次方程只有零解只需证明齐次方程只有零解2.差分方程解的收敛性定理:设是定义在上的函数，那么有

其中a为矩形区域D的x方向的边长。收敛性：h→0,k→0时，差分方程的解逼近于微分方程的解。2.差分方程解的收敛性收敛性：h→0,k→0时，差分方程的解证明：定义则由定义证明：定义则由定义定理：如果第一边值问题二阶收敛的解在上有四阶连续的偏导数，则五点差分格式收敛并有估计定理：如果第一边值问题二阶收敛的解在证明：设u(x,y)是微分方程之解，是差分方程之解证明：设u(x,y)是微分方程之解，是差分方程之解偏微分课程课件10_椭圆型方程的有限差分方法(II)应用五点差分格式计算如下问题：精确解为可以观察到采用Guass-Seidel迭代精确至应用五点差分格式计算如下问题：精确解为可以观察到采用Guas当x与y方向步长减少到原来的1/2，误差减少到原来的1/4，x方向与y方向收敛阶均为2阶。当x与y方向步长减少到原来的1/2，误差减少到原来的1/4，偏微分课程课件10_椭圆型方程的有限差分方法(II)26复习:法线方向向量.1方向向量向量那么a的方向向量为:2平面曲线F(x,y)=0在点(x,y)处的法向量:空间曲线F(x,y,z)=0在点(x,y,z)处的法向量:26复习:法线方向向量.1方向向量向量那么a的方向向量（三）边界条件的处理矩形区域(2)第三类边界条件(1)第一类边界条件第二类边界条件（三）边界条件的处理矩形区域(2)第三类边界条件(1)第一类四周增加一排节点

可用内点的差分格式在边界上成立得到的有关等式与边界离散相应的式子来消去四周增加一排节点29即下边界时条件为例：其中29即下边界时条件为例：其中30在下边界任取一边界点那么用中心差商代替一阶偏导数用代替用代替离散方法：30在下边界任取一边界点那么用中心差商代替一阶偏导数用代31在边界点离散方程,例如五点格式,有两式联立,则可以得到一个与无关的方程处理稍有不同.31在边界点离散方程,例如五点32特别这样,每一个边界点对应一个差分方程,将所有边界点和内点按照自然顺序排列,定义两边除以2(角点除以4),则有这些差分方程组可以写为一个代数方程组32特别这样,每一个边界点对应一个差分方程,将所有边界点和33分析一下系数矩阵对于第一类边界条件,有I+2行上边界I+2行下边界为I+2维方阵I+2I+2I+2列I+2列33分析一下系数矩阵对于第一类边界条件,有I+2行上边界I34例:解:布矩形网格(1)内点(2-5)四边界(6)两个角点(7)分析其中三个块矩阵34例:解:布矩形网格(1)内点(2-5)四边界(6)35(1)内点将h=1/4代入整理,有35(1)内点将h=1/4代入整理,有36(2)左边界由内点差分格式增设虚点,利用中心差商,得(-1,1)(0,1)即(-1,2)(0,2)(-1,3)(0,3)(-1,0)(0,0)(-1,4)(0,4)两边同除以236(2)左边界由内点差分格式增设虚点,利用中心差商,37(3-4)上下边界同(2)有(5)右边界37(3-4)上下边界同(2)有(5)右边界38(6)两个角点对于(0,0)点,按左边界离散得按下边界离散得按方程离散得三式联立,消去虚设点,得两边同除以4,得38(6)两个角点对于(0,0)点,按左边界离散得按下边39对于(0,4)点,同理可得令那么20个方程按照自然顺序排列,则形成代数方程:其中39对于(0,4)点,同理可得令那么20个方程按照自然顺E0K40(7)分析E0和K(0,0):(i,0):E0K40(7)分析E0和K(0,0):(i,0):E141分析E1和K(0,1):(i,1):E141分析E1和K(0,1):(i,1):424243那么20个方程按照自然顺序排列,则形成代数方程:其中43那么20个方程按照自然顺序排列,则形成代数方程:其中2.一般区域网格点内部网格点集合边界节点集合2.一般区域网格点内部网格点边界节点集合1）直接转移法S在P不在,选与P最靠近的网格线交点T第一边界1）直接转移法S在P不在,选与P最靠近的网格线交点T第一边2）线性插值T,Q两点做线性插值2）线性插值T,Q两点做线性插值（1）边界点P在外法线与坐标轴平行第三边界（1）边界点P在外法线与坐标轴平行第三边界外法线与坐标轴不平行外法线与坐标轴不平行（2）边界点P不在（2）边界点P不在（四）变系数方程（四）变系数方程1.直接差分法1.直接差分法2.有限体积法适合处理系数有间断，步长不等距问题，具有保持能量守恒等优点。为内点为P四邻点为中点2.有限体积法适合处理系数有间断，步长不等距问题，为内点为P偏微分课程课件10_椭圆型方程的有限差分方法(II)在阴影区域上积分由中矩形公式在阴影区域上积分由中矩形公式同理同理（五）双调和方程（五）双调和方程偏微分课程课件10_椭圆型方程的有限差分方法(II)偏微分课程课件10_椭圆型方程的有限差分方法(II)偏微分课程课件10_椭圆型方程的有限差分方法(II)（六）特征值问题（六）特征值问题可用变量分离法五点差分

格式可用变量分离法五点差分作业作业复习重点基本：1、所有作业题。2、三类方程求解的常用差分格式，其相容性以及适用范围。3、分析经典差分格式稳定性（包括三层格式）；

熟记所讲过问题差分格式的稳定条件，利用Lax等价定理

证明收敛性。4、变分原理，有限元一维以及二维线性元的计算。在此基础上：5、掌握能量不等式判断稳定性的方法。6、构造有限差分格式的Taylor展开法，有限体积法。

7、理解双曲型方程收敛的必要条件C.F.L.条件。8、了解如何补充初始条件以及用迎风格式处理边界条件。9、利用极值原理证明椭圆问题收敛性。复习重点64求解代数方程组Hu=g的方法直接方法:高斯消去法,三角分解,追赶法,QR分解等迭代方法:基本迭代法,预处理迭代法,多重网格法等Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法超松弛迭代法其它迭代法1求解代数方程组Hu=g的方法直接方法:高斯消去法,三角Jacobi迭代法求解代数方程Au=f将A分解Jacobi迭代法求解代数方程Au=f将A分解66Jacobi迭代法求解代数方程Au=fA为n阶矩阵,分解为3Jacobi迭代法求解代数方程Au=fA为n阶矩阵,分解67Jacobi迭代法求解代数方程Au=fA为n阶矩阵,分解为4Jacobi迭代法求解代数方程Au=fA为n阶矩阵,分解68Jacobi迭代法求解代数方程Au=fA为n阶矩阵,分解为5Jacobi迭代法求解代数方程Au=fA为n阶矩阵,分解69Jacobi迭代法求解代数方程Au=f将A分解Jacobi迭代法6Jacobi迭代法求解代数方程Au=f将A分解Jacobi分量形式分量形式71Guass-Seidel迭代法求解代数方程Au=f将A分解G-S迭代法A为T矩阵矩阵时,G-S迭代法收敛速度是Jacobi法两倍G-S迭代法矩阵形式8Guass-Seidel迭代法求解代数方程Au=f将A分解分量迭代法计算公式为分量迭代法计算公式为73超松弛迭代法求解代数方程Au=fA大型稀疏矩阵将A分解Guass-Seidel迭代法解10超松弛迭代法求解代数方程Au=fA大型稀疏矩阵将A分解G超松弛迭代法求解代数方程Au=f超松弛迭代法求解代数方程Au=f75逐次超松弛迭代法(SOD)SuccessiveOverRelaxationMethodSOD迭代的矩阵形式SOD迭代的分量形式12逐次超松弛迭代法(SOD)SuccessiveOver76例：解线性方程组解:SOR迭代格式13例：解线性方程组解:SOR迭代格式77对于矩形区域possion方程第一边值问题差分格式14对于矩形区域possion方程第一边值问题差分格式（二）五点差分格式的性质

微分方程差分格式真解u=u(x,y)真解u=un实用性分析

相容性收敛性

稳定性椭圆型方程收敛性分析对于双曲与抛物方程：极值原理（二）五点差分格式的性质微分方程差分格式真解u=u(x,y1.存在唯一性1.存在唯一性只需证明齐次方程只有零解只需证明齐次方程只有零解2.差分方程解的收敛性定理:设是定义在上的函数，那么有

其中a为矩形区域D的x方向的边长。收敛性：h→0,k→0时，差分方程的解逼近于微分方程的解。2.差分方程解的收敛性收敛性：h→0,k→0时，差分方程的解证明：定义则由定义证明：定义则由定义定理：如果第一边值问题二阶收敛的解在上有四阶连续的偏导数，则五点差分格式收敛并有估计定理：如果第一边值问题二阶收敛的解在证明：设u(x,y)是微分方程之解，是差分方程之解证明：设u(x,y)是微分方程之解，是差分方程之解偏微分课程课件10_椭圆型方程的有限差分方法(II)应用五点差分格式计算如下问题：精确解为可以观察到采用Guass-Seidel迭代精确至应用五点差分格式计算如下问题：精确解为可以观察到采用Guas当x与y方向步长减少到原来的1/2，误差减少到原来的1/4，x方向与y方向收敛阶均为2阶。当x与y方向步长减少到原来的1/2，误差减少到原来的1/4，偏微分课程课件10_椭圆型方程的有限差分方法(II)89复习:法线方向向量.1方向向量向量那么a的方向向量为:2平面曲线F(x,y)=0在点(x,y)处的法向量:空间曲线F(x,y,z)=0在点(x,y,z)处的法向量:26复习:法线方向向量.1方向向量向量那么a的方向向量（三）边界条件的处理矩形区域(2)第三类边界条件(1)第一类边界条件第二类边界条件（三）边界条件的处理矩形区域(2)第三类边界条件(1)第一类四周增加一排节点

可用内点的差分格式在边界上成立得到的有关等式与边界离散相应的式子来消去四周增加一排节点92即下边界时条件为例：其中29即下边界时条件为例：其中93在下边界任取一边界点那么用中心差商代替一阶偏导数用代替用代替离散方法：30在下边界任取一边界点那么用中心差商代替一阶偏导数用代94在边界点离散方程,例如五点格式,有两式联立,则可以得到一个与无关的方程处理稍有不同.31在边界点离散方程,例如五点95特别这样,每一个边界点对应一个差分方程,将所有边界点和内点按照自然顺序排列,定义两边除以2(角点除以4),则有这些差分方程组可以写为一个代数方程组32特别这样,每一个边界点对应一个差分方程,将所有边界点和96分析一下系数矩阵对于第一类边界条件,有I+2行上边界I+2行下边界为I+2维方阵I+2I+2I+2列I+2列33分析一下系数矩阵对于第一类边界条件,有I+2行上边界I97例:解:布矩形网格(1)内点(2-5)四边界(6)两个角点(7)分析其中三个块矩阵34例:解:布矩形网格(1)内点(2-5)四边界(6)98(1)内点将h=1/4代入整理,有35(1)内点将h=1/4代入整理,有99(2)左边界由内点差分格式增设虚点,利用中心差商,得(-1,1)(0,1)即(-1,2)(0,2)(-1,3)(0,3)(-1,0)(0,0)(-1,4)(0,4)两边同除以236(2)左边界由内点差分格式增设虚点,利用中心差商,100(3-4)上下边界同(2)有(5)右边界37(3-4)上下边界同(2)有(5)右边界101(6)两个角点对于(0,0)点,按左边界离散得按下边界离散得按方程离散得三式联立,消去虚设点,得两边同除以4,得38(6)两个角点对于(0,0)点,按左边界离散得按下边102对于(0,4)点,同理可得令那么20个方程按照自然顺序排列,则形成代数方程:其中39对于(0,4)点,同理可得令那么20个方程按照自然顺E0K103(7)分析E0和K(0,0):(i,0):E0K40(7)分析E0和K(0,0):(i,0):E1104分析E1和K(0,1):(i,1):E141分析E1和K(0,1):(i,1):10542106那么20个方程按照自然顺序排列,则形成代数方程:其中43那么20个方程按照自然顺序排列,则形成代数方程:其中2.一般区域网格点内部网格点集合边界节点集合2.一般区域网格点内部网格点边界节点集