考点37-直线、平面垂直的判定与性质课件

37直线、平面垂直的判定与性质37直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与平面内的两条①_____直线都垂直，则该直线与此平面垂直性质定理垂直于同一个平面的两条直线③_____a∩b＝Oa∥b相交平行1．直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语2.直线与平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的⑤_____叫作这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是⑥____；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是⑦_____的角．(2)线面角θ的范围：⑧_____________．直角0°0°≤θ≤90°锐角2.直线与平面所成的角直角0°0°≤θ≤90°锐角3．平面与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的⑨________,则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于⑩_____的直线垂直于另一个平面一条垂线交线3．平面与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语

空间垂直关系的转化这是立体几何中证明垂直关系的常用思路，三种垂直关系的转化可结合下图记忆： 空间垂直关系的转化4．二面角的平面角(1)如图所示的二面角α­l­β，若O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB就叫作二面角α­l­β的平面角．(2)二面角θ的范围：⑪____________．0°≤θ≤180°4．二面角的平面角0°≤θ≤180°考向1线面垂直的判定与性质

线面垂直的证明是高考中的热点问题，考题形式主要有：①直线与平面垂直的判定与证明；②利用直线与平面垂直的性质证明线线垂直或面面垂直．此类题常以解答题形式呈现，难度适中．考向1线面垂直的判定与性质例1(2016·浙江，17，15分)如图，在三棱台ABC­DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求二面角B­AD­F的平面角的余弦值．例1(2016·浙江，17，15分)如图，在三棱台ABC­【解析】

(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.【解析】(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图(2)方法一：如图，过点F作FQ⊥AK于Q，连接BQ.因为BF⊥平面ACK，所以BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，所以BQ⊥AK.所以∠BQF是二面角B­AD­F的平面角．在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，(2)方法一：如图，过点F作FQ⊥AK于Q，连接BQ.方法二：由(1)知△BCK为等边三角形．取BC的中点O，则KO⊥BC.又平面BCFE⊥平面ABC，所以KO⊥平面ABC.如图，以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O­xyz.方法二：由(1)知△BCK为等边三角形．考点37-直线、平面垂直的判定与性质课件考点37-直线、平面垂直的判定与性质课件点拨：(1)由棱台的性质知，AD，BE，CF的延长线相交于一点，将三棱台ABC­DEF补形为三棱锥K­ABC是解题的突破口．(2)方法一是几何法作出二面角B­AD­F的平面角，关键是抓住BF⊥平面ACK；方法二是向量法求二面角B­AD­F的平面角的余弦值，关键是抓住三条两两垂直的直线作空间直角坐标系的坐标轴，向量法中正确计算也是很重要的．点拨：(1)由棱台的性质知，AD，BE，CF的延长线相交于一1．证明直线与平面垂直的具体步骤(1)找与作：在已知平面内找或作两条相交直线与已知直线垂直；(2)证：证明所找到的或所作的直线与已知直线垂直；(3)用：利用线面垂直的判定定理，得出结论．1．证明直线与平面垂直的具体步骤2．判定线面垂直的四种方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．2．判定线面垂直的四种方法变式训练

(2015·北京，17，14分)如图，在四棱锥A­EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．(1)求证：AO⊥BE；(2)求二面角F­AE­B的余弦值；(3)若BE⊥平面AOC，求a的值．变式训练(2015·北京，17，14分)如图，在四棱锥A­解：(1)证明：因为△AEF为等边三角形，O为EF的中点，所以AO⊥EF.又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，所以AO⊥平面EFCB，又BE⊂平面EFCB，所以AO⊥BE.(2)如图，取BC中点G，连接OG.由题设知四边形EFCB是等腰梯形，所以OG⊥EF.解：(1)证明：因为△AEF为等边三角形，O为EF的中点，所由(1)知AO⊥平面EFCB.又OG⊂平面EFCB.所以OA⊥OG.由(1)知AO⊥平面EFCB.考点37-直线、平面垂直的判定与性质课件考点37-直线、平面垂直的判定与性质课件考向2面面垂直的判定与性质

面面垂直的证明是高考常考内容之一，主要是利用面面垂直的判定定理证明面面垂直，常出现在解答题的(1)(2)问中，或利用面面垂直证明其他位置关系．考向2面面垂直的判定与性质例2(2017·课标Ⅲ，19，12分)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D－AE－C的余弦值．例2(2017·课标Ⅲ，19，12分)如图，四面体ABCD【解析】

(1)证明：如图，取AC中点为O，连接BO，DO.∵△ABC是正三角形，∴AB＝BC，BO⊥AC.∴AD＝CD，即△ACD为等腰直角三角形，∠ADC为直角．又O为底边AC中点．【解析】(1)证明：如图，取AC中点为O，连接BO，DO.∴DO⊥AC.令AB＝a，则AB＝AC＝BC＝BD＝a，又AC∩OB＝O，AC⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，∴OD⊥平面ABC.又∵OD⊂平面ACD，∴DO⊥AC.∴平面ACD⊥平面ABC.(2)由题意可知VD－ACE＝VB－ACE，即B，D到平面ACE的距离相等，即E为BD中点．∴平面ACD⊥平面ABC.设平面AED的法向量为n1＝(x，y，z)，平面AEC的法向量为n2＝(m，n，p)，设平面AED的法向量为n1＝(x，y，z)，平面AEC的法向考点37-直线、平面垂直的判定与性质课件

证明面面垂直的两种思路(1)用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题． 证明面面垂直的两种思路变式训练

(2016·北京文，18，14分)如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．变式训练(2016·北京文，18，14分)如图，在四棱锥P解：(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC，所以DC⊥平面PAC.(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.所以平面PAB⊥平面PAC.解：(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：如图，取PB中点F，连接EF，CE，CF.又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF，所以PA∥平面CEF.(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：考向3线面角、二面角的求法

线面角、二面角问题是高考的热点和重点，几乎年年必考，一般建立空间直角坐标系，用空间向量解决，以解答题形式出现，难度中等．考向3线面角、二面角的求法例3(2018·河南郑州月考，18，12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB与平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD；(3)求二面角A­PD­C的正弦值．例3(2018·河南郑州月考，18，12分)如图，在四棱锥【解析】

(1)在四棱锥P­ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB与平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.所以PB与平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明：在四棱锥P­ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PA.因为CD⊥AC，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.【解析】(1)在四棱锥P­ABCD中，又AE⊂平面PAC，所以AE⊥CD.由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.又PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD.又AE⊂平面PAC，所以AE⊥CD.因此∠AME是二面角A­PD­C的平面角．由已知，可得∠CAD＝30°.因此∠AME是二面角A­PD­C的平面角．1．求空间角的三个步骤(1)找：即找出相关的角；(2)证：即证明找出的角为所求的角；(3)算：即通过解三角形的方法求出所求角．2．空间线面角、二面角的求法(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，作出垂线，确定垂足．(2)二面角的求法①点(定义法)：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图1，∠AOB为二面角α­l­β的平面角．1．求空间角的三个步骤②线(三垂线定理法)：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图2，∠ABO为二面角α­l­β的平面角．③面(垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．如图3，∠AOB为二面角α­l­β的平面角．④空间向量法．②线(三垂线定理法)：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂(1)在平面PAB内找一点M，使得CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P­CD­A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．(1)在平面PAB内找一点M，使得CM∥平面PBE，并说明理解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行，延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行，延长AB，DC(2)方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，所以∠PDA是二面角P­CD­A的平面角，所以∠PDA＝45°，设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH，易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE，于是CE⊥平面PAH，所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE，所以∠APH是PA与平面PCE所成的角．(2)方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，于是CD⊥PD，从而∠PDA是二面角P­CD­A的平面角，所以∠PDA＝45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2，A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)，E(1，0，0)，设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2，设x＝2，解得n＝(2，－2，1)．设直线PA与平面PCE所成的角为α，设x＝2，解得n＝(2，－2，1)．考点37-直线、平面垂直的判定与性质课件思路点拨：(1)因为E，F分别是所在棱的中点，可取PB的中点M，证明四边形AMFE是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理证明．(2)①连接PE，BE，由题意知∠PEB＝60°，在△PEB中利用余弦定理证出BE⊥PB.又BE⊥AD，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；②由①知BE⊥平面PBC，则∠EFB即为直线EF与平面PBC所成的角．思路点拨：(1)因为E，F分别是所在棱的中点，可取PB的中点37直线、平面垂直的判定与性质37直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与平面内的两条①_____直线都垂直，则该直线与此平面垂直性质定理垂直于同一个平面的两条直线③_____a∩b＝Oa∥b相交平行1．直线与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语2.直线与平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的⑤_____叫作这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是⑥____；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是⑦_____的角．(2)线面角θ的范围：⑧_____________．直角0°0°≤θ≤90°锐角2.直线与平面所成的角直角0°0°≤θ≤90°锐角3．平面与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的⑨________,则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于⑩_____的直线垂直于另一个平面一条垂线交线3．平面与平面垂直的判定定理及性质定理文字语言图形语言符号语

空间垂直关系的转化这是立体几何中证明垂直关系的常用思路，三种垂直关系的转化可结合下图记忆： 空间垂直关系的转化4．二面角的平面角(1)如图所示的二面角α­l­β，若O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB就叫作二面角α­l­β的平面角．(2)二面角θ的范围：⑪____________．0°≤θ≤180°4．二面角的平面角0°≤θ≤180°考向1线面垂直的判定与性质

线面垂直的证明是高考中的热点问题，考题形式主要有：①直线与平面垂直的判定与证明；②利用直线与平面垂直的性质证明线线垂直或面面垂直．此类题常以解答题形式呈现，难度适中．考向1线面垂直的判定与性质例1(2016·浙江，17，15分)如图，在三棱台ABC­DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求二面角B­AD­F的平面角的余弦值．例1(2016·浙江，17，15分)如图，在三棱台ABC­【解析】

(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.【解析】(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图(2)方法一：如图，过点F作FQ⊥AK于Q，连接BQ.因为BF⊥平面ACK，所以BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，所以BQ⊥AK.所以∠BQF是二面角B­AD­F的平面角．在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，(2)方法一：如图，过点F作FQ⊥AK于Q，连接BQ.方法二：由(1)知△BCK为等边三角形．取BC的中点O，则KO⊥BC.又平面BCFE⊥平面ABC，所以KO⊥平面ABC.如图，以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O­xyz.方法二：由(1)知△BCK为等边三角形．考点37-直线、平面垂直的判定与性质课件考点37-直线、平面垂直的判定与性质课件点拨：(1)由棱台的性质知，AD，BE，CF的延长线相交于一点，将三棱台ABC­DEF补形为三棱锥K­ABC是解题的突破口．(2)方法一是几何法作出二面角B­AD­F的平面角，关键是抓住BF⊥平面ACK；方法二是向量法求二面角B­AD­F的平面角的余弦值，关键是抓住三条两两垂直的直线作空间直角坐标系的坐标轴，向量法中正确计算也是很重要的．点拨：(1)由棱台的性质知，AD，BE，CF的延长线相交于一1．证明直线与平面垂直的具体步骤(1)找与作：在已知平面内找或作两条相交直线与已知直线垂直；(2)证：证明所找到的或所作的直线与已知直线垂直；(3)用：利用线面垂直的判定定理，得出结论．1．证明直线与平面垂直的具体步骤2．判定线面垂直的四种方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．2．判定线面垂直的四种方法变式训练

(2015·北京，17，14分)如图，在四棱锥A­EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．(1)求证：AO⊥BE；(2)求二面角F­AE­B的余弦值；(3)若BE⊥平面AOC，求a的值．变式训练(2015·北京，17，14分)如图，在四棱锥A­解：(1)证明：因为△AEF为等边三角形，O为EF的中点，所以AO⊥EF.又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，所以AO⊥平面EFCB，又BE⊂平面EFCB，所以AO⊥BE.(2)如图，取BC中点G，连接OG.由题设知四边形EFCB是等腰梯形，所以OG⊥EF.解：(1)证明：因为△AEF为等边三角形，O为EF的中点，所由(1)知AO⊥平面EFCB.又OG⊂平面EFCB.所以OA⊥OG.由(1)知AO⊥平面EFCB.考点37-直线、平面垂直的判定与性质课件考点37-直线、平面垂直的判定与性质课件考向2面面垂直的判定与性质

面面垂直的证明是高考常考内容之一，主要是利用面面垂直的判定定理证明面面垂直，常出现在解答题的(1)(2)问中，或利用面面垂直证明其他位置关系．考向2面面垂直的判定与性质例2(2017·课标Ⅲ，19，12分)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D－AE－C的余弦值．例2(2017·课标Ⅲ，19，12分)如图，四面体ABCD【解析】

(1)证明：如图，取AC中点为O，连接BO，DO.∵△ABC是正三角形，∴AB＝BC，BO⊥AC.∴AD＝CD，即△ACD为等腰直角三角形，∠ADC为直角．又O为底边AC中点．【解析】(1)证明：如图，取AC中点为O，连接BO，DO.∴DO⊥AC.令AB＝a，则AB＝AC＝BC＝BD＝a，又AC∩OB＝O，AC⊂平面ABC，OB⊂平面ABC，∴OD⊥平面ABC.又∵OD⊂平面ACD，∴DO⊥AC.∴平面ACD⊥平面ABC.(2)由题意可知VD－ACE＝VB－ACE，即B，D到平面ACE的距离相等，即E为BD中点．∴平面ACD⊥平面ABC.设平面AED的法向量为n1＝(x，y，z)，平面AEC的法向量为n2＝(m，n，p)，设平面AED的法向量为n1＝(x，y，z)，平面AEC的法向考点37-直线、平面垂直的判定与性质课件

证明面面垂直的两种思路(1)用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题． 证明面面垂直的两种思路变式训练

(2016·北京文，18，14分)如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．变式训练(2016·北京文，18，14分)如图，在四棱锥P解：(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因为DC⊥AC，所以DC⊥平面PAC.(2)证明：因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.所以平面PAB⊥平面PAC.解：(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：如图，取PB中点F，连接EF，CE，CF.又因为E为AB的中点，所以EF∥PA.又因为PA⊄平面CEF，所以PA∥平面CEF.(3)棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：考向3线面角、二面角的求法

线面角、二面角问题是高考的热点和重点，几乎年年必考，一般建立空间直角坐标系，用空间向量解决，以解答题形式出现，难度中等．考向3线面角、二面角的求法例3(2018·河南郑州月考，18，12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB与平面PAD所成的角的大小；(2)证明：AE⊥平面PCD；(3)求二面角A­PD­C的正弦值．例3(2018·河南郑州月考，18，12分)如图，在四棱锥【解析】

(1)在四棱锥P­ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB与平面PAD所成的角．在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.所以PB与平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明：在四棱锥P­ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PA.因为CD⊥AC，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.【解析】(1)在四棱锥P­ABCD中，又AE⊂平面PAC，所以AE⊥CD.由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.又PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD.又AE⊂平面PAC，所以AE⊥CD.因此∠AME是二面角A­PD­C的平面角．由已知，可得∠CAD＝30°.因此∠AME是二面角A­PD­C的平面角．1．求空间角的三个步骤(1)找：即找出相关的角；(2)证：即证明找出的角为所求的角；(3)算：即通过解三角形的方法求出所求角．2．空间线面角、二面角的求法(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，作出垂线，确定垂足．(2)二面角的求法①点(定义法)：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图1，∠AOB为二面角α­l­β的平面角．1．求空间角的三个步骤②线(三垂线定理法)：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图2，∠ABO为二面角α­l­β的平面角．③面(垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．如图3