精密机械学基础：圆轴扭转2

3.4受扭圆轴受力特点：杆件两端受到一对大小相等、转向相反、作用面与轴线垂直的力偶作用。变形特点：杆的各横截面都绕轴线发生相对转动。以扭转变形为主的构件称为轴。

外力偶矩M——作用在轴上的外力偶矩，单位为牛顿米（Nm)；Np——轴传递的功率，Np的单位为千瓦(kW)；n——轴的转速，单位为转/分(r/min)。外力偶矩的转向与轴的转向一致其中：求内扭矩的方法-截面法内扭矩的正负号规定：与截面的外法线方向一致为正，反之为负。4画内扭矩图内扭矩随横截面位置变化的函数图线XTM1.截开：2.代替：3.平衡：建立保留部分的平衡方程，确定未知内扭矩。T-M=0XT【例】已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。【解】：①计算外力偶矩nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向设）nABCDm2

m3

m1

m4③绘制扭矩图BC段为危险截面。xT4.789.566.37––112233nABCDm2

m3

m1

m4②求扭矩（扭矩按正方向设）

3.4.1表面变形与平面假设圆轴表面变形具有以下特点：各圆周线均绕轴线相对旋转过一个角度，但形状、大小及相邻两圆周线之间的距离均无变化。所有纵向线仍保持为直线，但都倾斜了一个微小角度，使圆轴表面的小矩形变为平行四边形。变形特征：3.4.1扭转剪应力和剪应变横截面上无正应力横截面上有切应力(τ)和切应变()剪应力方向必垂于半径

变形几何方程--剪应变沿径向分布规律取微元长度dx；微元两截面相对扭转角dφ；由变形特征可知，

dφ/

dx为常量，表示相对扭转角φ与相对距离之比，无量纲表达式说明:ρ，所以：由剪切胡克定律，其中G、dφ

/

dx均为常量，即横截面上任一点的剪应力τ(ρ)与该点到圆心的距离ρ成正比。上式说明静力学方程--剪应力表达式截面上的扭矩Mn，即将代入，得：由此得：其中：横截面极惯性矩，取决于横截面的大小和形状。Mn面转动惯量抗扭刚度：GIP反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的截面抗扭转刚度。得：最大剪应力发生在横截面最外边缘处分析：在扭矩一定的情况下，GIP愈大，相距单位距离的两截面的相对扭转角就愈小剪应力沿半径方向的分布：分析：用图表示由剪应力互等定理可知，横截面内的剪应力伴随有位于纵向截面内的等值的剪应力（如上图c）注意：应力方向与半径垂直，沿某一直径圆心两侧的应力方向和内力偶的方向一致式中作用：WT值越大，则在给定的最大剪应力下圆轴能够抵抗的扭矩T也就越大。意义：

它是衡量截面抵抗扭转能力的几何量。WT:抗扭截面系数，单位为3.4.3.1扭转强度和刚度计算2.4.2.1强度条件：塑性材料：脆性材料：危险截面:圆轴扭转时，产生最大剪应力的横截面。强度准则

确定圆轴的许可载荷

圆轴截面尺寸设计

扭转强度校核强度准则解决圆轴扭转的三类问题3.4.3.2刚度条件

圆轴的最大扭转角：扭转刚度准则—许用扭转角，取值可根据有关设计标淮确定。对于长度为的圆轴的相对转角：注意：表达式的应用条件，等截面圆杆单位：弧度/米相对扭转角任意两个横截面绕轴线相对转动的角度。相距为l的两个横截面的相对扭转角为:注意：φ的正负号与扭矩正负号相同。nABCDm2

m3

m1

m4材料在线弹性范围内的等截面圆轴;在长度l内，Mn、G、Ip均为常量。对于实心圆轴圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量（系数）对于内、外直径分别为d、D的空心圆截面或其中α为内外径之比，α＝d/D。BCADTBTCTDTA【解】【例】已知A轮输入扭矩为2068.9Nm,B轮输出扭矩为477.5Nm，C轮输出扭矩为954.9Nm，D轮输出扭矩为636.6Nm，试画出扭力图，并设计该轴直径d。许可剪应为[30N/mm]22.画扭矩图，确定危险截面用截面法求得BC、CA、AD段内各截面上的扭矩分别为BCADTBTCTDTA477.5N·m1432.4N·m636.6N·mTTBC=477.5N·mTCA=1432.4N·mTAD=636.6N·m据此画出扭矩图，如右下图所示。由扭矩图可见危险截面在CA段，最大扭矩为：Tmax=1432.4N·m477.5N.m594.9N.m2068.9N.m636.6N.m3.由强度条件设计轴直径：由取：d=65mm求得轴的直径为：【例】传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A输入功率Np1=400kW，从动轮C，B分别输出功率Np2=160kW，Np3=240kW。已知[τ]=70MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa。

(1)试确定AC段的直径d1和BC段的直径d2；

(2)若AC和BC两段选同一直径，试确定直径d；

(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?【解】

1.计算外力偶矩：轴上A、B、C三处的外力偶矩为：2.画扭矩图用截面法求得AC、CB段内各截面上的扭矩分别为：TAC=7640N.m，

TCB=4580N.m400kW160kW240kWn=500r/min3.直径d1的选取按强度条件按刚度条件4.直径d2的选取按强度条件按刚度条件5.选同一直径时6.将主动轮安装在两从动轮之间受力合理结束§6.2外力偶矩扭矩和扭矩图【例6.1】如图所示，已知圆截面杆各截面处的外力偶矩大小，试画出其扭矩图。解：如图所示的轴，用截面法求得AB、BC两段的扭矩值分别为：扭矩图如图（d）所示。

T1=TA=3000N•mT2=TA-TB=3000-1800=1200N•m§6.2外力偶矩扭矩和扭矩图§6.2外力偶矩扭矩和扭矩图

剪切胡克定律由实验得到当剪应力不超过比例极限时，剪应力与剪应变成正比。即：τ=GγG称为剪切弹性模量，与E有相同的量纲和单位。得：τx′=τx同理可得：τy′=τy由∑mz（Fi）=0，即τx(dxdy)dz=τy(dxdz)dy得：τx=τy结论：在微元体两个相互垂直的截面上，剪应力总是成对出现的，它们数值相等，其方向同时指向或同时背离截面的交线。纯剪状态

微元各对面上只有剪应力而没有正应力的受力状态称为纯剪状态剪应力互等定理由平衡方程∑FY=0，即：求内扭矩的方法-截面法内扭矩的正负号规定：与截面的外法线方向一致为正，反之为负。4画内扭矩图X