大学物理：04刚体（简化）

第三章刚体的定轴转动一、刚体刚体：运动中大小和形状都保持不变的物体（2）各质点之间的距离保持不变——理想模型讨论（1）看作由许多质点组成的质点系（3）有确定的形状和大小§3-1刚体及其运动类型二、刚体的运动类型平动：任意两点的连线，在运动过程中始终保持平行平动、转动特点各质点的运动状态完全相同，任一点都可反映刚体运动

刚体平动刚体质心运动转动：各质点都绕同一直线(转动轴)作圆周运动（1）定轴转动：转轴固定不动的转动（2）平面平行运动（滚动）质心的平动＋绕质心轴转动（3）旋进(进动)：刚体绕自身轴自转，同时该轴又绕另一根轴转动旋进1旋进2进动平面平行运动刚体的一般运动=平动+转动三、刚体定轴转动的描述：参考方向转动平面1、转动平面：垂直于转动轴的平面2、定轴转动的角量描述：角位移：角位置：xyo角速度矢量----角速度方向在转轴上大小：方向：右手螺旋角速度方向角加速度矢量：角加速度：3、线量与角量的关系：参考方向转动平面§3-2力矩定轴转动定律OO’方向对轴的力矩是改变刚体定轴转动状态的原因作用点位置AB力在转动平面内：一.力矩大小：方向：由右手螺旋判断单位：N·m力不在转动平面内----与转轴平行的力矩；对刚体定轴转动起作用---只能引起轴的变形，对转动无贡献合力矩每个外力都对刚体有一绕轴的力矩几个外力同时作用在刚体上，它们的作用相当于这几个力的力矩的代数和，这就是合力矩讨论（1）只有在转动平面内且又不与转轴相交的力产生的力矩，才对转动有贡献（2）力矩与转轴平行，只有两个可能方向（4）力矩的正负用右手螺旋定则判断(3)通常不写矢量，用正负表示它的方向二.定轴转动定律

对Pi：

法向：Fin,

fin产生的力矩=0两边同乘ri：切向：

对整个刚体求和：----定轴转动定律所有内力矩之和=0J

定义：----对z轴的转动惯量连续分布有dm为质量元，简称质元。计算方法：线分布面分布体分布Jz的大小取决于：(1)刚体的质量：同形状的刚体，ρ越大，Jz就越大(2)质量的分布：质量相同，dm分布在r越大的地方，则Jz

越大(3)刚体的转轴位置：同一刚体依不同的转轴而有不同的Jz

物理意义：Jz表示刚体转动时惯性的大小讨论转动惯量转动惯量1转动惯量与质量物理内容的区别一、质量是固有属性，转动惯量只有转动时才有意义二、转动惯量由质量决定，但质量却不由转动惯量决定三、刚体确定，质量恒定，但转动惯量不是唯一，不同的转轴，转动惯量不同常见刚体的转动惯量薄圆盘球体细棒细棒

三、平行轴定理以质心C为坐标原点Cz：质心轴MN//Cz对MN轴的转动惯量为----平行轴定理四、薄板的垂直轴定理----垂直轴定理设薄板平面为xOy面[例1]求半经为R质量为m的均匀圆环,对于沿直径转轴的转动惯量解：圆环的质量密度为在环上取质量元dm，dm距转轴r另解对过环心并与环垂直的转轴的转动惯量根据对称性有由垂直轴定理[例2]长l、质量m的均匀细棒放在xoy平面内，棒与x轴成300角，其中心在O点。求它对x、y和z轴的转动惯量解：细棒质量密度为在棒上取长为dl的质量元[例3]一长为a、宽为b的匀质矩形薄平板，质量为m，试求:(1)对通过平板中心并与长边平行的轴的转动惯量;(2)对与平板一条长边重合的轴的转动惯量解：垂直向上为y轴，板的质量面密度为(1)在板上取长为a、宽为dy的小面元(2)转轴与长边重合或由平行轴定理[例4]在半径分别为R1和R2的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳，各挂质量为m1、m2的物体。如滑轮与轴间的摩擦不计，滑轮的转动惯量为J。求滑轮的角加速度β及各绳中的张力T1、T2解：设m1向下运动解得[例5]物体A、B的质量分别为m1和m2，用一轻绳相连，绳子跨过质量为M，半径为R的匀质定滑轮C。如A下降，B与水平桌面间的滑动摩擦系数为μ，绳与滑轮之间无相对滑动，求系统的加速度及绳中的张力T1和T2解：建立如图坐标系解得§3-3

定轴转动的功能关系一、力矩的功

若有n个外力作用，则其中----外力在z轴上对刚体的合外力矩在刚体上取一质元Pi：动能：整个刚体的动能：二、刚体的转动动能J三、刚体定轴转动的动能定理----刚体定轴转动的动能定理合外力矩的元功合外力矩的功

以xOy平面为重力势能参考面四、刚体的重力势能对刚体由刚体的质心相对于参考零点的高度决定[例8]

长为l，质量为m的均匀细杆OA，绕通过其一端点O的水平轴在铅垂面内自由转动。已知另一端A过最低点时的速率为0。求杆摆动时A点升高的最大高度(不计空气阻力和轴的摩擦力)解：机械能守恒最低点处最高点处动能势能动能势能

一、刚体定轴转动的角动量大小：取质元Pi，对O的角动量刚体对定轴z

的角动量§3-4

刚体的角动量定理和角动量守恒定律二、刚体定轴转动的角动量定理

----刚体定轴转动的角动量定理冲量矩

三、刚体定轴转动角动量守恒当则=常量----刚体定轴转动的角动量守恒定律讨论

守恒条件若不变，不变；若变，也变，但不变.

内力矩不改变系统的角动量.是自然界的一个基本定律.演示演示演示演示[例8]质量为M、半径为R的水平放置、圆盘转台上，两质量均为m的电动汽车模型可分别沿半径为R和r(R＞r)两轨道运行。最初小车和转台都不动，令外轨道小车作反时针转动，内轨道小车顺时针转动，相对于转台的速率均为v。求转台对地面的角速度解：设转台对地面的角速度为，且逆时针运转A相对于地面的角速度B相对于地面的角速度由动量矩守恒其中AB可得----顺时针运转[例9]质量为m1的小球与质量为m2长为