《大学物理》牛顿运动定律及其应用课件

第2章质点动力学2.1牛顿运动定律及其应用2.2惯性系力学相对性原理2.3功和能2.4功能原理与机械能守恒定律2.5动量定理与动量守恒定律质点动力学主要研究引起物体运动状态变化的原因和由此引发的效果。第2章质点动力学2.1牛顿运动定律及其应用质点动力学主12.1.1牛顿运动定律

任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。注意：牛顿第一定律提出两个力学基本概念：惯性和力1.牛顿第一定律第一定律指出，任何物体都有保持其运动状态不变的性质，这个性质叫做惯性（其大小用质量量度）。所以第一定律也成为惯性定律。第一定律还表明，正是由于物体具有惯性，所以要使物体运动状态发生变化，一定要有其它物体对它作用，这种作用称之为力。另一表述：自由物体的运动状态永不改变2.1牛顿运动定律及其应用2.1.1牛顿运动定律任何物体都要保持其静止或匀速直22.牛顿第二定律：

理解：A.牛顿第二定律是实验定律B.给出了质量是惯性的量度以及力的量度C.牛顿第二定律的瞬时性、矢量性、独立性。瞬时性：力和加速度同时存在，同时消失。

独立性：每个力对物体产生的加速度，与是否存在别的力无关或：多个力对同一物体产生的加速度，等于每一个力单独对物体产生的加速度的矢量和。矢量性：牛顿第二定律满足矢量的合成与分解。直角坐标系：自然坐标系：2.牛顿第二定律：理解：A.牛顿第二定律是实验定律B.给33.牛顿第三运动定律：两物体间的相互作用力总是等值反向，且在同一直线上。F1–2F2–1又称为：作用力与反作用力定律3.牛顿第三运动定律：两物体间的相互作用力总是等值反向，且在42.1.2常见的几种力1.万有引力、重力：质量为m1和m2的两个质点相距为r，则这两个质点之间存在相互吸引力，大小为：

称为万有引力由于万有引力常数的数量级很小，所以一般物体间的万有引力极其微弱．其中称为万有引力常数例如，地球上相距一米的两个人之间的引力不足所以地球表面物体主要是受地球的吸引力，也就是重力（Ｐ）：所以重力加速度为：式中ｍ，Ｍ分别是物体和地球的质量，Ｒ为地球半径2.1.2常见的几种力1.万有引力、重力：52.弹性力：当两个物体相互接触发生形变时，物体因形变而产生的恢复力称为弹性力。弹性力产生的先决条件是弹性形变，弹性力的大小取决于形变的程度。弹性力的表现形式有很多种，常见的弹性力有：弹簧被拉伸或压缩时产生的弹簧弹性力；绳索被拉紧时产生的张力；重物放在支承面上产生的正压力（作用于支承面）和支持力（作用于物体上）等均为弹性力。2.弹性力：63.摩擦力：

两个相互接触的物体在沿接触面有相对滑动时，或者有相对滑动的趋势时，在接触面之间会产生一对阻止相对运动的力，叫做摩擦力。

(1)相互接触的两个物体在外力作用下，有相对滑动的趋势但尚未产生相对滑动，这时的摩擦力叫静摩擦力。静摩擦力沿接触面作用并与相对运动趋势相反。静摩擦力的大小视外力大小而定，介于零和最大静摩擦力之fS间，实验证明，最大静摩擦力正比于正压力N，即(2)当外力超过最大静摩擦力时，物体间产生相对滑动，这时的摩擦力叫做滑动摩擦力。滑动摩擦力的方向总是与物体相对运动的方向相反，实验证明，滑动摩擦力也与正压力N成正比，即*在相对速度不太大时，为计算简单起见，可认为滑动摩擦系数略小于静摩擦系数,在一般计算时，除非特别指明，可认为它们是相等的。

叫做静摩擦系数，它与接触面的材料和表面状况有关。叫做滑动摩擦系数，它也与接触面的材料和表面状况有关，还与两接触物体的相对速度有关。3.摩擦力：*在相对速度不太大时，为计算简单起见，可认为滑动72.1.3牛顿定律应用牛顿运动定律解决动力学问题一般可分为两类：一类是已知运动求力，另一类是已知力求运动，即微分法和积分法的应用。这些式子既体现了力的叠加原理，也体现了运动的叠加原理。

式（2-2）是牛顿第二定律的矢量式。实际应用常用到分量式。如：或者：应用牛顿第二定律常用的分析方法与步骤：定对象——查受力——看运动——列方程2.1.3牛顿定律应用式（2-2）是牛顿第二定律的矢量式。实8例2-1一滑轮组如图2-1，A为定滑轮，B为动滑轮，绳子不能伸长，。滑轮组及绳的质量、轴的摩擦均可忽略。

求：(1)重物的加速度;(2)绳中的张力(3)定滑轮轴承的支反力图2-1的受力如图，设的加速度为，

绳子的张力为，则的加速度为

对有：对有：解：解得：定滑轮轴承的支撑反力

例2-1一滑轮组如图2-1，A为定滑轮，B为动滑轮，绳子9例2-2质量为m的小船在平静的水面上以速度v0航行。以小船关闭发动机为计时起点，设水的阻力和小船的速度之间的关系是求：1.发动机关闭后小船的速率与时间的关系以及小船的运行时间；2.发动机关闭后小船的速率和通过的路程之间的关系,以及小船到停止时行驶的全部路程；3.在小船的速率减少到初速的1/n时间内的平均速率。（其中r是常量）解：（1）小船共受到三个力的作用：阻力、重力和浮力，重力和浮力为一对平衡力，不改变小船的运动状态，故只有阻力对小船的运动状态产生影响。分离变量并两边积分，注意两边积分的上下限对应，可得：

当v=0时的时刻即为航行时间实际上当t远大于时，V趋于0。例2-2质量为m的小船在平静的水面上以速度v0航行。以小船10（2）由此步骤为关键，因为求速率与路程的关系，所以让式子中出现ds，并消去dt分离变量，并两边积分，注意到时，；时，故得：

v=0时的S即为全部路程，则全部路程为：

因为（2）由此步骤为关键，因为求速率与路程的关系，所以让式子中11（3）设时所经历的时间为t’，则有：

0——t’时间内船行驶的路程：

（3）设时所经历的时间为t’，则有：12解：对小球进行受力分析例2-3已知小球质量为水对小球的浮力为B，水对小球运动的粘滞阻力为，式中的是与水的粘滞性、小球的半径有关的常数，计算小球在水中竖直沉降的速度。取向下为正方向，由牛顿第二定律：设时，小球初速度为零，此时加速度有最大值当小球速度逐渐增加时，加速度逐渐减小，当增加到足够大时，趋近于零此时趋近于一个极限速度，称为收尾速度，用表示，令解：对小球进行受力分析例2-3已知小球质量为水对小13于是有对上式积分得小球沉降速度随变化的函数关系分析：当时，；而当时，时，就可以认为，小球即以收尾速度匀速下降于是有对上式积分得小球沉降速度随变化的函数关14解：，小球位于最低点，速率为，在时刻，小球位于点轻绳与铅直线成此时小球受力为：重力、绳拉力，根据牛顿第二定律有：法向加速度切向加速度例2-3长为的轻绳，一端系质量为的小球，另一端系于定点，开始时小球处于最低位置。若使小球获得如图所示的速度，小球将在铅直平面内做圆周运动，求小球在任一位置时的速率及绳的张力。选取自然坐标系，过点与速度同向的切线方向为轴，过点指向圆心的法线方向为轴，则分量式为：解：，小球位于最低点，速率为15由角速度定义以及角速度与线速度之间关系，得到：于是得到：将上式积分代入初始条件：小球在从最低点向上升的过程中，绳对小球的张力随角度增大而减小，到达最高点张力最小小球在从最低点向下降的过程中，张力逐渐增大，到达最低点张力最大分析：小球速率与位置有关，在之间，速率随角度增大而减小；在之间速率随角度增大而增大。做变速率圆周运动。由角速度定义16例2-5在半径为R的固定于桌面上的光滑半球面顶点A处放一质量为m的小物体。物体由静止开始沿球面滑下。如图2-4（a）所示。求物体开始离开球面的角位置图2-4物体在球面上下滑解：研究对象是质量为m的小物体。取它下滑过程中，在离开球面C处之前的任意一个位置B，分析其受力情况。小物体可视为质点、空气阻力忽略，球面光滑，没有摩擦。在B点它只受到两个力的作用：重力mg和支承力N，它们的方向如图2-4（b）所示。这两个力的合力使它在AC圆弧上作变速圆周运动。根据牛顿第二运动定律在法向与切向的分量式得：可以列出法向、切向运动方程分别为

例2-5在半径为R的固定于桌面上的光滑半球面顶点A处放一质17小物体离开球面时候，。则有

由于未知数多于方程数不可解，为此先设法消去ｔ，由（2-13）得：从而只剩下变量v、，分离变量并两边积分得：代入（2-12）得：简化得：所以小物体离开球面时候，。则有由于未知数多于方程数不可18动力学两类问题v((r求已知或及0t时的r0和v0F((va((v例如牛顿运动定律将质点运动规律进一步与力联系起来，属动力学问题。质点动力学中也有两类基本问题已知求质量为的质点运动学方程mr()tr所受合外力F()am第一类质量为的m质点受力情况及初始条件质点的运动规律v()r等()tr,v()t或第二类求导2addtr2一般方法积分按具体情况分离变量求积mdtdvF((vmF((vdvtd0tv0v求得v((tv((ttd0tr0rdr动力学两类问题v((r求已知或及0t时的r0和v0F((va19续练习一已知平面上运动运动规律质点质量mXYyxBtAwsincostwABw为常数练习一在三、常用的分析方法与步骤定对象查受力看运动列方程四、随堂练习xa2ddtx22ddt2()tAwsinAtwsinw2ya2ddt22ddt2()ytwcosBtww2BcosmxamAtwsinw2yFxFmamtww2yBcos求作用于质点的力F((r解法提要)xFFxyFij+(mw2twsinAi+twcosBjmw2(i+yj)mw2rrFF

恒与

r

反向匀角速椭圆运动XYOBAmwFFxi+结果图示yFj)(mw2A+twcosBjtwsinixmw2(i+yj)mw2r续练习一已知平面上运动运动规律质点质量mXYyxBtAwsi20随堂练习二练习二mvX0已知停机时船速0，阻力kFrv问船还能走多远？xddtmvFrkvkddtxdmdvk得xdx0v0dvmk0止mkv0x止x止v0v0Xxvmkv0xv停机后船沿X正向运动，阻力与船速方向相反。关键是要找到船速与位置的关系，vx即从vv00x从0时x止解法提要随堂练习二练习二mvX0已知停机时船速0，阻力kFrv问船还21随堂练习三需要将速度是时间的函数转换成速度是坐标的函数去求解d(0.5

v

)2dxdvdtdxdtdvdxvdvdxd(2.5+

0.5

v

)2dx即()+v01255202d(2.5+

0.5

v

)2dx()+v01255202d(2.5+

0.5

v

)2dxx02510积分得x102×ln(2.5+0.5v2)2510179(m)解法提要mdvdt设列车质量为FF总则总阻力dvdtFF单位质量受总阻力FF总()+v01255202mmt0v=25m/s；关电门时x=0，00v=10m/s时x=？，行进中的电气列车，每千克受阻力与车速的关系为FFXXv已知FF()+v01255202N当车速达25m/s时运行多远，车速减至10m/s求关电门F练习三随堂练习三需要将速度是时间的函数转换成速度是坐标的函数去求解22随堂练习四xvddttdxvd0xdx0Fm2tt20tdtx0F6mtt3ddtF由mv有tt0Fmddtvdvtt0Fmdt0dvt0Fmdtv0ttv0Fm2tt2解法提要0F0tFttt0Fm2t0x6vtt0Fm2t0XX某电车启动过程某电车启动过程牵引力牵引力ttFFtt0F0Fm0Ft启动时间及均为常数t0时vx00求v()txt(),练习四随堂练习四xvddttdxvd0xdx0Fm2tt20tdt23练习五：质量为m=10Kg，长l=40cm的链条，放在光滑的水平桌面上，其一端系一细绳，通过滑轮悬挂着质量为m1=10Kg的物体，开始时l1=l2=20cm<l3，速度为零。设绳不伸长，轮、绳的质量和轮轴及桌沿的摩擦不计，求当链条全部滑到桌上时，系统的速度和加速度。l2图2-5l1l3Tmmgy/lm1gTy解：选坐标及受力分析如图。据牛顿第二定律，有：由1，,代入2得练习五：质量为m=10Kg，长l=40cm的链条，放在光滑的24由3，由3，25练习六：质量m为10Kg的木箱放在地面上，在水平拉力F的作用下由静止开始沿直线运动，其拉力随时间是变化关系如图2—4所示。已知木箱与地面间的摩擦系数为0.2，求t为4s和7s时，木箱的速度大小。（g=10m/s2）F（N）70430t(s)Ff解：练习六：质量m为10Kg的木箱放在地面上，在水平拉力F的作26本章习题本章习题27第2章质点动力学2.1牛顿运动定律及其应用2.2惯性系力学相对性原理2.3功和能2.4功能原理与机械能守恒定律2.5动量定理与动量守恒定律质点动力学主要研究引起物体运动状态变化的原因和由此引发的效果。第2章质点动力学2.1牛顿运动定律及其应用质点动力学主282.1.1牛顿运动定律

任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，直到外力迫使它改变运动状态为止。注意：牛顿第一定律提出两个力学基本概念：惯性和力1.牛顿第一定律第一定律指出，任何物体都有保持其运动状态不变的性质，这个性质叫做惯性（其大小用质量量度）。所以第一定律也成为惯性定律。第一定律还表明，正是由于物体具有惯性，所以要使物体运动状态发生变化，一定要有其它物体对它作用，这种作用称之为力。另一表述：自由物体的运动状态永不改变2.1牛顿运动定律及其应用2.1.1牛顿运动定律任何物体都要保持其静止或匀速直292.牛顿第二定律：

理解：A.牛顿第二定律是实验定律B.给出了质量是惯性的量度以及力的量度C.牛顿第二定律的瞬时性、矢量性、独立性。瞬时性：力和加速度同时存在，同时消失。

独立性：每个力对物体产生的加速度，与是否存在别的力无关或：多个力对同一物体产生的加速度，等于每一个力单独对物体产生的加速度的矢量和。矢量性：牛顿第二定律满足矢量的合成与分解。直角坐标系：自然坐标系：2.牛顿第二定律：理解：A.牛顿第二定律是实验定律B.给303.牛顿第三运动定律：两物体间的相互作用力总是等值反向，且在同一直线上。F1–2F2–1又称为：作用力与反作用力定律3.牛顿第三运动定律：两物体间的相互作用力总是等值反向，且在312.1.2常见的几种力1.万有引力、重力：质量为m1和m2的两个质点相距为r，则这两个质点之间存在相互吸引力，大小为：

称为万有引力由于万有引力常数的数量级很小，所以一般物体间的万有引力极其微弱．其中称为万有引力常数例如，地球上相距一米的两个人之间的引力不足所以地球表面物体主要是受地球的吸引力，也就是重力（Ｐ）：所以重力加速度为：式中ｍ，Ｍ分别是物体和地球的质量，Ｒ为地球半径2.1.2常见的几种力1.万有引力、重力：322.弹性力：当两个物体相互接触发生形变时，物体因形变而产生的恢复力称为弹性力。弹性力产生的先决条件是弹性形变，弹性力的大小取决于形变的程度。弹性力的表现形式有很多种，常见的弹性力有：弹簧被拉伸或压缩时产生的弹簧弹性力；绳索被拉紧时产生的张力；重物放在支承面上产生的正压力（作用于支承面）和支持力（作用于物体上）等均为弹性力。2.弹性力：333.摩擦力：

两个相互接触的物体在沿接触面有相对滑动时，或者有相对滑动的趋势时，在接触面之间会产生一对阻止相对运动的力，叫做摩擦力。

(1)相互接触的两个物体在外力作用下，有相对滑动的趋势但尚未产生相对滑动，这时的摩擦力叫静摩擦力。静摩擦力沿接触面作用并与相对运动趋势相反。静摩擦力的大小视外力大小而定，介于零和最大静摩擦力之fS间，实验证明，最大静摩擦力正比于正压力N，即(2)当外力超过最大静摩擦力时，物体间产生相对滑动，这时的摩擦力叫做滑动摩擦力。滑动摩擦力的方向总是与物体相对运动的方向相反，实验证明，滑动摩擦力也与正压力N成正比，即*在相对速度不太大时，为计算简单起见，可认为滑动摩擦系数略小于静摩擦系数,在一般计算时，除非特别指明，可认为它们是相等的。

叫做静摩擦系数，它与接触面的材料和表面状况有关。叫做滑动摩擦系数，它也与接触面的材料和表面状况有关，还与两接触物体的相对速度有关。3.摩擦力：*在相对速度不太大时，为计算简单起见，可认为滑动342.1.3牛顿定律应用牛顿运动定律解决动力学问题一般可分为两类：一类是已知运动求力，另一类是已知力求运动，即微分法和积分法的应用。这些式子既体现了力的叠加原理，也体现了运动的叠加原理。

式（2-2）是牛顿第二定律的矢量式。实际应用常用到分量式。如：或者：应用牛顿第二定律常用的分析方法与步骤：定对象——查受力——看运动——列方程2.1.3牛顿定律应用式（2-2）是牛顿第二定律的矢量式。实35例2-1一滑轮组如图2-1，A为定滑轮，B为动滑轮，绳子不能伸长，。滑轮组及绳的质量、轴的摩擦均可忽略。

求：(1)重物的加速度;(2)绳中的张力(3)定滑轮轴承的支反力图2-1的受力如图，设的加速度为，

绳子的张力为，则的加速度为

对有：对有：解：解得：定滑轮轴承的支撑反力

例2-1一滑轮组如图2-1，A为定滑轮，B为动滑轮，绳子36例2-2质量为m的小船在平静的水面上以速度v0航行。以小船关闭发动机为计时起点，设水的阻力和小船的速度之间的关系是求：1.发动机关闭后小船的速率与时间的关系以及小船的运行时间；2.发动机关闭后小船的速率和通过的路程之间的关系,以及小船到停止时行驶的全部路程；3.在小船的速率减少到初速的1/n时间内的平均速率。（其中r是常量）解：（1）小船共受到三个力的作用：阻力、重力和浮力，重力和浮力为一对平衡力，不改变小船的运动状态，故只有阻力对小船的运动状态产生影响。分离变量并两边积分，注意两边积分的上下限对应，可得：

当v=0时的时刻即为航行时间实际上当t远大于时，V趋于0。例2-2质量为m的小船在平静的水面上以速度v0航行。以小船37（2）由此步骤为关键，因为求速率与路程的关系，所以让式子中出现ds，并消去dt分离变量，并两边积分，注意到时，；时，故得：

v=0时的S即为全部路程，则全部路程为：

因为（2）由此步骤为关键，因为求速率与路程的关系，所以让式子中38（3）设时所经历的时间为t’，则有：

0——t’时间内船行驶的路程：

（3）设时所经历的时间为t’，则有：39解：对小球进行受力分析例2-3已知小球质量为水对小球的浮力为B，水对小球运动的粘滞阻力为，式中的是与水的粘滞性、小球的半径有关的常数，计算小球在水中竖直沉降的速度。取向下为正方向，由牛顿第二定律：设时，小球初速度为零，此时加速度有最大值当小球速度逐渐增加时，加速度逐渐减小，当增加到足够大时，趋近于零此时趋近于一个极限速度，称为收尾速度，用表示，令解：对小球进行受力分析例2-3已知小球质量为水对小40于是有对上式积分得小球沉降速度随变化的函数关系分析：当时，；而当时，时，就可以认为，小球即以收尾速度匀速下降于是有对上式积分得小球沉降速度随变化的函数关41解：，小球位于最低点，速率为，在时刻，小球位于点轻绳与铅直线成此时小球受力为：重力、绳拉力，根据牛顿第二定律有：法向加速度切向加速度例2-3长为的轻绳，一端系质量为的小球，另一端系于定点，开始时小球处于最低位置。若使小球获得如图所示的速度，小球将在铅直平面内做圆周运动，求小球在任一位置时的速率及绳的张力。选取自然坐标系，过点与速度同向的切线方向为轴，过点指向圆心的法线方向为轴，则分量式为：解：，小球位于最低点，速率为42由角速度定义以及角速度与线速度之间关系，得到：于是得到：将上式积分代入初始条件：小球在从最低点向上升的过程中，绳对小球的张力随角度增大而减小，到达最高点张力最小小球在从最低点向下降的过程中，张力逐渐增大，到达最低点张力最大分析：小球速率与位置有关，在之间，速率随角度增大而减小；在之间速率随角度增大而增大。做变速率圆周运动。由角速度定义43例2-5在半径为R的固定于桌面上的光滑半球面顶点A处放一质量为m的小物体。物体由静止开始沿球面滑下。如图2-4（a）所示。求物体开始离开球面的角位置图2-4物体在球面上下滑解：研究对象是质量为m的小物体。取它下滑过程中，在离开球面C处之前的任意一个位置B，分析其受力情况。小物体可视为质点、空气阻力忽略，球面光滑，没有摩擦。在B点它只受到两个力的作用：重力mg和支承力N，它们的方向如图2-4（b）所示。这两个力的合力使它在AC圆弧上作变速圆周运动。根据牛顿第二运动定律在法向与切向的分量式得：可以列出法向、切向运动方程分别为

例2-5在半径为R的固定于桌面上的光滑半球面顶点A处放一质44小物体离开球面时候，。则有

由于未知数多于方程数不可解，为此先设法消去ｔ，由（2-13）得：从而只剩下变量v、，分离变量并两边积分得：代入（2-12）得：简化得：所以小物体离开球面时候，。则有由于未知数多于方程数不可45动力学两类问题v((r求已知或及0t时的r0和v0F((va((v例如牛顿运动定律将质点运动规律进一步与力联系起来，属动力学问题。质点动力学中也有两类基本问题已知求质量为的质点运动学方程mr()tr所受合外力F()am第一类质量为的m质点受力情况及初始条件质点的运动规律v()r等()tr,v()t或第二类求导2addtr2一般方法积分按具体情况分离变量求积mdtdvF((vmF((vdvtd0tv0v求得v((tv((ttd0tr0rdr动力学两类问题v((r求已知或及0t时的r0和v0F((va46续练习一已知平面上运动运动规律质点质量mXYyxBtAwsincostwABw为常数练习一在三、常用的分析方法与步骤定对象查受力看运动列方程四、随堂练习xa2ddtx22ddt2()tAwsinAtwsinw2ya2ddt22ddt2()ytwcosBtww2BcosmxamAtwsinw2yFxFmamtww2yBcos求作用于质点的力F((r解法提要)xFFxyFij+(mw2twsinAi+twcosBjmw2(i+yj)mw2rrFF

恒与

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反向匀角速椭圆运动XYOBAmwFFxi+结果图示yFj)(mw2A+twcosBjtwsinixmw2(i+yj)mw2r续练习一已知平面上运动运动规律质点质量mXYyxBtAwsi47随堂练习二练习二mvX0已知停机时船速0，阻力kFrv问船还能走多远？xddtmvFrkvkddtxdmdvk得xdx0v0dvmk0止mkv0x止x止v0v0Xxvmkv0xv停机后船沿X正向运动，阻力与船速方向相反。关键是要找到船速与位置的关系，vx即从vv00x从0时x止解法提要随堂练习二练习二mvX0已知停机时船速0，阻力kFrv问船还48随堂练习三需要将速度是时间的函数转