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2022/12/231第一部分概率统计基础知识随机事件及其概率随机变量及其分布随机变量的数字特征数理统计的基本概念参数估计假设检验方差分析2022/12/201第一部分概率统计基础知识随机事2022/12/2321.1随机事件及其概率随机事件及其运算概率的定义及其运算条件概率全概率公式与贝叶斯公式事件的独立性2022/12/2021.1随机事件及其概率随机事件及2022/12/2331.1.1随机事件及其运算随机试验(简称“试验”)随机试验的特点

1.可在相同条件下重复进行；

2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果;3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。随机试验可表为E

2022/12/2031.1.1随机事件及其运算随机试2022/12/234例1.1.1随机试验例：E1:

抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E3:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；E4:记录某网站一分钟内受到的点击次数；E5:在一批灯泡中任取一只，测其寿命。2022/12/204例1.1.1随机试验例：2022/12/2351.1.1随机事件及其运算样本空间实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为Ω样本点试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为ω

基本事件由一个样本点组成的单点集2022/12/2051.1.1随机事件及其运算样本空2022/12/2361.1.1随机事件及其运算随机事件试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”,简称“事件”.记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是A中的元素两个特殊事件:必然事件Ω

、不可能事件Φ.2022/12/2061.1.1随机事件及其运算随机事2022/12/237例1.1.2对于试验E2:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数，以下随机事件:Ω1={0，1，2，3}-----必然事件ΩA＝“至少出一个正面”＝{1，2，3}；而对试验E5：在一批灯泡中任取一只，测其寿命。

Ω2={x:0≤x≤

∞(小时）}。

B＝“灯泡寿命超过1000小时”＝{x:1000<x<∞(小时）}1.1.1随机事件及其运算2022/12/207例1.1.2对于试验E2:将一枚硬币2022/12/2381.1.1随机事件及其运算事件之间的关系1.包含关系“A发生必导致B发生”记为ABA＝BAB且BA.2.和事件：“事件A与B至少有一个发生”，记作ABn个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作3.积事件:A与B同时发生，记作AB＝ABn个事件A1,A2,…,An同时发生，记作A1A2…An2022/12/2081.1.1随机事件及其运算事件之2022/12/2394.差事件：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生5.事件的互斥：AB＝表示事件A、B不能同时发生6.事件的互逆AB＝,且AB＝1.1.1随机事件及其运算2022/12/2094.差事件：A－B称为A与B的差事件,2022/12/23101.1.1随机事件及其运算事件的运算规律1、交换律：AB＝BA，AB＝BA2、结合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，

(AB)C＝(AC)(BC)4、对偶(DeMorgan)律：

2022/12/20101.1.1随机事件及其运算事件2022/12/2311例1.1.3甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：1.1.1随机事件及其运算2022/12/2011例1.1.3甲、乙、丙三人各向目标射2022/12/23121.1.2概率的定义及其运算从直观上来看，事件A的概率是指事件A发生的可能性。古典概型与概率若某实验E满足1.有限性：样本空间Ω＝{ω1,ω

2,…,ωn};2.等可能性：P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn).则称E为古典概型也叫等可能概型。2022/12/20121.1.2概率的定义及其运算从2022/12/2313设事件A中所含样本点个数为N(A)，以N(Ω)记样本空间Ω中样本点总数，则有P(A)具有如下性质：(1)0

P(A)1；(2)P()＝1；P()=0(3)AB＝，则

P(AB

)＝P(A)＋P(B)古典概型中的概率:1.1.2概率的定义及其运算2022/12/2013设事件A中所含样本点个数为N(A)2022/12/2314例1.1.4甲有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩T是女孩N(Ω)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT}N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}1.1.2概率的定义及其运算2022/12/2014例1.1.4甲有三个子女的家庭,设每2022/12/2315例1.1.5:设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A-----取到一红一白1.1.2概率的定义及其运算2022/12/2015例1.1.5:设盒中有3个白球，2个2022/12/2316一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是1.1.2概率的定义及其运算2022/12/2016一般地，设盒中有N个球，其中有M个白2022/12/2317例1.1.6:将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解:设A:每盒恰有一球,B:空一盒1.1.2概率的定义及其运算2022/12/2017例1.1.6:将3个球随机的放入3个2022/12/2318一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：

某班级有n个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？?1.1.2概率的定义及其运算2022/12/2018一般地，把n个球随机地分配到m个盒子2022/12/23191.1.2概率的定义及其运算概率的统计定义事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A).即：fn(A)＝nA/n.频率的性质(1)0≤fn(A)≤1；(2)fn(Ω)＝1；fn(Φ)=0(3)可加性：若AB＝Φ

，则

fn(AB)＝fn(A)＋fn(B).2022/12/20191.1.2概率的定义及其运算概2022/12/2320实践证明：当试验次数n增大时，fn(A)逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。实验者nnHfn(H)DeMorgan204810610.5181Buffon404020480.5069K.Pearson1200060190.5016K.Pearson24000120120.50051.1.2概率的定义及其运算2022/12/2020实践证明：当试验次数n增大时，fn2022/12/23211.1.2概率的定义及其运算概率的加法公式对任意两事件A、B，有P(AUB)＝P(A)＋P(B)－P(AB)该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的情形，以及：(1)互补性：P(Ā)＝1－P(A);(2)可分性：对任意两事件A、B，有P(B)＝P(BA)＋P(BĀ).2022/12/20211.1.2概率的定义及其运算概2022/12/2322例1.1.7某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报1.1.2概率的定义及其运算2022/12/2022例1.1.7某市有甲,乙,丙三种报纸2022/12/23231.1.2概率的定义及其运算几何概型设试验E的样本空间为某可度量的区域Ω，且Ω中任一区域出现的可能性大小与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关，则称E为几何概型的试验。且定义事件A的概率为：2022/12/20231.1.2概率的定义及其运算几2022/12/2324例1.1.8:蒲丰(Buffon)投针问题：平面上画着一些平行线，他们之间的距离都是a，向此平面随意投一长度为L的针，试求此针与任一平行线相交的概率。解:以x表示针的中点到最近一条平行线的距离，以θ表示针与平行线的夹角，如图所示：显然样本空间为：θxa1.1.2概率的定义及其运算2022/12/2024例1.1.8:蒲丰(Buffon)投2022/12/2325以R表示边长为a/2与π的长方形，针与平行线相交当且仅当：设在R中满足该关系的区域为G，即图中阴影部分，则所求概率为：x=Lsinθ/2Ra/2Gπ1.1.2概率的定义及其运算2022/12/2025以R表示边长为a/2与π的长方形，针2022/12/23261.1.3条件概率

思考：袋中有十只球，其中九只白球，一只红

球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问：(1)第一个人取得红球的概率是多少？(2)第二个人取得红球的概率是多少？(3)若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？(4)若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？?2022/12/20261.1.3条件概率2022/12/23271.1.3条件概率条件概率的定义已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率称为A条件下B的条件概率，记作P(B|A)显然，若事件A、B是古典概型的样本空间Ω中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则2022/12/20271.1.3条件概率条件概率的定2022/12/2328例1.1.9设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）求两次均取到红球的概率（2）求第二次取到红球的概率（3）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球1.1.3条件概率2022/12/2028例1.1.9设袋中有3个白球，22022/12/2329Ω=ABA——第一次取到红球,B——第二次取到红球1.1.3条件概率2022/12/2029Ω=ABA——第一次取到红球,1.12022/12/23301.1.3条件概率乘法公式设P(A)>0,则:P(AB)＝P(A)P(B|A)

称为事件A、B的概率乘法公式推广到三个事件的情形：P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An-1).2022/12/20301.1.3条件概率乘法公式2022/12/2331例1.1.10有1张电影票需要给3个人分，每个人都想要，决定用抓阄的方式解决，问抓阄的先后对此方法的公平性是否有影响。解：设Ai为第i次抓阄时取到电影票，i=1,2,3。则由此可见，抓阄的方式是公平的！可推广到n中抓m的情况。P=m/n2022/12/2031例1.1.10有1张电影票需要给32022/12/23321.1.4全概率公式与贝叶斯公式完备事件组事件组A1，A2，…，An(n可为∞)，称为样本空间Ω的一个完备事件组，若满足：AnA2A1-----B----------Ω2022/12/20321.1.4全概率公式与贝叶斯公2022/12/23331.1.4全概率公式与贝叶斯公式全概率公式事件组A1，A2，…，An为样本空间Ω的一个完备事件组，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，则对任何事件B∈Ω有：AnA2A1-----B----------Ω2022/12/20331.1.4全概率公式与贝叶斯公2022/12/2334例1.1.11市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。B2022/12/2034例1.1.11市场上有甲、乙、丙三家2022/12/2335解：设A1——从甲袋放入乙袋的是白球；

A2——从甲袋放入乙袋的是红球；

B——从乙袋中任取一球是红球；甲乙例1.1.12有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？2022/12/2035解：设A1——从甲袋放入乙袋的是白球2022/12/23361.1.4全概率公式与贝叶斯公式贝叶斯公式上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？?事件组A1，A2，…，An为样本空间Ω的一个完备事件组，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，则对任何事件B∈Ω有：2022/12/20361.1.4全概率公式与贝叶斯公2022/12/2337称为贝叶斯公式。例1.1.13用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，试验反应有阴性和阳性两种结果。当被诊断者患肝癌时，其反应为阳性的概率为0.95；当被诊断者未患肝癌时，其反应为阴性的概率为0.9。根据记录，某地人群中肝癌的患病率为0.0004，现有一人的试验反应为阳性，问此人确实患肝癌的概率?2022/12/2037称为贝叶斯公式。例1.1.13用血清2022/12/2338解：设A1——患肝癌；

A2——未患肝癌；

B——反应为阳性；则：根据贝叶斯公式，有所求概率为：表明还需要通过综合考虑其他方面才能确诊！！！2022/12/2038解：设A1——患肝癌；根据贝叶斯公式2022/12/23391.1.5事件的独立性两个事件独立的定义设A、B是两事件，P(A)≠0,若

P(B)＝P(B|A)↔

P(AB)＝P(A)P(B)

则称事件A与B相互独立（即A的发生与否对B毫无影响）。定理以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。2022/12/20391.1.5事件的独立性两个2022/12/23401.1.5事件的独立性多个事件独立的定义若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立(2)P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),则称事件A、B、C相互独立。2022/12/20401.1.5事件的独立性多个2022/12/23411.1.5事件的独立性推广：一般地，设A1，A2，…，An是n个事件，如果对任意k(1≤k≤n),任意的1≤i1<i2

<…<ik≤n，具有等式：

P(Ai1Ai2…Aik)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)

则称n个事件A1，A2，…，An相互独立。2022/12/20411.1.5事件的独立性推广2022/12/23421.1.5事件的独立性事件独立性的应用1、加法公式的简化：若事件A1，A2，…，An相互独立,则：2、在可靠性理论上的应用2022/12/20421.1.5事件的独立性事件2022/12/23431.2随机变量随机变量的概念离散型随机变量连续型随机变量正态分布2022/12/20431.2随机变量随机变量的概念2022/12/23441.2.1随机变量的概念随机变量

设Ω={ω}是试验的样本空间，如果量X是定义在Ω上的一个单值实值函数即对于每一个ω

Ω，有一实数X=X(ω)与之对应，则称X为随机变量。随机变量常用X、Y、Z或、等表示。通俗地说，每一个样本点可以数量化，每次试验的结果在未结束前是个未知变量，而且取值具有随机性。随机变量的特点:(1)X的全部可能取值是互斥且完备的(2)X的部分可能取值描述随机事件2022/12/20441.2.1随机变量的概念随机变量2022/12/2345?请举几个实际中随机变量的例子例1.2.1引入适当的随机变量描述下列事件：(1)将3个球随机放入三个格子中，记空格子数为X：事件A={有1个空格}={X=1}，B={全有球}={X=0}。(2)进行5次试验，记试验成功次数为Y：事件C={试验成功一次}={Y=1}，D={试验至少成功一次}={Y≥1}(3)掷1次硬币，观察正反面。记正面为1，反面为02022/12/2045?请举几个实际中随机变量的例子例1.2022/12/23461.2.1随机变量的概念随机变量的分类

随机变量的分布函数设X是随机变量，对任意实数x，事件{X≤x}的概率P{X≤x}称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，即

F(x)＝P{X≤x}.

易知，对任意实数a,b(a<b),P{a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝F(b)－F(a).

2022/12/20461.2.1随机变量的概念随机变量的分2022/12/23471.2.1随机变量的概念分布函数的性质(1)单调不减性：若x1<x2,则F(x1)≤F(x2);(2)归一性：对任意实数x，0≤F(x)≤1，且(4)对任意实数a,b(a<b),P{a<X≤b}＝P{X≤b}－P{X≤a}＝F(b)－F(a).

具有(1~3)性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。(3)右连续性：对任意实数x，2022/12/20471.2.1随机变量的概念分布函数的性2022/12/2348当x<0时,F(x)=0;当x>1时,F(x)=1当0≤x≤1时,特别,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1例1.2.2向[0,1]区间随机抛一质点，以X表示质点坐标.假定质点落在[0,1]区间内任一子区间内的概率与区间长成正比，求X的分布函数解：F(x)=P{X≤x}

1.2.1随机变量的概念2022/12/2048当x<0时,F(x)=0;当x>1时2022/12/23491.2.2离散型随机变量定义

若随机变量X取值x1,x2,…,xn,…而且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pn,…,则称X为离散型随机变量，而称

P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)为X的分布律(列)或概率分布。也可表为:X

x1 x2

…

xK …

P

p1 p2 … pk …2022/12/20491.2.2离散型随机变量定义X2022/12/23501.2.2离散型随机变量分布律的性质(1)pk0,k＝1,2,…;(2)

例1.2.3设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解k可取值0，1，22022/12/20501.2.2离散型随机变量分布律的2022/12/23511.2.2离散型随机变量分布函数

一般地，对离散型随机变量

X～P{X=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函数为用分布函数描述随机变量不如分布律直观!2022/12/20511.2.2离散型随机变量分布函数2022/12/2352解

X012P0.10.60.3例1.2.4设随机变量X具分布律如右表:试求出X的分布函数。1.2.2离散型随机变量2022/12/2052解X012P02022/12/2353两点(0-1)分布

若随机变量X的取值为0,1两个值，分布律为：

P{X＝0}=q=1-p,P{X＝1}=p则称X服从(0－1)分布(两点分布)

1.2.2离散型随机变量几个常用的离散型分布2022/12/2053两点(0-1)分布1.2.2离散2022/12/23542.贝努里(Bernoulli)概型与二项分布设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验.

若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。记作X~B（n,p)

其分布律为：1.2.2离散型随机变量2022/12/20542.贝努里(Bernoulli)概型2022/12/2355解:(1)由题意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律为:例1.2.5从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.2022/12/2055解:(1)由题意,X~B(6,1/32022/12/23563.泊松(Poisson)分布P(λ)

若随机变量X的分布律为：1.2.2离散型随机变量P{X＝k}＝,k＝0,1,2,…(0)则称X服从参数为λ的泊松分布。记作X~P（λ)

泊松定理设随机变量X~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，记=np，则

即可认为X~P（λ)2022/12/20563.泊松(Poisson)分布P(λ2022/12/2357泊松定理表明：泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布1.2.2离散型随机变量2022/12/2057泊松定理表明：泊松分布是二项分布的极2022/12/2358解

设X表示400次独立射击中命中的次数，则X～B(400,0.02)，故P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…取λ=np＝(400)(0.02)＝8,故近似地有：例1.2.6某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.2022/12/2058解设X表示400次独立射击中命2022/12/2359解:由题意,例1.2.7设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。2022/12/2059解:由题意,例1.2.7设某国每对夫2022/12/23601.2.3连续型随机变量

对于随机变量X，若存在(-∞，+∞)上的非负函数f(x)，使对任意实数x，都有：概率密度则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.2022/12/20601.2.3连续型随机变量对于随机2022/12/2361密度函数的几何意义为2022/12/2061密度函数的几何意义为2022/12/2362

(1)

非负性

f(x)0，(-<x<)；

(2)归一性性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；

1.2.3连续型随机变量密度函数的性质(3)若x是f(x)的连续点，则2022/12/2062(1)非负性f(x)0，(-2022/12/23631.2.3连续型随机变量(4)对任意实数b，若X～f(x)，(-<x<)，则:P{X=b}＝0。(5)2022/12/20631.2.3连续型随机变量(4)对任2022/12/23641.2.3连续型随机变量几个常用的连续型分布1.

均匀分布若X的分布密度为：则称X在(a,b)内服从均匀分布。记作X~U(a,b)

对任意实数c,d(a<c<d<b)，都有2022/12/20641.2.3连续型随机变量几个常用的连2022/12/23651545解：设A—乘客候车时间超过10分钟X—乘客于某时X分钟到达，则XU(0,60)例1.2.8长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的概率2022/12/20651545解：设A—乘客候车时间超过12022/12/23662.

指数分布

若X的分布密度为：则称X服从参数为>0的指数分布，记为：X~exp(λ)。其分布函数为1.2.3连续型随机变量2022/12/20662.指数分布则称X服从参数为>02022/12/2367解例1.2.9电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。(2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？2022/12/2067解例1.2.9电子元件的寿命X(年）2022/12/2368

正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。3.正态分布--高斯(Gauss)分布1.2.3连续型随机变量若随机变量X的分布密度为：其中为实数，

>0，则称X服从参数为

,2的正态分布,记为：X～N(,2).2022/12/2068正态分布是实践中应用最2022/12/23691.2.4正态分布正态分布的特性

(1)单峰对称密度曲线关于直线x=对称；

f()＝maxf(x)＝.(2)的大小直接影响概率分布越大，曲线越平坦；越小，曲线越陡峭。2022/12/20691.2.4正态分布正态分布的特性(2022/12/2370

参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作：X~N(0,1)。1.2.4正态分布标准正态分布2022/12/2070参数＝0，2＝1的正2022/12/23711.2.4正态分布性质(1)密度函数(2)分布函数(3)(x)＝1－(－x)；(4)若X～N(,2)，则一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)的值。2022/12/20711.2.4正态分布性质(1)密度函数2022/12/23721.2.4正态分布性质(1)密度函数(2)分布函数(3)(x)＝1－(－x)；(4)若X～N(,2)，则2022/12/20721.2.4正态分布性质(1)密度函数2022/12/2373例1.2.10

(1)Z~N(0，1):Φ(0.5)=0.6915,P{1.32<Z<2.43}=(2.43)-(1.32)

=0.9925-0.9066(2)X~N(μ,σ2):P{-3σ<X-μ<

3σ}=Φ(3)-Φ(-3)=2Φ(3)-1=0.99731.2.4正态分布上式称为3

原则.在工程应用中，通常认为P{|X|≤3}≈1，忽略P{|X|>3}的值.如在质量控制中，常用标准指标值±3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出现异常.2022/12/2073例1.2.101.2.4正态分布上2022/12/2374解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,故则Y~B(3,p)其中例1.2.11一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分布Ｎ(100,225),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.

1.2.4正态分布2022/12/2074解:设Y为使用的最初90小时内损坏的2022/12/2375随机变量的数学期望与方差几个常见分布的期望与方差随机变量的协方差和相关系数大数定律中心极限定理1.3随机变量的数字特征2022/12/2075随机变量的数学期望与方差1.32022/12/2376引例：设某班40名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：分数4060708090100总人数人数169157240则学生的平均成绩是总分÷总人数。即数学期望——描述随机变量取值的平均特征1.3.1随机变量的期望与方差数学期望的定义2022/12/2076引例：设某班40名学生的概率统2022/12/23771.3.1随机变量的期望与方差数学期望的定义若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…n,....则称为随机变量X的数学期望，简称期望或均值。函数Y=g(X)的期望E(g(X))为2022/12/20771.3.1随机变量的期望与方差2022/12/23781.3.1随机变量的期望与方差数学期望的定义为随机变量X的数学期望若X~f(x),-<x<,则称若X~f(x),-<x<,则Y=g(X)的期望2022/12/20781.3.1随机变量的期望与方差2022/12/2379例1.3.1掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。1.3.1随机变量的期望与方差例1.3.2设随机变量X服从标准正态分布，求随机变量Y=aX+b的数学期望(其中a>0)2022/12/2079例1.3.1掷一颗均匀的骰子2022/12/2380解:设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则=10分25秒例1.3.3长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间2022/12/2080解:设乘客于某时X分到达车站,候车时2022/12/23811.3.1随机变量的期望与方差数学期望的性质1.E(c)=c,c为常数;2.E(cX)=cE(X),c为常数;4.若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)推广：E(aX+b)=aE(X)+b2022/12/20811.3.1随机变量的期望与方差2022/12/2382例1.3.4若X~B(n,p),求E(X)1.3.1随机变量的期望与方差例1.3.5设随机变量X1,X2,...,Xn服从N(μ,σ2)分布，求随机变量:的数学期望2022/12/2082例1.3.4若X~B(n,p),求E2022/12/2383方差是衡量随机变量取值波动程度的一个数字特征。1.3.1随机变量的期望与方差方差的定义

若E(X),E(X2)存在,则称E[X-E(X)]2=E(X)2–[E(X)]2

为随机变量X的方差，记为D(X)或Var(X).称 为随机变量X的标准差方差的性质(1)D(c)=0(2)D(aX)=a2D(X),a为常数；(3)若X，Y独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y);2022/12/2083方差是衡量随机变量取值波动程度的一2022/12/23841.3.1随机变量的期望与方差推广：若X，Y独立，则

D(X-Y)=D(X)+D(Y)D(aX+bY+c)=a2D(X)+b2D(Y)2022/12/20841.3.1随机变量的期望与方差2022/12/2385求D（X）1.3.1随机变量的期望与方差例1.3.6设随机变量X的概率密度为2022/12/2085求D（X）1.3.1随机变量的2022/12/23861.3.2几个常见分布的期望与方差0-1分布EX=p,E(X2)=p,DX=pq二项分布B(n,p)2022/12/20861.3.2几个常见分布的期望与方差02022/12/23871.3.2几个常见分布的期望与方差二项分布B(n,p)2022/12/20871.3.2几个常见分布的期望与方差二2022/12/23881.3.2几个常见分布的期望与方差泊松分布X~P(λ)2022/12/20881.3.2几个常见分布的期望与方差泊2022/12/23891.3.2几个常见分布的期望与方差均匀分布U(a,b)2022/12/20891.3.2几个常见分布的期望与方差均2022/12/23901.3.2几个常见分布的期望与方差指数分布X~exp(λ)2022/12/20901.3.2几个常见分布的期望与方差指2022/12/23911.3.2几个常见分布的期望与方差正态分布N(μ,σ2)2022/12/20911.3.2几个常见分布的期望与方差正2022/12/23921.3.3协方差和相关系数协方差定义

若随机变量X和Y的期望E(X)、E(Y)存在,则称：

COV(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}为X与Y的协方差,易见：

COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y)当COV(X,Y)=0时，称X与Y不相关。X与Y不相关是X与Y独立的必要条件。2022/12/20921.3.3协方差和相关系数协方差2022/12/23931.3.3协方差和相关系数协方差性质

(1)COV(X,Y)=COV(Y,X);(2)COV(X,X)=D(X);COV(X,c)=0(3)COV(aX,bY)=abCOV(X,Y),其中a,b为常数

(4)COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);(5)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2COV(X,Y).2022/12/20931.3.3协方差和相关系数协方差2022/12/23941.3.3协方差和相关系数相关系数定义若X，Y的方差和协方差均存在,且DX>0,DY>0，则称为X与Y的相关系数.

注：若记称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且2022/12/20941.3.3协方差和相关系数相关系2022/12/23951.3.3协方差和相关系数相关系数性质

(1)|XY|1；

(2)|XY|=1存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1；

(3)X与Y不相关XY=0;

矩1.K阶原点矩

Ak=E(Xk),k=1,2,…而E(|X|k)称为X的K阶绝对原点矩；2.K阶中心矩

Bk=E[X-E(X)]k,k=1,2,…而E|X-E(X)|k称为X的K阶绝对中心矩；2022/12/20951.3.3协方差和相关系数相关系2022/12/23961.3.3协方差和相关系数相关系数性质

(1)|XY|1；

(2)|XY|=1存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1；

(3)X与Y不相关XY=0;

矩1.K阶原点矩

Ak=E(Xk),k=1,2,…而E(|X|k)称为X的K阶绝对原点矩；2.K阶中心矩

Bk=E[X-E(X)]k,k=1,2,…而E|X-E(X)|k称为X的K阶绝对中心矩；2022/12/20961.3.3协方差和相关系数相关系2022/12/2397

设X1，…,Xn为n个随机变量,记cij=cov(Xi,Xj),i,j=1,2,…,n.则称由cij组成的矩阵为随机变量X1，…,Xn的协方差矩阵C。即1.3.3协方差和相关系数协方差矩阵2022/12/2097设X1，…,Xn为n2022/12/2398

若随机变量X的期望和方差存在，则对任意0，有这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。

它有以下等价的形式：切比雪夫不等式1.3.4大数定律2022/12/2098若随机变量X的期望和方差存在，则2022/12/23991.3.4大数定律2022/12/20991.3.4大数定律2022/12/23100解:由切比雪夫不等式令1.3.4大数定律例1.3.6已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。2022/12/20100解:由切比雪夫不等式令1.3.42022/12/23101依概率收敛1.3.4大数定律设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，若任给>0,使得：则称{Xn}依概率收敛于X.可记为2022/12/20101依概率收敛1.3.4大数定律2022/12/23102如意思是:当a而意思是:时,Xn落在内的概率越来越大.,当1.3.4大数定律2022/12/20102如意思是:当a而意思是:时,Xn落2022/12/23103依概率收敛1.3.4大数定律设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，若任给>0,使得：则称{Xn}依概率收敛于X.可记为2022/12/20103依概率收敛1.3.4大数定律2022/12/23104设{Xk,k=1,2,...}为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望，及方差2>0，则即若任给>0,使得1.3.4大数定律切比雪夫大数定律2022/12/20104设{Xk,k=1,2,...}为独2022/12/23105证明:由切比雪夫不等式这里故2022/12/20105证明:由切比雪夫不等式这里故2022/12/23106设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn为n次试验中事件A发生的频率，则证明:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由切比雪夫大数定理1.3.4大数定律伯努里大数定律2022/12/20106设进行n次独立重复试验，每次试验中2022/12/23107

若{Xk,k=1.2,...}为独立同分布随机变量序列,EXk=<,k=1,2,…则推论:若{Xi,i=1.2,...}为独立同分布随机变量序列,E(X1k)=<,则1.3.4大数定律辛钦大数定律2022/12/20107若{Xk,k=1.22022/12/23108

设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x),F(x).若在F(x)的连续点，有则称{Xn}依分布收敛于X.可记为1.3.5中心极限定理依分布收敛2022/12/20108设{Xn}为随机变量序2022/12/23109

设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若EXk=<，DXk=2≠0，k=1,2,…,则{Xn}满足：1.3.5中心极限定理独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg)根据上述定理，当n充分大时实际上，当n充分大时，Xi对总和的影响既均匀又微小2022/12/20109设{Xn}为独立同分布随机2022/12/23110解:设 Xk为第k次掷出的点数,k=1,2,…,100,则X1,…,X100独立同分布.由中心极限定理例1.3.7将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？1.3.5中心极限定理2022/12/20110解:设 Xk为第k次掷出的点数,2022/12/23111

设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若EXk=<，DXk=2≠0，k=1,2,…,则{Xn}满足：1.3.5中心极限定理独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg)根据上述定理，当n充分大时实际上，当n充分大时，Xi对总和的影响既均匀又微小2022/12/20111设{Xn}为独立同分布随机2022/12/23112设随机变量n(n=1,2,...)服从参数为n,p(0<p<1)的二项分布，则证明:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由中心极限定理,结论得证1.3.5中心极限定理德莫佛-拉普拉斯中心极限定理2022/12/20112设随机变量n(n=1,2,.2022/12/231131.3.5中心极限定理例1.3.8在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：

(1)保险公司亏本的概率有多大？

(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？2022/12/201131.3.5中心极限定理例1.32022/12/23114解：

设X表示一年内死亡的人数，则X~B(n,p),其中：n=10000，p=0.6%，np=60,npq=59.64设Y表示保险公司一年的利润，

Y=10000*12-1000X于是由中心极限定理

(1)P{Y<0}=P{10000*12-1000X<0}=1P{X120}1(7.75)=0;1.3.5中心极限定理2022/12/20114解：设X表示一年内死亡的人数，则2022/12/23115P{Y>60000}=P{10000*12-aX>60000}=P{X60000/a}0.9;（2）设赔偿金为a元，则令由中心极限定理,上式等价于1.3.5中心极限定理2022/12/20115P{Y>60000}=P{10002022/12/23116随机样本抽样分布1.4数理统计的基本概念2022/12/201161.4数理统计的基本概念2022/12/23117

1.总体----研究对象的全体。通常指研究对象的某项数量指标全体。

组成总体的元素称为个体。

从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。1.4.1随机样本总体与样本2.样本：来自总体的部分个体X1，…

，Xn

如果满足：(1)同分布性：

Xi，i=1,…,n与总体X同分布.2022/12/201171.总体----研究对象的全2022/12/231181.4.1随机样本

(2)独立性：

X1，…

，Xn

相互独立；则称为容量为n的简单随机样本，简称样本。而称X1，…

，Xn

的一次实现为样本观察值，记为x1，…

，xn

简单随机样本来自于简单随机抽样试验，特点：

(1)每次抽样中，各个个体被抽到的机会均等

(2)每次抽样前，总体成分保持不变样本容量n相对于总体容量N而言是极小的，在试验中，不放回抽样可近似认为是有放回抽样。2022/12/201181.4.1随机样本(2)2022/12/231193.总体、样本、样本观察值的关系总体样本样本观察值？理论分布统计是从手中已有的资料——样本观察值，去推断总体的情况——总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体1.4.1随机样本2022/12/201193.总体、样本、样本观察值的关系总2022/12/23120统计量的定义抽样分布常用统计量及其分布1.4.2抽样分布2022/12/20120统计量的定义1.4.2抽样2022/12/231211.4.2抽样分布统计量的定义

如果样本X1,…,Xn的函数g(X1，…，Xn)不含未知参数，则称g(X1，…，Xn)是总体X的一个统计量.

如：2022/12/201211.4.2抽样分布统计量的定2022/12/231221.4.2抽样分布三大抽样分布

统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布：

2—分布、t

—分布和F—分布。

1

2—分布2022/12/201221.4.2抽样分布三大抽样分2022/12/23123(2)2—分布的密度函数f(x)曲线1.4.2抽样分布2022/12/20123(2)2—分布的密度函数f(2022/12/23124(3)临界点

设X

~2(n)，若对于：0<<1，存在满足则称为分布的临界点。1.4.2抽样分布2022/12/20124(3)临界点满足则称为分布2022/12/23125实际应用中，常常将满足：的点称为分布的上侧临界点。1.4.2抽样分布而将满足：的点分布的下侧临界点。称为2022/12/20125实际应用中，常常将满足：的点称为分2022/12/23126使得：对于不同的n和a,和1.4.2抽样分布可查χ2分布表得到。(4)性质:分布可加性:

若X~2(n1),Y~2(n2),X与Y独立,则X

+

Y

~2(n1+n2)

期望与方差:

若X~2(n)，则E(X)=n，D(X)=2n2022/12/20126使得：对于不同的n和a,和1.4.2022/12/231271.4.2抽样分布三大抽样分布2

t—分布(1)定理：若~N(0,1),~2(n),与独立，则t(n)称为自由度为n的t—分布。(2)t(n)

的概率密度为:2022/12/201271.4.2抽样分布三大抽样分2022/12/231281.4.2抽样分布(3)基本性质:f(t)关于t=0(纵轴)对称。f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即

表明：当n比较大时(n≥30),可用标准正态分布代替t分布2022/12/201281.4.2抽样分布(3)基本2022/12/23129(4)临界点设T～t(n)，若对:0<<1,存在t(n)>0，满足：

P{-t(n)≤T≤t(n)}=1-，则称t(n)为t(n)的临界点1.4.2抽样分布2022/12/20129(4)临界点1.4.2抽样分2022/12/231301.4.2抽样分布三大抽样分布3

F—分布(1)定理：若X~χ2(n1)，Y~χ2(n2)，X与Y独立，则称为第一自由度为n1

，第二自由度为n2的F—分布。其概率密度为2022/12/201301.4.2抽样分布三大抽样分2022/12/23131(2)F-分布的临界点1.4.2抽样分布

对于：0<<1，若存在F/2(n1,n2)>0，满足：

P{FF/2(n1,n2)}=/2，则称F/2(n1,n2)为F分布的上侧临界点；

对于：0<<1，若存在F1-/2(n1,n2)>0，满足：

P{FF1-/2(n1,n2)}=1-/2，则称F1-/2(n1,n2）为F分布的下侧临界点；总之，使得：

P{F1-/2(n1,n2)≤F≤F/2(n1,n2)}=1-2022/12/20131(2)F-分布的临界点1.4.22022/12/23132(3)F-分布的性质1.4.2抽样分布证明:设F~F(n1,n2),则2022/12/20132(3)F-分布的性质1.4.22022/12/231331.4.2抽样分布常用统计量及其分布1

样本均值证明:由于n个独立的正态随机变量的线性组合,仍然服从正态分布2022/12/201331.4.2抽样分布常用统计量2022/12/231341.4.2抽样分布常用统计量及其分布2

样本方差定理4证明提示:2022/12/201341.4.2抽样分布常用统计量2022/12/231351.4.2抽样分布常用统计量及其分布2

样本方差2022/12/201351.4.2抽样分布常用统计量2022/12/231361.4.2抽样分布常用统计量及其分布3

样本矩2022/12/201361.4.2抽样分布常用统计量2022/12/23137点估计估计量的评选标准区间估计正态总体参数的区间估计1.5参数估计

参数估计问题是一类统计推断问题，指的是在处理实际问题时，采用抽样的方法，从获取的样本数据中提取有用的信息，来对总体的情况进行推断，主要指的是对分布形式已知的总体中的某些未知参数的估计问题。主要内容：2022/12/20137点估计1.5参数估计2022/12/23138

设X1，…，Xn是总体X的一个样本，其分布函数为F(x;),。其中为未知参数,为参数空间,若统计量g(X1，…，Xn)可作为的一个估计,则称其为的一个估计量，记为注：F(x;)也可用分布律或密度函数代替.1.5.1点估计参数估计的概念2022/12/20138设X1，…，Xn2022/12/23139若x1，…，xn是样本的一个观测值。

由于g(x1，…，xn)

是实数域上的一个点，现用它来估计，故称这种估计为点估计。

点估计的经典方法是矩估计法与极大似然估计法。1.5.1点估计点估计称为估计量θ的一个观测值。2022/12/20139若x1，…，xn是样本的一个2022/12/231401.5.1点估计矩估计法（简称“矩法”）

关键点：用样本矩作为总体同阶矩的估计，即

一般使用：2022/12/201401.5.1点估计矩估计法2022/12/231411.5.1点估计例1.5.1设X1,…,Xn为取自总体B(m,p)的样本，其中m已知，0<p<1未知，求p的矩估计。例1.5.2设X1,…,Xn为取自总体N(μ,σ2)的样本，求μ,σ2的矩估计。2022/12/201411.5.1点估计例1.52022/12/231421.5.1点估计极大似然估计法1

极大似然思想

有两个射手，一人的命中率为0.9,另一人的命中率为0.1,现在他们中的一个向目标射击了一发，结果命中了，估计是谁射击的？

一般说，事件A发生的概率与参数有关，取值不同，则P(A)也不同。因而应记事件A发生的概率为P(A|).若A发生了，则认为此时的值应是在中使P(A|)达到最大的那一个。这就是极大似然思想2022/12/201421.5.1点估计极大似然2022/12/231431.5.1点估计极大似然估计法2

似然函数为该总体的似然函数。3

极大似然估计则称为的极大似然估计若有使得2022/12/201431.5.1点估计极大似然2022/12/231441.5.1点估计极大似然估计法4

求极大似然估计步骤(1)建立似然函数(2)做对数似然函数(3)列似然方程若该方程有解，则其解就是注：若概率函数中含有多个未知参数，则可解方程组2022/12/201441.5.1点估计极大似然2022/12/231451.5.1点估计例1.5.3设X1,…,Xn为取自总体N(μ,σ2)的样本，求μ,σ2的极大似然估计。2022/12/201451.5.1点估计例1.52022/12/231461.5.1点估计2022/12/201461.5.1