工学自动控制原理第四章课件

第四章

系统的反馈控制及其特性第四章

系统的反馈控制及其特性一.反馈的作用讨论反馈对系统的各种影响，目的在于弄清在控制系统中为什么要采用反馈。1.用反馈来降低对于参数变化的灵敏度系统中各元件的参数可能随使用时间的增长和环境的变化（例如周围温度的变化）而变化。反馈能够减小参数变化对于系统的影响。R（s）Ge（s）Gp（s）C(s)控制器受控对象G(s)图(a)一.反馈的作用讨论反馈对系统的各种影响，目的在于弄清在控制系R(s)Ge（s）C(s)Gp（s）控制器受控对象G(s)传感器H(s)b(s)-a(s)图（b）R(s)Ge（s）C(s)Gp（s）控制器受控对象G(s)传对于图（a）所示的开环控制系统假设由于参数变化，G（s）变为G（s）+ΔG（s），那么开环系统的输出变化以相对值表示也就是说，如果受控对象的参数，例如增益有10%的变化，就会造成受控变量的10%的误差，而且，控制的设计者无法影响他。对于图（a）所示的开环控制系统假设由于参数变化，G（s）变为对于图（b）所示的闭环控制系统，情况则大不相同当G（s）变化ΔG(s)时，它是通过引起闭环传递函数T（s）的变化ΔT(s)而造成受控变量C(s)的误差ΔC(s)的。以相对值表示用灵敏度这个术语来描述由于G（s）的变化而引起的闭环传递函数的相对变化。定义闭环传递函数T(s)对于前向通路传递函数G(s)的灵敏度SGT为对于图（b）所示的闭环控制系统，情况则大不相同当G（s）变化采用偏微分来近似ΔG(s)所引起T(s)的增量ΔT(s),作代数变形，上式可化为根据上面的公式，闭环系统的灵敏度为采用偏微分来近似ΔG(s)所引起T(s)的增量ΔT(s),作如果，则，当，有ΔT/T<<1,从而ΔC/C<<1

如果G（s）的增益变化为100G（s），则SGT变化大致在0.01左右。这个结果显示了反馈的主要优点：受控对象对于受控对象参数的变化很不灵敏，而开环控制系统的灵敏度为100%。注意，闭环系统在减小对前向通路参数变化的灵敏度的同时，对于反馈通道参数变化却非常敏感。T对于反馈通道H的灵敏度为：如果，则以直流电动机速度控制系统为例，枢控直流电动机的微分方程模型为式：为了简化，设电枢回路电感La为零，即Ta=La/Ra=0,有分别得到电动机转速对于电枢电压和负载转矩的传递函数为：以直流电动机速度控制系统为例，枢控直流电动机的微分方程模型为用测速电动机测量轴的转速，产生一个与之成比例的电压（为了简化，设比例系数为1），将它和希望的转速ωd相比较，以其差作为激励信号，即控制器的输入信号，并设控制器产生一个和它成比例的控制信号，通过改变电动机的电枢电压来控制电动机的转速。这样就构成了反馈控制系统。KcKu/(Tms+1)1-Ωd(s)+Ω(s)(d)-Km/(Tms+1)Mc(s)用测速电动机测量轴的转速，产生一个与之成比例的电压（为了简化对于这个电动机转速控制系统，其闭环传递函数为且其闭环灵敏度在稳态情况下（s→0），系统的闭环传递函数对于这个电动机转速控制系统，其闭环传递函数为且其闭环灵敏度在设电动机的增益Ku变化，其闭环灵敏度设KcKu=100，SKuT≈0.01,这意味着如果受控对象参数Ku有100%的误差,受控变量将只有1%的误差。设电动机的增益Ku变化，其闭环灵敏度设KcKu=100，SK2.用反馈抑制扰动的影响Gc(s)Gp(s)H(s)-+R(s)E(s)B(s)D(s)C(s)(c)上图所示的控制系统，D（s）代表了扰动对系统的作用。受控对象对于扰动的闭环传递函数2.用反馈抑制扰动的影响Gc(s)Gp(s)H(s)-+R(扰动造成的受控对象的变化量为：如果不采用反馈，扰动造成的受控对象的变化量为由此看到，扰动造成的受控对象的误差将直接和扰动的大小成比例；而且控制设计者无法影响决定误差的Gp（s）。然而，在闭环控制的情况下，扰动造成的受控对象的误差则为开环控制的。扰动造成的受控对象的变化量为：如果不采用反馈，扰动造成的受控3.用反馈使不稳定系统稳定采用反馈的一个重要理由是用来稳定一个固有的开环不稳定系统，即受控对象本身不稳定的系统。为了具体看看反馈如何用来稳定一个固有不稳定的系统，考虑一个一阶系统这是一个不稳定的系统。采用一个增益为Kc的控制器，构成单位反馈控制系统（假设传感器传递函数H（s）=1，则若KcKp>a，即，则闭环极点将移至左半s平面，原来不稳定的系统变成了稳定的系统。3.用反馈使不稳定系统稳定采用反馈的一个重要理由是用来稳定一4.用反馈来改善系统的动态特性闭环系统的传递函数仍以前述电动机转速控制为例，开环时，，其极点为s=-1/Tm,单位冲激响应，单位阶跃响应采用反馈控制，其闭环传递函数4.用反馈来改善系统的动态特性闭环系统的传递函数仍以前述电动其闭环基点为，单位冲激响应单位阶跃响应反馈使系统的极点远离虚轴，这相应于系统的频带加宽。相应地单位冲击响应衰减加快，单位阶跃响应上升加快。其闭环基点为，单位冲激响应单位阶跃响应反总结：反馈能够降低对于参数变化的灵敏度，抑制扰动的影响，使开环不稳定的系统稳定，是控制系统中采用反馈的三个主要的原因。反馈系统的缺点：使系统总的增益降低；为实现反馈必须进行对输出的测量，从而引入了测量噪声；当环路增益过高时，有可能使原来稳定的系统失去稳定。总结：反馈能够降低对于参数变化的灵敏度，抑制扰动的影响，使开二.反馈控制系统的指标一个性能良好的控制系统，应当满足一下3各方面的要求：1.稳定性一个系统如果受到瞬时微小的扰动或在有界输入的作用下，将产生随时间增长的响应，系统是不稳定。这样的系统显然将失去控制，是无用的。所以稳定性是控制系统能够正常工作的前提，是首先满足的一个要求。2.控制性能控制系统应当无论在瞬态和稳态都具有良好地性能（1）响应快速性方面的要求系统的单位阶跃响应的上升时间，反映了受控变量跟踪参考输入的快慢；调整时间则反映了系统瞬态过程的长短，即建立稳态的快慢。二.反馈控制系统的指标一个性能良好的控制系统，应当满足一下3（2）响应平稳性方面的要求系统的单位阶跃响应的超调量δ%反映了受控变量的振荡程度，即在瞬态过程中的平稳程度。实际上这是关于系统稳定程度的指标，即相对稳定性指标。相对稳定性指标回答的是在系统稳定的前提下，系统稳定程度有多高的问题。从稳态响应来看，我们希望受控变量在稳态时和参考输入之间的误差为零，至少要在某个允许的小范围内。即要求受控变量要能对参考输入渐进跟踪。有关这方面的要求常常用受控变量跟踪多项式参考输入信号的稳态误差来衡量。（2）响应平稳性方面的要求3.鲁棒性所谓系统具有鲁棒性指的是当系统数学模型存在不稳定性或者存在某种类型扰动时，控制系统仍能够保持其稳定性（鲁棒稳定性）和控制性能（鲁棒性能）。应当指出，有关系统相对稳定性的指标，反映了要求系统具有一定稳定裕量，因而能使系统在内部参数变化或外界环境条件变化的情况下保持稳定性。所以，在某种意义上是间接反映鲁棒性要求的一种指标。值得单独提的是过程控制系统。过程控制系统是指对于连续生产过程进行控制的系统。大多数过程控制系统是定值控制系统，即参考输入恒定的系统。其主要任务是使系统在受到扰动作用时，仍能保持被控变量在设定值上。这种系统的主要目标是克服扰动的影响。即，希望扰动引起的响应愈小愈好，消失的愈快愈好。因此这种系统的控制性能指标，往往是从对于扰动输入的相应提出的。而且一般是采用阶跃扰动作为典型的扰动。3.鲁棒性所谓系统具有鲁棒性指的是当系统数学模型存在不稳定性这种性能指标包括：（1）衰减比a/b系统对于阶跃扰动的响应两个相继的峰值超调量a和b之比。常用4:1作为指标。显然，这是反映系统平稳程度的指标，即相对稳定性指标。（2）调整时间ts指扰动响应进入实际稳态所需的时间。它反映了克服扰动影响所需的时间的长短。这是关于响应速度的指标。（3）余差ess指由于阶跃扰动引起的稳态误差，这是关于系统控制准确性的指标。（4）最大偏差emax指在阶跃扰动作用下，受控变量对于设定值的最大偏离，及响应的第一个峰值。显然这是动态过程中的偏差，是一个瞬间值。这种性能指标包括：稳定性的定义渐进稳定性是按照系统受到短时间微小扰动后的系统行为定义的。假定系统原来处于的某中平衡状态，当受到一个无论如何小的扰动，使之离开原来的工作点而到达另外的某个工作点，然后移去扰动，如果系统将产生无限增长的响应，则系统是不稳定的；如果响应保持在某个界限以内，而又不返回到原来的工作点，则系统是临界稳定的；如果响应总是保持在有界范围内，并最终返回到原来的工作点，则系统是稳定的。实用上，也把临界稳定归于不稳定的一类。三.系统稳定性的概念稳定性的定义三.系统稳定性的概念系统的响应的形式取决于特征方程的根，有三种可能性。设特征方程的根为si，i=1,2，…,n（对于n阶系统），则有（1）Re｛si｝<0，所有的i特征方程所有的根的实部小于零。在这个条件下，当t→∞，yzi（t）→0.系统是渐进稳定的。（2）Re｛si｝>0，任意的i只要特征方程任何一个根的实部大于零，在这个条件下，当t→∞，yzi（t）→∞.系统是不稳定的。（3）Re｛si｝=0，任意的i特征方程根的实部为零，这意味着根或者为零，或者为纯虚根。这个根所对应的系统的响应或者保持恒定，或者为时间的正弦函数。即响应即不返回零，又不趋于无限大。所以，只要特征方程有一个根实部为零，系统是临界稳定的。注：只有单根的情况下才是如此。如果实部为零的根是重根，系统是不稳定的。系统的响应的形式取决于特征方程的根，有三种可能性。设特征方程上面关于渐进稳定性的定义和条件，依赖于对系统自然响应的考察。如果不去分离系统的自然响应和受迫响应而着眼于全响应来考察系统的稳定性，将更加的直观和直观。如果对于每一个有界输入，系统的输出都是有界的，则称系统是稳定的；反之，如果系统任何一个有界输入，产生了无界输出，则称系统是不稳定的。这种定义的稳定性称为有界输入有界输出（BIBO）稳定性。有界输入有界输出（BIBO）稳定性是按照系统在有界输入作用下系统的行为定义的。根据BIBO稳定性的定义，系统稳定与否，决定于系统在有界输入作用下，系统响应的性质，即决定于系统的零状态响应yzs（t）。所以，BIBO稳定性又叫零状态响应（ZSR）稳定性。上面关于渐进稳定性的定义和条件，依赖于对系统自然响应的考察。对于任意输入x（t），线性非时变系统的零状态响应为如果输入有界，即所以，系统BIBO稳定性的充要条件是对于任意输入x（t），线性非时变系统的零状态响应为如果输入有这就意味着要求系统的单位冲激响应是绝对可积的。这正是h（t）的傅里叶变换存在的条件。这就是说，系统BIBO稳定的条件是H（s）的极点全部在左半s平面。如有任何一个极点位于右半s平面，系统是不稳定的。如上所述，渐进稳定性要求系统特征方程的根全部位于左半s平面；BIBO稳定性要求系统的极点全部位于左半s平面。在一般情况下，系统的传递函数分子分母互质，不存在极点零点相消，系统特征方程的根就是极点。系统的渐进稳定性和BIBO稳定性完全相同。这就意味着要求系统的单位冲激响应是绝对可积的。这正是h（t）四.劳斯稳定判据

由根和系数的关系可得，系统稳定的必要条件是：特征方程的所有系数均大于零，且不缺相。设n阶系统的特征方程为：

四.劳斯稳定判据由根和系数的关系可得sna0a2

a4a6

……sn-1a1a3a5a7

……sn-2b1b2b3b4

……

…

…

…s2f1f2s1g1s0h1

将特征方程的系数排成下面的行和列，即为劳斯阵列(劳斯表)sna0a

其中

劳斯判据:

1、控制系统稳定的充要条件是，劳斯表中第一列所有元素均大于零。

2、特征方程中具有正实部特征根的个数等于劳斯表中第一列元素符号改变的次数。其中

劳斯判据:

1、控制系统稳定的充要条件[例

1.]：已知系统特征方程方程无缺项，且系数大于零。列劳斯表：[例1.]：已知系统特征方程方程无缺项，且系数大于零[例2]：已知三阶系统特征方程为劳斯阵列为：[例2]：已知三阶系统特征方程为劳斯阵列为：

得出三阶系统稳定的充要条件为各系数大于零，且a1a2>a0a3。[例3]：系统特征方程为各项系数均大于零。列劳斯表如下：

得出三阶系统稳定的充要条件为各系数大于零，且a1a2[工学]自动控制原理第四章课件

有两种特殊情况需要特殊处理：＊1.

劳斯表中某一行的第一个元素为零，而该行其它元素不全为零。例4系统特征方程劳斯表有两种特殊情况需要特殊处理：例4系统特征方程劳斯

当时，为负，因此，劳斯表中第一列元素的符号改变了两次。当时，＊2.

劳斯表中某一行的元素全为零。这种情况表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根，系统是不稳定的。＊2.劳斯表中某一行的元素全为零。[例5]：系统特征方程列劳斯表[例5]：系统特征方程列劳斯表

即系统有一对共轭虚根，系统处于临界稳定，从工程角度来看，临界稳定属于不稳定系统。

劳斯表中第一列元素符号没有改变，系统没有右半平面的根，但由P(s)=0，即：求得：

即系统有一对共轭虚根，系统处于临界稳定，从工[例6]：系统的特征方程为：列劳斯表：[例6]：系统的特征方程为：

劳斯表中第一列元素符号改变一次，系统不稳定，且有一个右半平面的根，由P(s)=0得：

系统有一对共轭虚根，还有一个右半平面的实根。本例看出，由辅助方程解出两对大小相等、符号相反的根。劳斯表中第一列元素符号改变一次，系统不稳定

用劳斯判据确定系统参数

[例7]:系统结构图如图所示，试确定系统稳定时K的取值范围。解：系统的闭环传递函数用劳斯判据确定系统参数[例7]:列劳斯表

按劳斯判据，要使系统稳定，应有K>0，且6-K>0，故K的取值范围为0<K<6。其特征方程式为：

列劳斯表其特征方程式为：五.稳态误差和系统的类型

稳态误差的计算

考虑两种输入信号作用下系统产生的稳态误差，一个是控制输入，另一个是干扰输入。

五.稳态误差和系统的类型稳态误差的计算考虑两种在没有扰动（即扰动输入N(s)=0）时，控制系统参考输入和控制变量之差称为系统的误差，记作e（t）。则设e（t）的拉普拉斯变换为E（s）。定义从参考输入到误差的闭环传递函数为误差传递函数，记作F（s），则我们有如上述所述，我们常用系统达到稳态时的误差，即稳态误差来表征系统的控制准确性。系统的稳态误差记作ess，则根据拉普拉斯变换的终值定理，我们有在没有扰动（即扰动输入N(s)=0）时，控制系统参考输入和控典型输入信号和系统对不同输入的稳态误差系统的输入信号多种多样，一般以渐进跟踪时间变量t的多项式输入信号的误差大小，作为分析系统稳态精度的标准。多项式输入信号的一般形式为典型的输入信号：（1）阶跃输入r（t）=u（t），表示输入为t的零次多项式，变化率为零，表征了系统对于位置恒定的目标的跟踪；（2）斜坡输入r（t）=tu（t），表示输入为t的一次多项式，变化率为常数，表征了系统对恒速运动目标的跟踪；（3）抛物线输入,表示输入为t的二次多项式，加速度为常数，表征了系统对横加速运动目标的跟踪。典型输入信号和系统对不同输入的稳态误差系统的输入信号多种多样例1.某单位反馈系统开环传递函数为G(s)=1/Ts，输入信号r(t)=1(t)，t，t2/2以及r(t)=sinωt（t>0），求系统稳态误差ess。例1.某单位反馈系统开环传递函数为G(s)=1/Ts，输入信[工学]自动控制原理第四章课件[工学]自动控制原理第四章课件

例2.系统结构图如图所示，当输入信号分别为单位节约信号、单位斜坡信号和单位跑无信号时，求系统的稳态误差ess。例2.系统结构图如图所示，当输入信号分别为单位节约信号、单解：先判别系统的稳定性。系统的闭环传递函数为：系统的特征方程为：系统稳定的条件为：解：先判别系统的稳定性。系统的特征方程为：系统稳定的条件当输入为单位节约信号，则：系统的误差传递函数代入G（s）和H（s），得当输入为单位节约信号，则：系统的误差传递函数代入G（s）和H输入为单位斜坡信号，则输入为单位抛物线信号，则输入为单位斜坡信号，则输入为单位抛物线信号，则例3.如果例2中的H(s)=1，那么输入为单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位抛物线信号时的稳态温差ess。当输入为单位节约信号，则：代入G（s）和H（s），得解：系统的误差传递函数例3.如果例2中的H(s)=1，那么输入为单位阶跃信号、单位输入为单位斜坡信号，则输入为单位斜坡信号，则输入为单位抛物线信号，则输入为单位抛物线信号，则系统的类型和误差系数系统能以非零的恒定稳态误差跟踪多项式输入的最高次数反映了控制系统渐进跟踪参考输入的能力。所以我们用这个次数来对控制系统进行分类，例2的控制系统为0型系统，例3的控制系统为Ⅰ型系统。一般来说，如果一个控制系统能以非零的恒定稳态误差跟踪多项式参考输入的最高次数为k，则称这个系统为k型系统。K愈大，控制系统渐进跟踪参考输入的能力愈强。这样为k型系统，我们立刻能判断：它对k次多项式参考输入的参考输入的稳态误差为非零常数，对于低于k次的多项式输入的稳态误差为零，对高于k次的稳态误差为无限大。系统的类型和误差系数系统能以非零的恒定稳态误差跟踪多项式输入由于我们讨论的是稳态误差，即当t→∞时的e（t），所以我们把误差传递函数F（s）在s=0的邻域内展开为泰勒级数是合理的：令，并把它们称为系统的误差系数由于我们讨论的是稳态误差，即当t→∞时的e（t），所以我这样上式就可以改写成因为当系统接近稳态时，其误差这样上式就可以改写成因为当系统接近稳态时，其误差系统的稳态误差设显然上式的极限要存在且为非零常数，即系统要为k型系统，其必要条件为c0=0，….，ck-1=0.这是系统的稳态误差ess=ck。所以，如果系统第一个非零的误差系数为ck，系统即为k型系统。而且k型系统对于k次多项式输入的稳态误差即为ck。系统的稳态误差设显然上式的极限要存在且为非零常数，即系统要为单位反馈系统，静态误差常数（1）系统的类型和静态误差常数如果系统为0型系统，当参考输入r（t）为阶跃信号时，Gc(s)Gp(s)-R(s)E(s)B(s)C(s)(c)单位反馈系统，静态误差常数（1）系统的类型和静态误差常数Gc定义称为0型静态误差常数，或称位置误差常数Kp。此时稳态误差为如果系统为Ⅰ型系统，参考输入为单位斜坡信号时，定义称为0型静态误差常数，或称位置误差常数Kp。此时稳态误差定义此时稳态误差为称为Ⅰ型静态误差常数，或称速度误差常数Kv。如果系统为Ⅱ型系统，参考输入r（t）为抛物线信号时，定义此时稳态误差为称为Ⅰ型静态误差常数，或称速度误差常数Kv此时稳态误差为称为Ⅰ型静态误差常数，或称速度误差常数Ka。定义一般，如果系统为k型系统（k>0），则它对k次多项式的稳态误差此时稳态误差为称为Ⅰ型静态误差常数，或称速度误差常数Ka。定式中称为k型静态误差常数。（2）系统的类型和开环传递函数s=0的极点数系统的开环传递函数具有如下一般形式式中称为k型静态误差常数。（2）系统的类型和开环传递函数s=而且，对于k次多项式输入（k>0）即，这样的系统是k型系统。由此我们得到结论：对于单位反馈系统，若其开环传递函数在s=0具有k重极点，即为k型系统。而且，对于k次多项式输入（k>0）即，这样的系统是k型系统。系统由扰动引起的稳态误差Gc(s)Gp(s)-+R(s)=0E(s)B(s)D(s)Yd（s)控制系统的任务是使受控变量存在扰动的情况下，仍能跟踪参考输入。系统由于扰动而产生的稳态误差的大小，是系统抑制扰动能力强弱的一个量度。为了研究扰动对于控制系统的影响，我们令参考输入为零，在这个条件下，求出系统在扰动单独作用下，受控变量的响应Yd（s）。系统从扰动到受控变量的传递函数为系统由扰动引起的稳态误差Gc(s)Gp(s)-+R(s)=0受控变量对于扰动的响应为这样，系统由扰动引起的误差为即，受控变量对于扰动的响应大小就代表了由扰动引起的误差的大小。这个响应的稳态值ydss就代表了由扰动引起的稳态误差。受控变量对于扰动的响应为这样，系统由扰动引起的误差为即，受控六.反馈控制作用的类型1.比例控制当反馈控制信号线性比例于被测输出信号时，称这种反馈称为比例控制。比例控制的一般形式为控制器的传递函数为六.反馈控制作用的类型1.比例控制控制器的传递函数为讨论：比例控制器实质上是一个具有可调增益的放大器。只改变信号的增益而不影响其相位。加大控制器增益Kp，可提高系统开环增益，减小稳态误差，从而提高系统控制精度，但降低系统的相对稳定性，甚至可能造成闭环系统不稳定。很少单独使用比例控制规律。讨论：2.积分控制积分控制的形式为即控制信号和输出误差的积分成比例。控制器传递函数为输出信号u(t)与其输入信号e(t)的积分成比例。Kc为可调比例系数当e（t）消失后，输出信号u（t）有可能是一个不为零的常量。在串联校正中，采用I控制器可以提高系统的型别（无差度），有利提高系统稳态性能，但积分控制增加了一个位于原点的开环极点，使信号产生的相角滞后，于系统的稳定不利。2.积分控制积分控制的形式为即控制信号和输出误差的积分成比例讨论：积分控制可以提高系统的型别（无差度），有利于系统稳态性能的提高。积分控制使系统增加了一个位于原点的开环极点，使信号产生90°的相角滞后，对系统稳定性不利。在控制系统的校正设计中，通常不宜采用单一的积分控制器。讨论：3.微分控制微分控制是指控制信号u（t）与输出误差e（t）的导数成比例。其形式为控制器的传递函数微分控制的作用是增加系统的阻尼提高系统的稳定性。3.微分控制微分控制是指控制信号u（t）与输出误差e（t）的1.PD控制规律中的微分控制规律能反映输入信号的变化趋势，产生有效的早期修正信号，以增加系统的阻尼程度，从而改善系统的稳定性；2.在串联校正时，可使系统增加一个的开环零点，使系统的相角裕度提高，因此有助于系统动态性能的改善。3.如果误差为恒值时，意味着，尽管误差存在，它也不会产生校正误差的控制作用，所以微分控制不能单独使用。1.PD控制规律中的微分控制规律能反映输入信号的变化趋势，产4.比例+积分+微分控制其形式为控制器的传递函数这样的控制器叫比例积分微分控制器，即PID控制器。3种控制器彼此有各自的作用和局限性。联合它们一起使用是为了兼顾减小误差和获得适当的稳定程度两个方面。通常采用的PID控制器，在现场调整其3个参数，即Kc，Ti，Td。指导整定参数的原则所依据的是上面所述的3种控制器的作用。一般来说，增加Kc和1/Ti将减小系统的误差，同时降低稳定性，而增加Td将提高系统的稳定性。4.比例+积分+微分控制其形式为控制器的传递函数这样的控制器第四章

系统的反馈控制及其特性第四章

系统的反馈控制及其特性一.反馈的作用讨论反馈对系统的各种影响，目的在于弄清在控制系统中为什么要采用反馈。1.用反馈来降低对于参数变化的灵敏度系统中各元件的参数可能随使用时间的增长和环境的变化（例如周围温度的变化）而变化。反馈能够减小参数变化对于系统的影响。R（s）Ge（s）Gp（s）C(s)控制器受控对象G(s)图(a)一.反馈的作用讨论反馈对系统的各种影响，目的在于弄清在控制系R(s)Ge（s）C(s)Gp（s）控制器受控对象G(s)传感器H(s)b(s)-a(s)图（b）R(s)Ge（s）C(s)Gp（s）控制器受控对象G(s)传对于图（a）所示的开环控制系统假设由于参数变化，G（s）变为G（s）+ΔG（s），那么开环系统的输出变化以相对值表示也就是说，如果受控对象的参数，例如增益有10%的变化，就会造成受控变量的10%的误差，而且，控制的设计者无法影响他。对于图（a）所示的开环控制系统假设由于参数变化，G（s）变为对于图（b）所示的闭环控制系统，情况则大不相同当G（s）变化ΔG(s)时，它是通过引起闭环传递函数T（s）的变化ΔT(s)而造成受控变量C(s)的误差ΔC(s)的。以相对值表示用灵敏度这个术语来描述由于G（s）的变化而引起的闭环传递函数的相对变化。定义闭环传递函数T(s)对于前向通路传递函数G(s)的灵敏度SGT为对于图（b）所示的闭环控制系统，情况则大不相同当G（s）变化采用偏微分来近似ΔG(s)所引起T(s)的增量ΔT(s),作代数变形，上式可化为根据上面的公式，闭环系统的灵敏度为采用偏微分来近似ΔG(s)所引起T(s)的增量ΔT(s),作如果，则，当，有ΔT/T<<1,从而ΔC/C<<1

如果G（s）的增益变化为100G（s），则SGT变化大致在0.01左右。这个结果显示了反馈的主要优点：受控对象对于受控对象参数的变化很不灵敏，而开环控制系统的灵敏度为100%。注意，闭环系统在减小对前向通路参数变化的灵敏度的同时，对于反馈通道参数变化却非常敏感。T对于反馈通道H的灵敏度为：如果，则以直流电动机速度控制系统为例，枢控直流电动机的微分方程模型为式：为了简化，设电枢回路电感La为零，即Ta=La/Ra=0,有分别得到电动机转速对于电枢电压和负载转矩的传递函数为：以直流电动机速度控制系统为例，枢控直流电动机的微分方程模型为用测速电动机测量轴的转速，产生一个与之成比例的电压（为了简化，设比例系数为1），将它和希望的转速ωd相比较，以其差作为激励信号，即控制器的输入信号，并设控制器产生一个和它成比例的控制信号，通过改变电动机的电枢电压来控制电动机的转速。这样就构成了反馈控制系统。KcKu/(Tms+1)1-Ωd(s)+Ω(s)(d)-Km/(Tms+1)Mc(s)用测速电动机测量轴的转速，产生一个与之成比例的电压（为了简化对于这个电动机转速控制系统，其闭环传递函数为且其闭环灵敏度在稳态情况下（s→0），系统的闭环传递函数对于这个电动机转速控制系统，其闭环传递函数为且其闭环灵敏度在设电动机的增益Ku变化，其闭环灵敏度设KcKu=100，SKuT≈0.01,这意味着如果受控对象参数Ku有100%的误差,受控变量将只有1%的误差。设电动机的增益Ku变化，其闭环灵敏度设KcKu=100，SK2.用反馈抑制扰动的影响Gc(s)Gp(s)H(s)-+R(s)E(s)B(s)D(s)C(s)(c)上图所示的控制系统，D（s）代表了扰动对系统的作用。受控对象对于扰动的闭环传递函数2.用反馈抑制扰动的影响Gc(s)Gp(s)H(s)-+R(扰动造成的受控对象的变化量为：如果不采用反馈，扰动造成的受控对象的变化量为由此看到，扰动造成的受控对象的误差将直接和扰动的大小成比例；而且控制设计者无法影响决定误差的Gp（s）。然而，在闭环控制的情况下，扰动造成的受控对象的误差则为开环控制的。扰动造成的受控对象的变化量为：如果不采用反馈，扰动造成的受控3.用反馈使不稳定系统稳定采用反馈的一个重要理由是用来稳定一个固有的开环不稳定系统，即受控对象本身不稳定的系统。为了具体看看反馈如何用来稳定一个固有不稳定的系统，考虑一个一阶系统这是一个不稳定的系统。采用一个增益为Kc的控制器，构成单位反馈控制系统（假设传感器传递函数H（s）=1，则若KcKp>a，即，则闭环极点将移至左半s平面，原来不稳定的系统变成了稳定的系统。3.用反馈使不稳定系统稳定采用反馈的一个重要理由是用来稳定一4.用反馈来改善系统的动态特性闭环系统的传递函数仍以前述电动机转速控制为例，开环时，，其极点为s=-1/Tm,单位冲激响应，单位阶跃响应采用反馈控制，其闭环传递函数4.用反馈来改善系统的动态特性闭环系统的传递函数仍以前述电动其闭环基点为，单位冲激响应单位阶跃响应反馈使系统的极点远离虚轴，这相应于系统的频带加宽。相应地单位冲击响应衰减加快，单位阶跃响应上升加快。其闭环基点为，单位冲激响应单位阶跃响应反总结：反馈能够降低对于参数变化的灵敏度，抑制扰动的影响，使开环不稳定的系统稳定，是控制系统中采用反馈的三个主要的原因。反馈系统的缺点：使系统总的增益降低；为实现反馈必须进行对输出的测量，从而引入了测量噪声；当环路增益过高时，有可能使原来稳定的系统失去稳定。总结：反馈能够降低对于参数变化的灵敏度，抑制扰动的影响，使开二.反馈控制系统的指标一个性能良好的控制系统，应当满足一下3各方面的要求：1.稳定性一个系统如果受到瞬时微小的扰动或在有界输入的作用下，将产生随时间增长的响应，系统是不稳定。这样的系统显然将失去控制，是无用的。所以稳定性是控制系统能够正常工作的前提，是首先满足的一个要求。2.控制性能控制系统应当无论在瞬态和稳态都具有良好地性能（1）响应快速性方面的要求系统的单位阶跃响应的上升时间，反映了受控变量跟踪参考输入的快慢；调整时间则反映了系统瞬态过程的长短，即建立稳态的快慢。二.反馈控制系统的指标一个性能良好的控制系统，应当满足一下3（2）响应平稳性方面的要求系统的单位阶跃响应的超调量δ%反映了受控变量的振荡程度，即在瞬态过程中的平稳程度。实际上这是关于系统稳定程度的指标，即相对稳定性指标。相对稳定性指标回答的是在系统稳定的前提下，系统稳定程度有多高的问题。从稳态响应来看，我们希望受控变量在稳态时和参考输入之间的误差为零，至少要在某个允许的小范围内。即要求受控变量要能对参考输入渐进跟踪。有关这方面的要求常常用受控变量跟踪多项式参考输入信号的稳态误差来衡量。（2）响应平稳性方面的要求3.鲁棒性所谓系统具有鲁棒性指的是当系统数学模型存在不稳定性或者存在某种类型扰动时，控制系统仍能够保持其稳定性（鲁棒稳定性）和控制性能（鲁棒性能）。应当指出，有关系统相对稳定性的指标，反映了要求系统具有一定稳定裕量，因而能使系统在内部参数变化或外界环境条件变化的情况下保持稳定性。所以，在某种意义上是间接反映鲁棒性要求的一种指标。值得单独提的是过程控制系统。过程控制系统是指对于连续生产过程进行控制的系统。大多数过程控制系统是定值控制系统，即参考输入恒定的系统。其主要任务是使系统在受到扰动作用时，仍能保持被控变量在设定值上。这种系统的主要目标是克服扰动的影响。即，希望扰动引起的响应愈小愈好，消失的愈快愈好。因此这种系统的控制性能指标，往往是从对于扰动输入的相应提出的。而且一般是采用阶跃扰动作为典型的扰动。3.鲁棒性所谓系统具有鲁棒性指的是当系统数学模型存在不稳定性这种性能指标包括：（1）衰减比a/b系统对于阶跃扰动的响应两个相继的峰值超调量a和b之比。常用4:1作为指标。显然，这是反映系统平稳程度的指标，即相对稳定性指标。（2）调整时间ts指扰动响应进入实际稳态所需的时间。它反映了克服扰动影响所需的时间的长短。这是关于响应速度的指标。（3）余差ess指由于阶跃扰动引起的稳态误差，这是关于系统控制准确性的指标。（4）最大偏差emax指在阶跃扰动作用下，受控变量对于设定值的最大偏离，及响应的第一个峰值。显然这是动态过程中的偏差，是一个瞬间值。这种性能指标包括：稳定性的定义渐进稳定性是按照系统受到短时间微小扰动后的系统行为定义的。假定系统原来处于的某中平衡状态，当受到一个无论如何小的扰动，使之离开原来的工作点而到达另外的某个工作点，然后移去扰动，如果系统将产生无限增长的响应，则系统是不稳定的；如果响应保持在某个界限以内，而又不返回到原来的工作点，则系统是临界稳定的；如果响应总是保持在有界范围内，并最终返回到原来的工作点，则系统是稳定的。实用上，也把临界稳定归于不稳定的一类。三.系统稳定性的概念稳定性的定义三.系统稳定性的概念系统的响应的形式取决于特征方程的根，有三种可能性。设特征方程的根为si，i=1,2，…,n（对于n阶系统），则有（1）Re｛si｝<0，所有的i特征方程所有的根的实部小于零。在这个条件下，当t→∞，yzi（t）→0.系统是渐进稳定的。（2）Re｛si｝>0，任意的i只要特征方程任何一个根的实部大于零，在这个条件下，当t→∞，yzi（t）→∞.系统是不稳定的。（3）Re｛si｝=0，任意的i特征方程根的实部为零，这意味着根或者为零，或者为纯虚根。这个根所对应的系统的响应或者保持恒定，或者为时间的正弦函数。即响应即不返回零，又不趋于无限大。所以，只要特征方程有一个根实部为零，系统是临界稳定的。注：只有单根的情况下才是如此。如果实部为零的根是重根，系统是不稳定的。系统的响应的形式取决于特征方程的根，有三种可能性。设特征方程上面关于渐进稳定性的定义和条件，依赖于对系统自然响应的考察。如果不去分离系统的自然响应和受迫响应而着眼于全响应来考察系统的稳定性，将更加的直观和直观。如果对于每一个有界输入，系统的输出都是有界的，则称系统是稳定的；反之，如果系统任何一个有界输入，产生了无界输出，则称系统是不稳定的。这种定义的稳定性称为有界输入有界输出（BIBO）稳定性。有界输入有界输出（BIBO）稳定性是按照系统在有界输入作用下系统的行为定义的。根据BIBO稳定性的定义，系统稳定与否，决定于系统在有界输入作用下，系统响应的性质，即决定于系统的零状态响应yzs（t）。所以，BIBO稳定性又叫零状态响应（ZSR）稳定性。上面关于渐进稳定性的定义和条件，依赖于对系统自然响应的考察。对于任意输入x（t），线性非时变系统的零状态响应为如果输入有界，即所以，系统BIBO稳定性的充要条件是对于任意输入x（t），线性非时变系统的零状态响应为如果输入有这就意味着要求系统的单位冲激响应是绝对可积的。这正是h（t）的傅里叶变换存在的条件。这就是说，系统BIBO稳定的条件是H（s）的极点全部在左半s平面。如有任何一个极点位于右半s平面，系统是不稳定的。如上所述，渐进稳定性要求系统特征方程的根全部位于左半s平面；BIBO稳定性要求系统的极点全部位于左半s平面。在一般情况下，系统的传递函数分子分母互质，不存在极点零点相消，系统特征方程的根就是极点。系统的渐进稳定性和BIBO稳定性完全相同。这就意味着要求系统的单位冲激响应是绝对可积的。这正是h（t）四.劳斯稳定判据

由根和系数的关系可得，系统稳定的必要条件是：特征方程的所有系数均大于零，且不缺相。设n阶系统的特征方程为：

四.劳斯稳定判据由根和系数的关系可得sna0a2

a4a6

……sn-1a1a3a5a7

……sn-2b1b2b3b4

……

…

…

…s2f1f2s1g1s0h1

将特征方程的系数排成下面的行和列，即为劳斯阵列(劳斯表)sna0a

其中

劳斯判据:

1、控制系统稳定的充要条件是，劳斯表中第一列所有元素均大于零。

2、特征方程中具有正实部特征根的个数等于劳斯表中第一列元素符号改变的次数。其中

劳斯判据:

1、控制系统稳定的充要条件[例

1.]：已知系统特征方程方程无缺项，且系数大于零。列劳斯表：[例1.]：已知系统特征方程方程无缺项，且系数大于零[例2]：已知三阶系统特征方程为劳斯阵列为：[例2]：已知三阶系统特征方程为劳斯阵列为：

得出三阶系统稳定的充要条件为各系数大于零，且a1a2>a0a3。[例3]：系统特征方程为各项系数均大于零。列劳斯表如下：

得出三阶系统稳定的充要条件为各系数大于零，且a1a2[工学]自动控制原理第四章课件

有两种特殊情况需要特殊处理：＊1.

劳斯表中某一行的第一个元素为零，而该行其它元素不全为零。例4系统特征方程劳斯表有两种特殊情况需要特殊处理：例4系统特征方程劳斯

当时，为负，因此，劳斯表中第一列元素的符号改变了两次。当时，＊2.

劳斯表中某一行的元素全为零。这种情况表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根，系统是不稳定的。＊2.劳斯表中某一行的元素全为零。[例5]：系统特征方程列劳斯表[例5]：系统特征方程列劳斯表

即系统有一对共轭虚根，系统处于临界稳定，从工程角度来看，临界稳定属于不稳定系统。

劳斯表中第一列元素符号没有改变，系统没有右半平面的根，但由P(s)=0，即：求得：

即系统有一对共轭虚根，系统处于临界稳定，从工[例6]：系统的特征方程为：列劳斯表：[例6]：系统的特征方程为：

劳斯表中第一列元素符号改变一次，系统不稳定，且有一个右半平面的根，由P(s)=0得：

系统有一对共轭虚根，还有一个右半平面的实根。本例看出，由辅助方程解出两对大小相等、符号相反的根。劳斯表中第一列元素符号改变一次，系统不稳定

用劳斯判据确定系统参数

[例7]:系统结构图如图所示，试确定系统稳定时K的取值范围。解：系统的闭环传递函数用劳斯判据确定系统参数[例7]:列劳斯表

按劳斯判据，要使系统稳定，应有K>0，且6-K>0，故K的取值范围为0<K<6。其特征方程式为：

列劳斯表其特征方程式为：五.稳态误差和系统的类型

稳态误差的计算

考虑两种输入信号作用下系统产生的稳态误差，一个是控制输入，另一个是干扰输入。

五.稳态误差和系统的类型稳态误差的计算考虑两种在没有扰动（即扰动输入N(s)=0）时，控制系统参考输入和控制变量之差称为系统的误差，记作e（t）。则设e（t）的拉普拉斯变换为E（s）。定义从参考输入到误差的闭环传递函数为误差传递函数，记作F（s），则我们有如上述所述，我们常用系统达到稳态时的误差，即稳态误差来表征系统的控制准确性。系统的稳态误差记作ess，则根据拉普拉斯变换的终值定理，我们有在没有扰动（即扰动输入N(s)=0）时，控制系统参考输入和控典型输入信号和系统对不同输入的稳态误差系统的输入信号多种多样，一般以渐进跟踪时间变量t的多项式输入信号的误差大小，作为分析系统稳态精度的标准。多项式输入信号的一般形式为典型的输入信号：（1）阶跃输入r（t）=u（t），表示输入为t的零次多项式，变化率为零，表征了系统对于位置恒定的目标的跟踪；（2）斜坡输入r（t）=tu（t），表示输入为t的一次多项式，变化率为常数，表征了系统对恒速运动目标的跟踪；（3）抛物线输入,表示输入为t的二次多项式，加速度为常数，表征了系统对横加速运动目标的跟踪。典型输入信号和系统对不同输入的稳态误差系统的输入信号多种多样例1.某单位反馈系统开环传递函数为G(s)=1/Ts，输入信号r(t)=1(t)，t，t2/2以及r(t)=sinωt（t>0），求系统稳态误差ess。例1.某单位反馈系统开环传递函数为G(s)=1/Ts，输入信[工学]自动控制原理第四章课件[工学]自动控制原理第四章课件

例2.系统结构图如图所示，当输入信号分别为单位节约信号、单位斜坡信号和单位跑无信号时，求系统的稳态误差ess。例2.系统结构图如图所示，当输入信号分别为单位节约信号、单解：先判别系统的稳定性。系统的闭环传递函数为：系统的特征方程为：系统稳定的条件为：解：先判别系统的稳定性。系统的特征方程为：系统稳定的条件当输入为单位节约信号，则：系统的误差传递函数代入G（s）和H（s），得当输入为单位节约信号，则：系统的误差传递函数代入G（s）和H输入为单位斜坡信号，则输入为单位抛物线信号，则输入为单位斜坡信号，则输入为单位抛物线信号，则例3.如果例2中的H(s)=1，那么输入为单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位抛物线信号时的稳态温差ess。当输入为单位节约信号，则：代入G（s）和H（s），得解：系统的误差传递函数例3.如果例2中的H(s)=1，那么输入为单位阶跃信号、单位输入为单位斜坡信号，则输入为单位斜坡信号，则输入为单位抛物线信号，则输入为单位抛物线信号，则系统的类型和误差系数系统能以非零的恒定稳态误差跟踪多项式输入的最高次数反映了控制系统渐进跟踪参考输入的能力。所以我们用这个次数来对控制系统进行分类，例2的控制系统为0型系统，例3的控制系统为Ⅰ型系统。一般来说，如果一个控制系统能以非零的恒定稳态误差跟踪多项式参考输入的最高次数为k，则称这个系统为k型系统。K愈大，控制系统渐进跟踪参考输入的能力愈强。这样为k型系统，我们立刻能判断：它对k次多项式参考输入的参考输入的稳态误差为非零常数，对于低于k次的多项式输入的稳态误差为零，对高于k次的稳态误差为无限大。系统的类型和误差系数系统能以非零的恒定稳态误差跟踪多项式输入由于我们讨论的是稳态误差，即当t→∞时的e（t），所以我们把误差传递函数F（s）在s=0的邻域内展开为泰勒级数是合理的：令，并把它们称为系统的误差系数由于我们讨论的是稳态误差，即当t→∞时的e（t），所以我这样上式就可以改写成因为当系统接近稳态时，其误差这样上式就可以改写成因为当系统接近稳态时，其误差系统的稳态误差设显然上式的极限要存在且为非零常数，即系统要为k型系统，其必要条件为c0=0，….，ck-1=0.这是系统的稳态误差ess=ck。所以，如果系统第一个非零的误差系数为ck，系统即为k型系统。而且k型系统对于k