普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及湖北卷

2007年一般高等学校招生全国一致考试（湖北卷）数学（文史类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必定自己的姓名、准考据号填写在试题卷和答题卡上，并将准考据号条形码粘贴在答题卡上指定地点.2．选择题每题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号．答在试题卷上无效．3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水署名笔或黑色墨水钢笔挺接答在答题卡上每题对应的答题地区内．答在试题卷上无效．4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．tan690°）的值为（Ａ．3Ｂ．3Ｃ．3Ｄ．3332．假如Ux|x是小于9的正整数，A1，2，3，4，，那么UUB（）B3，4，5，6痧AＡ．1，2Ｂ．3，4Ｃ．5，6Ｄ．7，822n的张开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（）3．假如3xx3Ａ．10Ｂ．6Ｃ．5Ｄ．32x1４．函数y0)的反函数是（）2x(x1Ａ．ylog2x1(x1)Ｂ．ylog2x11)x1x(x1Ｃ．ylog2x1(x1)Ｄ．ylog2x1(x1)x1x1D1C15．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，A1GG为棱A1B1上的一点，且AG1(0≤≤1)．则点G到平面D1EF的距离B1为（）EFC225ADBＡ．3Ｂ．Ｃ．Ｄ．2356．为了认识某学校学生的身体发育状况，抽查了该校100名高中男生的体重状况，依据所1得数据画出样本的频次散布直方图如右图所示．依据此图，预计该校2000名高中男生中体重要于70.5公斤的人数为（）A．300B．360C．420D．450频次0.08组距0.070.060.050.040.030.020.01体重（kg）54.556.558.560.562.564.566.568.570.572.574.576.57．将5本不一样样的书全发给4名同学，每名同学最罕有一本书的概率是（）A．1515C．24D．4864B．1251251288．由直线yx1上的一点向圆(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为（）A．1B．22C．7D．3．设a43)(，，在b上的投影为52，b在x轴上的投影为2，且|b|≤14，则b为（）9a2A．(2，14)B．2，2C．2D．(2，8)72，710．已知p是r的充分条件而不是必需条件，q是r的充分条件，s是r的必需条件，q是s的必需条件，现有以下命题：①s是q的充要条件；p是q的充分条件而不是必需条件；③r是q的必需条件而不是充分条件；④p是s的必需条件而不是充分条件；⑤r是s的充分条件而不是必需条件．则正确命题的序号是（）A．①④⑤B．①②④C．②③⑤D．②④⑤二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．把答案填在答题卡相应地点上．xy3≥0，11．设变量x，y知足拘束条件xy≥0，则目标函数2xy的最小值为．2≤x≤3，x2y2M，N两点，F212．过双曲线1左焦点F1的直线交曲线的左支于为其右焦点，432则MF2NF2MN的值为______．13．已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y1x2，则2f(1)f(1)＿＿＿＿．14．某篮球运动员在三分线投球的命中率是1，他投球10次，恰巧投进3个球的概率为2．（用数值作答）y（毫克）15．为了预防流感，某学校正教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物开释过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时1间t（小时）成正比；药物开释完成后，y与t的函数关系式为ta1（a为常数），以以下图，依据图中供给的信息，回y16答以下问题：（I）从药物释松开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时O0.1t（小时）间t（小时）之间的函数关系式为．（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释松开始，最少需要经过小时后，学生才能回到教室．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数f(x)2sin2π3cos2x，xππx4，．42（I）求f(x)的最大值和最小值；（II）若不等式f(x)m2在xππ，上恒成立，务实数m的取值范围．4217．（本小题满分12分）3如图，在三棱锥VABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且ACBCa，∠VDC0π．Ｖ2（I）求证：平面VAB⊥平面VCD；ＣBC与平面VAB所成的角为π．（II）试确立角的值，使得直线A6ＢＤ18．（本小题满分12分）某商品每件成本9元，售价为30元，每礼拜卖出432件，假如降廉价钱，销售量能够增添，且每礼拜多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一礼拜多卖出24件．（I）将一个礼拜的商品销售收益表示成x的函数；（II）怎样定价才能使一个礼拜的商品销售收益最大？19．（本小题满分12分）设二次函数f(x)x2axa，方程f(x)x0的两根x1和x2知足0x1x21．（I）务实数a的取值范围；（II）试比较f(0)f(1)f(0)与1的大小．并说明原因．1620．（本小题满分13分）已知数列{an}和{bn}知足：a11，a22，an0，bnanan1（nN*），且{bn}是以q为公比的等比数列．（I）证明：an2anq2；（II）若ca2a2n，证明数列{c}是等比数列；n2n1n（III）乞降：111111．a1a2a3a4a2n1a2n421．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x22py（p0）订交于A，B两点．（I）若点N是点C对于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；（II）能否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明原因．yCBAOxN（本题不要求在答题卡上绘图）2007年一般高等学校招生全国一致考试（湖北卷）数学（文史类）试题参照答案一、选择题：本题察看基础知识和基本运算．每题5分，满分50分．1．Ａ2．Ｄ3．Ｃ4．Ａ5．Ｄ6．Ｂ7．Ａ8．Ｃ9．Ｂ10．Ｂ二、填空题：本题察看基础知识和基本运算．每题5分，满分25分．312．813．311．2，0≤t≤1，14．1510t1015．y；0.6t11281101，t1610三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．本小题主要察看三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．解：（Ⅰ）∵f(x)1cosπ2x3cos2x1sin2x3cos2x2512sin2xπ．3ππππ2π≤12sin2xπ≤3，又∵x，，∴≤2x≤，即2342633∴f(x)max3，f(x)min2．（Ⅱ）∵f(x)m2f(x)2mππf(x)2，x，，42∴mf(x)max2且mf(x)min2，∴1m4，即m的取值范围是(14)，．17．本小题主要察看线面关系、直线与平面所成角的相关知识，察看空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学识题的能力．解法1：（Ⅰ）∵ACBCa，∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中点，∴CDAB，又VC底面ABC．∴VCAB．于是AB平面VCD．又AB平面VAB，∴平面VAB平面VCD．（Ⅱ）过点C在平面VCD内作CHVD于H，则由（Ⅰ）知CD平面VAB．连结BH，于是CBH就是直线BC与平面VAB所成的角．依题意CBHπ，因此6在Rt△CHD中，在Rt△BHC中，

CH2asin；2CHasinπa，62∴sin2．2∵0ππ，∴．24ππ故当时，直线BC与平面VAB所成的角为．46解法2：（Ⅰ）以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，成立以以下图的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，Daa，，2atan，，，，222于是，VDaa2atan，CDaa，AB(a，a，0)．2，，22，，0226·，，·aa1212ABCD进而，，，即．ABCD(aa0)20aa00222同理·，，·aa21212，，，atanaa0022222即ABVD．又CDVDD，∴AB平面VCD．又AB平面VAB．∴平面VAB平面VCD．（Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为n(x，y，z)，z则由n·AB0，n·VD0．Vaxay，0得可取

aa2．x2yaztan022Cn(11，，2cot)，又BCBy(0，a，0)，DAπ·a2，x于是sinnBCsin6n·BC·22cot22a即sin2ππ∵0，∴=．224故友πBC与平面VAB所成的角为π=时，直线．46解法3：（Ⅰ）以点D为原点，以DC，DB所在的直线分别为x轴、y轴，成立以以下图的空间直角坐标系，则，，，，2，，，2，，C2，，，222V2，，2，于是DV2，，2atan，DC2，，，22222AB(0，2a，0)．进而AB·DC·2，，0，即ABDC．(0，2a，0)2a00同理·，，2，，2atan0，即ABDV．227又DCDVD，∴AB平面VCD．又AB平面VAB，∴平面VAB平面VCD．（Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为n(x，y，z)，2ay0，则由n·AB0，n·DV0，得2ax2aztan0．22可取n(tan，0，1)，又22，，VBC，22π·2atan22于是sinnBC，Cy2sin6··2BnBCa1tanπππD即sinAx，∵0，∴=．224故友π4时，π即直线BC与平面VAB所成角为．18．本小题主要察看依据实诘问题成立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实诘问题的能力．解：（Ⅰ）设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个礼拜的盈余为f(x)，则依题意有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)，又由已知条件，24k·22，于是有k6，因此f(x)6x3126x2432x9072，x[0，30]．（Ⅱ）依据（Ⅰ），我们有f(x)18x2252x43218(x2)(x12)．x0，22(2，12)1212，30f(x)00f(x)极小极大故x12时，f(x)达到极大值．由于f(0)9072，f(12)11264，因此定价为81218元能使一个礼拜的商品销售收益最大．19．本小题主要察看二次函数、二次方程的基天性质及二次不等式的解法，察看推理和运算能力．解法1：（Ⅰ）令g(x)f(x)xx2(a1)xa，，01a，a，00则由题意可得1，21a10a322．g(1)，0a32，或a32，g(0)，220故所务实数a的取值范围是，．(0322)（II）f(0)f(1)f(0)g(0)g(1)2a2，令h(a)2a2．当a0时，h(a)单一增添，当0a322时，0h(a)h(3222(322)2(17122)2)217121，即f(0)f(1)f(0)1．121616解法2：（I）同解法1．（II）f(0)f(1)f(0)g(0)g(1)2a2，由（I）知0a322，∴42a1122170．又42a10，于是2a211(32a21)1(42a1)(42a1)0，161616即2a210，故f(0)f(1)f(0)1．1616解法3：（I）方程f(x)x0x2(a1)xa0，由韦达定理得0，xx0，12x1x21a，x1x2a，于是0x1x21x1x20，(1x1)(1x2)0，(1x1)(1x2)0a，0a，0a322．1a3或32222a故所务实数a的取值范围是(0，322)．9（II）依题意可设g(x)(xx1)(xx2)，则由0x1x21，得f(0)f(1)f(0)g(0)g(1)x1x2(1x1)(1x2)[x1(1x1)][x2(1x2)]x112x21x221x11，故f(0)f(1)f(0)2216．1620．本小题主要察看等比数列的定义，通项公式和乞降公式等基本知识及基本的运算技术，察看分析问题能力和推理能力．解法1：（I）证：由bn1q，有an1an2an2q，∴an22(nN*)．bnanan1ananq（II）证：anqn2q2，a2n1a2n3q2a1q2n2，a2na2n2q2a2qn2，cna2n12a2na1q2n22a2q2n2(a12a2)q2n25q2n2．cn是首项为5，以q2为公比的等比数列．（III）由（II）得11q22n，11q22na2na2na2，于是1a1111111111a1a2a2na1a3a2n1a2a4a2n1111111111aq2q4q2n2aq2q4q2n21231111．2q2q1q2n2当q1时，11131111a1a2a2n2q2q4q2n23．2当q1时，11131111a1a2a2n2q2q4q2n231q2n21q2103q2n12q2n2(q2．1)3，q，故1112n1q2n1a1a2a2n，q1.q2n2(q21)解法2：（I）同解法1（I）．（II）证：cn1a2n12a2n2q2a2n12q2a2nq2(nN*)，又c1a12a25，cna2n12a2na2n12a2ncn是首项为5，以q2为公比的等比数列．（III）由（II）的近似方法得a2n1a2n(a1a2)q2n23q2n2，111a1a2a3a4a2n1a2n，a1a2a2na1a2a3a4a2n1a2na2k1a2k3q2k23q2k2，k1，2，，n．a2k1a2k2q4k421113(1q2q2n2)．a1a2a2k2下同解法1．21．本小题主要察看直线、圆和抛物线等平面分析几何的基础知识，察看综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N(0，p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为ykxp，与x22py联立得2，y得x2py消去ykx．px22pkx2p20．y由韦达定理得x1x22pk，x1x22p2．B于是S△AMNS△BCNS△ACN1x2．C·2px1A2px1x2p(x1x2)24x1x2OxNp4p