2020-2021学年高中数学第1章集合与函数概念阶段综合提升学案1

学必求其心得，业必贵于专精第1章会集与函数看法［牢固层·知识整合][提升层·题型研究]求函数的定义域【例1】（1)求函数y＝错误!＋错误!－错误!的定义域．2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的剖析式，并写出此函数的定义域．［解]（1)解不等式组错误!得错误!故函数的定义域是｛x｜1≤x≤5且x≠3｝．1(2）设矩形的一边长为x，则另一边长为2(a－2x)，所以y＝x·错误!(a－2x）＝－x2＋错误!ax,定义域为错误!.-1-学必求其心得，业必贵于专精1．已给出函数剖析式：函数的定义域是使剖析式有意义的自变量的取值会集．2．实责问题：求函数的定义域既要考虑剖析式有意义，还应试虑使实责问题有意义．[跟进训练］1。函数f（x）＝错误!＋(3x－1)0的定义域是( )A。错误!B.错误!C.错误!D。错误!∪错误!［由错误!得x〈1且x≠错误!，应选D.]求函数的剖析式【例2】(1）函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时,f（x)＝错误!＋1，则f（x)的剖析式为________．(2)已知f错误!＝错误!＋错误!，则f(x)的剖析式为______．(1)f（x）＝错误!(2）f(x）＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1,＋∞）［(1）设x<0，则－x〉0，f（－x)＝错误!＋1。∵f（x)是奇函数,f(－x）＝－f（x），-2-学必求其心得，业必贵于专精即－f(x）＝错误!＋1，∴f（x)＝－错误!－1。∵f(x)是奇函数，∴f（0）＝0,f（x)＝错误!1＋x(2）令t＝x＝错误!＋1，则t≠1.把x＝错误!代入f错误!＝错误!＋错误!,得f（t)＝错误!＋错误!＝（t－1）2＋1＋（t－1)＝t2－t＋1.所以所求函数的剖析式为f(x)＝x2－x＋1,x∈(－∞，1)∪1（，＋∞）．］求函数剖析式的题型与相应的解法1已知形如fgx的剖析式求fx的剖析式，使用换元法或配凑法。2已知函数的种类经常是一次函数或二次函数，使用待定系数法。3含fx与f－x或fx与错误!，使用解方程组法。已知一个区间的剖析式，求另一个区间的剖析式，可用奇-3-学必求其心得，业必贵于专精偶性转移法.错误!2．（1）已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________。（2)二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b∈R,a≠0）满足条件:①当x∈R时,f(x）的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1;③f（x）在R上的最小值为0.求函数f(x）的剖析式．(1）错误!x＋错误!［因为f（x)－3f（－x)＝2x－1，以－x代替x1得f(－x)－3f(x）＝－2x－1,两式联立得f（x)＝2x＋错误!。](2)［解］因为f（x）的对称轴为x＝－1，所以－错误!＝－1即b＝2a，又f(1）＝1,即a＋b＋c＝1,由条件③知：a〉0，且错误!＝0，即b2＝4ac,由上可求得a＝错误!,b＝错误!，c＝错误!，所以f（x）＝错误!x2＋错误!x＋错误!.函数的性质及应用【例3】已知函数f（x）＝错误!是定义在(－1，1)上的奇函数，且f错误!＝错误!.-4-学必求其心得，业必贵于专精(1)确定函数f(x）的剖析式；(2)用定义证明f（x）在（－1,1）上是增函数．思路点拨:(1）用f（0）＝0及f错误!＝错误!求a,b的值;(2)用单调性的定义求解．[解］（1）由题意,得错误!∴错误!故f(x）＝错误!.（2)任取－1〈x1〈x2<1，则f(x1)－f(x2）＝错误!－错误!＝错误!.∵－1〈x1<x2〈1，∴x1－x2<0，1＋x2，1>0,1＋x错误!〉0.又－1〈x1x2<1,∴1－x1x2〉0，∴f（x1)－f（x2)〈0，∴f（x)在（－1，1）上是增函数．1．在本例条件不变的情况下解不等式：f（t－1)＋f（t）〈0.[解]由f(t－1）＋f(t）<0得(t－1)〈－f(t)＝f（－t)．f（x)在(－1,1）上是增函数，∴－1〈t－1<－t<1，∴0<t〈错误!，∴不等式的解集为错误!.2．把本例条件“奇函数”改为“偶函数”f（x),的求剖析式．-5-学必求其心得，业必贵于专精－ax＋b[解]由题意可知,f(－x)＝f(x），即1＋x2＝错误!，∴a＝0，又f错误!＝错误!，∴b＝错误!，∴f（x）＝错误!。巧用奇偶性及单调性解不等式1利用已知条件，结合函数的奇偶性,把已知不等式转变成fx1〈fx2或fx1>fx2的形式。依照奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f"转变成简单不等式求解。函数的图象及应用【例4】已知:函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．1）求证：f（x)是偶函数；2)画出这个函数的图象;(3)指出函数f（x）的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x）的单调性；(4）求函数f（x）的值域．［解](1）证明：∵函数的定义域为[－3，3]，关于原点对称，又∵f（－x)＝(－x)2－2｜－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，-6-学必求其心得，业必贵于专精∴f(x)为偶函数．(2）当0≤x≤3时,f（x）＝x2－2x－1＝（x－1）2－2，当－3≤x<0时，f（x)＝x2＋2x－1＝（x＋1）2－2，即f（x）＝错误!依照分段函数的作图方法，可得函数图象如图所示．（3)函数f（x)的单调区间为：［－3，－1），［－1,0)，［0，1），［1，3］．f(x）在［－3，－1）,［0,1)上为减函数；在[－1,0),[1，3]上为增函数．(4)由f（x）的图象可知函数的值域为[－2，2］．因为函数的图象从图形上很好地反响了函数的性质,所以在研究函数的性质时要注意结合图象，在解方程和不等式时有时需画出图象,利用数形结合能达到快速解题的目的．错误!3.定义在(－∞，0)∪(0，＋∞）上的奇函数f（x)，在(0，＋∞)上为增函数，当x〉0时，f(x）的图象以下列图，则不等式x［f（x）f(－x)］〈0的解集是________。-7-学必求其心得，业必贵于专精(0，3)∪(3,0－）［因为f(x)为奇函数,所以f(－x）＝－f（x)，故x[f(x)－f(－x)]＝x[f(x）－(－f（x））］＝2xf（