2022年高考数学大一轮复习资料：7课件

7.4直线与平面平行平面与平面平行7.4直线与平面平行平面与平面平行1．直线和平面的位置关系

(1)直线在平面内(无数个公共点)；

(2)直线和平面

(有且只有一个公共点)；

(3)直线和平面

(没有公共点)．2．线面平行的判定定理：如果

一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．相交平行平面外的1．直线和平面的位置关系相交平行平面外的3．线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线

．4．平行平面的定义：如果两个平面没有

，那么这两个平面互相平行．5．平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条

直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．平行公共点相交3．线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条6．推论：如果一个平面内有两条

直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面互相平行．7．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面

，那么它们的交线平行．8．性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的

平行于另一个平面．相交相交直线6．推论：如果一个平面内有两条直1．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是(

)

A．过P只能作一条直线与平面α相交

B．过P可作无数条直线与平面α垂直

C．过P只能作一条直线与平面α平行

D．过P可作无数条直线与平面α平行答案：D1．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是()2．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是(

)A．平面ABC必不垂直于αB．平面ABC必平行于αC．平面ABC必与α相交

D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内答案：D2．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正3．(2009·江西)如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形， 则下列命题中错误的为(

)A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成角为45°

答案：C3．(2009·江西)如图，在四面体ABCD中，若截面PQM4．已知l、m是空间两条不同直线，α、β是空间两个不同平面，给出下列四个条件：

①平面α、β都垂直于平面γ；

②平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等；

③l、m是平面α内两条直线，且l∥β，m∥β；

④l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.其中可判断平面α与平面β平行的条件是________．(写出所有正确条件的序号)4．已知l、m是空间两条不同直线，α、β是空间两个不同平面，解析：①当α、β、γ如长方体的三个相交平面时，其两两相互垂直，∴不正确；②当α、β相交，α内两条平行于交线且关于交线对称的直线上所有点到面β的距离相等，∴不正确；③当α、β的交线与m、l都平行时，满足l∥β，m∥β，∴不正确；④l、m为两异面直线，则可以平移一条直线使其两直线相交得到一平面γ，l∥α，m∥α，可以得γ∥α，同理可得γ∥β.γ∥α，γ∥β得到α∥β，故④正确．答案：④解析：①当α、β、γ如长方体的三个相交平面时，其两两相互垂直2022年高考数学大一轮复习资料：7课件【例1】如右图所示，在空间四边形ABCD中，截面EFGH为平行四边形， 试证：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.

证明：证法一：∵截面EFGH为平行四边形，∴EH∥FG，根据直线 与平面平行的判定定理知：EH∥平面BCD，又EH⊂平面ABD，平 面ABD∩平面CBD＝BD， 根据直线与平面平行的性质定理知BD∥EH， 因此，BD∥平面EFGH，同理：AC∥平面EFGH.【例1】如右图所示，在空间四边形ABCD中，截面EFGH为平证法二：如右图，设由EFGH为平行四边形知：m＝λa＋μb，且m＝yb＋zc，∴即m＝μb.∴m∥b，即BD∥EH，因此BD∥平面EFGH.同理AC∥平面EFGH.证法二：如右图，设变式1.(1)如右图，已知平面α、β，α∩β＝l，直线m∥α，m∥β， 试用向量法证明：m∥l；

(2)若a、b为异面直线， 求证：有且只有一个平面经过a且与b平行． 证明：(1)如题图，取基向量a、b、c作为基底，在直线m上取向量m≠0， 由m∥α知，m＝λa＋μc，由m∥β知，m＝xb＋yc， 由空间向量基本定理知λ＝0，x＝0，μ＝y，

∴m＝μc，即m∥c，因此m∥l.变式1.(1)如右图，已知平面α、β，α∩β＝l，直线m∥α(2)如图，在直线a上取一点O，过O作b′∥b，则a与b′确定一个平面，设此平面为α，b∥b′，b⊄α，b′⊂α，∴b∥α；假设存在α、β平面，两平面都经过a，且与b平行，则α∩β＝a，由变式(1)知a∥b，此与a、b异面矛盾.(2)如图，在直线a上取一点O，过O作b′∥b，

平面平行的判定定理，是利用了线面平行来推证的，即需要找到或证出两条相交直线平行于另一平面．这是判定两平面平行的主要方法．还可以通过一些垂直关系来判定．平面平行的判定定理，是利用了线面平行来推证的，即【例2】正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M、N分别是对角线

AC和BF上的点，且AM＝FN. (1)求证：MN∥平面BEC；

(2)设正方形的边长为a，AM＝FN＝b，求MN的长；

(3)若α和β分别表示直线MN和AC及MN和BF所成的锐角，当线段MN的长度最短时，计算α和β的度数．【例2】正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M解答：(1)证法一：如右图①，过点M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，且不难知Rt△AMH∽Rt△ABC.∴.连结HN，又∵AM＝FN，且AC＝BF，∴.∴HN∥AF，即HN∥BE，∴平面MHN∥平面BEC.∴MN∥平面BEC.解答：(1)证法一：如右图①，过点M作MH⊥AB于H，证法二：如右图②连结AN，并延长与BE相交于G，连结CG.∵AF∥BG，∴△ANF∽△GNB，∴.∵FN＝AM，AC＝BF，∴.∴

，则MN∥CG.由于MN是平面BGC外的一条直线，∴MN∥平面BGC，即MN∥平面BEC.证法二：如右图②连结AN，并延长与BE相交于G，连结CG.∵(2)如图①∵平面ABCD⊥平面ABEF，MH⊥AB，

∴MH⊥平面ABEF.而HN⊂平面ABEF，

∴MH⊥HN.从(1)可知HN⊥AB，又由AC为正方形的对角线，可知MH＝AH，Rt△ANH≌Rt△HNM，∴MN＝AN.在△ANF中，AN2＝AF2＋FN22AF·NF·cos∠AFN＝a2＋b2－2abcos45°，AN＝，∴MN＝.(3)由(2)可知：MN＝， ∴当b＝a时，MN的长度最短．此时可求出α＝β＝60°.(2)如图①∵平面ABCD⊥平面ABEF，MH⊥A【例3】如右图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB＝a. (1)求证：A1D⊥B1C1；

(2)求点D到平面ACC1的距离；

(3)判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．

面面平行需要由线面平行判定，而直线与平面平行问题可以转化为面面平行问题．【例3】如右图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的

解答：(1)证法一：∵点D是正△ABC中BC边上的中点，∴AD⊥BC.又AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC，

∴BC⊥平面A1AD.∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.

证法二：如右图所示，

∵三棱柱ABC—A1B1C1为正三棱柱，

∴A1C＝A1B.∵点D是等腰△A1CB的底边BC的中点，∴A1D⊥BC.∵BC∥B1C1，

∴A1D⊥B1C1.解答：(1)证法一：∵点D是正△ABC中BC边(2)解法一：如右图，作DE⊥AC于E，∵平面ACC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的距离，在Rt△ADC中，AC＝2CD＝a，AD＝a，∴所求距离DE＝＝a.解法二：设点D到平面ACC1的距离为x，∵

，∴

a2·CC1＝

a·CC1·x，解得x＝a，即点D到平面ACC1的距离是a.(2)解法一：如右图，作DE⊥AC于E，(3)直线A1B∥平面ADC1.以下给出证明：证法一：如右图，设A1C交AC1于F，则F为A1C的中点．∵D是BC的中点，∴DF∥A1B.又DF⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1.证法二：如右图，取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1，C1D∥D1B，∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B，∴平面ADC1∥平面A1D1B.∵A1B⊂平面A1D1B，∴A1B∥平面ADC1.(3)直线A1B∥平面ADC1.以下给出证明：证变式3.如图ABC—A1B1C1是各棱长均为a的正三棱柱，D是 侧棱CC1的中点．

(1)求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；

(2)若O为△ABC的中心，P为BB1上一点，当OP∥

平面AB1D时，试确定点P的位置．变式3.如图ABC—A1B1C1是各棱长均为a的正三棱柱，解答：(1)证明：如图，取AB1、AB中点分别为E、F，连接DE，EF，CF，则EF綊BB1，又CD綊BB1，则EF綊CD，因此四边形CDEF为平行四边形，又面ABC⊥面AA1BB1，则CF⊥面AA1B1B，∴DE⊥面ABB1A1，又DE⊂平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面ABB1A1；(2)由OP∥平面AB1D，FO∥平面AB1D，知平面PFO∥平面AB1D，因此PF∥AB1，又F为AB的中点，所以P为BB1的中点.解答：(1)证明：如图，取AB1、AB中点分别为E、F，【方法规律】

1．在解决直线与平面、平面与平面平行问题的过程中，要特别注意判定定理和性质定理的联合交替使用．2．可利用共面向量定理证明直线与平面平行和四点共面等问题3．利用直线和平面平行可进行点到平面距离的转化．4．直线与平面平行的判定定理及平面与平面平行的性质定理都是极为重要的作图的理论和依据.

【方法规律】(本题满分12分)如右图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a.(1)求证：MN∥面ADD1A1；(2)求二面角P—AE—D的大小．(本题满分12分)如右图，在长方体ABCD—A1B1C1D1解答：(1)证明：如图，取CD的中点K，连结MK、NK.∵M、N、K分别为AE、CD1、CD的中点，∴MK∥AD，NK∥DD1.∴MK∥面ADD1A1，NK∥面ADD1A1.∴面MNK∥面ADD1A1.∴MN∥面ADD1A1.【答题模板】

解答：(1)证明：如图，取CD的中点K，连结MK、NK.∵M(2)设F为AD的中点，∵P为A1D1的中点，∴PF∥D1D.∴PF⊥面ABCD.

如上图，作FH⊥AE，交AE于H，连结PH则由三垂线定理得AE⊥PH，从而∠PHF为二面角P—AE—D的平面角．在Rt△AEF中，AF＝，

EF＝2a，AE＝a，从而FH＝.在Rt△PFH中，tan∠PHF＝，故二面角P－AE－D的大小是arctan.

(2)设F为AD的中点，∵P为A1D1的中点，∴高考考查直线与平面平行、平面与平面平行判定和性质相关的命题正误的判断，也可能考查线面平行的有关证明和计算问题．通过线面平行和面面平行的证明，可以进行点到平面距离以及异面直线之间距离的转化等．第一问考查了直线和平面平行的证明，可以利用几何法，也可利用向量法给以证明．本题第一问实质上源于教材习题.【分析点评】

点击此处进入作业手册高考考查直线与平面平行、平面与平面平行判定和性质相关的命题正7.4直线与平面平行平面与平面平行7.4直线与平面平行平面与平面平行1．直线和平面的位置关系

(1)直线在平面内(无数个公共点)；

(2)直线和平面

(有且只有一个公共点)；

(3)直线和平面

(没有公共点)．2．线面平行的判定定理：如果

一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．相交平行平面外的1．直线和平面的位置关系相交平行平面外的3．线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线

．4．平行平面的定义：如果两个平面没有

，那么这两个平面互相平行．5．平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条

直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．平行公共点相交3．线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条6．推论：如果一个平面内有两条

直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面互相平行．7．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面

，那么它们的交线平行．8．性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的

平行于另一个平面．相交相交直线6．推论：如果一个平面内有两条直1．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是(

)

A．过P只能作一条直线与平面α相交

B．过P可作无数条直线与平面α垂直

C．过P只能作一条直线与平面α平行

D．过P可作无数条直线与平面α平行答案：D1．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是()2．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是(

)A．平面ABC必不垂直于αB．平面ABC必平行于αC．平面ABC必与α相交

D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内答案：D2．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正3．(2009·江西)如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形， 则下列命题中错误的为(

)A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成角为45°

答案：C3．(2009·江西)如图，在四面体ABCD中，若截面PQM4．已知l、m是空间两条不同直线，α、β是空间两个不同平面，给出下列四个条件：

①平面α、β都垂直于平面γ；

②平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等；

③l、m是平面α内两条直线，且l∥β，m∥β；

④l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.其中可判断平面α与平面β平行的条件是________．(写出所有正确条件的序号)4．已知l、m是空间两条不同直线，α、β是空间两个不同平面，解析：①当α、β、γ如长方体的三个相交平面时，其两两相互垂直，∴不正确；②当α、β相交，α内两条平行于交线且关于交线对称的直线上所有点到面β的距离相等，∴不正确；③当α、β的交线与m、l都平行时，满足l∥β，m∥β，∴不正确；④l、m为两异面直线，则可以平移一条直线使其两直线相交得到一平面γ，l∥α，m∥α，可以得γ∥α，同理可得γ∥β.γ∥α，γ∥β得到α∥β，故④正确．答案：④解析：①当α、β、γ如长方体的三个相交平面时，其两两相互垂直2022年高考数学大一轮复习资料：7课件【例1】如右图所示，在空间四边形ABCD中，截面EFGH为平行四边形， 试证：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.

证明：证法一：∵截面EFGH为平行四边形，∴EH∥FG，根据直线 与平面平行的判定定理知：EH∥平面BCD，又EH⊂平面ABD，平 面ABD∩平面CBD＝BD， 根据直线与平面平行的性质定理知BD∥EH， 因此，BD∥平面EFGH，同理：AC∥平面EFGH.【例1】如右图所示，在空间四边形ABCD中，截面EFGH为平证法二：如右图，设由EFGH为平行四边形知：m＝λa＋μb，且m＝yb＋zc，∴即m＝μb.∴m∥b，即BD∥EH，因此BD∥平面EFGH.同理AC∥平面EFGH.证法二：如右图，设变式1.(1)如右图，已知平面α、β，α∩β＝l，直线m∥α，m∥β， 试用向量法证明：m∥l；

(2)若a、b为异面直线， 求证：有且只有一个平面经过a且与b平行． 证明：(1)如题图，取基向量a、b、c作为基底，在直线m上取向量m≠0， 由m∥α知，m＝λa＋μc，由m∥β知，m＝xb＋yc， 由空间向量基本定理知λ＝0，x＝0，μ＝y，

∴m＝μc，即m∥c，因此m∥l.变式1.(1)如右图，已知平面α、β，α∩β＝l，直线m∥α(2)如图，在直线a上取一点O，过O作b′∥b，则a与b′确定一个平面，设此平面为α，b∥b′，b⊄α，b′⊂α，∴b∥α；假设存在α、β平面，两平面都经过a，且与b平行，则α∩β＝a，由变式(1)知a∥b，此与a、b异面矛盾.(2)如图，在直线a上取一点O，过O作b′∥b，

平面平行的判定定理，是利用了线面平行来推证的，即需要找到或证出两条相交直线平行于另一平面．这是判定两平面平行的主要方法．还可以通过一些垂直关系来判定．平面平行的判定定理，是利用了线面平行来推证的，即【例2】正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M、N分别是对角线

AC和BF上的点，且AM＝FN. (1)求证：MN∥平面BEC；

(2)设正方形的边长为a，AM＝FN＝b，求MN的长；

(3)若α和β分别表示直线MN和AC及MN和BF所成的锐角，当线段MN的长度最短时，计算α和β的度数．【例2】正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M解答：(1)证法一：如右图①，过点M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，且不难知Rt△AMH∽Rt△ABC.∴.连结HN，又∵AM＝FN，且AC＝BF，∴.∴HN∥AF，即HN∥BE，∴平面MHN∥平面BEC.∴MN∥平面BEC.解答：(1)证法一：如右图①，过点M作MH⊥AB于H，证法二：如右图②连结AN，并延长与BE相交于G，连结CG.∵AF∥BG，∴△ANF∽△GNB，∴.∵FN＝AM，AC＝BF，∴.∴

，则MN∥CG.由于MN是平面BGC外的一条直线，∴MN∥平面BGC，即MN∥平面BEC.证法二：如右图②连结AN，并延长与BE相交于G，连结CG.∵(2)如图①∵平面ABCD⊥平面ABEF，MH⊥AB，

∴MH⊥平面ABEF.而HN⊂平面ABEF，

∴MH⊥HN.从(1)可知HN⊥AB，又由AC为正方形的对角线，可知MH＝AH，Rt△ANH≌Rt△HNM，∴MN＝AN.在△ANF中，AN2＝AF2＋FN22AF·NF·cos∠AFN＝a2＋b2－2abcos45°，AN＝，∴MN＝.(3)由(2)可知：MN＝， ∴当b＝a时，MN的长度最短．此时可求出α＝β＝60°.(2)如图①∵平面ABCD⊥平面ABEF，MH⊥A【例3】如右图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB＝a. (1)求证：A1D⊥B1C1；

(2)求点D到平面ACC1的距离；

(3)判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．

面面平行需要由线面平行判定，而直线与平面平行问题可以转化为面面平行问题．【例3】如右图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的

解答：(1)证法一：∵点D是正△ABC中BC边上的中点，∴AD⊥BC.又AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC，

∴BC⊥平面A1AD.∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1.

证法二：如右图所示，

∵三棱柱ABC—A1B1C1为正三棱柱，

∴A1C＝A1B.∵点D是等腰△A1CB的底边BC的中点，∴A1D⊥BC.∵BC∥B1C1，

∴A1D⊥B1C1.解答：(1)证法一：∵点D是正△ABC中BC边(2)解法一：如右图，作DE⊥AC于E，∵平面ACC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的距离，在Rt△ADC中，AC＝2CD＝a，AD＝a，∴所求距离DE＝＝a.解法二：设点D到平面ACC1的距离为x，∵

，∴

a2·CC1＝

a·CC1·x，解得x＝a，即点D到平面ACC1的距离是a.(2)解法一：如右图，作DE⊥AC于E，(3)直线A1B∥平面ADC1.以下给出证明：证法一：如右图，设A1C交AC1于F，则F为A1C的中点．∵D是BC的中点，∴DF∥A1B.又DF⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，∴A1B∥平面ADC1.证法二：如右图，取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1，C1D∥D1B，∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B，∴平面ADC1∥平面A1D1B.∵A1B⊂平面A1D1B，∴A1B∥平面ADC1.(3)直线A1B∥平面ADC1.以下给出证明：证变式3.如图ABC—A1B1C1是各棱长均为a的正三棱柱，D是 侧棱CC1的中点．

(1)求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；

(2)若O为△ABC的中心，P为BB1上一点，当OP∥

平面AB1D时，试确定点P的位置．变式3.如图ABC—A1B1C1是各棱长均为a的正三棱柱，解答：(1)证明：如图，取AB1、AB中点分别为E、F，连接DE，EF，CF，则EF綊BB1，