华东师大版九年级数学上册第23章图形的相似教案教学设计（含教学反思）

第23章图形的相似TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"成比例线段 1\o"CurrentDocument"相似图形 7\o"CurrentDocument"相似三角形 11\o"CurrentDocument"中位线 27\o"CurrentDocument"位似图形 30\o"CurrentDocument"图形与坐标 3323.1成比例线段第1课时教学目标.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；.理解成比例线段的概念；.掌握成比例线段的判定方法.教学重难点【教学重点】线段的比的概念，成比例线段的概念，会计算两条线段的比.【教学难点】成比例线段的判定方法.教学过程一、情景导入请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗?这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同.二、合作探究探究点一：线段的比［类型_］求线段的比的U已知线段46=2.5m,线段a）=400cm,求线段46与⑦的比.解析：要求力3和口的比，只需要根据线段的比的定义计算即可，但注意要将44和口的单位统一.解：AB=2.5m=250cm,AB2505• .•而―丽一m方法总结：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比.【类型二】比例尺丽在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm,则甲、乙两地的实际距离是m.图卜距离解析：根据“比例尺喘:际,£'可求解.设甲、乙两地的实际距离为xcm,则有1：50000=3：x,解得x=150000.150000cm=1500m.故答案为1500.方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化.探究点二：成比例线段［类型一］判断线段成比例砸1下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）3cm,4cm,5cm,6cm4cm,8cm,3cm,5cm5cm,15cm,2cm,6cm8cm,4cm,1cm,3cm解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相26等的四条线段成比例.四个选项中，只有C项排列后有£=左.故选C.方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；（2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.［类型二］由线段成比例求线段的长1例El已知：四条线段a、b、c、d,其中a=3cm,6=8cm,c=6cm.(1)若a、b、c、d是成比例线段，求线段d的长度；(2)若6、a、c、d是成比例线段，求线段d的长度.解析：紧扣成比例线段的概念，利用比例式构造方程并求解.解：(1)由a、b、c、”是成比例线段，得即(=5>解得d=16.故线段d的长度为16cm；(2)由b、a、c、d是成比例线段，得bcan865加9二=：即可=：解得d=].ad3d 4故线段d的长度为脑.方法总结：利用比例线段关系求线段长度的方法：根据线段的关系写出比例式，并把它作为相等关系构造关于要求线段的方程，解方程即可求出线段的长.崛已知三条线段长分别为1cm,/cm,2cm,请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式.解析：因为本题中没有明确告知是求1,十，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论.解：若x：1=*：2,则jr=5若1：才=/：2,则x=乖;若1：y[2—x：2,则*=镜；若1：m=2：x,则x=2位.所以所添加的线段的长有三种可能，可以是乎cm,取cm,或2Apem.方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积.三、板书设计’线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段［月，泌!长度分别是加，n,那么这两条线段的比就是它们长度的比，即46：CL=m：n,或写成嚼=色CDn成比例线段：四条线段a,b,c,d,如果a与6的比段 等于c与册比，即》］那么这四条线段a,b,c,MU做成比例线段，、简称比例线段四、教学反思从丰富的实例入手，引导学生进行观察、发现和概括.在自主探究和合作交流过程中,适时引入新知识，并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力.第2课时教学目标.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论；.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.教学重难点【教学重点】平行线分线段成比例的基本事实及其推论.【教学难点】用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.教学过程一、情景导入梯子是我们生活中常见的工具.如图是一个生产过程中不合格的左右不对称的梯子的简图，经测量,46=8。=。?,AAJ/BBJ/CCJ/DD„那么48和5G相等吗？

二、合作探究探究点一：平行线分线段成比例的II如图，直线/〃入〃/3，直线月。分别交这三条直线于点4B,C,直线如分别交这三条直线于点〃，E,F,若48=3, EF=4,求6。的长.7解：二•直线/〃，2〃/3，且力6=3,DE=~,EF=4,•••根据平行线分线段成比例可得翁等anEF4 24即BC=-^,AB="X3="z".DE1 12方法总结：利用平行线分线段成比例求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段之间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例关系式，构造出方程，解方程求出待求线段长.酮如图所示，直线人〃/2〃，3,下列比例式中成立的是（ ）ADCEA—ADCEA—=—DFBCADBCB—=—BEAFCEAD AFBEC—=— D —=—DFBC DFCE解析:由平分线分线段成比例可知妆看故A选项不成立；由彩发可知BCEbc解析:由平分线分线段成比例可知妆看故A选项不成立；由彩发可知BCEbc选项不成立；由源而可知C选项不成立；D选项成立.故选D.方法总结：应用平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关，关键是线段的对应,可简记为:“上=上上=上工=工”成“上=工

下一下'全一全'全一全”上一下全一99一全.探究点二：平行线分线段成比例的推论的❸如图所示，在△46。中，点仅£分别在46,47边上，DE//BC,若48=3：4,AE=Q,则47等于（ ）解析：由〃£〃及7可得培=笔即|=》."C=8.故选D.易错提醒：在由平行线推出成比例线段的比例式时，要注意它们的相互位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对应的位置上.的I!如图，在△』断的边46上取一点〃，在〃1上取一点反使得4g直线应和比的延长线相交于R求证：群多CPCE解析：本题无法直接证明，分析所要求证的等式中，有BP：CP,又含有BD,故可考虑过点。作外的平行线5便可以构造出汾等此时只需证得。=如即可.证明：如图'过点C作*〃外交用于点E则方=9-=-BPBDVAD=AE, DF=CE,-=7^CPGE方法总结：证明四条线段成比例时，如果图形中有平行线，则可以直接应用平行线分线段成比例的基本事实以及推论得到相关比例式.如果图中没有平行线，则需构造辅助线创造平行条件，再应用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到相关比例式.三、板书设计「基本事实：两条直线被一组平行线所截，平行线八心工 所得的对应线段成比例分线段（,推论：平行于三角形一边的直线与其他成比例I两边相交，截得的对应线段成比例四、教学反思通过教学，培养学生的观察、分析、概括能力，了解特殊与一般的辩证关系.再次锻炼类比的数学思想，能把一个复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.在探索过程中，积累数学活动的经验，体验探索结论的方法和过程,发展学生的合情推理能力和有条理的说理表达能力.23.2相似图形教学目标.了解相似多边形和相似比的概念;.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形；.掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算.教学重难点【教学重点】相似多边形和相似比的概念，根据条件判断两个多边形是否为相似多边形.【教学难点】相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算.教学过程一、情景导入观察以下三组图形，每一组图形的对应边、对应角有什么关系呢？探究点一：相似多边形的判定项I下列图形都相似吗？为什么？（1）所有正方形；（2）所有矩形；（3）所有菱形；（4）所有等边三角形；（5）所有等腰三角形；（6）所有等腰梯形；（7）所有等腰直角三角形；（8）所有正五边形.解析：利用定义判断边数相同的多边形是否相似，要从两方面进行判断：（1）对应角相等；（2）对应边成比例，两者缺一不可.解：（1）相似，因为正方形每个角都等于90°,所以对应角相等，而每个正方形的边长都相等，所以对应边成比例；（2）不一定，虽然矩形的每个角都等于90°,对应角相等，但是对应边不一定成比例，如图①；图① 图②（3）不一定，每个菱形的四条边长都相等，所以两菱形的对应边一定成比例，但是它们的对应角不一定相等，如图②，显然两个菱形的对应角是不相等的；（4）相似，因为每个等边三角形的三条边都相等，所以两个等边三角形的对应边一定成比例，并且对应角都等于60°；（5）不一定，如图③，对应边不成比例，对应角不相等；图③ 图④（6）不一定，如图④，对应边不成比例，对应角不相等；（7）相似，因为等腰直角三角形的三个角分别是45°,45°,90°,所以对应角相等，而且每一个三角形的三边的比都是1：1：事,所以对应边成比例；（8）相似，因为正五边形的各角都等于108°,所以对应角相等，而且正五边形的各边都相等，所以对应边成比例.方法总结：（1）相似多边形的定义也是相似多边形的判定方法，在判定两个多边形相似时，必须同时具备两点：对应角相等，对应边成比例.（2）在说明图形不相似时只需画图举出反例即可.（3）所有边数相等的正多边形都相似.探究点二：相似多边形的性质酮已知四边形4%力与四边形跖6〃相似，试根据图中所给出的数据求出四边形功677和四边形/员力的相似比.解：,四边形力用力与四边形加笫相似，且N4=N£=80°,N.B=/F=75°,

EF63:"B与"是对应边.•元=G=?Ad043四边形班第与四边形力腼的相似比为1方法总结：找准相似多边形的对应边是解决此类问题的关键，方法类似于找全等三角形对应边和对应角的方法.探究点三：相似多边形的应用的❸如图所示，在四边形46。中，AD//BC,EF//BC,跖将四边形46徵分成两个相似四边形力用刀和破汽若4g3,BC=4,求小：必的值.ADFF解析：根据相似多边形的对应边成比例，可得到6=正可以求出)的长，从而可廿BC求力£：功的值.解：因为四边形47%四边形龙5,ADEF所以清而所以EP=AD・仇=3X4=12,所以£F=®=24.因为四边形力碓?s四边形EBCF,所以/£：EB=AD：EF=3：2小=小:2.方法总结：若两个多边形相似，则它们对应的边成比例，根据此特性，可列等式或比例式求解.图②M在16=20m,/g30m的矩形花坛力腼的四周建筑小路.图②国①(1)如果四周的小路的宽均相等，如图①，那么小路四周所围成的矩形/B'CD'和矩形力仇力相似吗？请说明理由；

（2）如果对应着的两条小路的宽均相等，如图②，试问小路的宽x与y的比值是多少时，能使小路四周所围成的矩形/'B'CD'和矩形力腼相似？解析：（1）根据两矩形的对应边是否成比例来判断两矩形是否相似；（2）根据矩形相似的条件列出等量关系式，从而求出x与y的比值.解：（1）矩形4B'假设两个矩形相似，30+2x20+2x解：（1）矩形4B'假设两个矩形相似，30+2x20+2x20解得x=0.30•.•由题意可知，小路宽不可能为0,.•.矩形月'B'CD'和矩形力腼不相似；（2）当x与y的比值为3：2时，小路四周所围成的矩形"B'CD'和矩形力腼相似.理由如下：若矩形B'CD'和矩形力用力相似，r,30+2x20+2y则r,30+2x20+2y则 ，所以号.•.当x与y的比值为3：2时，小路四周所围成的矩形/B'CD'和矩形力阅9相似.方法总结：因为矩形的四个角均是直角，所以在有关矩形相似的问题中，只需看对应边是否成比例，若成比例，则相似，否则不相似.三、板书设计〃相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形相似比：相似多边形对应边的比

相似多边形《性质：相似多边形的对应角相等，对

应边成比例判定：各角分别相等，各边成比例，＜二者缺一不可四、教学反思在探索相似多边形本质特征的过程中，让学生运用“观察一比较一猜想”分析问题，进一步发展学生观察、分析、判断、归纳、类比、反思、交流等方面的能力，提高数学思维水平，体会反例的作用，培养与他人交流、合作的意识和品质.23.3相似三角形第1课时教学目标.了解相似三角形的有关概念；.掌握利用平行线法判定三角形相似；.应用平行线法判定三角形相似来解决问题.教学重难点【教学重点】相似三角形的有关概念，利用平行线法判定三角形相似.【教学难点】平行线法判定三角形相似来解决问题.教学过程一、情境导入如图，在△力比'中，。为边A8上任一点、,悍DE〃BC,交边4C于£,用刻度尺和量角器量一量，判断龙与△46。是否相似.二、合作探究探究点一：相似三角形的有关概念(例U如图所示，已知4OACsOBD,且宓=4,AC—2,OB—2,NC=N〃，求:(1)/\的。和△〃切的相似比；(2)初的长.解析：(D由△刃8△物及nc=/〃，可找到两个三角形的对应边，即可求出相似比；(2)根据相似三角形对应边成比例，可求出川的长.解：(1),:AOAMAOBD,4C=4D,，线段力与线段必是对应边，则△刃。与4,,,M0A42物的相似比为无=2=1；

,、人*ACOAAC'OB2X2(2)V△OAC^△OBD, ,/.BD=———=~■—=1.dUUd (JA4方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法.探究点二：相似三角形的引理［类型一］利用相似三角形的引理判定三角形相似的物如图，在口48co中,r为44延长线上的一点，AB=3BE,应与8。相交于点E请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比.解析：由平行四边形的性质可得：BC//AD,AB//CD,进而可得4EFBsXDFC,再进一步求解即可.解：•四边形力用刀是平行四边形AB//CD,：./\EFB^f\EDA,XEFBsXDFC,:.XDFCsXEDA,':AB=3BE,，相似比分别为1：4,1：3,3：4.方法总结：求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序.［类型二］利用相似三角形的引理求线段的长砸1如图，已知AB〃EF〃CD,力〃与比'相交于点〃⑴如果四=3,EB=9,DF=2,求的长；（2）如果60：龙'：比-2：4：3,46=3,求5的长.解析：（1）根据平行线分线段成比例可求得月夕=6,则（2）根据平行线16〃勿分线段成比例知B0\0E=AB\EF,结合已知条件求得EF=6；同理由EF//切推知）与5之间的数量关系，从而求得徵=10.5.解：（1）；四=解：（1）；四=3,EB=9,：.BC=CE+EB=12.VAB//EF,FOEOc、FOAF二褶国则而=诟又:,,FOEOn.FOFDAFFDAF2 , ,EF//CD,••丽=所则历=匠,'~EB^~EC即豆=勺’.•"「=6,..AD=AF+FD^6+2=8,即助的长是8；(2)'：AB//CD,:.BO：OE=AB：EF.又VBO：OE=2：4,AB=?>,：.EF=6.,：EF//CD,OEEF OE4 EF4 7，定=方；又,：OE：EC=\:3,・••方=5，.9.CD=-EF=10.5,即⑦的长是t/Cz(z〃 C/lzI (z〃i 45.方法总结：运用平行线分线段成比例的基本事实的推论一定要找准对应线段，以防解答错误.三、板书设计.相似三角形的定义及有关概念；.相似三角形的引理.四、教学反思本节课宜采用探究式教学，教师在教学中是学生学习的组织者、引导者、合作者和共同研究者.鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新.上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充.教师与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.第2课时教学目标.理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；.会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题.教学重难点【教学重点】“两角分别相等的两个三角形相似”，分清条件和结论.【教学难点】用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似.教学过程一、情景导入如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？二、合作探究探究点一：两角分别相等的两个三角形相似的II在△48。和△/'B'C中，ZJ=ZJ,=80°,N6=70°,NC'=30°,这两个三角形相似吗？请说明理由.解：△468b'C.理由：由三角形的内角和是180°,得NU180°-ZJ-Z^180°-80°-70°=30°,所以N4=N4,/C=4C.故△［式s△/B'C（两角分别相等的两个三角形相似）.方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可.一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件.探究点二：两角分别相等的两个三角形相似的应用 ”EF已知：如图，△力比1的高应'相交于点求证：-=-77.DrDrAFEF解析：要证明潸无，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△力庆与。是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论.证明：'：BELAC,ADLBC,:./AEF=/BDF=9G.又V4AFE=/BFD,“ “AFEF，△AFEs△BFD,—=—BFDF方法总结：证明比例式，可构造相似三角形，只要证明这两个三角形相似，就可根据相似三角形的对应边成比例得到相关比例式.（例❸如图所示，已知DE//BC,DF//AC,JZ?=4cm,物=8cm,DE—5cm,求线段BF的长.解：方法一：因为DE〃BC,所以N4庞=N8,/AED=/C,所以△4*4械,^,,ADDEan4 5所以犷定即申=而所以BC=15cm.又因为DF//AC,所以四边形力还是平行四边形，所以此'=，、=5cm,所以第=4。一兄-15—5=10(cm).方法二：因为DE〃BC,所以NADE=NB.又因为"'〃47,所以N4=/BOF,所以△/龙s△〃第g、网DE45所以源而即京=而所以班‘=10cm.方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到.三、板书设计相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.四、教学反思感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力.第3课时教学目标.掌握相似三角形的判定定理2和判定定理3；.能熟练运用相似三角形的判定定理2和判定定理3.教学重难点【教学重点】相似三角形的判定定理2和判定定理3.【教学难点】运用相似三角形的判定定理2和判定定理3.教学过程一、情景导入AD AC画与△/B'C,使N4=N7,厂房厂和丁7厂都等于给定的值无设法比ADAC较N8与NF的大小（或NC与NC的大小），/\ABC与丛A'B'C相似吗？二、合作探究探究点一：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的U如图，已知点〃是△力肉的边力。上的一点，根据下列条件，可以得到△ISCsABDC的是（ ）cA.AB・CD=BD*BCB.AC'CB=CA・CDC.Bd=AJDCD.BUCD。DA解析：有两边对应成比例，并不能说明两个三角形相似，若再知道成比例的两边的夹角相等，则这两个三角形才相似.本题中，NC是和△以《的公共角，关键是找出NC的两边对应成比例，即称=第BC=AC,DC.故选C.方法总结：判定两个三角形相似时，应根据条件适当选择方法，如本题已知有一个公共角，而它的两条夹边都能成比例，则应选择判定定理2加以判断.探究点二：三边成比例的两个三角形相似酮已知△月宛的三边长分别为1,小,乖，△〃£下的三边长分别为亚，y/2,2,试判断丛ABC与△颇是否相似.解析：因为已知两个三角形的三边长，所以可以考虑根据三边之间的比例关系来判定两个三角形是否相似.解:因为方=¥=需所以△[a'与尸相似.方法总结：已知两个三角形三边的大小，要判断它们是否相似，关键是通过计算来说明三边是否对应成比例.在相似三角形中，最短（长）边与最短（长）边是对应边，所以在判定两个三角形的三边是否成比例时，应先确定边的大小，以便找准对应关系.探究点三：相似三角形的判定定理2及判定定理3的应用砸1如图甲，小正方形的边长均为1,则乙图中的三角形（阴影部分）与△力比'相似的是哪一个图形？①图甲③图乙①图甲③图乙解析：图中的三角形均为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边是否对应成比例来判断乙图中的三角形与△力比'是否相似.解：由甲图可知力。="针=/，BC=2,AB=yji2+3'=y[w.同理，图①中，三角形的三边长分别为1,乖，2班;同理，图②中，三角形的三边长分别为1,乖,#;同理，图③中，三角形的三边长分别为乖，乖,3；同理，图④中，三角形的三边长分别为2,乖，V13...4 2诉r-,邓”，图②中的三角形与相似.方法总结：（1）各个图形中的三角形均为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度是否成比例来判断两个三角形是否相似；（2）判断三边是否成比例，可以将三角形的三边长按大小顺序排列，然后分别计算他们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似.例I!如图所示，零件的外径为a,要求它的厚度x,需求出内孔的直径力反但不能直接量出力8,现用一个交叉长钳3。和独相等）去量，若/：OC=OB-.OD=n,且量得gb,求厚度x.解析：欲求厚度X,而不=^—,根据题意较易推出△力如s/XC。。，利用相似三角形的对应边成比例，列出关于46的比例式，解之即可.解：因为刃：OC=OB：OD,/AOB=/COD,

而以丛AOBsACOD,,,ABOAr/口故行=万?=n,可得AB~bn,所以x=所以x=a-bn方法总结：当条件中有两边对应成比例时，通常考虑相似三角形的判定定理2,并注意利用图形的隐含条件，如公共角、对顶角.崛如图，在△月3。中，46=8cm,a-16cm,点P从点力开始沿用向点4以lcm/s的速度移动，点。从点3开始沿宛向点。以2cm/s的速度移动.如果点R0同时出发，经过多长时间后△碑与△46。相似？解析：要证明△加与△46。相似，很显然N6为公共角，因此可运用两边对应成比例且夹角相等来得到相似，可根据对应边成比例列方程求解，同时要注意分类讨论.解：设经过-s后，△阳0与△44。相似./\PBQ^/\ABC.此时?解得'=4.即经过4s后△卿与相似;Bpbq（2）当才=元;时，△ws△的.DCDA,,.8—t2t2口此时不~二百'解得2=1.6.即经过1.6s后△阳。与△力笈相似.综上可知，点P,0同时出发，经过1.6s或4s后△加0与a1相似.易错提醒：在点运动的情况下寻找相似的条件，随着点的位置的变化，△侬的形状也会发生变化，因此既要考虑△加应■的情况，还要考虑△阳g△烟的情况.三、板书设计相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.四、教学反思从学生已学的知识入手，通过设置问题，引导学生进行计算、推理和归纳，提高分析问题和解决问题的能力.感受两个三角形相似的判定定理2与全等三角形判定定理(SAS)、两个三角形相似的判定定理3与全等三角形判定定理(SSS)的区别与联系，体会事物间一般到特殊、特殊到一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生与他人交流、合作的意识和品质.第4课时教学目标.理解相似三角形的性质；.会利用相似三角形的性质解决简单的问题.教学重难点【教学重点】相似三角形的性质.【教学难点】用相似三角形的性质解决简单的问题.教学过程一、情境导入两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结论.例如，在图中，△力比'和B'C是两个相似三角形，相似比为〃，其中力〃、A'D'分别为比；B'C边上的高，那么力〃、A'D'之间有什么关系？

A'A'二、合作探究探究点一：相似三角形的性质［类型一］利用相似比求三角形的周长和面积的U如图所示，平行四边形4腼中，£是6。边上一点，&BE=EC,BD、丝相交于F点、.(1)求△弼与△47?的周长之比；⑵若区际•=6cm-,求解析：利用相似三角形的对应边的比可以得到周长和面积之比，然后再进一步求解.解：⑴•.•在平行四边形松⑦中，曲〃闱£AD=BC,：.XBEFs〉AFD.又,：BE=，C,BEBFEF\A 7BE+BF+EF1，而=苏=存=5',"BEF与XAFD的周kN比为万历不诉=］;S.WF1。(2)由(1)可知△应F0△的凡且相似比为3，=(―)-, S△椁=4S△戚=4X6=24cm".方法总结：理解相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决问题的关键.［类型二］利用相似三角形的周长或面积比求相似比酮若4ABCs5B'C,其面积比为1：2,则与△月'B'C的相似比为()A.1：2B./：2C.1：4D./：1解析：as△/B'C,其面积比为1：2, 比1与△/B'C的相似比为1：*=*：2.故选B.方法总结：解决问题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.

［类型三］利用相似三角形的性质和判定进行计算崛如图所示，在锐角三角形力比'中，AD,CE分别为BC,46边上的高，△力优和4以应的面积分别为18和8,应=3,求“'边上的高.解析：求47边上的高，先将高线作出，由△］比的面积为18,求出47的长，即可求出47边上的高. 解：过点8作8RLAC,垂足为点£6cCELAB,ARtA A BDABaBDBEJ AA 邑题△力酒Rt△协.•.犷国即犷函且4PN顺，，△飒M△制.•.0,__8_VAC,__8_VAC-18'又,：DE=3,1.*./IC=4.5.'：S^=~AC'即=18,乙:.BF=&方法总结：解决此类问题，可利用相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方来解答.［类型四］利用相似三角形线段的比等于相似比解决问题的U如图所示，PN//BC,AD1BC交.PN于E,交BC于D.⑴若AP.PB=1-2,S2ak=18,求S〉apn;(2)若&APN・S四边形阳(2)若&APN・S四边形阳G=12,求就值.A解析：（1）由相似三角形面积比等于对应边的平方比即可求解；（2）由科与四边形次V的面积比可得△力/W与△力回的面积比，进而可得其对应边的比.S.APN解：(1)因为/W5C,所以N力丹-N84ANP=4C,XAPMXABC,所以『=5人仍vI1因为"：PB=1：2,所以力尸：48=1：3,又因为5k.=18,所以l=（w）2=q所以S»apn=2；APAE（2）因为外〃园所以/AEP=/ADB,所以被所以方=AdAU

方法总结：利用相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方.［类型五］利用相似三角形的性质解决动点问题硝如图，已知△46。中，4B=5,BC=3,47=4,PQ//AB,0点在47上（与尔C不重合），0点在a1上.J.21J.21

：.CP=~CA=2（1）当的面积是四边形为制面积的3寸，求"的长;（2）当△尸究的周长与四边形必制的周长相等时，求货的长.解析：（1）由于力〃/6,故XPQCsXABC,当△掰。的面积是四边形必制面积的:时,O△敬与△08的面积比为1：4,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出"的长；（2）由于△尸。比；根据相似三角形的性质，可用CF表示出血和。的长，进而可表示出/只制的长.根据△C7W和四边形为60的周长相等，可将相关的各边相加，即可求出夕的长.解：①）•：PQ"AB, △PQC^△ABCt•••£^酸=§5四边形户例）,S^pqc•S^abc=1：4,'•TOC\o"1-5"\h\z/、aaCPCQPQCPCQ3 5②.XPQCsXABC,••R=K>=7B>• ••。=大汉同理可知做=7。°，--CLACdAd4o 4 45 3△g=CP+PQ+CQ=CP+-CP+-CP=3CP,C四娜zw=PA+AB+BQ+PQ=（4一例+AB+,八， ,, 3,5 1 1 7<^-C0）+PQ^^-CP+^+?,--CP+-CP^\2--CP,：A2--CP=3CP,：.~CP=\2,：.i X Lj 乙 乙方法总结：由相似三角形得出线段的比例关系，再根据线段的比例关系解决面积、线段的问题是解题的关键.三、板书设计.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；.相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；.相似三角形的面积的比等于相似比的平方.四、教学反思本节教学过程中，学生们都主动地参与了课堂活动，积极地交流探讨，发现的问题较多：相似三角形的周长比，面积比，相似比在书写时要注意对应关系，不对应时,计算结果正好相反；这两个性质使用的前提条件是相似三角形等等.同学们讨论非常激烈，本节课堂教学取得了明显的效果.第5课时教学目标.运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.教学重难点【教学重点】用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.【教学难点】直用三角形相似的知识解决实际问题.教学过程一、情境导入胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”.在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗？二、合作探究探究点：相似三角形的应用［类型—］利用影子的长度测量物体的高度南U如图，某一时刻一根2nl长的竹竿）的影长为1.2m,此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端6在地面上的影子点〃与6到垂直地面的落点。的距离是3.6m,求树力6的长.用含30度的直角三角形三边的关系即可得到46的长.BeefBC2解：如图，CZ2=3.6m,'：/XBDC^/XFGE, 即；6m.在RtAC/ZzL/ZJ。J.♦乙4比1中，VZ/f=30°,：.AB=2BC=\2^,即树长48是12m.方法总结：解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题.利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解.［类型二］利用镜子的反射测量物体的高度领小红用下面的方法来测量学校教学大楼4?的高度.如图，在水平地面点£处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离力£=20m.当她与镜子的距离32.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.己知她的眼睛距地面高度DC=\.6m,请你帮助小红测量出大楼18的高度（注：入射角=反射角）.解析：根据物理知识得到/岫=/〃£&所以可得△劭再根据相似三角形的性质解答.解：如图，•.•根据光的反射定律知/眄1=/庞。，,:/BAE=/DCE=90°,：./\BAEAABAE AB20 -js△〃圆 VCX'=2.5m,〃C=1.6m,，46=12.8,大楼46DCEC l.b2.5的高度为12.8m.方法总结：解本题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程.解题时要灵活运用所学各学科知识.［类型三］利用标杆测量物体的高度崛如图,某一时刻,旗杆4?影子的一部分在地面上,另一部分在建筑物的墙面上.小明测得旗杆43在地面上的影长比为9.6m,在墙面上的影长⑦为2m.同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度.解析：根据在同一时刻物高与影长成正比例，利用相似三角形的对应边成比例解答即可.解：如图，过点〃作庞〃比；交AB于E,：.DE=CB=^.6m,BE=CD=2m,\,在同一时刻物高与影长成正比例，，刈：ED=\：1.2,：.AE=8m,：.AB=A£+EB=8+2=10m,学校旗杆的高度为10m.方法总结：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆（或直尺）的高（长）作为三角形的边构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.［类型四］利用相似三角形的性质设计方案测量高度硒1星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：'’这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度（画出示意图），并说明理由.解析：设计相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可.在距离纪念碑4?的地面上平放一面镜子自人退后到〃处，在镜子里恰好看见纪念碑顶4若人眼距地面距离为CD,测量出口、DE、物的长，就可算出纪念碑16的高.解：设计方案例子：如图，在距离纪念碑的地面上平放一面镜子反人退后到〃处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD,测量出CD、DE、砥的长，就可算出纪念碑46的高.理由：测量出CD、DE、用的长，因为4CED=/AEB,/D=/B=90°,易得AABEsXCDE.根据窄=等即可算出4月的高.方法总结：解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，将实际问题抽象出数学问题求解.三、板书设计.利用相似三角形测量物体的高度；.利用相似三角形测量河的宽度；.设计方案测量物体高度.四、教学反思通过本节知识的学习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学生对相似三角形的理解和认识.基本达到了预期的教学目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题.23.4中位线教学目标.掌握中位线的定义以及中位线定理；.综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题.教学重难点【教学重点】中位线的定义以及中位线定理.【教学难点】用平行四边形的判定及中位线定理解决问题.教学过程一、情境导入A如图所示，吴伯伯家有一块等边三角形的空地46G已知点eb分别是边46,4。的中点，量得加'=5米，他想把四边形6。叨用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？二、合作探究探究点：三角形的中位线［类型一］利用三角形中位线定理求线段的长的U如图，在胸中，D、£分别为47、%的中点，力6平分NO8交应于点£若以=3,则力。的长为（）c3A.~B.3C.6D.9解析：,:D、£分别为47、8。的中点，：.DE//AB,，N2=N3,又6平分N。8Z1=Z3,.,.Z1=Z2,:.AD=DF=3,."仁210=6.故选C.方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质.解题的关键是熟记性质并熟练应用.［类型二］利用三角形中位线定理求角的物如图，C、〃分别为口、旗的中点，N£=30°,N1=UO°，则N2的度数为()A.80°B.90°C.100°D.110°解析：•.•「、〃分别为劭、用的中点，.'.a?是三角形£46的中位线，...5〃46,.•./2=N£OZ：N1=110°,N£=30°,：./ECD=8G°,故选A.方法总结：中位线定理牵扯到平行线，所以利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题.［类型三］运用三角形的中位线性质进行证明崛如图，在△力比'中，46=5,AC=3,点N为8。的中点，4V平分/刃。，CMLAM,垂足为点机延长以/交48于点〃，求腑的长.解析：为证腑为△腼的中位线，应根据三线合一，得到〃仁胱；即可解决问题.解：..3材平分/的。，CMLAM,：.AD^AC=?,,DM=CM.,：BN=CN,:.MN为丛BCD的中位线，.,.W=^(5—3)=1.方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点.如已知一个三角形一边上的高又是这边所对的角平分线时，根据“三线合一”可知，这实际上是又告诉了我们一个中点.［类型四］中位线定理的综合应用的I!如图，£为平行四边形抽⑦中a'边的延长线上一点，豆CE=DC,连接倒分别交必BD于点、F、G,连接〃'交班于。，连接的判断46与必'的位置关系和大小关系，并证明你的结论.B F\_/CE解析：本题可先证明从而得出第=5这样就得出了利是的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段如与线段48的关系.解：AB=20F.证明如下：•.•四边形力腼是平行四边形，，四=微OA=OC.，4BAF=4CEF,4ABF=4ECFJ：CE=DC,在平行四边形1腼中，CD=AB,:.AB=CE.：.在AABF和AECF(/BAF=/CEF,中，<AB=CE, :.丛ABM4ECF(除：.BF=CF.'：OA=OC,.'.师是△月宛的>4ABF=4BCE,中位线，:.AB=20F,AB//OF.方法总结：本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出如是的中位线.三、板书设计.三角形的中位线连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的中位线..三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.四、教学反思本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证.在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机.对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.23.5位似图形教学目标.了解位似多边形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别；.掌握位似图形的性质，会画位似图形；.会利用位似将一个图形放大或缩小.教学重难点【教学重点】位似多边形及其有关概念，位似与相似的联系和区别，位似图形的性质.【教学难点】利用位似将一个图形放大或缩小.教学过程一、情景导入生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的.观察下图，图中有相似的多边形吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？二、合作探究探究点一：位似多边形的U如图所示，指出下列各图中两个图形是否是位似图形？若是，请指出位似中心.(1) (2) (3) (4)解：(1)(2)(4)三图中的两图形都是位似图形，位似中心分别为4,P,P.方法总结：解决此类题的关键是首先要判断两个图形是不是相似图形，然后再找出对应点，作出几对对应点所在的直线，观察是否经过同一个点.若两个图形是相似图形，且所作的直线经过同一个点，则这两个图形是位似图形，据此可判断(1)(2)(4)是位似图形，(3)不是位似图形.探究点二：位似多边形的性质

的物如图所示，△46。与△/'B'C关于点0位似,6。=3,B'用6.（1）若〃^5,求小C的长；（2）若的面积为7,求△/B'C的面积.4解：（1）因为△力比'与△力'B'C是位似图形，位似比为必：OB'=3：6=1：=10；所以/1=4即万=10；£1 0乙11OLJ（2）根据题意，得言二=（/=）2=；，7 1即W =T>所以Sfkc=7X4=28.〉△水 4方法总结：位似多边形是一种特殊的相似图形，图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比，可利用相似三角形的性质解决有关问题.探究点三：位似多边形的画法崛（1）如图甲，在位似中心点。的异侧，作出已知四边形4腼的位似图形7B,CD',使四边形"B'CD'与四边形力腼的相似比为2：3；（2）如图乙，已知五边形力6Q均，在位似中心点。的同侧作五边形力比作的位似图形"B'CD'F,使五边形/B'CD'E'与五边形4比庇的相似比为1：3；（3）如图丙，已知六边形ABCDEF,位似中心点。在46边上，在点。的另一侧作位似图形7B'CD'E'夕'，使六边形，B'CD'E'F与六边形/比阳='的相似比为1：2.图甲 图乙图甲 图乙 图丙解：（1）画法如下：①分别连接如，OB,OC,勿并反向延长；qa'np'②分别在力。，BO,CO,〃。的延长线上截取出'，OB',0C,0D',使f左UAUD_0C___Off___2=0C=OD=T③顺次连接/B',B'C,CD',D'A'.四边形7B'CD'就是所求作的四边形；（2）画法如下：①分别连接的，OB,OC,OD,0E-,ob'

②分别在AO,BO,CO,DO,应'上截取0A',OB',0C,OD',OE',使f=f

UAUd_0C___ODf___0E^___1=0C=0D=OE=N③顺次连接/B',B'C,C〃'，〃'£',E'A'.五边形4'B'CD'E'就是所求作的五边形；（3）画法如下：①分别连接力。，BO,CO,DO,EO,60并延长；②分别在4。，BO,CO,DO,E0,内。的延长线上截取/'，OB',0C,OD',OE',z,^0A'OB'0COD'OE'OP1区的OB0CODOE0F2、③顺次连接/B',B'C,CD',D'E',E'F1,A'.六边形/夕CD'E'F就是所求作的六边形.方法总结：（1）画位似图形时，要注意相似比，即分清楚是已知原图与新图的相似比，还是新图与原图的相似比.（2）画位似图形的关键是画出图形中顶点的对应点.画图的方法大致有两种：一是每对对应点都在位似中心的同侧；二是每对对应点都在位似中心的两侧.（3）若没有指定位似中心的位置，则画图时位似中心的取法有多种,对画图而言，以多边形的一个顶点为位似中心时，画图最简便.三、板书设计位似多边形V及其性质〃定义：一位似多边形V及其性质「①两个图形相似点0,且有CTOP(A^O),那么这样的两个多边形叫做位似多边形「①两个图形相似性质，③任意一对对应点到位似中心的距性质，③任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比作位似图形：关键是确定位似中心、相似比和

找关键点的对应点四、教学反思位似是相似图形的延伸和深化.经历位似图形的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，培养学生动手操作的能力，体验学习的乐趣.位似图形在实际生产和生活中有着广泛的应用，通过现实情境，进一步发展学生从数学角度提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的联系.23.6图形与坐标第1课时教学目标.了解用平面直角坐标系和方位来表示物体间的位置的意义；.利用坐标表示物体间的位置；.建立适当的直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题.教学重难点【教学重点】用平面直角坐标系和方位来表示物体间的位置的意义，用坐标表示物体间的位置.【教学难点】建立适当的直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题.教学过程一、情境导入

“怪兽吃豆”是一种计算机游戏，如图所示的标志表示“怪兽”先后经过的几个位置.如果用（1,2）表示“怪兽”按图中箭头所指路线经过的第三个位置，那么你能用同样的方式表示图中“怪兽”经过的其他几个位置吗？二、合作探究探究点一：建立适当的平面直角坐标系颐I如图是某公园景点的平面图仕匕例尺为1:10000）,请建立适当的平面直角坐标系，用坐标分别表示各建筑的位置., 北钓售门.动物馆f・碰碰车打靶场广场■解析：根据“利于点的坐标表示”的原则，选广场为原点比较适当，其他各地与广场的水平距离和垂直距离都相对较小.解：如图，以广场为原点，正东方向为X轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系.测量出碰碰车距广场的图上距离为1.5cm,根据比例尺实际距离为150m,以1m为一个单位长度，图中各地的坐标为广场（0,0）,打靶场（一150,75）,钓鱼台（一75,225）,碰碰车（0,150）,动物馆（75,225）.\y北钓隼鱼—/动物馆ti15a碰可车打靶场t打靶场t I75广场-150-75O75150x-75方法总结：利用平面直角坐标系，绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；（3）在坐标平面内描出这些点，确定出各点的坐标和各个地点的名称.注意：在构建直角坐标系时，一般选水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，或向东为x轴正方向，向北为y轴正方向.探究点二：用方向、距离描述位置的的如图所示是小明家附近的简单地图.已知04=2cm,0B—2.5cm,。产=4cm,C为8的中点.回答下列问题（“0”处表示小明家）：商场停车场（1）图中到小明家距离相等的是哪些地方？（2）图中商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么位置？解析：首先根据图形确定方向，然后再在对应射线上确定距离.解：（1）学校和公园；（2）图中商场在小明家北偏西30°方向2.5cm处，学校在小明家北偏东45°方向（或东北方向）2cm处，公园在小明家南偏东60°方向2cm处，停车场在小明家南偏东60°方向4cm处.方法总结：（1）用方向和距离表示物体位置时必须选定一个统一的参照物，同时也要一对数，这对数是相对于参照物的方位和距离；（2）用方向和距离确定物体位置时要考虑方向在前、距离在后的顺序.三、板书设计利用直角坐标系和方位描述物体间的位置.建立适当的平面直角坐标系表示平面内点的位置；.用方向、距离描述位置.四、教学反思将现实生活中常用的定位方法呈现给学生，进一步丰富学生的数学活动经验，培养学生观察、分析、归纳、概括的